2 Relationen

Relationen
2
Relationen
Relationen
2.1
• Wesentlih ist, dass innerhalb einer Relation jeweils gleih viele
Grundbegriffe
• Relationen setzen bestimmte Objekte (oder Subjekte)
in Beziehung:
{ X und Y sind die Eltern von Z.\
"
{ A ist mir lieber als B.\
"
{ A und B sind in bestimmter Hinsiht gleihwertig.\
"
{ Eine Adresse setzt Anrede, Vorname, Strae, Hausnummer
und Ort in Beziehung.
c B. Möller
{1{
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Objekte in Beziehung stehen.
• Die Anzahl dieser Objekte heit die Stelligkeit der Relation.
{ Die Eltern-von-Relation ist eine dreistellige Relation
zwishen Personen (oder Tieren).
{ lieber als\ und gleihwertig\ sind zweistellige Relationen;
"
"
die Art der in Beziehung gesetzten Objekte hangt von
der jeweiligen Anwendung ab.
{ Eine Sammlung von Adressen ist eine funfstellige Relation
zwishen den beteiligten Objektarten.
c B. Möller
{2{
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• Sind die beteiligten Objektarten gleih, so heit die Relation
homogen, ansonsten heterogen.
• Die Eltern-von-Relation ist homogen, die Adressrelation dagegen
heterogen.
• Auh lieber als\ und gleihwertig\ wird man sinnvollerweise
"
"
als homogen ansehen.

• Das mag zunahst paradox ersheinen, wenn man etwa Apfel
lie-
ber als Birnen mag.
• Aber u
 bliherweise redet man in solhen Fallen von Objekten
aus einer festen Grundgesamtheit, etwa Obstsorten\, so dass
"
die homogene Sihtweise gerehtfertigt ist.
Nun wollen wir die bisher informell vorgestellten Konzepte
mathematish prazisieren.
Das mag zunahst etwas u bertrieben ersheinen, hat aber eine
direkte programmiertehnishe Entsprehung.
Zunahst fuhren wir Tupel als Hilfsmittel ein.
Definition 2.1 Ein n-Tupel (n eine nat
urlihe Zahl) ist ein
Gebilde der Form (x1 , . . . , xn ) aus Objekten xi .
Im Gegensatz zur Menge {x1 , . . . , xn }
• ist die Reihenfolge wihtig und
• d
urfen Objekte mehrfah auftreten.
c B. Möller
{3{
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c B. Möller
{4{
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Relationen
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Fur einige feste n haben die n-Tupel auh spezielle Namen:
n
Name
2
Paar
3
Tripel
4
Quadrupel
5
Quintupel
6
Sextupel
≥7
mussen wir hoentlih niht betrahten
c B. Möller
{5{
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Mathematish identiziert man nun eine n-stellige Relation mit der
Menge aller n-Tupel, die sie in Beziehung setzt.
{ Eltern:
FAM = f(Adam, Eva, Kain), (Helga, John, Sandra),
(Vernon, Gladys, Elvis), (Adam, Eva, Abel), . . . g
{ lieber als:

LA = f(Apfel,
Birnen), (Datteln, Feigen),
(Erdbeeren, Rhabarber), . . . g
{ gleihwertig:
GW = f(alt,betagt), (oberhalb,uber), (alt,alt), (betagt,alt),
(betagt, bejahrt), (uber,uber), (bejahrt,alt), . . . g
{ Adressen:
ADR = f(Doktor, Merkel, Willy-Brandt-Str., 1, Berlin),
(Frau, Malzahn, Alte Str., 133, Kummerland), . . . g
{6{
c B. Möller
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Allgemein seien nun Mengen M1 , ..., Mn gegeben, aus denen unsere
Objekte xi stammen sollen.
Definition 2.2
• Die Menge aller moglihen n-Tupel ist das sogenannte
Kartesishe Produkt
M1 × · · · × Mn =df {(x1 , . . . , xn ) | x1 ∈ M1 , . . . , xn ∈ Mn }
• Eine n-stellige Relation R zwishen den Mengen M1 , ..., Mn ist
eine Teilmenge dieses Produkts:
• Sie besteht aus denjenigen n-Tupeln von Elementen, die mit ein-
ander in Relation stehen.
• Sind alle Mi gleih, so heit R homogen, ansonsten heterogen.
{7{
Etwas logische Notation
Da auf den nahsten Folien ein wenig logishe Notation vorkommt,
wollen wir sie kurz erlautern. Seien dazu F und G irgendwelhe
Aussagen.
