Aufgaben

Aufgaben zum Thema »Binomialverteilung«
Aufgaben zur Binomialverteilung
1.Aufgabe
Ein Jäger trifft sein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
erzielt er bei zehn Schüssen mehr als sechs Treffer?
2.Aufgabe
In einem »Nachrichtenkanal« wird ein Zeichen mit der Wahrscheinlichkeit
richtig übertragen. Eine Nachricht besteht aus acht Zeichen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
werden höchstens zwei Zeichen falsch übertragen?
3.Aufgabe
Bei einem Automaten gewinnt man in 30% aller Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man a) bei 10 Spielen, b) bei 20 Spielen achtmal gewinnt?
4.Aufgabe
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bienenvolk einen harten Winter überlebt, ist 0,4.
ein Imker besitzt 6 Völker. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 einen
harten Winter überleben?
5.Aufgabe
Ein gefälschter Würfel ist so konstruiert, dass die einzelnen Augenzahlen mit folgenden
Wahrscheinlichkeiten auftreten:
Augenzahl
a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Beim 6-maligen Wurf treten alle Zahlen auf.
B: Beim 10-maligen Wurf tritt mindestens 8-mal die 5 auf.
C: Bei 50 Würfen tritt höchstens 10-mal eine Zahl auf, die größer als 4 ist.
b) Wieviel Mal tritt duchschnittlich beim 20-maligen Werfen eine gerade Zahl auf?
c) Nun wird obiger Würfel mit einem Laplace-Würfel zusammen geworfen. Berechne
die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignsse:
D: Mindestens ein Würfel zeigt eine ungerade Zahl.
E: Die Augensumme ist größer als 2.
d) Beide Würfel werden 20-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2-mal einen Pasch (zwei gleiche Zahlen) zu werfen?
6.Aufgabe
In einer Pressenotiz ist zu lesen, dass ungefähr 20 % aller Schulkinder an Übergewicht
leiden. Ein Arzt untersucht daraufhin Schüler einer Schule, die er aus der Schulkartei
zufällig auswählt.
a) Es werden zunächst 10 Schüler untersucht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der
folgenden Ereignisse:
A: Keiner der Schüler hat Übergewicht.
B: Nur die ersten drei Schüler haben Übergewicht.
C: Mindestens ein und höchstens drei Schüler haben Übergewicht.
b) Angenommen, die Pressenotiz trifft zu. Wie viele Schüler muss ein Arzt mindestens
untersuchen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 90 % mindestens zwei
Übergewichtige findet?
7.Aufgabe
Ein Gemeinderat hat 25 Mitglieder. Fünf sind fest überzeugt, eine Resolution zu verabschieden. Der Rest sind (Laplace-)Unentschiedene. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
bei einer Resolution die Resolution angenommen?
Aufgaben zum Thema »Binomialverteilung«
, : Anzahl der Treffer,
"! #$% &' (.)*
Lösung zu Aufg. 1
Bernoulli-Kette der Länge
Trefferwahrscheinlichkeit
GTR: SECOND - DIST - 0; in binompdf sind dann nacheinander die Parameter
anzugeben, dann der zu bearbeitende X-Wert.
»binompdf« bedeutet »binomial probability function«; damit werden einzelne Wert berechnet. Besser
ist hier die Aufsummierung von Werten - mit »binomcdf« (c für »cumulation«).
und
Nebenbei angemerkt: man
kann die Werte der Binomialverteilung aus der
zugehörigen Funktion bekommen und sie darstellen lassen, auch die TABLE
dazu ist gut verwendbar. Ebenso auch die kumulierte Funktion (hier nicht gezeigt).
+ ,-
$% "! # &' ' Lösung zu Aufg. 3
Bernoulli-Kette der Länge , : Anzahl der gewonnen Spiele
Gewinnwahrscheinlichkeit ,- .
