3 Magnetisches Feld - Webvisitenkarte.net

FH Giessen-Friedberg
3
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Grundlagen der Elektrotechnik
Magnetisches Feld
Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler
Magnetisches Feld
Stationäres magnetisches Feld:
Ein stationäres magnetisches Feld liegt dann vor, wenn eine Ladungsbewegung mit gleicher Intensität vorhanden ist:
I=
dQ
= const .
dt
Das magnetische Feld ist ein Wirbelfeld. Die Feldlinien haben keinen
Anfang- und Endpunkt, sondern sind umlaufend und in sich geschlossen.
Die einfachste Form eines vom Strom erzeugten magnetischen Feldes
bildet sich bei einem geradlinigen Leiter aus, bei dem die Feldlinien in
Form konzentrischer Kreise den Leiter umschlingen.
Rechtsschraubenregel:
Die Zuordnung von Feld- und Stromrichtung ist durch die sog.
Rechtsschraubenregel festgelegt. Dreht man eine Rechtsschraube in
Richtung des Magnetfeldes, dann bewegt sich diese in Richtung des
Stromes (technische Stromrichtung). Dabei bedeutet „x“-Symbolik
Stromrichtung in die Zeichenebene hinein und „.“-Symbolik Stromrichtung aus der Zeichenebene heraus.
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3.1
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Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte
Jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt ein Magnetfeld. Es wird analog
zum elektrischen Feld durch magnetische Feldlinien beschrieben, deren
Gesamtheit man als magnetischen Fluss Φ bezeichnet. Die magnetische
Flussdichte B (magnetische Induktion) ist der Quotient aus dem
magnetischen Fluss und der Querschnittsfläche A .
∆Φ d Φ
=
∆A→0 ∆A
dA
(3.1)
B = lim
mit: [ Φ ] = V ⋅ s
3.2
;
[ B] =
V ⋅s
= T (Tesla)
m2
Durchflutung und magnetische Feldstärke
Der elektrische Strom ist die Ursache des Magnetfeldes. Dieses Feld
wird verstärkt, wenn mehrere Ströme oder (wie bei einer Spule) der
gleiche Strom mehrfach die Umgebung beeinflussen. Diese
Stromsumme wird als Durchflutung Θ bezeichnet. Zur Kennzeichnung
der Intensität des Magnetfeldes entlang der Feldlinien wird die
magnetische Feldstärke (Erregung) H eingeführt. Beide Größen werden
über den Durchflutungssatz miteinander verknüpft:
n
Θ = ∫ H ⋅ ds = ∑ I i
(3.3)
i =1
mit: [ Θ ] = A
;
[H ] = A m
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3.3
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Magnetischer Widerstand
In Analogie zum elektrischen Feld wird ein magnetischer Widerstand Rm
definiert, der die Aufstellung des Hopkinsonschen Gesetzes (Ohmsches
Gesetz für magnetische Kreise) erlaubt.
Um magnetische Widerstände zu berechnen, muss der Begriff der
Permeabilität eingeführt werden. Die absolute Permeabilität µ ist eine
Materialgröße, die die magnetische „Durchlässigkeit“ eines Stoffes
charakterisiert (vergleichbar mit κ ). Sie wird als µ r -faches der
Permeabilität µ0 des Vakuums (Induktionskonstante) aufgefasst:
Θ = Rm ⋅ Φ
(3.4)
l
µ⋅A
(3.5)
µ = µr ⋅ µ0
(3.6)
Rm =
µ 0 = 4π ⋅ 10−7
Vs
Vs
= 1, 257 ⋅ 10−6
Am
Am
(3.7)
Magnetischer Widerstand einer Spule in Luft und mit einem
Eisenkern:
Das Magnetfeld der Luftspule besteht aus einem homogenen Anteil mit
großer Induktion B innerhalb der Spule und einem inhomogenen Anteil
mit sehr kleiner Induktion B außerhalb der Spule (letztere wird bei der
Berechnung vernachlässigt).
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3.4
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Der magnetische Kreis
Hopkinsonsches Gesetz:
Vergleich zwischen magnetischem und elektrischem Kreis
Stromkreis
magn. Kreis
Strom I
Spannung U
Widerstand R = U / I
Φ
Fluss Φ
magn. Spannung V
magn. Widerstand R m = V / Φ
Reihenschaltung:
Rm, ges
Parallelschaltung:
1
Rm, ges
Θ n
= = ∑ Rm,i
Φ i=1
n
1
i =1 Rm,i
=∑
RmAB
A
B
V
(3.10a)
(3.10b)
Bsp. 3.1:
Der skizzierte magnetische Kreis, der aus Stahlguss aufgebaut ist, soll
