Aufgaben zur Wellenlehre - gilligan

Aufgabe 1:
Ein Wellenpuls breitet sich in positive x-Richtung aus. Er wird durch folgende Wellenfunktion beschrieben:
y ( x, t )
2 cm
( x 3 cm s 1 ˜t ) 2 cm 2 1
Skizzieren Sie die Wellenpulse für die drei Zeitpunkte t 0
0 s , t1
1 s , t2
2 s.
Aufgabe 2:
Zur Zeit t 0 s wird ein transversaler Wellenpuls in einer Saite beschrieben durch
6 cm
Welche Funktion y ( x, t ) beschreibt diesen Wellenpuls, wenn er sich in positiver
x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit c
4,5 cm s 1 ausbreitet?
Aufgabe 3:
Ein Draht (konstanten Querschnitts) hat eine Masse m 0,3 kg und eine Länge
L 6 m . Ein Ende des Drahts ist an einer Wand befestigt, das andere Ende wird
über eine Umlenkrolle durch einem Klotz der Masse M 2 kg gespannt.
Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit c für eine elastische Transversalwelle im
Draht?
Aufgabe 4:
Eine Saite wird an einem Ende mit der Frequenz f 5 Hz zu harmonischer Wellenausbreitung angeregt. Die Amplitude der Welle ist A 12 cm , die Ausbreitungsge-
schwindigkeit c 20 m s 1 .
(a) Bestimmen Sie Kreisfrequenz und Wellenzahl und geben Sie die Gleichung der
Welle an.
Bestimmen Sie für jeden Ort der Saite
(b) die maximale Geschwindigkeit v max ,
(c) die maximale Beschleunigung amax .
Aufgabe 5:
Eine ebene Schallwelle in Luft wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
y 5˜10 4 m˜sin(1980 s 1 ˜t 6 m 1˜x )
Bestimmen Sie für diese Welle:
(a) die Frequenz f,
(b) die Wellenlänge O,
(c) die Ausbreitungsgeschwindigkeit c,
(d) und die Geschwindigkeitsamplitude (oder Schnelleamplitude) v̂ .
(e) Wie groß ist die Energiestromdichte ( Intensität) und der Schallintensitätspegel?
Grundkurs Physik
-2-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
2
§ x ·
¸ 3
¨
© cm ¹
KURZ
0 s)
Günt her
y ( x, t
Aufgabe 6:
Eine sinusförmige Welle breitet sich in positive x-Richtung aus. Die Amplitude ist
A 15 cm , die Wellenlänge O 40 cm und die Frequenz f 8 Hz . Zum Zeitpunkt
t 0 s ist y(x 0 ) ebenfalls gleich 15 cm .
(a) Bestimmen Sie die Wellenzahl k , die Periode T , die Kreisfrequenz Z und die
Phasengeschwindigkeit c dieser Welle.
(b) Wie groß ist der Phasenwinkel M, der zum Zeitpunkt t 0 s am Ort x
Phase bestimmt und wie lautet die Gleichung y ( x, t ) der Welle?
0 cm die
0 .1
y/mm
0 .0 5
0
-0 .0 5
-0 .1
-0 .1 5
-0 .2
-5
0
5
10
x/c m
15
20
25
Zusätzlich beobachtet man an einem festen Ort A, dass im Zeitintervall 't
insgesamt Z 120 Wellenberge nach links vorbeilaufen.
0,75 s
Bestimmen Sie für diese Welle
(a) die Amplitude A,
(b) die Wellenlänge O ,
(c) die Periodendauer T,
(d) die Phasengeschwindigkeit c.
(e) Geben Sie die Funktion y ( x, t ) an, die die Wellenausbreitung beschreibt.
(f) Kann aus der gegebenen Information der Nullphasenwinkel M 0 in der
Funktion y ( x, t ) bestimmt werden?
Grundkurs Physik
-3-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
0 .1 5
Günt her
0 .2
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Aufgabe 7:
Die Momentaufnahme einer nach links laufenden Welle zeigt für einen vorgegebenen, festgehaltenen Zeitpunkt t folgendes Bild.
Aufgabe 8:
Geben Sie die Gleichung einer harmonischen Welle mit der Amplitude yˆ 5 cm und
der Wellenlänge O 1 m an, die sich in positive x-Richtung mit der Geschwindigkeit
c 30 m s 1 ausbreitet. Am Ort x 0 sei zu Zeit t 0 die Auslenkung y (0)
die Schnelle positiv.
Welche Frequenz f gehört zu dieser Wellenbewegung?
Aufgabe 9:
Die Frequenz einer Ultraschallwelle ist f
0 und
50 kHz , die Amplitude der Partikelver-
Grundkurs Physik
-4-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
Aufgabe 11:
Ein Geschoß fliegt mit der Geschwindigkeit v 680 m s 1 im Abstand s 5 m an einer Person vorbei. Wie weit ist das Geschoß von der Person in dem Zeitpunkt entfernt, in dem diese es erstmals hört?
