Leseprobe zum Titel: Vorbereitung auf das Abitur

Inhalt
A Abituraufgaben
B
C
3086_Buch.indb 5
6
1
Analysis
2
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
14
3
Stochastik
24
Musterlösungen
6
32
1
Analysis
32
2
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
52
3
Stochastik
71
Begriffe, Definitionen, Regeln und
Verfahren
81
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A Abituraufgaben
1
Analysis
Aufgabe 1
Dem menschlichen Körper können Medikamente durch einen Tropf kontinuierlich zugeführt werden. Zu Beginn weist der Körper keine Medikamentenmenge auf, nach InGang-Setzen des Tropfes erhöht sich die Medikamentenmenge mit jedem Tropfen, aber
zugleich beginnen Nieren und Leber die Substanz wieder auszuscheiden.
Die Funktion m: t ¥ m (t) , t in Minuten, m in Milligramm gemessen, gebe die Medikamentenmenge im Körper an.
a) Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion m’ für oben beschriebenen
Wachstumsprozess.
b) Für ein bestimmtes Medikament gelte m’ (t) = e–0,02t. Bestimmen Sie m (t) unter der
Voraussetzung, dass der Tropf zur Zeit t = 0 gestartet wird.
Es gilt fortan: m (t) = 50 (1 – e–0,02t).
c) Zeichnen Sie die Graphen von m und m’ für einen sinnvollen Zeitraum und interpretieren Sie deren Verlauf bezüglich der Medikamentenzufuhr.
d) Erläutern Sie, dass lim m(t) = 50 gilt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die
x¥∞
Medikamentenmenge 90 % dieses Grenzwertes erreicht und den, von dem ab der
Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute beträgt.
10
e) Berechnen Sie
∫ e–0,02t dt. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Zahl.
0
f) Nach 5 Stunden wird der Tropf abgesetzt. Der Abbau des Medikaments erfolgt
danach mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, von dem ab die Nachweisgrenze des Medikaments von
1 µg (10–3 mg) im Körper unterschritten wird.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Definition der Ableitung
Stammfunktion einer e-Funktion
Wachstum einer e-Funktion mit Monotoniebetrachtungen
Grenzwert einer e-Funktion mit Monotoniebetrachtungen
Bestimmtes Integral einer e-Funktion
Zusammenhänge zwischen e-Funktion und natürlicher
Logarithmusfunktion
[81]
[88]
[88]
[89]
[88]
[106]
6
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1 Analysis
Aufgabe 2
a) Der Graph einer ganz-rationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur
y-Achse, geht durch den Ursprung und den Punkt P = (2 | 0) und schließt im
1. Quadranten mit der x-Achse eine Fläche von 16 Flächeneinheiten ein. Bestimmen
Sie den zugehörigen Funktionsterm.
b) Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion f mit f (x) = −3,75 x4 + 15 x2.
Beschreiben und begründen Sie den Verlauf dieses Graphen zunächst ohne Rechnung
allein mithilfe des Funktionsterms.
Bestätigen Sie die charakteristischen Punkte des Graphen durch Rechnung.
c) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn das im ersten
Quadranten zwischen Funktionsgraph und x-Achse eingeschlossene Flächenstück um
die x-Achse rotiert.
d) Beschreiben und erklären Sie, was in den Schritten 1 bis 5 im Text 1 berechnet wird
– zu rechnen brauchen Sie selbst nicht!
Welche Eigenschaften hat der so berechnete Rotationskörper?
Zwischenschritte einer Rechnung
Man will einen Rotationskörper mit einer bestimmten Eigenschaft erzeugen.
Zur Vorbereitung rechnet man wie folgt:
y
k+1
1. V (k) = π
x
Abbildung 1
∫
[f (x)]2 dx, 0 ≤ k ≤ 1
k
2.
3.
4.
5.
