Diskrete Mathematik 1 - CITS - Ruhr

Ruhr-Universität Bochum
Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit
Prof. Dr. Alexander May
M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer
Lösungsblatt zur Vorlesung
Diskrete Mathematik 1
WS 2008/09
Blatt 8 / 09. Dezember 2008 / Abgabe bis 16. Dezember 2008, 08.00 Uhr,
in die Kästen auf NA 02
AUFGABE 1 (2 Punkte):
Berechnen Sie das multiplikativ Inverse von 25 in Z∗93 mit dem Erweiterten Euklidischen
Algorithmus. Geben Sie Ihre Rechenschritte an.
Lösungsvorschlag:
Die Durchführung des Erweiterten Euklidischen Algorithmus angewendet auf 25 und 93 stellen wir tabellarisch ebenso wie in der Vorlesung dar:
a
b b ab c
93 25 3
25 18 1
18 7
2
7 4
1
4 3
1
3 1
3
1 0
−
x
y
7 −26
−5
7
2
−5
−1
2
1
−1
0
1
1
0
Damit gilt 1 = 7 · 93 − 26 · 25. Also ist das Inverse von 25 in Z∗93 gleich −26 = 67 (mod 93).
AUFGABE 2 (6 Punkte):
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) (Z10 , ·) ist eine Gruppe.
(b) (G4 , ◦) ist eine Gruppe.
(c) (Z4 , +) ist Untergruppe von (Z6 , +).
(d) In (Z∗11 , ·) besitzt H = {1, 10} genau 5 verschiedene Nebenklassen.
Lösungsvorschlag:
(a) Es ist ggT(10, 5) = 5 und 5x = 0 (mod 10) oder 5x = 5 (mod 10) für alle x ∈ Z10 .
Damit besitzt 5 kein multiplikativ Inverses in (Z10 , ·) und (Z10 , ·) ist daher keine Gruppe.
(b) Es gilt (G4 , ◦) ist eine Gruppe. Zum Beweis überprüfen wir die Gruppeneigenschaften.
1. Die identische Permutation id = (1)(2)(3)(4) auf 4 Elementen liegt in G4 und ist
neutrales Element bezüglich ◦, da sie jedes Element auf sich selber abbildet, also
π ◦ id = id ◦ π = π für alle π ∈ G4 .
2. Es gilt das Assoziativgesetz in G4 , da die Verknüpfung von Permutationen ebenso
wie die Verknüpfung von Abbildungen generell assoziativ ist.
3. Sei π ∈ G4 . Da π als Permutation bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung
π −1 ∈ G4 mit π ◦ π −1 = π −1 ◦ π = id.
4. Für π1 , π2 ∈ G4 gilt π1 ◦ π2 ist ebenfalls eine Permutation auf 4 Elementen, also
aus G4 , G4 ist also abgeschlossen.
(c) Es ist |Z4 | = 4 und |Z6 | = 6. Also gilt |Z4 | 6 ||Z6 | und damit kann Z4 nach dem Satz
von Lagrange keine Untergruppe von Z6 sein.
Alternativ kann man auch zeigen, dass Z4 = {0, 1, 2, 3} nicht abgeschlossen ist unter
der Addition modulo 6. So ist zum Beispiel 2 + 3 = 5 (mod 6), aber 5 ∈
/ Z4 .
(d) Es ist H = 1H = 10H = {1, 10}, denn 10 · 1 = 10
Weiterhin gilt:
2H = 9H = {2, 9}, denn 2 · 1 = 2 (mod 11) und
(mod 11) und 9 · 10 = 2 (mod 11).
3H = 8H = {3, 8}, denn 3 · 1 = 3 (mod 11) und
(mod 11) und 8 · 10 = 3 (mod 11).
4H = 7H = {4, 7}, denn 4 · 1 = 4 (mod 11) und
(mod 11) und 7 · 10 = 4 (mod 11).