Günt her
Aufgabe 10:
Zwei Züge fahren auf parallelen Geleisen mit gleichen Geschwindigkeiten v aufeinander zu. Ein Zug gibt ein Pfeifsignal ab, das ein musikalischer Reisender im anderen Zug hört. Er nimmt beim Vorbeifahren einen Tonhöhensprung von einer Quinte
(also ein Frequenzverhältnis 3:2) wahr. Wie schnell fahren die beiden Züge?
(Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist c 340 m s 1 )
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
schiebung ist yˆ 1˜ 10 7 m . Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit v max und
die maximale Beschleunigung amax eines Luftteilchens dieser Ultraschallwelle?
Lösung zu Aufgabe 1
Laut Aufgabenstellung gilt:
2 cm
( x 3 cm s 1 ˜t ) 2 cm 2 1
2 cm ,
3 m s 1
Schnappschuß der Welle (Ortsabhängigkeit x) zum Zeitpunkt t 0
y / cm
y ( x, t
0 s)
0s
2 cm
x cm 2 1
2
2
x / cm
0
3
6
Schnappschuß der Welle (Ortsabhängigkeit x) zum Zeitpunkt t1
y / cm
y ( x, t
1 s)
1s
2 cm
( x 3 cm) 2 cm 2 1
2
x / cm
0
3
6
Schnappschuß der Welle (Ortsabhängigkeit x) zum Zeitpunkt t 2
y / cm
y ( x, t
2 s)
2s
2 cm
( x 6 cm) 2 cm 2 1
2
x / cm
0
Grundkurs Physik
3
6
-5-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
die Phasengeschwindigkeit ist c
KURZ
Die Amplitude ist A
Günt her
y ( x, t )
Lösung zu Aufgabe 2
Allgemein gilt für einen Wellenpuls:
y ( x, t )
A
( x r c ˜ t ) ˜ m 2 B
2
A
B
ist die Amplitude des Wellenpulses,
c
die Phasengeschwindigkeit,
B
ist für die Breite des Pulses verantwortlich,
Pluszeichen gilt für einen linksläufigen Wellenpuls,
A
6 cm , B
c
4,5 m s 1
3
Positive x-Richtung fordert das Minuszeichen.
Somit folgt für die Gleichung des Wellenpulses:
y ( x, t )
Grundkurs Physik
6 cm
( x 4,5 m s 1 ˜ t ) 2 ˜ m 2 3
-6-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
Günt her
Aus der Aufgabenstellung weiß man:
KURZ
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Minuszeichen gilt für einen rechtsläufigen Wellenpuls.
Lösung zu Aufgabe 3
Die Saitenspannung wird durch die Gewichtskraft des angehängten Klotzes hervorgerufen.
F
Mg
Die Massenbelegung der Saite ist gegeben durch
P
m
L
Für die Phasengeschwindigkeit gilt:
F
P
MgL
m
2 kg ˜ 9,81 m s 2 ˜ 6 m
0,3 kg
19,8 m s 1
-7-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
Günt her
Grundkurs Physik
KURZ
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
c
Lösung zu Aufgabe 4
Für die Kreisfrequenz gilt Z
2Sf
2S ˜ 5 s 1
31,6 (rad) s 1
2S
O
Für die Wellenzahl gilt k
Wellenzahl k und Kreisfrequenz Z sind verkoppelt über die Phasengeschwindigkeit c
Z
k
2S
T
2S
O
O
T
c
damit wird
k
Z
c
31,6 s 1
20 m s
1
1,57 m 1
Die Amplitude ist A 12 cm
0,12 m˜ sin(1,57 m 1 ˜x 31,6 s 1 ˜ t )
Geschwindigkeit und Beschleunigung ergeben sich durch Ableiten von y ( x, t ) .
Dabei darf ein beliebiger fester Ort, z. B. vereinfachend x 0 gewählt werden.
