Gewinnmaximierung
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Mikroökonomische Theorie: Gewinnmaximierung Dr. Jan Heufer TU Dortmund 5. Juli 2011 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Übersicht Gewinnmaximierung Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Vollkommener Wettbewerb Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Langfristiges Marktgleichgewicht 1 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Wirtschaftskreislauf Konsumgüter Nachfrage Angebot Markt Konsumenten Haushalte Produzenten Firmen Angebot Nachfrage Produktionsfaktoren 2 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Gewinnmaximierung des Unternehmens – Angebotsentscheidung Bisher wurde betrachtet: I Herleitung der Kostenfunktion K (x): Kostenminimierung bzgl. Faktoreinsatz zur Erzielung einer bestimmten Produktionsmenge x. Jetzt: I Welcher Output—in Abhängigkeit vom Preis des Outputs und der Nachfrage der Konsumenten—wird ein gewinnmaximierendes Unternehmen wählen? 3 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Erlösfunktion I I I I Gewinn = Erlös - Kosten Erlösfunktion: E (x) = p x falls alle x Einheiten verkauft werden Eine Erlösfunktion erlaubt keine Preisdiskriminierung Erlösfunktion setzt sich zusammen aus (a) Preis-Absatz-Kurve (b) (Konjekturale) Nachfrage-Kurve 4 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Erlösfunktion Preis-Absatz-Kurve x → p(x) p = p(x) ist der erwartete Preis, zu dem die Menge x abgesetzt werden kann (Konjekturale) Nachfrage-Kurve p → x(p) x = x(p) ist der erwartete Absatz zum Preis p Die (Konjekturale) Nachfrage-Kurve darf nicht mit der Marktnachfrage verwechselt werden; sie ist der Teil der Marktnachfrage, die das Unternehmen für sich erwartet. 5 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Erlösfunktion I Da E (x) = p x folgt trivialerweise, dass DE (x) = I I E (x) px = x x p(x) x = = p(x) x Durchschnittserlös = Preis bzw. Durchschnittserlöskurve = Preis-Absatz-Kurve 6 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Eigenschaften der Preis-Absatz-Kurve I I I I In der Regel wird gelten: dp(x) dx ≤ 0 für alle x (x) Äquivalent: dDE ≤0 dx D.h.: Der Preis, zu dem das Unternehmen einen höheren Absatz als den gegebenen erwartet, muss niedriger sein als der augenblickliche Preis. Konsequenzen für Grenzerlös: GE (x) = dE (x) d[p(x) x] = = p(x) + x p 0 (x) dx dx ≤ p(x) = DE (x) d.h. bei fallender Preis-Absatz-Kurve sind Grenzerlöse immer geringer als Durschnittserlöse 7 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Einschub 1 Handschriftlicher Einschub 1 8 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Gewinnmaximierung des Unternehmens I I I Nun soll unsere Betrachtung über Kosten, die zur Ableitung der Kostenfunktion führte, mit den Ausführungen zur Erlösfunktion verbunden werden. Dies führt zu einer Untersuchung der Gewinnfunktion eines Unternehmens. Gewinnfunktion: Gewinn = Erlös − Kosten Π(x) = E (x) − K (x) I Hier steht K (x) für KK (x); es handelt sich bei Π(x) um einen Periodengewinn 9 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Gewinnmaximierungsproblem Gewinnmaximierungsproblem Das Gewinnmaximierungsproblem ist dann gegeben durch max Π(x) = E (x) − K (x). x Als Bedingung erster Ordnung ergibt sich dann GE (x ∗ ) − GK (x ∗ ) = 0. 10 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Gewinnmaximierungsproblem Implikationen der Bedingung erster Ordnung GE (x ∗ ) − GK (x ∗ ) = 0 ⇔ GE (x ∗ ) = GK (x ∗ ) I Gewinnmaximale Produktionsmenge dann erreicht, wenn Erlös der letzten zusätzlich angebotenen Einheit gerade deren Kosten entspricht: GE (x ∗ ) = GK (x ∗ ). I Für x < x ∗ gilt: GE (x) > GK (x) ⇒ Zusätzliche Gewinne durch Produktionsausweitung. I Für x > x ∗ gilt: GE (x) < GK (x) ⇒ Reduzierung der Verluste durch Einschränkung der Produktion. 11 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Gewinnmaximierungsproblem Zur Erinnerung: maxx E (x) − K (x) I Gewinnmaximierungsproblem enthält keine Nebenbedingungen bzgl. Produktionstechnologie, Faktorpreise, etc. I Warum? I Kostenfunktion K (x) resultiert aus Kostenminimierungsproblem bzgl. optimalen Einsatz der Inputfaktoren I D.h., Kostenfunktion reflektiert Produktionstechnologie und Faktorpreise. I Erlösfunktion E (x) als Preis-Absatz-Kurve berücksichtigt Beschränkungen durch Outputmarkt. 