• Die Aussage F
ur alle betrahteten x gilt F\ wird abgekurzt zu
"
∀x:F
• Will man u
 ber mehrere Elemente, etwa x, y und z etwas aussagen,
musste man dann also shreiben
∀x:∀y:∀z:F
R ⊆ M1 × · · · × Mn
c B. Möller
2.2
Diskrete Strukt. WS 09/10
• Das k
urzt man nohmals ab zu
∀ x, y, z : F
Beispiel 2.3
∀x:x=x
c B. Möller
{8{
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Relationen
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• Die Aussage Unter den betrahteten x gibt es eines, das F erf
ullt\
"
wird abgekurzt zu
F∧G
urzt man ab zu
• Die Aussage entweder F oder G oder beides\ k
"
F∨G
• Die Aussage aus F folgt G\ k
urzt man ab zu
Beispiel 2.4
"
F ⇒ G
Genaueres hierzu wird in Mathematik
besprohen.
∃ x, y : x 6= y
{9{
¬F
"
∃ x, y, z : F
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2.3
"
• Die Aussage sowohl F wie G\ k
urzt man ab zu
∃x:F
urzungen wie
• Analog zu vorher verwendet man Abk
c B. Möller
• Die Aussage niht F\ k
urzt man ab zu
c B. Möller
fur Informatiker
{ 10 {
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Bildmengen
Oft ist es wihtig, alle Elemente zu bestimmen, mit denen ein
Element in Relation steht.
Definition 2.5 Die Bildmenge (kurz: das Bild) von x ∈ M1 unter
R ist
x R =df {y ∈ M2 | (x, y) ∈ R}
• Um eine Notation hierf
ur einzufuhren, betrahten wir zwei Men-
gen M1 und M2 und legen fur eine zweistellige Relation R ⊆
M1 × M2 folgendes fest:
• in einem Paar (x, y) ∈ R fassen wir das Element x als moglihen
Eingabewert auf
• und y als moglihen zugehorigen Ergebniswert.
Beispiel 2.6
hatelter = { ("hugo","eulalia"), ("elsa","amanda"),
("amanda","egbert"),("luisa","hugo"),
("diethelm","kuno"),("hugo","egbert"),
("kuno","egbert"),
("emo","eulalia")
}
• Damit werden Relationen als verallgemeinerte Funktionen oder
Abbildungen aufgefasst, die jedem Eingabewert gewisse Elemente
(mogliherweise auh Null oder mehrere) zuordnen.
• Das dr
uken wir auh notationell aus.
c B. Möller
{ 11 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
"hugo" hatelter = {"eulalia","egbert"}
c B. Möller
{ 12 {
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Relationen
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Es ist nutzlih, das Bild auh auf Mengen von Eingabewerten zu
erweitern.
Definition 2.7 Die Bildmenge (kurz: das Bild) von N1 ⊆ M1
unter R ist
N1 R =df {y ∈ M2 | ∃ x ∈ N1 : (x, y) ∈ R}
Beispiel 2.8
hatelter = { ("hugo","eulalia"), ("elsa","amanda"),
("amanda","egbert"),("luisa","hugo"),
("diethelm","kuno"),("hugo","egbert"),
("kuno","egbert"), ("emo","eulalia") }
{"hugo","diethelm"} hatelter = {"eulalia","egbert","kuno"}
{ 13 {
c B. Möller
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2.4
Konverse Relation und Urbild
Mit den bisherigen Mitteln konnen wir nun die Eltern einer Person
bestimmen, aber niht ihre Kinder.
Damit wir das konnen, mussen wir die Rollen von Ein- und
Ausgabewerten vertaushen.
Beispiel 2.9
1. x ist Kind von y genau dann, wenn y Elter von x ist.
2. x ist groer als y genau dann, wenn y kleiner als x ist.
c B. Möller
{ 14 {
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Dazu denieren wir zu einer gegebenen Relation einfah eine neue,
in der die Reihenfolge der Elemente in den Paaren umgekehrt ist.
Definition 2.10 Zu R ⊆ M1 × M2 ist die konverse Relation
R ⊆ M2 × M1 gegeben durh
def
(x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R
Sie spielt eine ahnlihe Rolle wie die Umkehrfunktion einer
Funktion.
Durh Kombination von konverser Relation und Bildmenge kann
man nun auh Urbilder bestimmen.
