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Kurs 13ma2
Klausur Nr. 1 - Lösungen
25.09.2008
1. Aufgabe: a) Beim „Mensch-ärgere-Dich-nicht“ darf man bei einer Sechs starten. Man hat
bis zu drei Versuche. Wie groß ist die W., dass der Start gelingt?
E : „6“ fällt beim ersten, zweiten oder dritten Versuch
X : Anzahl der Versuche bis zur „6“
1 5 1 5 5 1 91
P( E ) = P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) = + ⋅ + ⋅ ⋅ =
≈ 0 , 4213
6 6 6 6 6 6 216
Der Start gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 42,13%.
Bei dem nun folgenden Spiel werden zwei „gezinkte“ Würfel verwendet.
Würfel 1 hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Würfel 2 hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung
1
0,1
2
0,2
3
0,3
4
0,2
5
0,1
6
0,1
1
0,2
2
0,1
3
0,1
4
0,1
5
0,2
6
0,3
b) Wir werfen erst Würfel 1, dann Würfel 2 und notieren danach die
Augensumme. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese ≥ 9 ist?
Entwerfen Sie zur Lösung der Aufgabe ein (für diese Situation relevantes)
„eingeschränktes“ Baumdiagramm.
E : Augensumme größer oder gleich 9
E = {36 , 45, 46 ,54 ,55,56 ,63,64 , 65,66}
P ({36} ) = 0 ,32
P ({54} ) = 0 ,12
P ({45} ) = 0 , 22
P ({55} ) = 0 ,1 ⋅ 0 , 2
P ({46} ) = 0 , 2 ⋅ 0 ,3
P ({56} ) = 0 ,1 ⋅ 0 ,3
........................
Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme ≥ 9 zu werfen ist P( E ) = 0,32
c) Wenn ein Lehrer die Noten gemäß den obigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen vergeben würde, was wären dann die Durchschnittsnoten
und wie sähe der Klassenspiegel bei einer Schülerzahl von 30 jeweils aus?
Durchschnittsnoten:
Würfel 1 : 3,3
Klassenspiegel :
Würfel 1
Würfel 2
1
3
6
Würfel 2 : 3,9
2
6
3
3
9
3
4
6
3
5
3
6
6
3
9
2. Aufgabe: Bei dem abgebildeten Glücksrad tritt jedes der zehn Felder
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Das Glücksrad wird
zehnmal gedreht.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
A: Es tritt höchstens einmal die 1 auf
B: Es tritt mindestens einmal die 5 auf
C: Es tritt genau sechsmal die 7 auf
D: Es tritt mindestens dreimal, aber höchstens sechsmal die 7 auf
E: Es tritt beim 10. Versuch zum 5.Mal die 7 auf
Beschreiben Sie im obigen Sachzusammenhang das Ereignis F, welches die
folgende Wahrscheinlichkeit hat: P ( F ) = 10 ⋅ 0,33 ⋅ 0, 77
3
b) Wie viele Fünfen sind im Durchschnitt zu erwarten?
c) Es wird folgendes Spiel angeboten: Der Einsatz pro Spiel beträgt 4 Euro.
Dann wird das abgebildete Glücksrad dreimal gedreht. Bei drei Einsen
erhält der Spieler 100 Euro ausbezahlt, bei drei Fünfen 50 Euro und bei drei
Siebenen 10 Euro. Ist das Spiel für den Spieler langfristig günstig?
d) Wie muss der Einsatz bei dem Spiel aus c) geändert werden, damit das
Spiel fair wird?