V’ (k) = 0 ⇒ k ≈ 0,82
V” (0,82) ≈ −2763
V (0,82) ≈ 518,25
A = π [f (0,82)]2 ≈ 223,65
Text 1
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a)
b)
c)
d)
Steckbriefaufgabe
Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion
Volumen eines Rotationskörpers
Extremwertaufgabe mit einem Rotationskörper
[117]
[93]
[113]
[113]
7
3086_Buch.indb 7
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A Abituraufgaben
Aufgabe 3
Ein Naturschutzgebiet hat in idealisierter Weise
den dargestellten Küstenverlauf.
Im Scheitel der Bucht zwischen den zwei Kaps
– diese entsprechen den Punkten C und D – befindet sich ein Hafen (Punkt B).
Zur näherungsweisen Beschreibung des Gebietes
wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem so
gelegt, dass der Punkt A im Nullpunkt liegt und die
x-Achse das Naturschutzgebiet begrenzt.
Die Koordinaten der Punkte B und C sind gegeben: B = (1 | 2) und C = (2 | 4).
Eine Einheit soll 10 km in der Realität entsprechen.
5
y
4
C
Meer
3
2
D
B
Festland
1
A
a) Bestimmen Sie mithilfe der Punkte A, B und C
x
1
2
eine geeignete Polynomfunktion 4. Grades, die
den Küstenverlauf beschreibt. Begründen
Sie diesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen.
b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtet
werden. Verwenden Sie für den Küstenverlauf die Funktion f mit
f (x) = –3x4 + 14x3 – 21x2 + 12x und berechnen Sie die Entfernung zwischen C und D.
c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegenden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion
k (x) = 0,5x2 – 0,25x + 4.
Berechnen Sie die Länge der Fahrtstrecke.
d) Bestimmen Sie den Kurs (Winkel zur Nordrichtung) den das Boot einschlagen muss,
um von B zum Punkt P = (0,5 | 4) zu gelangen.
e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die
Küstenlinie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging durch B und C und
lässt sich durch eine Funktion g mit g (x) = 0,5x2 + 0,5x + 1 mit x ≥ 0 beschreiben.
Berechnen Sie den Landgewinn, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist, für das Gebiet zwischen A und C und begründen Sie Ihr Vorgehen.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a)
b)
c)
d)
e)
Steckbriefaufgabe
Bestimmung einer Streckenlänge
Minimierung einer Funktion als Teil einer Kurvendiskussion
Bestimmung eines Winkels
Bestimmte Integrale ganzrationaler Funktionen
[117]
[81]
[93]
[120]
[116]
8
3086_Buch.indb 8
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1 Analysis
Aufgabe 4
Die Sinusfunktion sin (x) soll im Intervall [0, π] durch drei unterschiedliche quadratische
Funktionen f, g und h angenähert werden.
Die Funktionen f, g und h sollen dieselben Nullstellen besitzen wie die Sinusfunktion.
Zusätzlich sollen die Funktionen die folgenden Eigenschaften haben:
• f besitzt dasselbe Maximum wie die Sinusfunktion.
• g besitzt in den Nullstellen dieselbe Steigung wie die Sinusfunktion.
• Die Graphen von h und der Sinusfunktion schließen beide denselben Flächeninhalt mit
der x-Achse ein.
a) Bestimmen Sie die Funktionsterme von f, g und h.
b) Beurteilen Sie begründet für jede der Funktionen f, g und h die Güte der Annäherung
an die Sinusfunktion und begründen Sie Ihr Vorgehen.
c) Betrachten Sie die Funktionsterme
5
3
7
5
3
x
x
x
x
x
–}
+ x und t7 (x) = – }
+}
–}
+x
t5 (x) = }
5!
7!
5!
3!
3!
(Hinweis: n! = 1 · 2 · 3 · … · n )
Zeichnen Sie die Graphen von t5 und t7 und der Sinusfunktion in ein gemeinsames
Koordinatensystem und beschreiben Sie deren Verlauf.