Es gilt namlih
x R
= f[ Denition Bild ℄g
{y ∈ M1 | (x, y) ∈ R}
= f[ Denition Konverse ℄g
{y ∈ M1 | (y, x) ∈ R}
=
f[ Umbennenung y → z ℄g
{z ∈ M1 | (z, x) ∈ R}
Allerdings existiert sie immer, was fur die Umkehrfunktion niht
gilt.
c B. Möller
{ 15 {
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Das sind also gerade alle Eingabewerte, fur die x ein mogliher
Ausgabewert ist.
c B. Möller
{ 16 {
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Elemente, die x als moglihes Bild haben, nennt man auh Urbilder
von x.
Definition 2.11
1. Die Urbildmenge (kurz: das Urbild) von x ∈ M2 unter R ist
R x =df {z ∈ M1 | (z, x) ∈ R} = x R
2. Die Urbildmenge (kurz: das Urbild) von N2 ⊆ M2 unter R ist
R N2 =df {z ∈ M1 | ∃ x ∈ N2 : (z, x) ∈ R} = N2 R
Beispiel 2.12
{ Alle Kinder von x bekommt man als hatelter x.
{ Die Menge aller Teiler von 60 erhalt man als | 60.
{ Die Menge aller naturlihen Zahlen groer als 17 ist > 17.
{ 17 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 09/10
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2.5
Relationen und Graphen
Fur uns sind besonders zweistellige homogene Relationen wihtig;
allgemeinere werden vor allem im Datenbankbereih betrahtet.
Shreibweise fur zweistellige Relationen:
x R y statt (x, y) ∈ R
Beispiel 2.13
1. Sei P eine Menge von Personen. Wir setzen
x MSG y genau dann, wenn x mindestens so gro ist wie y
2. Teilbarkeitsrelation | auf der Menge IN der naturlihen Zahlen
(inklusive Null):
| = { (x, y) ∈ IN × IN : ∃ z ∈ IN : x · z = y }
z.B. 5 | 10, d.h. (5, 10) ∈ |
⊔
⊓
{ 18 {
c B. Möller
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Relationen
Eine homogene zweistellige Relation R ⊆ M × M stellt man oft
auh graphish dar:
{ Die Elemente von M zeihnet man als Punkte;
{ gilt x R y, so zeihnet man einen Pfeil von x nah y.
10
Die Darstellung der konversen Relation gewinnt man einfah durh
Umdrehen aller Pfeile:
10
20
20
R:
5
20
5
15
R :
5
15
10
15
Eine solhe Darstellung heit auh Graph.
c B. Möller
{ 19 {
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c B. Möller
{ 20 {
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Relationen
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Oft identiziert man die graphishe Darstellung mit der
dargestellten Relation. Daher deniert man
Diese Graphen sind in zweierlei Hinsiht speziell:
Definition 2.14
• Die Verbindungen sind Pfeile und niht nur Streken, da die Rei-
• Ein unmarkierter gerihteter Graph ist ein Paar (V, E) mit einer
henfolge in den Paaren von R wesentlih ist.
• Die Verbindungen tragen keine zusatzlihe Information wie etwa
Entfernungen oder Kosten;
• es wird nur festgehalten, ob eine direkte Verbindung zwishen
zwei Punkten besteht oder niht.
• Allgemeinere Graphen werden wir spater betrahten.
Menge V von Punkten und einer Relation E ⊆ V × V von Verbindungen.
• Wir werden kurz Graph sagen, solange keine allgemeineren als
unmarkierte gerihtete Graphen auftreten.
• Die Punkte heien auh Knoten (engl. verties), die Verbindungen Kanten (egl. edges).
Wir werden im Folgenden oft Relationen oder Ausshnitte daraus
durh Graphen veranshaulihen.
c B. Möller
{ 21 {
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Relationen
2.6
{ 22 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Spezielle Relationen
Homogene zweistellige Relationen auf M konnen beliebige
Teilmengen von M × M sein. Also gibt es
• die leere Relation ∅, in der gar keine Elemente mit einander in
Diese zunahst etwas vershroben anmutenden Relationen haben
interessante Anwendungen:
• Ein
Graph mit leerer Kantenrelation besteht nur aus
isolierten Punkten, die vollig unverbunden sind.
