Diskrete Algebraische Strukturen • SoSe 2016 Zur

Diskrete Algebraische Strukturen • SoSe 2016
Übungsblatt 11
Zur Bearbeitung in der Übung am 04.07. – 08.07.2016
Vorlesung: Dr. Mark Steinhauer
Übungen: Dr. Mark Steinhauer
(Zur Bearbeitung in der Übung am 04.07. – 08.07.2016)
Präsenzübungen
Aufgabe 11.1 (10 Punkte)
(i) Hat das System von Kongruenzen
x ≡ a1
mod m1
x ≡ a2
mod m2
immer eine Lösung in Zm1 ·m2 ?
(ii) Was sagt der Chinesische Restsatz über folgendes System von Kongruenzen aus?
x ≡ 1
mod 4
x ≡ 3
mod 6 .
Aufgabe 11.2 (10 Punkte)
(i) Lösen Sie das folgende System von Kongruenzen:
x ≡ 3 mod 2 ,
x≡3
mod 5 ,
x≡3
mod 7 .
(ii) Finden Sie alle Lösungen des Systems
x≡1
mod 2 ,
x ≡ 3 mod 4
in Z8 . ACHTUNG: Der Chinesische Restsatz ist nicht (!) anwendbar!
Aufgabe 11.3 (10 Punkte)
RSA-Algorithmus: Senden Sie mir die Nachricht „NEIN“ verschlüsselt zu, wenn mein öffentlicher Schlüssel
(n, e) = (55, 3) ist. D. h. Codieren Sie „Nein“ durch Zahlen (also mit der Zahl, welche die Stelle des Buchstaben
im Alphabet belegt) und verschlüsseln Sie diese Nachricht.
Aufgabe 11.4 (10 Punkte)
Angenommen, ein Computer kann nur ganze Zahlen mit zwei Dezimalstellen effizient verarbeiten. Sie
möchten aber auch dreistellige Zahlen effizient darstellen, addieren und multiplizieren. Wählen Sie dazu
drei passende Module und stellen Sie zum Beispiel 203 und 125 durch ihre (zweistelligen) Reste bezüglich
der Module dar. (Es sind drei Module ausreichend, da das Produkt aus zwei dreistelligen Zahlen höchstens
sechsstellig ist. Berechnen Sie mithilfe des Chinesischen Restsatzes die Summe und das Produkt von 203 und
125.
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Aufgabe 11.5 (10 Punkte)
Richtig oder falsch:
a) Wenn R ⊆ A × B eine Relation zwischen A und B ist, so ist R−1 ⊆ B × A eine Relation zwischen B und A.
b) Wenn R ⊆ A × B und S ⊆ B × C, dann ist S ◦ R ⊆ A × C und R ◦ S ist nicht definiert.
c) R asymmetrisch ⇒ R antisymmetrisch.
d) Die Umkehrung von c) gilt aber nicht.
e) Die transitive Hülle von R zu bilden bedeutet, R um jene Paare zu erweitern, die notwendig sind, damit die
Eigenschaft „transitiv“ gegeben ist. Es werden aber nur die dafür unbedingt notwendigen Paare hinzugefügt,
und keines mehr. Die transitive Hülle ist eindeutig bestimmt.
Aufgabe 11.6 (10 Punkte)
R = {(1, 1), (2, 2)} und S = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)} seien Relationen auf der Menge A = {1, 2}. Geben Sie die
Vereinigung R ∪ S und den Durchschnitt R ∩ S von R und S, sowie das Komplement von R in A2 = A × A
an. Ist eine Relation eine Teilmenge der anderen?
Aufgabe 11.7 (10 Punkte)
Geben Sie an:
a) den Durchschnitt der Relationen „größer oder gleich“ (≥) und „kleiner oder gleich“ (≤) auf N.
b) den Durchschnitt der Relationen „größer “ (>) und „kleiner “ (<) auf N.
c) das Komplement der Relation „größer oder gleich“ (≥) auf N.
Aufgabe 11.8 (10 Punkte)
Gegeben sind die Relationen R = {(a, b)} und S = {(a, b), (c, a)} auf A = {a, b, c}. Geben Sie die Relationen
S ◦ R und R ◦ S an.
Aufgabe 11.9 (10 Punkte)
(i) Gegeben sind die Menge A = {a, b, c} und die Relation R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}. Was
muss aus der Relation R zum Beispiel entfernt werden, damit R a) antisymmetrisch b) asymmetrisch wird?
(i) Gegeben sind die Menge A = {a, b, c} und die Relation S = {(a, a), (a, c), (c, c)}. Ist S reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv?
Aufgabe 11.10 (10 Punkte)
(i) Geben Sie die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation „a hat bei Division durch 5 den gleichen Rest wie
b“ auf Z an. Liegt jede ganze Zahl in irgendeiner Äquivalenzklasse? Gibt es eine ganze Zahl, die gleichzeitig
in zwei verschiedenen Äquivalenzklassen liegt?
(ii) Zwei vierstellige Dualzahlen sollen als äquivalent betrachtet werden, wenn sie in den linken ersten beiden
Stellen übereinstimmen. Geben Sie die Äquivalenzklassen an.
Aufgabe 11.11 (10 Punkte)
(i) Was ist der Unterschied zwischen eine Ordnung(srelation) und einer strikten Ordnung(srelation)?
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(ii) Ist {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} eine totale Ordnung oder eine partielle Ordnung auf A = {1, 2, 3}?
Aufgabe 11.12 (10 Punkte)
(i) Gegeben sind die Menge A = {a, b, c} und die Relation R = {(a, a), (a, c), (c, c)}. Geben Sie a) die
reflexive und b) die symmetrische Hülle von R an.
(ii) Gegeben ist die Relation S = {(a, b), (b, a), (b, c)} in A = {a, b, c}. Geben Sie ihre transitive Hülle an.
Aufgabe 11.13 (10 Punkte)
(i) Ist die Relation „a teilt b“ auf der Menge A = {2, 3, 4, 5} eine Ordnung/strikte Ordnung? Wenn ja: Ist sie
total oder partiell?
(ii) Geben Sie alle Elemente der Relation „x liegt im Alphabet vor y“ in der Menge A = {a, b, c, d} an. Ist
diese Relation eine Ordnung/strikte Ordnung? Wenn ja: Ist sie total oder partiell?
Aufgabe 11.14 (10 Punkte)
Geben Sie jeweils ein Beispiel an für eine Relation, die
a) weder symmetrisch noch asymmetrisch noch antisymmetrisch ist,
b) zwei dieser Eigenschaften hat.
c) Kann es sein, dass eine Relation alle drei Eigenschaften hat?
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