( )
Lösungen:
Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten für die gesamte Aufgabe:
1
Für die Zahlen
„1“: p1 = = 0,1
10
3
= 0,3
„5“: p5 =
10
6
= 0, 6
„7“: p7 =
10
a) A: X: Anzahl der Einsen
X ist binomialverteilt mit n=10 und p1 =
1
= 0,1
10
P(X≤1) = binomcdf(10,0.1,1) = 0,736=73,6%
B: X: Anzahl der Fünfen
X ist binomialverteilt mit n=10 und p5 =
3
= 0,3
10
P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - binompdf(10,0.3,0) ≈ 0,972 = 97,2%
C: X: Anzahl der Siebenen X ist binomialverteilt mit n=10 und p7 =
P(X=6) = binompdf(10,0.6,6) ≈ 0,251 = 25,1%
6
= 0, 6
10
6
= 0, 6
10
P(3≤X≤6) = P(X≤6) - P(X≤2) =binomcdf(10,0.6,6) - binomcdf(10,0.6,2)
≈ 0,605 = 60,5%
6
E: X: Anzahl der Siebenen X ist binomialverteilt mit n=10 und p7 = = 0, 6
10
P(X=4) = binompdf(9,0.6,4) ≈ 0,167
Da beim 10.Versuch feststeht, dass eine sieben kommen muss, multipliziert man das Ergebnis noch mit 0,6. 0,6 P(X=4) =0,1002=10,02%
F: „Es tritt genau dreimal die fünf auf“
Begründung:
3
= 0,3
X: Anzahl der Fünfen X ist binomialverteilt mit n=10 und p5 =
10
10
Dann ist P(F)=P(X=3) = 3 ⋅ 0,33 ⋅ 0, 77
D: X: Anzahl der Siebenen X ist binomialverteilt mit n=10 und p7 =
( )
b) Da es sich bei X: „Anzahl der Fünfen“ um eine binomialverteilte
3
= 0,3 handelt, ist es zulässig den
Zufallsgröße mit n=10 und p5 =
10
Erwartungswert mit E(X)= n ⋅ p5 zu berechmen:
E ( X ) = n ⋅ p5 = 10 ⋅ 0,3 = 3 Es sind also drei Fünfen zu erwarten.
c) X: Reingewinn in Euro €
Es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X=k
96
46
6
-4
P(X=k)
1
27
216
756
1000
E ( X ) = 96 ⋅
1000
1000
1000
1
27
216
756
390
+ 46 ⋅
+ 6⋅
+ (−4) ⋅
=−
= −0,39
1000
1000
1000
1000
1000
Das Spiel ist nicht fair, da man im Mittel pro Spiel 0,39 € verliert.
d) Ansatz: Gewinn und Verlust müssen sich ausgleichen, d.h. E(X)=0.
Dies ist genau der Fall, wenn der Einsatz um 0,39 € auf 3,61 € gesenkt wird.
3. Aufgabe: aus „Integration von straffällig gewordenen Kindern und Jugendlichen“, DRK 2008
„Die Beispiele zeigen, dass jugendtypische Verhaltensweisen oftmals fließend
in das übergehen, was gegen die gesetzliche Norm verstößt. Und angesichts
dieser Beispiele überrascht es kaum, dass die Dunkelfeldforschung davon
spricht, dass fast 90 Prozent aller jungen Männer irgendwann einmal im Kinderund Jugendalter gegen strafrechtliche Normen verstoßen haben.“
Aufgabe: Entwerfen und kommentieren Sie ein zur Situation passendes
Experiment nach den Prinzipien der Dunkelfeldforschung, mit
dem sich die normalerweise unbekannte Wahrscheinlichkeit p
bestimmen lässt und als Ergebnis den Wert 90% hat.
Lösung : Frage: „Stimmt es, dass Du schon einmal einen Ladendiebstahl
begangen hast?“
Es wird nun eine Münze geworfen. Zeigt sie „Kopf“, soll der Befragte ehrlich
antworten, zeigt sie Zahl, soll er mit „ja“ antworten.
Das Ergebnis der Befragung ist: Bei 180 Befragten ergeben sich 171 mal „Ja“.
Das ergibt folgendes Baumdiagramm:
Es ist 171 = x + 180 − x − 9
Entsprechend den Wegen im Baumdiagramm lässt sich nun der Anteil der
jugendlichen „Täter“ ermitteln: 171 = 180 ⋅ 0 ,5 ⋅ p + 180 ⋅ 0 ,5
Es ergibt sich für p (wie verlangt) :
p = 0 ,9 = 90%