Die Maximalwerte entsprechen den Vorfaktoren der jeweiligen harmonischen
Funktionen. Das Vorzeichen des Arguments der harmonischen Funktionen ist
dabei belanglos
y ( x, t )
0,12 m˜sin(31,6 s 1 ˜t )
y ( x, t )
0,12 m˜31,6 s 1 ˜cos(31,6 s 1˜ t )
y( x, t )
0,12 m˜(31,6 s 1 ) 2 ˜ 1 ˜ sin(31,6 s 1˜ t )
v max
0,12 m˜31,6 s 1
amax
0,12 m ˜(3,16 s 1 ) 2
Grundkurs Physik
3,77 m s 1
118 m s 1 | 12 ˜g 0
-8-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
A sin(k x Zt )
Günt her
y ( x, t )
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Die harmonische Querwelle wird dargestellt durch
Lösung zu Aufgabe 5
(a) Frequenz f
1980 s 1
2S
Z
2S
315,1 Hz
(b) Die Wellenlänge erhält man aus der Wellenzahl k
O
2S
k
2S
O
6 m 1
1,05 m
(c) Die Phasengeschwindigkeit ist c
Z
k
330 m s 1
Of
y
5 ˜ 10 5 m˜sin 1980 s 1˜t
v
5 ˜ 10
5
1
m˜1980 s ˜cos 1980 s 1˜t
Der Maximalwert der Geschwindigkeit ist der Vorfaktor der ersten Ableitung, also
v max
5˜10 5 m˜1980 s 1
0,099 m s 1
(e) Intensität:
I
cw
1
cUyˆ 2 Z2
2
1
cUv max 2
2
1
˜ 330 m s 1 ˜ 1,293 kg m 3 ˜ (0,099 m s 1 ) 2
2
2,09 W m 2
Der Schallintensitätspegel ist definiert als
dabei ist I 0
·
¸¸
¹
10 12 W m 2 die Hörschwelle; also wird
§ 2,09 W m 2
L 10 ˜lg¨ 12
¨ 10
W m2
©
Grundkurs Physik
§I
L 10 ˜lg¨¨
© I0
·
¸ 132 dB
¸
¹
-9-
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
y
Günt her
0 , für eine Darstellung an.
vereinfachend bietet sich der Ursprung also x
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
(d) Für eine harmonische Welle ist der betrachtete Ort x unerheblich,
Lösung zu Aufgabe 6
Eine in positive x-Richtung laufende Welle wird dargestellt durch
A ˜ cos( kx Zt M)
y ( x, t )
Ein Pluszeichen in der Kosinus-Funktion charakterisiert eine nach links, also in
negative x-Richtung, laufende Welle.
(a) Die Amplitude A ist gegeben durch
A 15 cm
Für die Wellenzahl gilt
2S
O
k
2S
40 cm
0,157 cm 1
1
8 s 1
0,125 s
Für die Kreisfrequenz gilt
Z
2S
T
2Sf
2S ˜ 8 s 1
50,3 (rad) s 1
Für die Phasengeschwindigkeit gilt
c
O ˜f
40 cm ˜ 8 s 1
320 cm s 1
(b) Somit erhält man für die Wellengleichung
y ( x, t ) 15 cm ˜ cos(0,157 cm 1 ˜ x 50,3 s 1 ˜ t M)
Es bleibt noch der Nullphasenwinkel M zu bestimmen.
Aus der Bedingung y (0,0) 15 cm folgt
y (0,0) 15 cm ˜ cos(0,157 cm 1 ˜ 0 cm 50,3 s 1 ˜ 0 s M) 15 cm ˜ cos( M)
15 cm ˜ cos( M) 15 cm
cos( M) 1
M
0
Somit ist die Darstellung der Welle
y ( x, t ) 15 cm ˜ cos(0,157 cm 1 ˜ x 50,3 s 1 ˜ t )
Grundkurs Physik
- 10 -
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
1
f
Günt her
T
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Für die Periode gilt
Lösung zu Aufgabe 7
Aus dem Text weiß man, daß die Welle nach links läuft, dies fordert ein Pluszeichen.
Die allgemeine Darstellung der Welle ist somit:
y ( x, t )
A ˜ cos( kx Zt M 0 )
Aus der Grafik der Momentaufnahme entnimmt man unmittelbar die Amplitude A
und die Wellenlänge O der Welle
(a)
A
(b)
O 15 cm
0,15 mm
0,42 cm 1
(c) Aus der Beobachtung am festen Ort bestimmt sich die Periodendauer T der
Welle
T
't
Z
0,75 s
120
6,25 ˜ 10 3 s
und hieraus bestimmt man die Kreisfrequenz Z
Z
2S
T
1005,31 s 1
(d) Aus der Wellenlänge O und der Periodendauer T ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
c
O
T
15 cm
6,25 ˜ 10
3
s
2,4 ˜ 10 3 cm s 1
24 m s 1
(e) Eine mögliche Darstellung der Welle
y ( x, t ) 15 mm ˜ cos(0,42 cm 1 ˜ x 1005.31 s 1 ˜ t M 0 )
(f) Die einzig Unbekannte der Wellenfunktion ist der Nullphasenwinkel M 0 .
Um ihn bestimmen zu können ist eine zusätzliche Information (Bedingungsgleichung) notwendig.
Eine Möglichkeit wäre z. B. den Zeitpunkt t
der Schnappschuß der Welle erfolgte.