Beziehung stehen,
• die Allrelation TT =df M × M, in der alle Elemente mit einander
in Beziehung stehen,
• die Gleihheits- oder Identitatsrelation (auh Diagonale)
I =df {(x, x) : x ∈ M}
in der jedes Element genau mit sih selbst in Relation steht:
b
d
a
xIy ⇔ x = y
c B. Möller
{ 23 {
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c B. Möller
{ 24 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
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• In einem Graphen mit der Allrelation als Kantenrelation sind
• In einem Graphen mit der Identitatsrelation als Kantenrelation
alle Knoten mit einander verbunden; man spriht auh vom
vollstandigen Graphen u ber der Knotenmenge.
ist jeder Knoten genau mit sih selbst verbunden; die Kanten
heien in diesem Fall auh Shlingen.
c B. Möller
b
d
b
d
a
a
{ 25 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
2.7
c B. Möller
{ 26 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Eigenschaften von Relationen
Einige Eigenshaften homogener zweistelliger Relationen sind von
besonderem Interesse; wir erlautern sie jeweils kurz.
Wir geben, soweit moglih, auh graphishe Darstellungen an.
• R heit reexiv, wenn jedes Element mit sih selbst in Relation
steht.
{ In Zeihen: ∀ x ∈ M : x R x
Dabei sei eine Verbindung eine Kante oder eine durhgestrihene
Kante.
x
• Eine Verbindung, deren Existenz angenommen wird, wird
shwarz gezeihnet,
• eine, deren Existenz daraus folgen soll oder die ohne Voraussetzung gefordert wird, rot.
{ Beispiel: Jede Person ist mindestens so gro wie sie selbst.
Im Folgenden sei R jeweils eine homogene Relation R ⊆ M × M.
c B. Möller
{ 27 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
c B. Möller
{ 28 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Relationen
• R heit transitiv, wenn sih Umwege\ u
 ber Zwishenelemente
• R heit irreexiv, wenn kein Element mit sih selbst in der Rela-
tion R steht.
{ In Zeihen: ∀ x ∈ M : ¬(x R x)
"
kurzshlieen\ lassen. D.h., steht x mit y in Relation und y
"
weiter mit z, dann steht auh x direkt mit z in Relation.
{ In Zeihen: ∀ x, y, z ∈ M : x R z ∧ z R y ⇒ x R y
x
x
{ Beispiel: Keine Person ist eht groer als sie selbst.
c B. Möller
{ 29 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
y
z
{ Beispiel: Ist x junger als y und y junger als z,
dann ist x auh junger als z.
{ 30 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
• R heit symmetrish, wenn Elemente, die in einer Rihtung in
• R heit antisymmetrish, wenn Elemente, die wehselseitig in Re-
Relation stehen, das auh in der anderen Rihtung tun.
{ In Zeihen: ∀ x, y ∈ M : x R y ⇒ y R x
lation stehen, sogar gleih sind.
{ In Zeihen: ∀ x, y ∈ M : x R y ∧ y R x ⇒ x = y
{ Eine graphishe Darstellung ist hier niht moglih.
{ Beispiel: Gilt x ≤ y und y ≤ x, dann folgt x = y.
y
x
{ Beispiel: Ist x gleih alt wie y, dann ist auh y
gleih alt wie x.
c B. Möller
{ 31 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
c B. Möller
{ 32 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Relationen
• R heit asymmetrish, wenn je zwei Elemente hohstens in einer
Rihtung in Relation stehen.
{ In Zeihen: ∀ x, y ∈ M : x R y ⇒ ¬ (y R x)
zumindest in einer Rihtung in Relation stehen.
{ In Zeihen: ∀ x, y ∈ M : x R y ∨ y R x
{ Beispiel: Wenn x eht junger als y ist, dann ist y
niht auh noh eht junger als x.
{ 33 {
y
x
y
x
c B. Möller
• R heit total (gelegentlih auh linear), wenn je zwei Elemente
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
{ Beispiel: Fur alle Zahlen x, y gilt x ≤ y oder y ≤ x
(oder beides, und dann sind sie gleih, aber das ist
ein spezieller Fall, weil ≤ auh noh antisymmetrish ist).
{ 34 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Wir fassen die Begrie nohmals tabellarish zusammen:
Definition 2.15 Eine homogene Relation R ⊆ M × M heit
• reexiv
gdw.
∀ x ∈ M : xRx
• irreexiv
gdw.
∀ x ∈ M : ¬(x R x)
• transitiv
gdw.
∀ x, y, z ∈ M : x R z ∧ z R y ⇒ x R y
• antisymmetrish
gdw.
∀ x, y ∈ M : x R y ∧ y R x ⇒ x = y
• symmetrish
gdw.
∀ x, y ∈ M : x R y ⇒ y R x
• asymmetrish
gdw.
∀ x, y ∈ M : x R y ⇒ ¬ (y R x)
• total (linear)
gdw.