Stellen Sie eine Vermutung über den Zusammenhang dieser Funktionsterme mit der
Sinusfunktion auf.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) Steckbriefaufgabe
b) Bestimmte Integrale verschiedener Funktionsklassen
[117]
[116]
9
3086_Buch.indb 9
20.05.2007 11:41:23
A Abituraufgaben
 Aufgabe 5
t + ln (x)
Für jede reelle Zahl t ist eine Funktionenschar gegeben durch ft (x) = }}}
; x > 0.
x
a) Weisen Sie nach, dass ft Null-, Extrem- und Wendestellen besitzt. Untersuchen Sie
auch das Verhalten für x ¥ 0 und x ¥ ∞ und zeichnen Sie den Graphen f2 für 0 < x ≤ 5.
(1LE š 2 cm)
b) Erklären Sie, was in den Schritten 1 bis 3
Bestimmung einer besonderen
im nebenstehenden Kasten berechnet wird.
Kurve
Was beschreibt y in Zeile 3?
Übertragen Sie die Rechnung auf den
Für gt (x) = 2x4 + tx3 ist der Punkt
Punkt (e1–t | et–1) der Funktionenschar ft (x)
27 4
– }38 t | – }}
t Tiefpunkt.
2048
und interpretieren Sie das Ergebnis.
1. x = – }38 t
c) Die Funktion ft, die x-Achse und die zur
y-Achse parallele Gerade durch den
2. t = – }83 x
Hochpunkt von ft umschließen eine endli4
27
3. y = – }}
– }8 x = – }23 x4
che Fläche. Bestimmen Sie deren Inhalt und
2048 3
interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
d) Lässt man den Graphen f2 (siehe a)) im Intervall [e–2,h] um die x-Achse rotieren, so
entsteht ein Rotationskörper, der einer Rotweinkaraffe ähnelt.
Man kann jetzt das Volumen der Karaffe in Abhängigkeit zur Füllhöhe h berechnen.
Möchte man zu einem gegebenen Volumen V dieser „Karaffe“ die Füllhöhe h bestimmen, so gelangt man nach einigen Umformungsschritten zu folgender Gleichung:
(
)
(
–V
z
z2 + 6z + 10 = ( }
π + 14,78 ) e
)
(mit z = ln (h))
Diese Gleichung ist mit den herkömmlichen Mitteln algebraisch nicht lösbar. Erläutern
Sie, wie man zumindest näherungsweise für z eine Lösung bestimmen könnte.
Begründen Sie, dass es nicht für jeden Wert von V eine Lösung geben kann.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) und b) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion
c) Partielle Integration
d) Exponentialfunktion
[88, 106]
[110]
[88]
10
3086_Buch.indb 10
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1 Analysis
 Aufgabe 6
Zu jedem k > 0 ist eine Funktion fk gegeben durch
fk (t) = 80ek·t – }13 e2k·t = 80ek·t – }13 (ek·t)2; t * R
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der t-Achse, die Hoch-, Tief- und Wendepunkte
sowie die Asymptoten des Graphen von fk.
b) Begründen Sie, dass der folgende Graph zu f0,5 gehört.
f(t)
–2
2
4
6
8
10
12
t
c) Die t-Achse und der Graph von fk begrenzen eine bis „ins Unendliche reichende“
Fläche. Berechnen Sie die Gleichung der zur t-Achse senkrechten Geraden g, die diese
Fläche in zwei Teilflächen einteilt, sodass der Inhalt der linken Teilfläche dreimal so groß
ist wie der Inhalt der rechten Teilfläche.
d) Der Graph von f0,5 (siehe Aufgabenteil b)) zeigt den Verlauf einer Schädlingspopulation
in einem Wald während der Bekämpfung mit einem Pestizid, beginnend bei t1 = 0 und
endend zu der Zeit t2, ab der keine Schädlinge im Wald mehr vorhanden sind. Dabei
gilt: 1 Einheit der Funktionswerte š 1000 Schädlingen; 1 Einheit der t-Werte š 1 Tag
1. Beschreiben Sie kurz den Verlauf der Population in dem Intervall [t1; t2].
Gehen Sie dabei auf die Größe und auf die Wachstumsgeschwindigkeit der
Schädlingspopulation ein.
