8.3. Relationen auf einer Menge M M ≠ ∅ sei eine Menge

8.3. Relationen auf einer Menge M
M ≠ ∅ sei eine Menge. Betrachtet werden Relationen R auf M , also R ⊆ M×M.
Auf dem Umdruck 8/2 sind wichtige Eigenschaften solcher Relationen zusammengestellt.
Dort sind neben den formalen Definitionen auch Formulierungen bzw. Interpretationen
angegeben:
• mit Hilfe von Mengen
• an Hand der Adjazenzmatrix von R (für eine endliche Menge M)
• an Hand des zu R gehörenden Digraphen (für eine endliche Menge M).
Bei der Formulierung mit Mengen zeigt sich bei den ersten drei Eigenschaftspaaren
die Polarisierung dieser Begriffe sehr schön:
• R ist reflexiv / irreflexiv :
R ∩ R0
= R0 / ∅
-1
= R-1 / ∅
• R ist symmetrisch / asymmetrisch :
R∩R
• R ist transitiv / intransitiv :
R ∩ R2
= R2 / ∅
Von besonderem Interesse sind Relationen, die Kombinationen dieser Eigenschaften
besitzen:
Definition
R sei eine Relation auf einer nichtleeren Menge M. R heißt
1) Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Abkürzung: ÄR
2) teilweise Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Abkürzung: TOR
3) (totale) Ordnungsrelation, wenn R eine teilweise Ordnungsrelation ist, die linear
ist. Abkürzung: OR
Viele Beispiele zu all diesen Begriffen sind auf den Umdrucken 8/3 und 8/4
zusammengestellt.
Beachte:
Eine ÄR R ist inhaltlich eine „verallgemeinerte Gleichheit“ :
ist (x,y) ∈R, so sind x und y „gleich unter einem speziellen Aspekt“.
sind (x,y), (y,x) ∉ R, so sind x und y „verschieden unter einem speziellen Aspekt“.
Beispiele:
Ist M die Menge aller Menschen, so ist „x hat den gleichen Vornamen wie y“ oder „x
hat im gleichen Monat Geburtstag wie y“ eine solche „verallgemeinerte Gleichheit“.
Ebenso in der Aussagenlogik die semantische Äquivalenz: „p und q haben die
selben Wahrheitstafeln“.
Ebenso bei der Relation auf den ganzen Zahlen: „ x und y lassen bei Division durch
eine natürliche Zahl n den gleichen Rest“.
Ebenso die Gleichheits-Relation auf jeder beliebigen Menge M: „x ist gleich y“.
Dies ist das eine Extrem: jedes Element ist ja nur zu sich selbst gleich! Die Relation
ist also idM.
Das andere Extrem wäre die „Zugehörigkeits-Relation“: „x und y gehören beide zu
M“. Diese Relation trifft auf alle x, y ∈ M zu, ist also M×M.
Eine TOR drückt eine Reihenfolge, eine Anordnung von Elementen einer Menge M aus:
ist (x,y) ∈ R, so sind x und y in einer Reihenfolge, sie sind vergleichbar.
sind (x,y), (y,x) ∉ R, so kann man keine Reihenfolge für x und y angeben, sie sind
nicht vergleichbar.
Beispiele:
Teilmengen-Relation auf der Potenzmenge einer Grundmenge G.
Semantische Implikation in der Aussagenlogik (mit der (verallgemeinerten) Gleichheit der semantischen Äquivalenz! Notwendig, wegen der Antisymmetrie!)
„Kleiner-gleich“-Relation in einer Booleschen Algebra.
Teilbarkeits-Relation in den natürlichen Zahlen (in den ganzen Zahlen nicht!)
Eine OR ist eine TOR, bei der je zwei verschiedene Elemente immer in einer Reihenfolge
sind, sie sind stets vergleichbar.
Beispiel:
reelle Zahlen mit der „Kleiner-gleich“-Relation
Zur Charakterisierung von ÄR:
ÄR werden meist mit dem Symbol ~ bezeichnet: ist ~ eine ÄR, so schreibt man meist für
(x,y) ∈ ~ : x~y. Dieses ~ symbolisiert also die „verallgemeinerte Gleichheit“.
Definition
~ sei ÄR auf M.
Für x ∈ M heißt [x]~ := { a | a ∈ M ∧ x~a } die Äquivalenzklasse von a bezüglich ~.
Die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich ~ heißt Restsystem (Faktormenge) von M
bezüglich ~ und wird mit M/~ bezeichnet.