Grundkurs Physik
- 11 -
t Moment explizit anzugeben, an dem
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
2S
O
Günt her
k
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
und hieraus bestimmt man die Wellenzahl k
Lösung zu Aufgabe 8
y x, t yˆ ˜ cosZ ˜t k ˜ x M,
Die Amplitude y ist in der Aufgabe gegeben; die Wellenzahl k folgt aus der WellenlängeO; die Kreisfrequenz Z erhält man aus Phasengeschwindigkeit c und
Wellenzahl k.
yˆ
5 cm
c
Z
k
also
k
Z
kc
2S
O
2S m 1
60S s 1
die Anfangsbedingungen y (0,0)
0 und y (0,0) ! 0 liefern M
S / 2.
y ( x, t )
5 cm˜sin(60S s 1˜t 2S m 1˜x )
Die Frequenz f ergibt sich aus der Kreisfrequenz Z zu f
Grundkurs Physik
- 12 -
30 Hz .
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
S
5 cm˜cos(60S s 1˜t 2S m 1˜x )
2 ,
Günt her
y ( x, t )
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
damit wird:
Lösung zu Aufgabe 9
Für einen festgehaltenen Ort x gilt für die Zeitabhängigkeit
y (t )
yˆ ˜cosZ ˜t M
Zweimaliges Ableiten liefert die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.
v (t )
yˆ ˜ Z ˜sinZ ˜t M
v max
a(t )
yˆ
˜
Z2 ˜cosZ ˜t M
amax
Die jeweiligen Maximalwerte sind die Vorfaktoren der jeweiligen harmonischen
Funktionen.
Z2 yˆ
Grundkurs Physik
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
amax
0,0314 m s 1
9870 m s 2 | 1 006˜g
- 13 -
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
Zyˆ
Günt her
v max
Lösung zu Aufgabe 10
Wahrgenommene Frequenz bei Annäherung:
fB1
c v B
,
c v Q
fQ
Wahrgenommene Frequenz bei Entfernung:
fB2
fQ
c v B
.
c v Q
Dabei sind die beiden Geschwindigkeiten v B (Beobachter) und v Q (Quelle) gleich,
also v B
vQ
v
3
2
Daraus folgt
(c v )
(c v )
3
2
v
34 m s 1
Grundkurs Physik
3
2
(c v )
3
(c v )
2
1 ·¸
¸˜c
1¸
¹
v
§
¨
¨
¨
©
3
2
also
124 km h 1
- 14 -
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
2
Günt her
§ c v ·
¨¨
¸¸
c
v
©
¹
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Das Frequenzverhältnis beträgt damit
Lösung zu Aufgabe 11
Für den Öffnungswinkel des MACHschen Kegels gilt
sinD
Phasengesc hwindigkei t
Fluggeschw indigkeit
340 m s 1
c
v
680 m s
1
1
2
Für den Abstand zum Geschoß im Zeitpunkt des Hörens gilt:
a
s
sin D
10 m
D
- 15 -
Aufgaben und Lösungen – Wellenlehre
KURZ
Grundkurs Physik
Günt her
a
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
s
Übungsaufgaben zur Wellenlehre
W-1: Geben Sie die Gleichung einer harmonischen Welle mit der Amplitude yˆ 5 cm
und der Wellenlänge O 1 m an, die sich in positive x-Richtung mit der Geschwindigkeit
c 30 m ˜ s 1 ausbreitet. Am Ort x 0 sei zur Zeit t 0 die Auslenkung y (0) 0 und
die Schnelle y (0) ! 0 . Bestimmen Sie die Wellenfunktion y ( x, t ) und die Frequenz f die
zu dieser Wellenbewegung gehört.
W-2: Eine Saite wird an einem Ende mit der Frequenz f 5 Hz zu harmonischer
Wellenausbreitung angeregt. Die Amplitude der Welle ist A 12 cm , die
(b) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit v max und die maximale
Beschleunigung amax .
W-3:
Eine ebene Schallwelle in Luft wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
y ( x, t )
5 ˜ 10 5 m ˜ sin(1980 s 1 ˜ t 6 m 1 ˜ x )
Bestimmen Sie für diese Welle:
(a) die Frequenz f
(b) die Wellenlänge O (c) die Ausbreitungsgeschwindigkeit c und
(d) die Geschwindigkeitsamplitude (oder Schnelleamplitude) v̂ .
(e) Wie groß ist die Energiestromdichte ( Intensität) und der Schallintensitätspegel?
W-4: Die Frequenz einer Ultraschallwelle ist f
50 kHz , die Amplitude der
Partikelverschiebung ist yˆ 1˜ 10 7 m . Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit
v max und die maximale Beschleunigung amax eines Luftteilchens dieser
Ultraschallwelle?
W-5: Zwei Züge fahren auf parallelen Geleisen mit gleichen Geschwindigkeiten v
aufeinander zu. Ein Zug gibt ein Pfeifsignal ab, das ein musikalischer Reisender im
anderen Zug hört. Er nimmt beim Vorbeifahren einen Tonhöhensprung von einer Quinte
(also ein Frequenzverhältnis 3:2) wahr. Wie schnell fahren die beiden Züge?
(Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist c 340 m ˜ s 1 ).
W-6: Ein Geschoß fliegt mit der Geschwindigkeit v 680 m s 1 im Abstand s 5 m
an einer Person vorbei. Wie weit ist das Geschoß von der Person in dem Zeitpunkt
entfernt, in dem diese es erstmals hört?