2. 18 Stunden bevor die Population am stärksten wuchs, wurde das Pestizid über dem
Wald versprüht. Bestimmen Sie den Zeitpunkt und die Anzahl der Schädlinge zu
diesem Zeitpunkt.
3. Jeder Schädling vertilgt pro Tag 3 cm2 Blattfläche. Wie viel Blattfläche wurde von
den Schädlingen insgesamt gefressen?
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Kurvendiskussion
einer Exponentialfunktion
[88, 106, 98]
b) – d) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion
[88, 106]
11
3086_Buch.indb 11
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A Abituraufgaben
 Aufgabe 7
x
e
a) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = }}}
(ex + 1)2
1. • Lassen Sie den Graphen von f plotten und übertragen Sie ihn in ein geeignetes
Koordinatensystem auf Papier.
• Beweisen Sie die vermutete Symmetrieeigenschaft von f.
ex – 1
• Zeigen Sie, dass F mit F (x) = }}}
eine Stammfunktion von f ist und berech2 (ex + 1)
nen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im
Intervall [–1,3 | 1,3].
t
• Begründen Sie folgenden Grenzwert: A = lim ∫ f (x) dx = 1
t ¥ ∞ –1
2. Variante von Aufgabenteil a) 1.
• Lassen Sie den Graphen von f plotten und übertragen Sie ihn in ein geeignetes
Koordinatensystem auf Papier.
• Beweisen Sie die vermutete Symmetrieeigenschaft von f.
• Berechnen Sie die Wendepunkte und bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen
dem Graphen und der x-Achse im Intervall zwischen den Wendestellen.
(
• Begründen Sie folgenden Grenzwert: A = lim
(
)
t
∫ f (x) dx
t ¥ ∞ –1
)
=1
b) Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Gaußschen
1
phi-Funktion v mit v (x) = }}
· e–0,5x
Î}}
2
2p
Vergleichen Sie die Graphen der beiden Funktionen f und v miteinander, indem Sie
mindestens zwei wesentliche Übereinstimmungen und zwei wichtige Unterschiede auffinden und rechnerisch begründen.
c) Beide Graphen sind Glockenkurven.
• Durch Streckung und Stauchung lässt sich der Graph von f dem von v anpassen.
}
Führen Sie dies durch und geben Sie einen Term für die Näherungsfunktion f an.
k
}
• Als Maß für die Güte der Anpassung wird das Integral ¯ (k) = ∫ (v (x) – f (x)) dx vorge–k
schlagen.
}
k
1
2
3
Mit einer geeigneten Näherung für f
0,0187
0,0328
0,0136
¯
erhält man folgende Werte:
Nehmen Sie Stellung zu diesem Gütemaß und machen Sie Verbesserungsvorschläge
(die Sie mit Rechnungen begründen sollen).
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Kurvendiskussion
einer Exponentialfunktion
[88, 106, 98]
b) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Kurvendiskussion
der Gaußschen Glockenkurve
[88, 106, 98]
c) Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion
[88, 106]
12
3086_Buch.indb 12
20.05.2007 11:41:24
1 Analysis
 Aufgabe 8
Nach der Fällung einer 200 Jahre alten Rotbuche wurde anhand der Jahresringe
der Stammdurchmesser bestimmt. Die folgende Tabelle gibt einen Auszug aus den
Messdaten:
Alter in Jahren
0
25
50
75 100 125 150 175 200
Durchmesser in Metern 0,05 0,26 0,40 0,85 1,05 1,20 1,23 1,24 1,26
a) Zeichnen Sie die Messpunkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Skizzieren Sie
eine Kurve, die auch den weiteren Verlauf des Durchmessers prognostizieren könnte,
und beschreiben Sie den Wachstumsprozess in Worten.
Modellieren Sie die Entwicklung des Durchmessers während der ersten 75 Jahre
als exponentielles Wachstum. In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Dicke des
Baumes nach Ihrem Modell? Beurteilen Sie dieses Modell.