im linken Schenkel einen Fluss von 3, 5 mVs besitzen. Ermitteln Sie die
Windungszahl n .
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3.5
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Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter
Erfahrungsgemäß wird auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld eine
Kraft ausgeübt, deren Entstehung man sich durch Überlagerung des
vorhandenen magnetischen Fremdfeldes mit der Flussdichte B und dem
magnetischen Eigenfeld des Stromes veranschaulichen kann. Diese
Überlagerung hat eine Feldverstärkung auf der einen und eine
Feldschwächung auf der anderen Seite zur Folge. Die Kraft zeigt in
Richtung der Feldschwächung.
N
l
B
I α
F = I⋅ l ×B
( )
F = Q ⋅ (v × B)
(3.11)
(3.12)
S
Rechte-Hand-Regel:
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3.6
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Ablenkung im elektromagnetischen Feld
Elektrische Ablenkung:
Elektronen treten mit einer Geschwindigkeit v0x in ein homogenes
Querfeld Ey ein und erfahren während ihrer Durchlaufzeit t eine
konstante Auslenkungskraft F und damit eine GeschwindigkeitsKomponente vy in Feldrichtung. Der Elektronenstrahl wird also
ausgelenkt. Das Feld kann durch einen Plattenkondensator der
Plattenlänge l und dem Plattenabstand d erzeugt werden. Die Bahnkurve
des Elektrons innerhalb der Plattenlänge l entspricht der eines
waagrechten Wurfes:
• In x-Richtung erfolgt eine Bewegung mit const. Geschwindigkeit v0x
• In y-Richtung erfolgt eine Bewegung mit const. Beschleunigung
Anode
l
Kathode
Ey
v0x
l'
0
d
x
vx = const.
vy = ay ⋅ t
y
ϕ
s yA
b'
b
p
Ua
sy =
t=
e ⋅ Ey
me
sx2
⋅
2 ⋅ v02x
(3.14)
l
(3.15)
v0x
v0 x =
2 ⋅ e ⋅Ua
me
tan(ϕ ) =
⇒ b=
vy
v0 x
=
(3.16)
e ⋅ Ey
me
e ⋅ Ey ⋅ l ⋅ p
me ⋅ v02x
⋅t ⋅
=
e ⋅U y ⋅ l
Uy ⋅l
1
=
=
v0 x d ⋅ me ⋅ v02x 2 ⋅ d ⋅ U a
e ⋅U y ⋅ l ⋅ p
me ⋅ d ⋅ v02x
=
l ⋅ p Uy
⋅
2 ⋅ d Ua
(3.17)
(3.18)
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Magnetische Ablenkung:
a
l
Bz
d
v0x
x
∆y
Fy
Fy
α
vx
b'
b
c
r
r
α
Radius r der Kreisbahn:
r=
me ⋅ vx
e ⋅ Bz
(3.19)
Umlaufzeit in einem Halbkreis:
v
B
F+ q
r
v0
tu ,h =
π ⋅r
v0
=
π me ⋅ v0
⋅
v0 e ⋅ Bz
B
F− q
v1
=
π ⋅ me
e ⋅ Bz
(3.20)
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Bsp. 3.2:
Die aus der Kathode austretenden Elektronen werden von der positiven
Anode angezogen und erreichen durch die Anodenspannung Ua=2kV
das Ablenksystem der Länge l=3,5cm mit einer Geschwindigkeit v1.
a) Wie groß ist v1?
b) Mit welchem Ablenkwinkel α verlassen die Elektronen das Ablenksystem, wenn die Ablenkung elektrisch mit Ey=-416V/cm bzw.
magnetisch mit Bz=-30,5⋅10-8Vs/cm² erfolgt?
c) Wie groß ist v2 bei der elektrischen bzw. magnetischen Ablenkung?
l
Anode
z
Kathode
x
y
v1
E y bzw. Bz
α
Ua
v2
a)
Mit Gl. (3.16):
2 ⋅ e ⋅U a
2 ⋅ 1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 2000 V
v1 =
=
= 26523,2 km
s
−31
me
9,109 ⋅ 10 kg
b)
Elektrisch:
V = −416 ⋅ 10 2 V
E y = −416 cm
m
bzw.
V
E y = 416 ⋅ 102 m
(E-Feld zeigt in negative
y-Richtung)
tan(α ) =
e ⋅ Ey ⋅ l
me ⋅ v12
=
(
)
V ⋅ 0,035 m
1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 416 ⋅ 102 m
9,109 ⋅ 10
−31
(
3
kg ⋅ 26523, 2 ⋅ 10 m s
)
2
= 0,364
⇒ α = 20° (Ablenkung erfolgt in positive y-Richtung)
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Vs = −30,5 ⋅ 10−4 Vs
Magnetisch: Bz = −30,5 ⋅ 10−8 cm
2
m2
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Vs
Bz = 30,5 ⋅ 10−4 m
2
bzw.
(B-Feld zeigt in
Blattebene hinein)
me ⋅ v1
9,109 ⋅ 10−31 kg ⋅ 26523,2 ⋅ 103 m s
r=
=
= 0,04945 m
e ⋅ Bz 1,602 ⋅ 10−19 As ⋅ 30,5 ⋅ 10−4 Vs m 2
(
)
 0,035 m 
l
 
α = arcsin   = arcsin 
= 45,06°
0,04945 m 
r


(Ablenkung erfolgt in negative y-Richtung)
c)
Elektrisch:
v1
= cos(α )
v2
⇒
v2 =
26523, 2 km
v1
s
=
= 28225,4 km
s
cos(α )
cos(20°)
Magnetisch: v2 = v1 = 26523, 2 km
s
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