IV Differentialgleichungen zweiter Ordnung

IV Differentialgleichungen
zweiter Ordnung
Dr. Laura Keller
7. Mai 2016
1 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
Zur Erinnerung :
Die allgemeine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung sieht
wie folgt aus:
a2 (t)u 00 (t) + a1 (t)u 0 (t) + a0 (t)u(t) = s(t).
Dabei sind a2 (t), a1 (t) und a0 (t) die Koeffizienten und s(t) die
Störfunktion.
Falls gilt s(t) = 0, so nennt man die obige Differentialgleichung
homogen.
Im Weiteren wollen wir nur noch lineare Differentialgleichungen
zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten betrachten.
Dabei wollen wir stets annehmen, dass gilt a2 = 1, d.h. dass die
Differentialgleichung in Normalform
u 00 (t) + a1 u 0 (t) + a0 u(t) = s(t)
gegeben ist.
In der allgemeinen Lösung einer Differentialgleichung zweiter
Ordnung tauchen 2 Konstanten auf.
Wollen wir also aus der allgemeinen Lösung - einer Familie von
Funktionen - eine Funktion auswählen, so müssen wir zwei
Informationen vorgeben.
→ Zwei Strategien
Erste Strategien
Wir geben die Funktionswerte an zwei unterschiedlichen Stellen
vor, d.h.
u(t0 ) = u0 , u(t1 ) = u1 ,
t0 6= t1 .
Dies nennt man ein Randwertproblem.
Zweite Strategien
Alternativ kann man an einer Stelle zwei Informationen vorgeben,
nämlich den Funktionswert und den Wert der ersten Ableitung, d.h.
u(t0 ) = u0 ,
u 0 (t0 ) = v0 .
Dies nennt man ein Anfangswertproblem.
Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
Unser Ziel ist eine Lösungsformel für eine Differentialgleichung der
Form
u 00 (t) + a1 u 0 (t) + a0 u(t) = 0
Der Ansatz u(t) = e λt (Eulerscher Ansatz) führt uns auf
die charakteristische Gleichung
λ2 + a1 λ + a0 = 0
respektive das charakteristische Polynom
p(λ) = λ2 + a1 λ + a0
Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen
Gegeben ist das quadratische Polynom
az 2 + bz + c = 0,
a, b, c ∈ R.
Dann gilt:
I
Das obige Polynom besitzt zwei komplex konjugierte
Nullstellen, falls gilt b 2 − 4ac < 0 .
I
Das obige Polynom besitzt eine doppelte Nullstellen, falls gilt
b 2 − 4ac = 0.
I
Das obige Polynom besitzt zwei verschiedene reelle
Nullstellen, falls gilt b 2 − 4ac > 0.
Bedeutung für unsere Suche nach einer Lösungsformel
I
Falls ∆ = a12 − 4a0 > 0, ist die gesuchte Lösung gegeben
durch
u(t) = C1 e λ1 t + C2 e λ2 t
wobei
λ1,2 =
1
− a1 ±
2
q
a12 − 4a0
I
Falls ∆ = a12 − 4a0 = 0, ist die gesuchte Lösung gegeben
durch
u(t) = C1 e λt + C2 te λt
wobei
1
λ = − a1
2
I
Falls ∆ = a12 − 4a0 < 0, ist die gesuchte Lösung gegeben
durch
u(t) = e αt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt))
wobei
λ1,2 =
1
− a1 ± j
2
q
4a0 − a12 = α ± jβ
Inhomogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten
Unser Ziel ist eine Lösungsformel für eine Differentialgleichung der
Form
u 00 (t) + a1 u 0 (t) + a0 u(t) = s(t)
Das Grundprinzip lautet wiederum:
allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
= allgemeine Lösung der dazugehörigen homogenen Gleichung
+ partikuläre Lösung
Einige Hinweise zum Ansatz für die partikuläre Lösung
I
Falls die Störfunktion ein Polynom n-ten Grades ist, wählen
wir als Ansatz für die partikuläre Lösung ein Polynom vom
gleichen Grad.
I
Falls die Störfunktion eine Schwingung ist, wählen wir als
Ansatz für die partikuläre Lösung eine Schwingung der
gleichen Frequenz.
I
Falls die Störfunktion das Produkt eines Polynoms und einer
Exponentialfunktion ist, wählen wir als Ansatz für die
partikuläre Lösung ein Produkt eines Polynom vom gleichen
Grad mit einer Exponentialfunktion mit gleichem Exponent.
Zusammenfassung
I
Homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
→ Aufgabe 10.1
I
Anfangswertprobleme
→ Aufgabe 10.2
I
Randwertprobleme
→ Aufgabe 10.3
I
Inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
→ Aufgabe 10.5