12 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Notwendige und Hinreichende Bedingung I I I Um tatsächlich ein Maximum von Π(x) zu realisieren, müsste die zweite Abeleitung von Π an der Stelle, die GE = GK erfüllt, negativ sein D.h.: Wenn Π(x) konkav ist, reicht das schon; GE = GK wäre dann auch hinreichend Wann ist Π(x) konkav? I I I K (x) ist konvex, also ist −K (x) konkav (x) E (x) ist konkav, wenn dGE ≤ 0, d.h. die Grenzerlöse dx fallen monoton Letzteres gilt z.B. bei linearen Preis-Absatz-Kurven 13 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Einschub 2 Handschriftlicher Einschub 2 14 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Wodurch wird Outputmarkt eines Unternehmens beschränkt? Marktform bestimmt Nachfrage bzw. Marktpreis in Abhängigkeit der Ausbringungsmenge der Firma: Fall 1: Monopol Monopol (Firma ist einziges Unternehmen im Markt): I Firma kann den gesamten Markt abdecken (abhängig von Zahlungsbereitschaft der Konsumenten) I Preis-Absatz-Kurve der Firma entspricht der gesamten Marktnachfragefunktion. 15 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Erlösfunktion Gewinnmaximierungsproblem Outputmarkt Wodurch wird Outputmarkt eines Unternehmens beschränkt? Fall 2: Vollkommener Wettbewerb Vollkommener Wettbewerb (Firma sieht sich im Markt zahlreichen Konkurrenten gegenüber): I Absatzmöglichkeiten richten sich nicht nur nach Zahlungsbereitschaften der Konsumenten, sondern auch nach Verhalten der Konkurrenten I Individuelle Preis-Absatz-Kurve entspricht nicht der gesamten Marktnachfragefunktion. Im folgenden werden die Angebotsentscheidungen unter den beiden Extremfällen vollkommener Wettbewerb und Monopol betrachtet. 16 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Vollkommener Wettbewerb (Fall 2) I I Unternehmen befindet sich in einem Wettbewerbsmarkt, wenn sie mit vielen Mitanbietern desselben Gutes um die Marktnachfrage konkurriert. Wie lässt sich die Preis-Absatz-Kurve herleiten? Behauptung Die Preis-Absatz-Kurve lautet wie folgt: ( p̄ für alle x ≤ x̄ = f D (p̄) p(x) = (f D )−1 (x) für alle x > x̄, −1 wobei p̄ : Marktpreis und (f D ) (x): inverse Marktnachfrage (f D (p) ist die Marktnachfragefunktion) 17 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Preis-Absatz-Kurve ( p̄ p(x) = (f D )−1 (x) für alle x ≤ x̄ = f D (p̄) für alle x > x̄, p −1 (f D ) (x) p̄ p(x) x x̄ 18 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Preis-Absatz-Kurve Annahme: Unternehmen im Wettbewerbsmarkt konkurriert über Preissetzung: I Setzt die Firma p > p̄ so erwartet sie einen Umsatz von 0. I Setzt die Firma p < p̄, so erwartet sie die gesamte Marktnachfrage x̄ = f D (p̄) zu realisieren. I Setzt die Firma den Marktpreis p = p̄, so erwartet sie jedweden Absatz zwischen 0 und x̄ zu realisieren. I Dies gilt für jede einzelne Firma; daher ist der Marktpreis vom Ansatz eines einzelnen Unternehmens unabhängig 19 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Nachfragekurve Die konjekturale Nachfragekurve lautet wie folgt: falls p > p̄ 0 x(p) = [0, x̄] falls p = p̄ D f (p) falls p < p̄ 20 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Preis-Absatz-Kurve I I Oft ist die gesamte Marktnachfrage so groß, dass ein einzelnes Unternehmen mit der Preiswahl p < p̄ nicht die gesamte Nachfrage alleine bedienen kann. Deswegen beschreibt man die Preis-Absatz-Kurve eines einzelnen Unternehmens oft auch verkürzt durch p(x) = p̄. I D.h. da der Preis für alle Mengen x derselbe ist, dass das Unternehmen ein Preisnehmer ist, dass durch Mengenanpassungen ein Gewinnmaximum realisieren will. 21 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Preis-Absatz-Kurve bei vollkommenden Wettbewerb p(x) = p̄ p p̄ x Kapazitätsgrenze 22 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Angebotsverhalten einer Firma im Wettbewerb I I I I I Gewinnfunktion: Π(x) = E (x) − K (x) = p̄ x − K (x) Maximierungsproblem: maxx p̄ x − K (x) ⇒ Optimalitätsbedingung: p̄ − GK (x) = 0 D.h.: p̄ = GK (x) Das Unternehmen wählt diejenige Menge x ∗ , zu der die Grenzkosten gerade dem Marktpreis entsprechen 23 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Angebotsverhalten einer Firma im Wettbewerb I I I Preis = Grenzkosten ist ein Spezialfall, da bei vollkommenen Wettbewerb gilt GE (x) = p̄ Daraus ergibt sich die Angebotsfunktion eines Unternehmens unter Wettbewerb. . . . . . und zwar die Relation, die den Output eines Unternehmens bei Gewinnmaximierung in Abhängigkeit vom Marktpreis angibt. 