∀ x, y ∈ M : x R y ∨ y R x
c B. Möller
{ 35 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Beispiel 2.16
• Die Relation zwishen Personen
x ist mindestens so gro wie y
ist reexiv und transitiv.
• Die Relation < zwishen Zahlen ist irreexiv, transitiv und asym-
metrish.
• Die Relation ≤ zwishen Zahlen ist reexiv, transitiv, antisymmetrish und total.
• Die Gleihheitsrelation I ist reexiv, transitiv und symmetrish.
⊔
⊓
c B. Möller
{ 36 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Relationen
Es zeigt sih, dass die Eigenshaften der letzten drei Relationen
jeweils harakteristish fur eine ganze Klasse von Relationen sind:
• Eine irreexive, transitive und asymmetrishe Relation heit
Striktordnung. Sie kann z.B. das Praferenzkonzept eht besser
"
als\ ausdruken.
• Eine reexive, transitive, und antisymmetrishe Relation heit
(partielle) Ordnung. Sie drukt analog den Sahverhalt eht bes"
ser als oder gleih gut wie\ aus.
• Allerdings m
ussen niht alle Elemente mit einander vergleihbar
sein (daher der Beiname partiell\), wie z.B. im Beispiel der na"
tionalen Kuhen in Kap. 1.
• Ist die Ordnung zusatzlih total, so steht tatsahlih f
ur je zwei
Elemente fest, welhes das bessere\ ist.
"
{ 37 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
2.8
• Eine reexive, transitive und symmetrishe Relation heit

.
Aquivalenzrelation
• In einer solhen Relation stehende Elemente werden als gleihwertig oder austaushbar angesehen.
Wir werden diesen Relationentypen jeweils eigene Kapitel widmen,
da sie in vielen Bereihen sehr wihtig sind.
c B. Möller
{ 38 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Ausführliches Beispiel
Zum Abshluss diese Kapitels wollen wir noh ein etwas weniger
oensihtlihes Beispiel besprehen.
• Gegeben sei die Menge
M = {♣, ♠, ♥, ♦, ♣, ♠, ♥, ♦}
• Ein Element x ∈ M stehe mit y ∈ M in der Relation maumau,
wenn die Farbe von x gleih der von y ist oder das Symbol von
x das selbe ist wie das von y, in Zeihen
Wir prufen nun, welhe Eigenshaften die Relation maumau hat.
• Ist maumau reexiv ? Ja. Dazu gen
ugt eine der beiden folgenden
Feststellungen:
{ Die Farbe von x ist gleih der von x.
{ Das Symbol von x ist das selbe wie das von x.
farbe (x) = farbe (y) ∨ symbol (x) = symbol (y)
Ahtung: Das oder\ ist niht ausshlieend!
"
c B. Möller
{ 39 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
c B. Möller
{ 40 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Relationen
• Ist maumau irreexiv ? Nein.
{ Wie wir gerade gesehen haben, gilt x maumau x fur alle x.
{ Damit ist z.B. ¬(♣ maumau ♣) verletzt.
{ Also ist maumau niht irreexiv.
c B. Möller
{ 41 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
• Ist maumau transitiv ? Nein.
{ Denn es gilt ♣ maumau ♣ und ♣ maumau ♠,
{ aber niht ♣ maumau ♠.
c B. Möller
{ 42 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
• Ist maumau symmetrish ? Ja. Dazu argumentieren wir wie folgt.
• Ist maumau antisymmetrish ? Nein.
{ Denn es gilt ♣ maumau ♣ und auh ♣ maumau ♣,
{ aber niht ♣ = ♣.
c B. Möller
{ 43 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Es gelte x maumau y. Wie kann das zustande kommen?
{ Fall 1: Die Farbe von x ist gleih der von y.
Dann ist auh die Farbe von y gleih der von x.
Also gilt y maumau x.
{ Fall 2: Das Symbol von x ist das selbe wie das von y.
Dann ist auh das Symbol von y das selbe wie das von x.
Also gilt y maumau x.
Damit gilt also stets auh y maumau x und wir sind fertig.
c B. Möller
{ 44 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
Relationen
Relationen
• Ist maumau asymmetrish ? Nein.
{ Denn es gilt sowohl ♣ maumau ♣ als auh ♣ maumau ♣,
{ was bei Asymmetrie verboten ist.
c B. Möller
{ 45 {
Diskrete Strukt. WS 09/10
• Ist maumau total ? Nein.
{ Denn es gilt weder ♣ maumau ♠
{ noh ♠ maumau ♣.
c B. Möller
{ 46 {
Diskrete Strukt. WS 09/10