5
für x * [0; 200] ist ein weiteres Modell, um das
b) Die Funktion d (x) = }}}}}}
100 · e–0,05 · x + 4
Wachstum des Baumdurchmessers zu beschreiben. Zu welchem Zeitpunkt hatte nach
diesem Modell der Baum eine Dicke von 1 m?
Wann wächst der Baum nach diesem Modell am schnellsten und wie schnell wächst
er dann?
c) Max hat ein anderes Modell gewählt:
„Eine kubische Regression führt doch zu einem wesentlich einfacheren Funktionstyp:
n (x) = –2,08 · 10–7 · x3 + 2,48 · 10–5 · x2 + 9,34 · 10–3 · x + 2,04 · 10–2.
Damit erhalte ich folgende Tabellenwerte – gerundet auf zwei Nachkommastellen –
und die sind doch nicht schlechter als die Werte von Funktion d.“
x
n (x)
d (x)
0
0,02
0,05
25
0,26
0,15
50
0,52
0,41
75
0,77
0,79
100
0,99
1,07
125
1,17
1,19
150
1,28
1,23
175
1,30
1,25
200
1,22
1,25
Vergleichen Sie die beiden Anpassungen. Welche ist besser? Geben Sie eine quantitative und qualitative Begründung.
d) Durch Untersuchungsergebnisse an weiteren Buchen hat man festgestellt, dass sich
allgemein das Wachstum der Durchmesser durch die folgende Funktion beschreiben
5
lässt: dp (x) = }}}}}
p · e–0,05 · x + 4
Betrachten Sie für verschiedene Werte für p den jeweiligen Graphen. Welchen
Einfluss übt der Faktor p auf den Verlauf des Graphen aus? Wie verändert sich demnach das Wachstum des Baumdurchmessers in Abhängigkeit von p?
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) – d) Exponentialfunktion
[88]
13
3086_Buch.indb 13
20.05.2007 11:41:25
A Abituraufgaben
2
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
Aufgabe 9
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
2x1
x1
–3x1
–
–
+
3x2
2x2
9x2
–
–
+
x3
x3
tx3
=
=
=
–4
–3
15
a) Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t ≠ 6 eindeutig lösbar ist.
b) Bestimmen Sie für t = 6 die Lösungsmenge.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte S12, S13 und S23 der Geraden mit der Gleichung
_›
() ( )
1
–1
0
1
g: x = 2 + r · –1 , r * R, mit den drei Koordinatenebenen und zeichnen Sie die
Gerade in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Die Lage bezüglich der drei Koordinatenachsen muss dabei eindeutig zu erkennen sein.
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die drei Punkte S13, S23 und
den Nullpunkt gebildet wird. Beschreiben Sie Ihren Lösungsweg.
e) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade die 1-2-Ebene? Erläutern Sie Ihren
Lösungsweg.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) und b) Lösbarkeit und Lösungsverfahren für lineare
Gleichungssysteme mit drei Variablen
c) Lageuntersuchungen/Schnittpunkte bei Geraden und Ebenen
d) Skalarprodukt, Abstand, Vektorlänge, Orthogonalität
e) Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
[108]
[101]
[113, 81]
[110]
14
3086_Buch.indb 14
20.05.2007 11:41:25
2 Lineare Algebra / Analytische Geometrie
Aufgabe 10
Das Dach eines Turmes hat die
Eckpunkte A (3 | –3 | 0), B (3 | 3 | 0),
C (–3 | 3 | 0), D (–3 | –3 | 0) und S (0 | 0 | 6).
6
x3
5
a) Zeichnen Sie diese Punkte in ein
4
der Vorgabe entsprechendes Koordinatensystem ein und benennen
3
–6
Sie die geometrische Form des
–5
Daches.
2
–4
b) Die Dachfläche BCS liegt in der
–3
Ebene E. Bestimmen Sie eine
1
–2
Koordinatengleichung von E.
–1
(Mögliches Ergebnis: 2x2 + x3 = 6)
x2
c) Zur Verstärkung des Dachstuhls
–3
–2
–1
1
2
3
1
wird ein Stab eingezogen, der
–1
2
von C ausgeht und die Kante AS
3
senkrecht im Punkt F abstützt.