24 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Angebotsverhalten einer Firma im Wettbewerb Gewinnmaximum unter vollkommenen Wettbewerb Im Gewinnmaximum unter vollkommenen Wettbewerb gilt: p̄ = GK (x). Dies ist äquivalent zu GK −1 (p̄) = x I GK −1 (p) gibt also an, welches Angebot das Unternehmen beim Preis p machen will, d.h. fi S (p) = GK −1 (p) ist die Angebotsfunktion des Unternehmens, falls der Gewinn dabei positiv ist 25 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Einschub 3 Handschriftlicher Einschub 3 26 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion I 1 1 Für F (`, k) = ` 2 k 2 lautet die kurzfristige Kostenfunktion für k = k1 w 2 x + r k1 k2 = a1 x 2 + b1 K (x) = KK (x) = I Wie lautet die zugehörige Angebotsfunktion wenn das Unternehmen in vollkommenen Wettbewerb steht? Es gilt: I I GK (x) = KGK (x) = 2 a1 x DK (x) = KDK (x) = a1 x + b x 27 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion I Es gilt: I I I GK (x) = KGK (x) = 2 a1 x DK (x) = KDK (x) = a1 x + b x Das heißt: GK (x) ≥ DK (x) ⇔ 2 a1 x ≥ a1 x + ⇔ a1 x ≥ b1 x b1 x b1 ⇔ x2 ≥ a r1 b1 ⇔x ≥ a1 28 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion I I I I q Also: GK (x) ≥ DK (x) ⇔ x ≥ ba11 q Gewinnschwelle: xmin = ba11 q q √ b1 b1 ⇒ GK = 2 a = 2 a1 b1 = pmin 1 a1 a1 Aus p = GK (x) = 2 a1 x folgt dann: f S (p) = p 2 a1 für p ≥ pmin . 29 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion I Gewinnfunktion: Π(p) = p x − KK (x), mit I I I x = f S (p) = 2pa1 KK (x) = a1 x 2 + b1 Also: " Π(p) = p p − a1 2 a1 p 2 a1 # 2 + b1 p2 p2 − − b1 = 2 a1 4 a1 p2 − b1 ≥ 0 = 4 a1 I Dies ist der maximale Gewinn in Abhängigkeit vom Marktpreis p. 30 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Produzentenrente I Dieser maximale Gewinn entspricht gerade der Produzentenrente beim Preis p (abzüglich fixer Kosten): p GK (x) p̄ DK (x) pmin x 31 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Allgemein Beispiel: Cobb-Douglas Produzentenrente p GK (x) p̄ DK (x) pmin x 1 1 1 1 p̄ p̄ − pmin pmin 2 2 a1 2 2 a1 1 2 1 p 1 p p̄ − 2 a1 b1 2 2 a1 b1 = 4 a1 2 2 a1 1 2 = p̄ − b1 4 a1 Grüne Fläche = 32 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Langfristige Betrachtung I I I I I Bisher: Kurzfristige Betrachtung Jetzt: Was ergibt sich langfristig? Positive Gewinne Π(p) > 0 werden entweder (a) zu Marktzutritt führen. . . oder (b) zu Kapazitätsausweitung (mehr Kapital) bestehender Betriebe führen Beides führt zu einem höheren Gesamtangebot, was bei unveränderter Nachfrage den Gleichgewichtspreis senken wird 33 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Langfristige Betrachtung I I Solange noch positive Gewinne erzielt werden, geht dieser Prozess weiter D.h., letztendlich muss in einem langfristigen Gleichgewicht gelten: Marktpreis p ∗ = min KDK (x) = LDK (x) I I Bei x ∗ (Gleichgewicht) gilt: [GE (x ∗ ) − KDK (x ∗ )] · x ∗ = 0 · x ∗ = 0. D.h. in einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht machen die einzelnen Unternehmen einen Gewinn von Null. 34 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Null-Gewinn I I I I I Interpretation: keine “supernormalen” Gewinne Kosteninterpretation als Opportunitätskosten (enthalten also Eigenkapitalverzinsung und Unternehmerlohn) Beachte: Aussage gilt bezüglich fester Faktorpreise w und r 1 Im Beispiel galt: LDK (x) = 2 (w r ) 2 = a, d.h. langfristig muss im Markt p ∗ = a gelten Dieser Preis bestimmt auch den Gesamtabsatz der Branche: x̄ = f D (p ∗ ) = f D (a) 35 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Gesamtabsatz I I Wie sich der Gesamtabsatz auf die einzelnen konkurrierenden Unternehmen verteilt ist unbestimmt Es gilt jedoch für jedes Unternehmen: p ∗ = a = min KDK (x) = LDK I D.h. im Gleichgewicht produzieren nur Unternehmen, die die optimale Betriebsgröße erreicht haben (also Folge des Wettbewerbsdruckes) 36 / 37 Gewinnmaximierung Vollkommener Wettbewerb Langfristiges Marktgleichgewicht Einschub 4 Handschriftlicher Einschub 4 37 / 37