KURZ
(a) Bestimmen Sie Kreisfrequenz Z und Wellenzahl k und geben Sie die Gleichung
der Welle an.
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
20 m s 1 nach rechts.
Günt her
Ausbreitungsgeschwindigkeit ist c
W-7: Wie groß ist die Frequenzänderung eines an einem entgegenkommenden
Fahrzeug reflektierten Radarstrahls, wenn das Fahrzeug mit der Geschwindigkeit
v 60 km h 1 fährt und die Senderfrequenz fS 9 GHz beträgt?
(a) Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit c im Stab und welche Obertöne fn werden
erzeugt?
Welcher Grundton und welche Obertöne können erzeugt werden, wenn der Stab
(b) nur an einem Ende eingespannt ist?
(c) nur in der Stabmitte fixiert ist?
Für mathematisch Interessierte
W-11: In einem linearen unendlich ausgedehnten Wellenträger breitet sich eine
Transversalwelle nach rechts aus. Der Erreger (am Ort x 0 0 cm ) schwingt
harmonisch mit der Periodendauer T 60 ms und der Amplitude A 2 cm . Zum
Zeitpunkt t 0 0 s bewegt er sich mit maximaler Geschwindigkeit nach unten.
(a) Wie lautet das Auslenkung,Zeit-Gesetz des Erregers?
(b) Wie groß ist die Auslenkung des Erregers zum Zeitpunkt t1 20 ms und wie groß ist
Betrag und Richtung der Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt?
Die vom Erreger verursachte Welle breitet sich mit der Geschwindigkeit c 20 m s 1
nach rechts aus.
(c) Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Wellengleichung und zeichnen Sie jeweils
ein Momentbild der Welle ( s( x ) -Diagramm) zum Zeitpunkt t 2 110 ms , wenn sich
an der Stelle x 2 150 cm ein Hindernis befindet, das sich verhält wie
(1) ein festes Ende,
(2) ein loses Ende.
(Beschreiben Sie ihre Konstruktion und erläutern Sie diese.)
KURZ
W-10: Ein Stab der Länge L 1 m ist an seinen Enden eingespannt. Durch Reibung in
Längsrichtung erzeugt man einen Ton der Frequenz f0 700 Hz .
Günt her
W-9: Die drei gleichen Düsentriebwerke am Heck eines Flugzeugs erzeugen am
Standort eines Flughafenbediensteten einen Schallpegel von 140 dB.
(a) Wie hoch ist der Schallpegel, wenn nur ein Triebwerk läuft ?
Welchen Wert hat dann die Schallintensität ?
(b) Wie ändert sich der dB-Wert, wenn der Bedienstete auf doppelten Abstand zum
Flugzeug bei einem laufenden Triebwerk geht?
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
W-8: Eine Gitarrensaite aus Stahl (Dichte ȡ 8 g ˜ cm 3 ) soll auf den Kammerton
( f 440 Hz ) abstimmbar sein. Welchen Durchmesser d darf die Saite höchstens
haben, damit beim Stimmen die Zugkraft F 100 N nicht überschritten wird. Der
Abstand der beiden Stege der Gitarre habe eine Länge L 60 cm .
Lösung zu Aufgabe 1
y x, t yˆ ˜ cosZ ˜t k ˜ x M 0 Die Amplitude ŷ ist in der Aufgabe gegeben; die Wellenzahl k folgt aus der
Wellenlänge O ; die Kreisfrequenz Z erhält man aus Phasengeschwindigkeit c und
Wellenzahl k.
yˆ
5 cm
k
2S
O
2S m 1
c
Z
k
Z
kc
60S s 1
0 und y (0,0) ! 0 liefern
y 0,0 yˆ ˜ cos M 0 0
y 0,0 yˆ Z˜ sin M 0 ! 0
Die erste Bedingung liefert
cos M 0 0
M 0,1k
S
k 2S mit k  Z
2
M 0,2k
2S M 0,1k k 2S
2S S
k 2S
2
3S
k 2S mit k  Z
2
Es interessieren nur die Werte innerhalb einer Periode, also die Lösungen für z.B. k
S
und M 0,2
2
M 0,1
0
3S
2
Die zweite Bedingung fordert sin M 0 0
S
Da jedoch sin( ) 1 ! 0 ist, kommt dieser Wert nicht in Frage.