5H = 6H = {5, 6}, denn 5 · 1 = 5 (mod 11) und
(mod 11) und 6 · 10 = 5 (mod 11).
(mod 11) und 10 · 10 = 1 (mod 11).
2 · 10 = 9 (mod 11) sowie 9 · 1 = 9
3 · 10 = 8 (mod 11) sowie 8 · 1 = 8
4 · 10 = 7 (mod 11) sowie 4 · 1 = 7
5 · 10 = 6 (mod 11) sowie 6 · 1 = 6
Somit besitzt H 5 Nebenklassen. Die Vereinigung aller Nebenklassen ergibt Z∗11 , also kann H
keine weiteren Nebenklassen besitzen.
AUFGABE 3 (6 Punkte):
(a) Seien a, b ∈ Z mit a = b (mod ϕ(N )). Zeigen Sie, dass dann für alle x ∈ Z∗N gilt:
xa = xb
(mod N ).
(b) Berechnen Sie 52244224 (mod 23).
(c) Bestimmen Sie das Inverse zu 522222220 (mod 23).
Lösungsvorschlag:
(a) Nach dem Satz von Lagrange gilt: ord(x)|ϕ(N ), da ϕ(N ) gerade die Gruppenordnung
von Z∗N ist. Sei also
a≡b
mod ϕ(N )
Das bedeutet: ϕ(N )|a − b und somit ord(x)|a − b, also
a≡b
mod ord(x)
Mit Präsenzübung 8, Aufgabe 3, folgt dann die Behauptung.
(b) Wir wissen: Weil 23 Primzahl ist, gilt 5 ∈ Z∗23 und wir dürfen im Exponenten mod ϕ(23)
rechnen. Es gilt ϕ(23) = 22 und wegen 2244224 = 4 (mod 22) erhält man also
52244224 = 54 = 22 = 4
(mod 23)
(c) Wie zuvor berechnen wir zunächst 22222220 = 20 = −2 (mod 22) und somit gilt
522222220 = 5−2
(mod 23).
Daher ist (522222220 )−1 = 52 = 2 in Z∗23 .
AUFGABE 4 (6 Punkte):
Seien a, b, k, n, p ∈ N, p prim.
Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Eulerschen ϕ-Funktion:
(a) ϕ(pk ) = pk (1 − p1 )
(b) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), falls ggT(a, b) = 1.
Q
Q
(c) ϕ(n) = n p|n (1 − p1 ), falls n = p|n pkp die Primfaktorzerlegung von n ist.
Lösungsvorschlag:
(a) Die zu pk nicht teilerfremden Zahlen sind gerade die Zahlen
p, 2p, 3p, . . . , p2 , 2p2 , . . . , p3 , . . . , pk
also alle Zahlen der Form xp mit 1 ≤ x ≤ pk−1 . Insgesamt sind das pk−1 Stück. Damit
folgt
1
ϕ(pk ) = |{x ∈ Zpk : ggT(x, pk ) = 1}| = pk − pk−1 = pk (1 − )
p
(b) Nach dem chin. Restesatz haben wir für teilerfremde a, b einen Ringisomorphismus
φ : Zab → Za × Zb
und dieser induziert wegen φ(Z∗ab ) = Z∗a × Z∗b einen Gruppenisomorphismus
ϕ : Z∗ab → Z∗a × Z∗b .
Damit folgt
ϕ(ab) = |Z∗ab | = |Z∗a × Z∗b | = ϕ(a) · ϕ(b)
(c) Man rechnet leicht nach, dass
Y
(b) Y
ϕ(pkp )
ϕ(n) = ϕ( pkp ) =
p|n
p|n
Y
Y
1
1
(a) Y kp
=
p (1 − ) =
(1 − )
p kp
p
p
p|n
p|n
p|n
| {z }
=n
wobei wir die Multiplikativität von ϕ ausnutzen dürfen, da zwei Primzahlen p 6= p0
stets teilerfremd sind.