Technische Mechanik II Vortragsuebungen
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Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 1 Aufgabe 1 y Eine Gerade dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇ um den Punkt O und schneidet einen durch O gehenden ortsfesten Kreis im Punkt P. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Punktes P als Funktion von ω und ϕ. P r ϕ ω x O Aufgabe 2 Ein Raketenwagen fährt auf einer kurvigen Straße und beschleunigt mit der Beschleunigung a = β v 2 (β > 0, β = const., v > 0). Zum Zeitpunkt t = 0 s hat er die Strecke s = s0 zurückgelegt. An diesem Ort beträgt seine Geschwindigkeit v = v0 . Bestimmen Sie die Ortskoordinate s als Funktion der Zeit. Aufgabe 3 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111 x ,v 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 L g Eine Last L wird aus einem Flugzeug abgeworfen. Sie hat beim Abwurf (t = 0 s) die vertikale Geschwindigkeit v = 0 ms . Auf die Last wirkt die Erdbeschleunigung g und eine Verzögerung (=negative Beschleunigung) k v 2 (k > 0) in Folge des Luftwiderstandes. Bestimmen Sie v(t) und die maximal mögliche Grenzgeschindigkeit vmax . Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 2 Aufgabe 4 A Ein Schlitten rutscht aus der Ruhe heraus gleichförmig beschleunigt einen Abhang AB herunter. Anschließend gleitet er gleichförmig verzögert weiter und kommt schließlich im Punkt C zum Stillstand. Für die gesamte Strecke AC benötigt der Schlitten die Zeit T . Wie groß ist die Beschleunigung a1 und die Verzögerung a2 , wenn die Strecken s1 und s2 sowie die Zeit T bekannt sind? s 1 , a1 s 2 , a2 B C Aufgabe 5 y Der Stab AB bewegt sich in der x , y -Ebene so, dass sein Ende A entlang einer halbkreisförmigen Rinne DAE (Radius r ) gleitet, wobei sich der Stab auf die Kante D der Rinne stützt. Bestimmen Sie B E D O r x a) den Momentanpol der Bewegung, b) die Spurkurve bezüglich des angegebenen x,y -Koordinatensystems, A c) die Polkurve. Aufgabe 6 Auf dem Cannstatter Volksfest fährt eine Person mit dem dargestellten Karussell. Die Drehgeschwindigkeiten Ω und ω sind konstant. z′ ϕ, ω ℓ Ω y′ b x ′ z x y Berechnen Sie die Beschleunigung ~aP , die auf den Kopf des Fahrgastes wirkt, im karussellfesten Koordinatensystem ~ex′ , ~ey′ , ~ez′ . Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 3 Aufgabe 7 Eine Person zieht sich in der dargestellten Weise an einem Seil eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α hoch. Das Seil wird dabei über masselose Rollen umgelenkt. Bestimmen Sie die Beschleunigung a, die die Person erfährt, wenn sie am Seil mit der Kraft S zieht. Die Gesamtmasse von Person und Wagen betrage m, das Eigengewicht des Seils sowie Reibung sind zu vernachlässigen. m α g Aufgabe 8 r µ0 g m α Ein Auto mit der Masse m durchfährt eine Steilkurve (Radius r, Neigungswinkel α ≤ π4 ) mit der konstanten Geschwindigkeit v . Der Haftungsreibungskoeffizient zwischen der Straße und den Reifen beträgt µ0 . In welchem Bereich muss v liegen, damit der Wagen nicht seitlich rutscht? Modellieren Sie das Fahrzeug als Massepunkt. Aufgabe 9 D g A B C In der Wilhelma klettern drei Affen A, B, C (Massen mA , mB und mC ) an einem Seil hoch und runter. Zum betrachteten Zeitpunkt klettert Affe A mit der Beschleunigung aA nach unten, während sich Affe C mit der Beschleunigung aC nach oben zieht. Affe B rutscht am Seil mit einer konstanten Geschwindigkeit vB nach unten. Berechnen Sie die Seilkraft SD im Aufhängepunkt. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 4 Aufgabe 10 x Bestimmen Sie die Elemente des Trägheitstensors des abgebildeten dünnen gleichschenkligen Dreiecks (Höhe h, Basis 2b, Dicke 2t, t ≪ b, h, Dichte ρ=const) für den Bezugspunkt O und die eingezeichneten Achsen. 2t z h 2b y Aufgabe 11 y Der dargestellte Körper (Dichte ρ=const.) ist aus 12 Würfeln mit Kantenlänge d zusammengesetzt. x a) Stellen Sie den Trägheitstensor im eingezeichneten xyz -Koordinatensystem bezüglich des Ursprungs O auf. b) Geben Sie die Hauptträgheitsmomente an. c) Wie lauten die Richtungen der Hauptträgheitsachsen? z Aufgabe 12 g B A M a ℓ ω ϕ S F Eine Kurbel AB (homogen, Länge r, Masse m1 ) wird im Punkt A durch ein Moment M (t) angetrieben. Am Ende der Kurbel ist ein würfelförmiges Schiebestück (masselos) angebracht, das reibungsfrei in einer Kulisse läuft. Die Kulisse bewegt einen mit ihr verbundenen Kolben (gemeinsamer Schwerpunkt S, Gesamtmasse m2 ). Der Kolben muss bei seiner Bewegung die konstante Druckkraft F überwinden. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für ω auf. b) Wie muss M (t) lauten, wenn die Drehgeschwindigkeit den Verlauf ω(t) = 2 c t (c=const., ϕ(t = 0) = 0) aufweisen soll? Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 5 Aufgabe 13 g Ein homogener Quader (Masse m) gleitet auf einer horizontalen Unterlage (Gleitreibungskoeffizient µ). Auf dem Quader rollt eine homogene Stufenscheibe √ (Masse 2m, Radir 2r en r und 2r, Trägheitsradius k = 3 r) ohne zu gleiten (Haftreibungskoeffizient µ0 ). Um die innere Welle der Stuµ0 fenscheibe ist hinreichend oft ein masseloses Seil geschlunµ F gen, dessen linkes Ende an einer Wand befestigt ist. Das Seil verläuft zwischen Wand und Stufenscheibe horizontal. Die Anordnung wird durch die am Quader angreifende, nach rechts gerichtete Kraft F > 3µmg in Bewegung versetzt. a) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Quaders in Abhängigkeit der Kraft F . b) Wie groß darf die Kraft F maximal sein, damit die Stufenscheibe nicht zu gleiten beginnt? Aufgabe 14 mS , ΘS g S B R M A K ωK r ΘK µ0 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 ℓ Ein epizyklisches Getriebe besteht aus einem fest stehenden Rad R, in dessen Mittelpunkt A eine Kurbel K reibungsfrei drehbar gelagert ist. Die Kurbel K inklusive Gegengewicht besitzt das Massenträgheitsmoment ΘK bezüglich A. Am Ende der Kurbel ist im Punkt B eine Scheibe S (Radius r, Masse mS , Massenträgheitsmoment ΘS bezüglich B) reibungsfrei drehbar gelagert angebracht. Zwischen dem Rad R und der Scheibe S herrsche Haftreibung (Haftreibungskoeffizient µ0 ). Die Erdbeschleunigung g wirke parallel zu den Drehachsen. a) Bestimmen Sie die Winkelbeschleunigung ω̇K der Kurbel, wenn ein äußeres Moment M auf die Kurbel wirkt. b) Wie groß ist die Umfangskraft U , welche die Scheibe auf das Rad ausübt? Aufgabe 15 xA d g y x M A c S ϕ m, ℓ Ein Klotz (homogen, Masse M ) gleitet reibungsfrei auf einer Unterlage und ist über eine Feder (Federkonstante c) und einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer (Dämpferkonstante d) mit einer festen Wand verbunden. Die Feder sei bei xA = 0 entspannt. Im Schwerpunkt A des Klotzes ist eine Stange (homogen, Masse m, Länge ℓ) reibungsfrei drehbar gelagert. Geben Sie die beiden Bewegungsgleichungen des Systems an. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 6 Aufgabe 16 y g m, 32 r B c r S D r 2 ϕ x A M An einer im Punkt A gelagerten Exzenterscheibe E (homogen, Masse M , Radius r) ist im Punkt B ein Pleuel P (Masse m, Länge 23 r) angebracht, das durch einen masselosen Schieber im Punkt D geführt ist. Auf den Schieber wirkt eine Feder (Federsteifigkeit c). Bei ϕ0 = 45◦ ist die Feder unbelastet. Reibungseinflüsse sind zu vernachlässigen. a) Stellen Sie die Ortsvektoren zu den Schwerpunkten von Exzenterscheibe und Pleuel in Abhängigkeit des Winkels ϕ auf. b) Geben Sie für dieses System die potentielle sowie die kinetische Energie in Abhängigkeit von ϕ und ϕ̇ an. c) Das System wird nun bei ϕ0 = 45◦ aus der Ruhe heraus losgelassen. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ der Exzenterscheibe, wenn das System die Lage ϕ = 0◦ erreicht. Aufgabe 17 y m ϕ 4r µ B x A r m ω 3r g Eine Walze (homogen, Masse m, Radius r) rollt ohne zu gleiten in einer zylinderförmigen Rinne (Radius 4r). Im Mittelpunkt A der Walze ist reibungsfrei drehbar das eine Ende einer Stange (masselos, Länge 3r) gelagert, während sich das andere Ende der Stange reibungsfrei in einer horizontalen Führung bewegen kann. Der Punkt B der Stange ist über ein Seil (masselos, undehnbar) mit einem Klotz (Masse m) verbunden. Zwischen Klotz und Unterlage tritt Gleitreibung auf (Gleitreibungskoeffizient µ). Von Haftreibung zwischen Klotz und Unterlage soll abgesehen werden. a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Punkte A und B im eingezeichneten xy -Koordinatensystem. b) Berechnen Sie die kinetische sowie die potentielle Energie des Systems . Die Anordnung wird nun bei ϕ = 0 aus der Ruhe heraus losgelassen und erreicht schließlich die Lage ϕ = 45◦ . c) Wieviel Energie wird durch Gleitreibung dissipiert? d) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω , welche die Walze bei ϕ = 45◦ erreicht. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik III WS 2010/11 VÜ-aer 7 Aufgabe 18 g c A m An einer Stange (masselos), die im Punkt A reibungsfrei drehbar gelagert ist, sind eine Feder (Federkonstante c), ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) und ein Massepunkt (Masse m) angebracht. Das System befindet sich in der dargestellten Lage im Gleichgewicht. d a a a) Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante d erfüllen, damit die Stange eine schwach gedämpfte Schwingung ausführt? Gehen Sie von kleinen Auslenkungen aus. a b) Geben Sie den Zeitverlauf der Schwingung an, wenn die Stange zu Beginn der Bewegung die Gleichgewichtslage mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙0 durchläuft? Aufgabe 19 se d 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 g m v0 c y R x L u0 u0 Ein Feder-Dämpfer-Masse-System (Masse m, Dämpfungskonstante d, Federkonstante c) überfährt mit konstanter Horizontalgeschwindigkeit v0 sinusförmige Bodenwellen (Amplitude u0 , Wellenlänge L). Die Feder ist gerade entspannt, wenn der Schwerpunkt der Masse durch se = 0 beschrieben ist und das Rad R gerade die Lage y = 0 durchfährt. Der Dämpfer und die Feder sind als masselos zu betrachten. Der Radius des Rades ist zu vernachlässigen. Das System bleibt stets vertikal. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und ermitteln Sie die Erregerkreisfrequenz Ω. b) Wie groß ist die Amplitude s0 der Schwingung der Masse in Abhängigkeit von v0 ? c) Wie groß ist die kritische Horizontalgeschwindigkeit vk , d.h. die Geschwindigkeit, für die bei verschwindender Dämpfung der Resonanzfall auftritt?