–2
Berechnen Sie die Koordinaten
4
von F sowie die Länge dieses
5
–3
Stützstabes. Beschreiben Sie den
6
x1
Lösungsweg.
d) Durch eine quadratische Öffnung A’B’C’D’ mit A’ (0,5 | –0,5 | 0) und B’ (0,5 | 0,5 | 0) soll
der Dachboden mit Hilfe einer Leiter, die mittig an eine der vier Kanten der Öffnung
angelehnt wird, betreten werden können. Beurteilen Sie, ob die beiden Stützstäbe,
die zwischen den Punkten G (0 | –3 | 0) und H (0 | 1,8 | 2,4) bzw. zwischen den Punkten
C (–3 | 3 | 0) und F (1 | –1 | 4) eingezogen wurden, das Betreten des Dachbodens mittels
der Leiter behindern. (1 LE entspricht 1 m.)
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) und b) Ebenengleichungen in Parameter- und
Koordinatenform
c) Skalarprodukt, Abstand, Vektorlänge, Orthogonalität
d) Ähnlichkeit (Strahlensätze), Geraden
[86]
[113, 81]
[81, 89]
15
3086_Buch.indb 15
20.05.2007 11:41:25
A Abituraufgaben
Aufgabe 11
_›
() ( )
1
–1
0
1
a) Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung x = 2 + r · –1 , r * R.
Berechnen Sie die Schnittpunkte S12, S13 und S23 der Geraden g mit den drei Koordinatenebenen und zeichnen Sie die Gerade in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Die
Lage bezüglich der drei Koordinatenachsen muss dabei eindeutig zu erkennen sein.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die drei Punkte S13, S23 und
den Nullpunkt gebildet wird. Beschreiben Sie Ihren Lösungsweg.
c) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die 1-2-Ebene?
d) Die durch das Dreieck in Aufgabenteil b) festgelegte Ebene wird von einer zweiten
_›
() ( ) ( )
1
–2
4
3
3
2
Ebene x = 2 + s · 1 + k · –1 , s, k * R, geschnitten.
Berechnen Sie die Schnittgerade.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a)
b)
c)
d)
Lageuntersuchungen/Schnittpunkte bei Geraden und Ebenen
Skalarprodukt, Abstand, Vektorlänge, Orthogonalität
Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Schnittgerade zweier Ebenen
[101]
[113, 81]
[120]
[102]
16
3086_Buch.indb 16
20.05.2007 11:41:25
2 Lineare Algebra / Analytische Geometrie
 Aufgabe 12
a) Die Eckpunkte A (1 | 1 | 0), B (1 | –1 | 2), C (–1 | –1 | 0) und D (–1 | 1 | 2) bilden einen
räumlichen Körper. Zeichnen Sie diese Punkte in ein der Vorgabe entsprechendes
Koordinatensystem ein.
x3
b) Zeigen Sie, dass dieser Körper ein regelmäßiges
Tetraeder ist. Erläutern Sie Ihre
1
Überlegungen bei der Lösung.
x2
c) Zeigen Sie, dass die Punkte A,
3
C und D in der Ebene E mit
2
der Gleichung
1
E: x1 – x2 + x3 = 0 liegen.
x1
–1
1
–1
Berechnen Sie den Schnitt–2
punkt dieser Ebene mit der–3
jenigen Geraden, die durch
–1
den Punkt B geht und die
senkrecht auf der Ebene E
steht. Welchen Abstand hat
der Punkt B von der gegen–2
überliegenden Tetraederfläche?
d) (Diese Teilaufgabe ist nur dann zu bearbeiten, falls in 12 II die Lehrplanvariante
„Fortführung der Analytischen Geometrie“ im Unterricht behandelt wurde.)
Auf der 1-2-Ebene liegt auf dem Punkt P (10 | –10 | 0) eine Kugel mit dem Radius r = 1.