2
sin(
3S
)
2
1 0 liefert den gesuchten Winkel und auch alle M 0,2k
y ( x, t )
5 cm ˜ cos(60S s 1 ˜ t 2S m 1 ˜ x y ( x, t )
5 cm ˜ sin(60S s 1 ˜ t 2S m 1 ˜ x )
3S
)
2
Die Frequenz f ergibt sich aus der Kreisfrequenz Z zu f
30 Hz .
3S
k 2S mit k  Z
2
KURZ
Die Anfangsbedingungen y (0,0)
Günt her
y x, t yˆ ˜ cosZ ˜t k ˜ x M 0 y x, t v ( x, t ) yˆ Z˜ sinZ ˜t k ˜ x M 0 © 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Für die Auslenkung und die Schnelle gilt
Lösung zu Aufgabe 2
Für die Kreisfrequenz gilt Z
2S ˜ 5 s 1
2Sf
31,6 (rad) s 1
2S
O
Für die Wellenzahl gilt k
Wellenzahl k und Kreisfrequenz Z sind verkoppelt über die Phasengeschwindigkeit c
Z
k
2S
T
2S
O
O
T
c
damit wird
k
Z
c
31,6 s 1
20 m s
1
1,57 m 1
Die Amplitude ist A 12 cm
0,12 m˜ sin(1,57 m 1 ˜x 31,6 s 1 ˜ t )
Geschwindigkeit und Beschleunigung ergeben sich durch Ableiten von y ( x, t ) . Dabei
darf ein beliebiger fester Ort, z. B. vereinfachend x 0 gewählt werden. Die
Maximalwerte entsprechen den Vorfaktoren der jeweiligen harmonischen Funktionen.
Das Vorzeichen des Arguments der harmonischen Funktionen ist dabei belanglos
y ( x, t )
0,12 m˜sin(31,6 s 1 ˜t )
y ( x, t )
0,12 m˜31,6 s 1 ˜cos(31,6 s 1˜ t )
y( x, t )
0,12 m˜(31,6 s 1 ) 2 ˜ 1 ˜ sin(31,6 s 1˜ t )
v max
0,12 m˜31,6 s 1
amax
0,12 m ˜(3,16 s 1 ) 2
3,77 m s 1
118 m s 1 | 12 ˜g 0
KURZ
A sin(k x Zt )
Günt her
y ( x, t )
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Die harmonische Querwelle wird dargestellt durch
Lösung zu Aufgabe 3:
(a) Frequenz f
1980 s 1
2S
Z
2S
315,1 Hz
(b) Die Wellenlänge erhält man aus der Wellenzahl k
O
2S
k
2S
O
6 m 1
1,05 m
(c) Die Phasengeschwindigkeit ist c
Z
k
330 m s 1
Of
5 ˜ 10 5 m˜sin 1980 s 1˜t
y
v
5 ˜ 10 5 m˜1980 s 1˜cos 1980 s 1˜t
Der Maximalwert der Geschwindigkeit ist der Vorfaktor der ersten Ableitung, also
v max
5˜10 5 m˜1980 s 1
0,099 m s 1
(e) Intensität:
I
cw
1
cUyˆ 2 Z2
2
1
cUv max 2
2
1
˜ 330 m s 1 ˜ 1,293 kg m 3 ˜ (0,099 m s 1 ) 2
2
2,09 W m 2
Der Schallintensitätspegel ist definiert als
dabei ist I 0
§I
L 10 ˜lg¨¨
© I0
10 12 W m 2 die Hörschwelle; also wird
§ 2,09 W m 2
L 10 ˜lg¨ 12
¨ 10
W m2
©
·
¸ 132 dB
¸
¹
·
¸¸
¹
KURZ
y
0 , für eine Darstellung an.
Günt her
vereinfachend bietet sich der Ursprung also x
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
(d) Für eine harmonische Welle ist der betrachtete Ort x unerheblich,
Lösung zu Aufgabe 4
Für einen festgehaltenen Ort x gilt für die Zeitabhängigkeit
y (t )
yˆ ˜cosZ ˜t M
Zweimaliges Ableiten liefert die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.
v (t )
yˆ ˜
Z ˜sinZ ˜t M
v max
a(t )
yˆ
˜
Z2 ˜cosZ ˜t M
amax
amax
Z2 yˆ
0,0314 m s 1
9870 m s 2 | 1 006˜g
KURZ
Zyˆ
Günt her
v max
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Die jeweiligen Maximalwerte sind die Vorfaktoren der jeweiligen harmonischen
Funktionen.
Lösung zu Aufgabe 5
Wahrgenommene Frequenz bei Annäherung:
fB1
fQ
c v B
,
c v Q
Wahrgenommene Frequenz bei Entfernung:
fB2
fQ
c v B
.
c v Q
Dabei sind die beiden Geschwindigkeiten v B (Beobachter) und v Q (Quelle) gleich,
Das Frequenzverhältnis beträgt damit
§ c v ·
¸¸
¨¨
© c v ¹
2
3
2
fB1
fB2
Daraus folgt
c v
c v
3
2
1 ·¸
¸˜c
1¸
¹
v
§
¨
¨
¨
©
v
34 m s 1
3
2
3
2
also
124 km h 1
c v
3
˜(c v )
2
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
v
KURZ
vQ
Günt her
also v B
Lösung zu Aufgabe 6
Für den Öffnungswinkel des MACHschen Kegels gilt
sinD
Phasengesc hwindigkei t
Fluggeschw indigkeit
c
v
340 m s 1
680 m s 1
1
2
Für den Abstand zum Geschoß im Zeitpunkt des Hörens gilt:
a
s
sin D
10 m
D
Die Person hört das Geschoß erstmals, wenn der MACHsche Kegel die Person erreicht.