Es ist also : M/~ = { [x]~ | x ∈ M }
Beachte: in [x]~ sind alle Elemente aus M enthalten, die zu x „verallgemeinert gleich“ sind.
M/~ ist die Menge dieser Äquivalenzklassen.
Eine erste Charakterisierung:
Satz: ~ sei ÄR auf M.
Dann sind die folgenden Aussagen für x, y ∈ M semantisch äquivalent:
i) x ~ y
ii) [x]~ = [y]~
iii) [x]~ ∩ [y]~ ≠ ∅
Beweis: Durch Zirkelschluss: i) ⇒ ii) ∧ ii) ⇒ iii) ∧ iii) ⇒ i):
i) ⇒ ii) : Vor.: x ~ y
Beh.: [x]~ = [y]~
Bew.: a ∈ [x]~ ⇔ a ~ x
Def. von [x]~
⇔ a~x∧x~y
nach Vor.
⇔ a~y
~ ist transitiv
⇔ a ∈ [y]~
Def. von [y]~
Damit ist [x]~ ⊆ [y]~ .
Der Beweis für [y]~ ⊆ [x]~ verläuft entsprechend.
ii) ⇒ iii) : Vor.: [x]~ = [y]~
Beh.: [x]~ ∩ [y]~ ≠ ∅
Bew.: ~ ist reflexiv, also ist x ~ x, also ist x ∈ [x]~ , also ist [x]~ ≠ ∅
Damit wird: [x]~ ∩ [y]~ = [x]~ ∩ [x]~ = [x]~ ≠ ∅
iii) ⇒ i) : Vor.: [x]~ ∩ [y]~ ≠ ∅
Beh.: x ~ y
Bew.: Nach Vor. gibt es ein a ∈ M mit a ∈ [x]~ ∩ [y]~ .
a ∈ [x]~ ∩ [y]~ ⇔ a ∈ [x]~ ∧ a ∈ [y]~
Def. von ∩
⇔ a~x ∧ a~y
Def. von [x]~
⇔ x~a ∧ a~y
~ ist symmetrisch
⇒ x~y
~ ist transitiv
Die Bedeutung dieses Satzes zeigt sich vor allem darin, dass zwei nicht-äquivalente
Elemente in verschiedenen Äquivalenzklassen liegen. Damit ergibt sich:
Satz: ~ sei eine Äquivalenzrelation auf M. Für das Restsystem M/~ gelten:
1) Für jedes x ∈ M ist [x]~ ≠ ∅
2) Sind x und y nicht äquivalent, so ist [x]~ ∩ [y]~ = ∅,
3) Die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist die Menge M.
Beweis:
Zu 1) : Da ~ reflexiv ist, ist stets x ∈ [x]~
Zu 2) : Kontraposition der semantischen Äquivalenz der Aussagen i) und iii)
aus dem vorigen Satz.
Zu 3) : Da alle Äquivalenzklassen Teilmengen von M sind, ist auch die
Vereinigung aller Äquivalenzklassen eine Teilmenge von M.
Andererseits ist für jedes x ∈ M auch x ∈ [x]~ , damit ist x auch ein
Element der Vereinigung aller Äquivalenzklassen.
Äquivalenzklassen sind also nichtleere und paarweise disjunkte Teilmengen von M, die die
ganze Menge M „überdecken“: sie zerlegen die Menge M.
Eine (leichte) Verallgemeinerung führt zu:
Definition
Ein Mengensystem Z ⊆ P(M) heißt eine Zerlegung (Partition, Klasseneinteilung) von M,
wenn Z die folgenden Eigenschaften erfüllt:
1)
2)
3)
∧(A ≠ ∅)
∧ (A ≠ B → A ∩ B = ∅)
∪A = M
A∈Z
A ,B∈Z
A∈Z
Unser voriger Satz kann also auch so formuliert werden: Das Restsystem einer Menge M
bezüglich einer ÄR bildet eine Zerlegung von M.
Interessant ist nun, dass umgekehrt jede Zerlegung von M auch zu einer ÄR auf M führt.
Das geschieht auf eine fast „natürliche“ Art: man erklärt einfach zwei Elemente x, y aus M
als „äquivalent“, wenn sie in derselben Menge A der Zerlegung liegen; x und y sind damit
also „verallgemeinert gleich“. Dass man so tatsächlich eine ÄR auf M bekommt, ist ein Teil
des folgenden Satzes, den man auch als „Hauptsatz über Äquivalenzrelationen“
bezeichnet.