Diese rollt nun geradlinig auf dieser Ebene auf den Ursprung des Koordinatensystems
zu, bis sie die von den Eckpunkten A, B und C gebildete Seitenfläche F des
Tetraeders berührt. Bestimmen Sie für diese Endlage der Kugel die Koordinaten des
Kugelmittelpunktes M und des Berührpunktes G der Kugel mit der Seitenfläche F des
Tetraeders.
17
3086_Buch.indb 17
20.05.2007 11:41:26
A Abituraufgaben
e) (Diese Teilaufgabe ist nur dann zu bearbeiten, falls in 12 II die Lehrplanvariante
„Matrizen und lineare Abbildungen“ im Unterricht behandelt wurde.)
Eine Abbildung a : R3 ¥ R3 heißt lineare Abbildung, wenn a die Linearitätseigen_› _›
_›
_›
_›
_›
schaften (L1) a ( x + y ) = a ( x ) + a ( y ) und (L2) a (r · x ) = r · a ( x ) erfüllt.
Begründen Sie mit einer kurzen
dass bei einer solchen Abbildung der
_› Rechnung,
_›
Nullpunkt fest bleibt, d. h. a (0) = 0 ist.
Symmetrieabbildungen des Tetraeders sind Abbildungen, bei denen die Bilder der vier
Eckpunkte wieder vier Eckpunkte des Tetraeders sind, z. B. eine Abbildung, bei der
die Punkte A und C fest bleiben und die Punkte B und D vertauscht werden. Geben
Sie alle Symmetrieabbildungen des Tetraeders an, die gleichzeitig lineare Abbildungen
sind. Beschreiben Sie die Abbildungen anschaulich und geben Sie die zugehörigen
Matrizen an.
Notwendige Kenntnisse bzw. Anforderungen
a) und b) Zeichnerische Darstellung mit räumlicher Wirkung,
Abstand
c) Ebene, Orthogonalität, Abstand
d) Gerade, Ebene, Kugel
e) Lineare Abbildung, Matrizenrechnung
[81]
[86, 110, 81]
[89, 86, 92]
[103, 107]
18
3086_Buch.indb 18
20.05.2007 11:41:26
2 Lineare Algebra / Analytische Geometrie
 Aufgabe 13
Eine quadratische Pyramide (Grundkante 4 und Höhe 6) steht neben einer Stufe.
x3
S = (2, 2, 6)
St3
St1
2
St2
St4
P4
8
6
B6 = (8, –10, 0)
P1
B3
B5
P2
4
4
4
x2
P3
B2
B4
x1
Die Sonne scheint und wirft einen Schatten der Pyramide auf der Stufe.
_›
( )
0,75
Die Richtung der Sonnenstrahlen ist v = –2,5 .
–1
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Spitze, die den Richtungs_›
vektor v hat (Sonnenstrahl durch die Spitze der Pyramide). Zeigen Sie, dass die
Punkte P (5 | –8 | 2) und Q (6,5 | –13 | 0) auf dieser Geraden liegen, und erklären Sie, wie
man mithilfe des Punktes Q entscheiden kann, welche Pyramidenflächen in der Sonne
liegen.
b) Die Punkte (5,2 | – 4 | 0) und (4,4 | – 4 | 2) liegen auf dem Schattenrand. Zeichnen Sie
den Schatten der Pyramide, nachdem Sie die noch fehlenden Punkte berechnet
haben. Erläutern Sie Ihren Lösungsweg.
c) Beschreiben Sie, wie man den Winkel berechnen kann, unter dem die Sonnenstrahlen
auf eine Pyramidenfläche auftreffen. Bestimmen Sie diesen Winkel für eine der beiden Pyramidenflächen, die in der Sonne liegen.
d) Die Darstellung eines räumlichen Objekts auf dem Bildschirm ist eine lineare
Abbildung des 3D-Raums in den 2D-Raum.
Im Bild auf Seite 20 ist eine lineare Abbildung des zweidimensionalen Raums dargestellt. Bestimmen Sie die zugehörige Matrix und erläutern Sie Ihre Überlegungen.
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3086_Buch.indb 19
20.05.2007 11:41:26