KURZ
Anmerkung:
Günt her
a
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
s
Lösung zu Aufgabe 7
Theorie zum relativistischen DOPPLER-Effekt
(Lichtgeschwindigkeit c 3 ˜ 10 8 m s 1 ist Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle)
Reflexion des Radarstrahls (der sich mit Lichtgeschwindigkeit c 3 ˜ 10 8 m s 1
ausbreitet) an der Vorderseite des PKW heißt, dass sich der PKW dem Sender nähert
und es gilt für die Frequenz fPKW der am PKW ankommenden Welle des eigentlichen
Senders
fPKW
fS
1 v / c
1 v / c
Bei der Reflexion der Welle an der Vorderseite des PKW bleibt die Frequenz fPKW
unverändert. Jetzt ist jedoch der PKW ein Sender mit der Frequenz fPKW , der sich mit
der Geschwindigkeit v auf den Empfänger zubewegt. Also gilt wiederum
fE
fPKW
1 v / c
1 v / c
fS
1 v / c
1 v / c
Die Frequenzänderung ist also und der gerechtfertigten Näherung c !! v
'f
1 v / c
1)
1 v / c
| 1000 Hz 1 kHz
fE fS
fS (
fS
2v
2v
| fS
c v
c
KURZ
Relativbewegung auf die Quelle zu
v
1
c
mit
c 3 ˜ 10 8 m s 1
f f0
v
1
c
Günt her
x
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Die wahrgenommene Frequenz hängt nur von der Relativgeschwindigkeit zwischen
Sender und Empfänger ab.
x Relativbewegung von der Quelle weg
v
1
c
mit
c 3 ˜ 10 8 m s 1
f f0
v
1
c
Lösung zu Aufgabe 8
Beidseitig eingespannte Saite liefert in der Grundfrequenz f
440 Hz
O
L
2
O 2L 1,2 m
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt
einerseits
c
fO
f 2L
528
m
s
FL
m
FL
UV
FL
UAL
4F
USd
2 F
d US
2
Gleichsetzen liefert
f 2L
2 F
d US
d
1 F
fL US
d
0,24 mm
mit U
8
g
cm
3
8000
kg
m3
KURZ
F
P
Günt her
c
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
andererseits
Lösung zu Aufgabe 9
Der Schallintensitätspegel ist definiert als
dabei ist I 0
§I
L 10 ˜lg¨¨
© I0
·
¸¸
¹
10 12 W m 2 die Hörschwelle; also wird
§
I
L 10 ˜lg¨ 12
¨ 10
W m2
©
·
¸
¸
¹
Sind alle drei gleiche Triebwerke eingeschaltet, so folgt für die Gesamtschallintensität I
bei einem Gesamtschallintensitätspegel L 140 dB
W
m2
(a) Ein Triebwerk liefert also nur
I1
L1
L1
I
3
1
der Gesamtschallintensität
3
33,3 W m 2
§
I
10 ˜lg¨ 12 1
¨ 10
W m2
©
135,2 dB
·
¸
¸
¹
(b) Die Schallintensität nimmt quadratisch mit dem Abstand ab I ~
Doppelter Abstand liefert
I2
L2
L2
I1
4
1
der Schallintensität
4
8,3 W m 2
§
I
10 ˜lg¨ 12 2
¨ 10
W m2
©
129,2 dB
·
¸
¸
¹
1
r2
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
100
KURZ
I0
Günt her
I
L
10
˜ 10
Lösung zu Aufgabe 10
(a)
L
f0
f0a
700 Hz (Grundfrequenz Aufgabenteil (a))
c
O ˜f
2L ˜ f0a
(n 1)
fn
O
für n
2
c
O
2L
f0a
O
0, 1, 2, 2(n 1)
O
O
2 ˜f
0
(n 1)f0
(n 1) 700 Hz für n
0, 1, 2, (b)
L
c
f0b
mit L
O ˜f
1
f0a
2
(2n 1)
fn
4L ˜ f0b
c
O
1
f0 (Grundfrequenz Aufgabenteil (b))
2
O
für n
4
4L
f0b
O
0, 1, 2, 4(2n 1)
O
O
4 ˜ 1f
0
2
1
(2n 1)f0
2
1
(n ) 700 Hz für n
2
0, 1, 2, KURZ
mit L
Günt her
Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist materialtypisch und gilt somit auch für die
Aufgabenteile (b) und (c)
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
1400 m ˜ s 1
2Lf0
mit
L
2
fn
f0a
(2n 1)
c
O
O
für n
4
2L
f 0c
O
0, 1, 2, 2(2n 1)
O
O
2 ˜f
0
(2n 1)f 0
(2n 1) 700 Hz für n
0, 1, 2, © 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
f0c
O ˜f
KURZ
c
Günt her
(c)
L
2L ˜ f0c
f0 (Grundfrequenz Aufgabenteil (c))
Lösung zu Aufgabe 11
(a) Das Erregerteilchen schwingt harmonisch zum Zeitpunkt t 0 0 s mit maximaler
Geschwindigkeit nach unten. Dies bedeutet, dass diese Schwingung durch eine
Standard-Sinusfunktion mit negativem Vorzeichen beschrieben werden kann.
