Gegeben sei eine Relation R auf der Menge M, d

In Kapitel G.1.2 wurden Relationen definiert:
G.1.2.10. Relationen
Sind M und N Mengen, so heißt eine Teilmenge R  M  M eine ( binäre ) Relation
zwischen M und N.
Für m M und n  N schreibt man statt (m; n)  R oft mRn oder m ~ n .
Ist M = N, so spricht man auch von einer Relation auf M.
Gegeben sei nun eine Relation R auf der Menge M.
1. R heißt reflexiv, falls (a; a)  R für alle a  M gilt.
2. R heißt symmetrisch, falls (a; b)  R  (b; a)  R für alle a, b  M gilt.
3. R heißt transitiv, falls (a; b)  R  (b; c)  R  (a; c)  R für alle a, b, c  M gilt.
Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Für Äquivalenzrelationen R definiert man die zu einem Element m  M gehörende
Äquivalenzklasse m durch m  {n  M | mRn} als die Menge der zu m in Relation
stehenden Elemente. m heißt ein Vertreter der Äquivalenzklasse m .
Ist n  m , steht also n in Relation zu m, so sind wegen der Symmetrie und Transitivität die
zu n in Relation stehenden Elemente genau die zu m in Relation stehenden Elemente, also
gilt dann m  n . Jedes Element von m ist ein Vertreter von m .
Die Menge M ist die disjunkte Vereinigung aller Äquivalenzklassen.
Beweis:
Zwei Äquivalenzklassen m und n sind disjunkt (haben keine gemeinsamen Elemente) oder
gleich: Gibt es ein gemeinsames Element von m und n , so stehen (wieder wegen Symmetrie
und Transitivität) auch m und n in Relation. Nach der Betrachtung im letzten Absatz ist
dann m  n . Wegen der Reflexivität enthält jede Äquivalenzklasse m mindestens das
Element m. Insgesamt besteht M also aus der Vereinigung der Äquivalenzklassen. □
Beispiele für Äquivalenzrelationen:
Gleichheit von Zahlen, Kongruenz von Dreiecken, Parallelität von Geraden, ...
Frage: Wie kann man die Äquivalenzklassen der folgenden Relation R beschreiben
M  Z  (Z  {0}) , (a; b) R (c; d )  ad  bc .
Was wird durch (a; b)  (c; d ) : (ad  bc; bd ) definiert?
Nun sei die Relation Rm für die ganze Zahl m > 1 auf der Menge der ganzen Zahlen Z
definiert durch
(a; b)  Rm  a und b haben bei Division durch m den selben Rest.
Zeigen Sie, dass Rm eine Äquivalenzrelation ist.
Die Äquivalenzklassen von Rm sind die Mengen 0, 1, 2, ... m  1 und es gilt
a  {a  k  m | k  Z} . Diese heißen auch Restklassen modulo m.
a besteht also aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch m den Rest a haben.
Ist a in der Restklasse b (bezüglich der Relation Rm , so schreibt man auch a  b mod m
und sagt a ist kongruent b modulo m.
Will man mit diesen Kongruenzen rechnen, so ist folgende Beziehung nützlich:
a  b mod m gilt genau dann, wenn a  b ohne Rest durch m teilbar ist.
Man beweist damit leicht die folgenden Rechenregeln:
1. Aus a  b mod m und c  d mod m folgt a  c  b  d mod m .
2. Aus a  b mod m und c  d mod m folgt ac  bd mod m .
3. Aus a  b mod m folgt ac  bc mod m .
4. Aus a  b mod m folgt a n  bn mod m für natürliche Zahlen n.
5. Sind a und b teilerfremd (nicht beide durch die selbe Zahl  1 ohne Rest teilbar)
und k eine ganze Zahl, so folgt aus ka  kb mod m die Kongruenz a  b mod m .