&+ * %
Lösung zu Aufg. 4
Bernoulli-Kette der Länge , : Anzahl der überlebenden Völker,
Überlebenswahrscheinlichkeit & .
"! #./ &' **%
Lösung zu Aufg. 2
Bernoulli-Kette der Länge
, : Anzahl der richtig übertragenen Zeichen
zugehörige Wahrscheinlichkeit ist
.
Lösung zu Aufg. 5
a) Ereignis A hat - zur Abwechslung - nichts mit einer Bernoullikette zu tun. Zu A gehört
z.B. das Ergebnis
, das die Wahrscheinlichkeit
hat.
Aber es gehören auch alle Permutationen dazu, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
/
32 40 50 60 70 ' 60 ' 60 ' 10 10 10 10 10 Bei Ereignis B geht es um »5 oder nicht 5«, also um ein Bernoulli-Experiment, und zwar
bei 10-facher Durchführung. Die Zufallsvariable zählt die auftretenden 5-er (p = 0,25).
1 - binomcpf(10,0.25,7)
Bei Ereignis C zählt die Zufallsvariable die Anzahl der Würfe mit »Augenzahl größer
4«, also 5 oder 6. Das Vorkommen dieser beiden Augenzahlen hat zusammen die Wahr-
98 :
+ ;! , <
#* & =
Aufgaben zum Thema »Binomialverteilung«
"> / 9? #. scheinlichkeit
. Also ist geht es um eine Bernoullikette der Länge 50 und
die Trefferwahrscheinlichkeit
.
binomcpf(50,0.3,10)
b)
zählt die Würfe mit ungeradem Ergebnis (
).
Der Erwartungswert ist
.
c)
Jetzt werden der gefälschte Würfel und ein
Laplace-Würfel gemeinsam geworfen - die
Reihenfolge spielt keine Rolle. Deshalb kann das
Experiment durch das nebenstehende Baumdiag
u
gramm modelliert werden:
- +
@ A 0 B 0 / =
'+ 9C + 70 ' ;> + 7 0 ' "> ' /D0 ' - ,3C "! /60 besser
=
FE
FE
u
g
FE
FE
u
g
9C Würfel 1 gerade G Würfel 2 ungerade
Würfel 1 ungeradeH> Würfel 2 ungerade1! , beide Würfel zeigen ungerade -+ ;> 6! + D0 ,
Augensumme ist 2) J! ' 50 KE EE3LM
und schließlich @I "!
d)
/N> N>0=0=0 -' 70 KE > D0 KE >$0=0=0 K%E O
Berechne zuerst Pasch E
zählt die Anzahl
der Paschs bei 20 mal »2 Würfel
werfen«; 9B K E
"! #./ "! binomcpf(20, K ,1) J! ' = &+ Lösung zu Aufg.
,2 -+ E3P &6 Q
98 (RS0 '+TU- =
a)
9? erfordert : Anzahl der übergewichtigen Schüler unter 10 , V,- 9? 5#WX#$ #$%Y! # binomcpf(10,0.2,3) ! binomcpf(10,0.1,0) + ;! ' Q - '/
b) Diesmal ist die Länge der Bernoullikette gesucht.
Man geht also aus von : Anzahl der übergewichtigen Schüler unter n. Kettenlänge n (ist
zu ermitteln) und -' ,
, # = \ #./_^ ' .
Ansatz: :-*[Z ]\ "!
ODER (mit dem Additionssatz):
Nun sucht man die von Taschenrechner gebildete Tabelle durch, ab welchem n - im Taschenrechner die Unbekannte X - die letzte Ungleichung erfüllt ist.
Ergebnis: die Ungleichung
ist zum ersten Mal bei n =
18 richtig.
Lösung zu Aufg. 7
zähle die Unentschiedenen, die mit Ja stimmen werden, unter 20 Personen. (p = 0,5)
8 Ja-Sager würden zur Annahme der Resolution genügen.
+ "! # "! = + +