sErreger (t )
A sin(Zt )
A sin(
2S
t)
T
2 cm ˜ sin(105
1
˜t)
s
(b) Durch einmaliges Ableiten nach der Zeit erhält man das Geschwindigkeit,ZeitGesetz.
cm
1
˜ cos(105 ˜ t )
s
s
2 ˜ 10 2 s ist die
Auslenkung des Erregerteilchens
1
˜ 2 ˜ 10 2 s)
s
Geschwindigkeit des Erregerteilchens
sErreger (t1 )
2 cm ˜ sin(105
v Erreger (t1 )
210
1,7 cm
cm
1
cm
˜ cos(105 ˜ 2 ˜ 10 2 s) 100
s
s
s
(c) Zusammenhang von Frequenz, Wellenläge und Ausbreitungsgeschwindigkeit
1
T
folgt für die Wellenlänge
O cT 1,2 m 120 cm
c
Of
O
Die Wellenzahl ist damit
2S
1
5,25
O
m
Hieraus folgt die Wellengleichung
k
A sin(Zt kx )
s(t , x )
1
1
A sin[2S( t x )]
T
O
2 cm ˜ sin(105
1
1
˜ t 5,25 ˜ x )
s
m
In der Zeit t 2 110 ms 0,11 s hat sich die Welle um die Strecke x ct 2 2,2 m
ausgebreitet.
Für das Momentbild der Welle ist also ein Bereich von 0 cm d x d 220 cm nötig.
Das Momentbild der Welle zum Zeitpunkt t 2
1
1
˜ t 2 5,25 ˜ x )
s
m
1
2 cm ˜ sin(11,55 5,25 ˜ x )
m
s(t 2 , x )
s( x )
110 ms
2 cm ˜ sin(105
0,11 s ist also
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
20 ms
210
KURZ
Zum Zeitpunkt t1
AZ cos( Zt )
Günt her
v Erreger (t )
Dieses Momentbild zeichnet man ungeachtet des festen Hindernisses im Bereich von
0 cm d x d 220 cm . Den Bereich rechts vom festen Hindernis an der Stelle x 2 150 cm
zeichnet man der Übersicht halber gestrichelt.
(1) Reflexion am festen Ende
Reflexion am festen Ende bedeutet, dass man den gestrichelten Bereich am Punkt
(150 cm/0 cm) punktspiegelt. Hieraus erhält man die durchgezogene rote Kurve.
bei x
0
20
40
60
80
100
120
140
160
150 cm
180
200
220
x
cm
KURZ
festes Ende
Günt her
s
cm
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Mittels Ordinatenaddition von der schwarzen durchgezogenen und der roten
durchgezogenen Kurve erhält man die überlagerte Welle (grün), die notwendigerweise
an ihrem Reflexionspunkt einen Knoten besitzt.
(2) Reflexion am losen Ende
Reflexion am losen Ende bedeutet, dass man den gestrichelten Bereich an der Achse
x 150 cm achsenspiegelt. Hieraus erhält man die durchgezogene rote Kurve.
Mittels Ordinatenaddition von der schwarzen durchgezogenen und der roten
durchgezogenen Kurve erhält man die überlagerte Welle (grün), die notwendigerweise
an ihrem Reflexionspunkt einen Bauch besitzt, der zum betrachteten Zeitpunkt jedoch
nicht vollständig ausgeprägt ist.
s
cm
loses Ende
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Anmerkung:
In beiden Fällen stellt die grüne Kurve eine stehende Welle dar.
Die stehende Welle – entstanden durch eine Welle und ihre reflektierte Welle – besitzt
die doppelte Amplitude der Welle und dieselbe Frequenz wie die Welle.
x
x
Bei der Reflexion am festen Ende:
Am festen Ende befindet sich immer ein Knoten
(Bewegungsknoten oder Schnelleknoten)
Bei der Reflexion am losen Ende:
Am losen Ende befindet sich immer ein Bauch
(Bewegungsbauch oder Schnellebauch)
Der Abstand zweier benachbarter Knoten ist gleich der halben Wellenlänge
Die Bäuche der stehenden Wellen befinden sich genau in der Mitte der Knoten und
haben ebenfalls einen Abstand einer halben Wellenlänge.
Links und rechts von ein und demselben Knoten schwingen die Teilchen einer
stehenden Welle gegenphasig und zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen die
Teilchen einer stehenden Welle gleichphasig.
© 2004 Günther Kurz · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
20
x
cm
KURZ
0
150 cm
Günt her
bei x