Satz : M sei eine nichtleere Menge.
1) ~ sei eine ÄR auf M. Dann ist M/~ eine Zerlegung von M.
2) Z ⊆ P(M) sei eine Zerlegung von M.
Dann ist die Relation ~Z eine ÄR auf M, wobei
für x,y ∈ M ist x ~Z y :⇔ es gibt eine Menge A ∈ Z mit x ∈ A und y ∈ A
3) a) ~ sei eine ÄR auf M.
Dann sind ~ und die nach 2) zur Zerlegung M/~ gehörende ÄR gleich.
b) Z ⊆ P(M) sei eine Zerlegung von M.
Dann sind Z und die nach 1) zur ÄR ~Z gehörende Zerlegung gleich.
Dieser Satz zeigt, dass die Begriffe „ÄR auf M“ und „Zerlegung von M“ inhaltlich dasselbe
bedeuten.
Nun zum Beweis:
Zu 1): Das haben wir schon im vorigen Satz bewiesen.
Zu 2): Wir müssen zeigen, dass die Relation ~Z eine ÄR auf M ist:
r: da Z eine Zerlegung von M ist, liegt jedes x ∈ M in einer (sogar in genau
einer!) der Zerlegungsmengen von Z. Für jedes x ∈ M gibt es also ein A ∈ Z
mit x ∈ A; für jedes x ∈ M ist also x ~Z x
s: x ~Z y ⇔ es gibt ein A ∈ Z mit x ∈ A und y ∈ A
⇔ es gibt ein A ∈ Z mit y ∈ A und x ∈ A
⇔ y ~Z x
t: x ~Z y ∧ y ~Z w ⇔ es gibt ein A ∈ Z mit x ∈ A und y ∈ A
∧ es gibt ein B ∈ Z mit y ∈ B und w ∈ B
es ist also : y ∈ A und y ∈ B, also y ∈ A ∩ B, also A ∩ B ≠ ∅.
Da Z eine Zerlegung ist, muss also A = B sein.
Damit ist auch w ∈ A, und schließlich x ~Z w .
Zu 3): Bei diesem Beweis liegt die Hauptschwierigkeit darin, sich klar zu machen,
was man eigentlich beweisen muss! Wir (er-)sparen uns den Beweis.
Zum Schluss ein durchgerechnetes Beispiel für diesen Hauptsatz:
Sei n ∈  beliebig, aber fest gewählt. Auf der Menge  erklären wir die Relation
„Kongruenz modulo n“ durch: x ist kongruent zu y modulo n , wenn x und y bei Division
durch n den selben Rest haben, in Zeichen: x ≡ y mod n
Zur Erinnerung: „eine ganze Zahl x hat bei Division durch n den Rest r“ bedeutet:
es gibt eine ganze Zahl q mit x = q⋅n + r , wobei r ∈ {0,1,...., n-1} ist.
Für x, y ∈  ist also x ≡ y mod n ⇔ es gibt ganze Zahlen q1 und q2 mit x = q1⋅n + r und y
= q2⋅n + r für ein r ∈ {0,1,...., n-1}. Damit wird also x - y = q1⋅n + r - (q2⋅n + r) = (q1 - q2)⋅n.
x - y ist damit ein ganzzahliges Vielfaches der natürlichen Zahl n, bzw. n ist ein Teiler von
x-y in der Menge .
Und so definieren wir jetzt die Kongruenz modulo n:
x ≡ y mod n :⇔ n|(x-y) in  ⇔ es gibt ein q ∈  mit q⋅n = x - y
Für x, y ∈  ist
Wir zeigen, dass diese Relation eine ÄR auf  ist.
r:
Sei x ∈ . Dann ist x - x = 0 = 0⋅n, also x ≡ x mod n
s:
x ≡ y mod n ⇔ es gibt ein q ∈  mit q⋅n = x - y
dann ist y - x = (-q) ⋅n, also y ≡ x mod n
t:
x ≡ y mod n ∧ y ≡ z mod n ⇔ es gibt ein q1 ∈  mit q1⋅n = x - y
∧ es gibt ein q2 ∈  mit q2⋅n = y - z
Damit wird: x - z = x - y + y - z = (q1 + q2) ⋅n, also x ≡ z mod n.
Die Kongruenz modulo n ist also eine ÄR.
Die Äquivalenzklassen ergeben sich als [r] = { q⋅n +r | q ∈  }
Übungsaufgabe: Betrachten Sie diese Relation für n = 5.