Elementare Zahlentheorie Musterlösungen Zettel 8 Aufgabe 1. a

Elementare Zahlentheorie
Musterlösungen Zettel 8
Aufgabe 1.
a)
33
71
=
3
11
71
71
2
5
11
1
·
=−
· −
=
·
=−
=−
= −1.
71
71
3
11
3
11
5
5
b)
34
71
35
71
=
2
71
17
71
3
17
2
·
=
=
=
=
= −1.
71
17
17
3
3
=
7
71
5
71
71
1
1
·
=−
·
=−
·
= −1.
71
7
5
7
5
c)
d)
36
71
= 1.
Aufgabe 2.
2
Für ein solches n gilt dann n2 + 1 ≡ 0 (mod 7) bzw.
n ≡ −1 (mod 7). Da
−1
7 ≡ 3 (mod 4) folgt aber aus Satz 10.6, dass 7 = −1 oder mit anderen
Worten: Diese Gleichung ist nicht lösbar. Also gewinnt Peter die Wette.
Aufgabe 3.
a) Satz 10.7 sagt für eine Primzahl p 6= 2:
2
1
, falls p ≡ 1 oder 7 (mod 8)
=
−1
, falls p ≡ 3 oder 5 (mod 8).
p
Da p eine von 2 verschiedene Primzahl ist, ist p ungerade, kann also
modulo 8 nur kongruent zu 1, 3, 5 oder 7 sein. Die Quadrate dieser Zahlen
sind alle kongruent zu 1 modulo 8, also ist insbesondere p2 − 1 in jedem
Fall durch 8 teilbar. Betrachte daher p2 − 1 modulo 16:
Fall 1: p ≡ 1 (mod 8). Dann ist p ≡ 1 (mod 16) oder p ≡ 9 (mod 16).
In beiden Fällen ist p2 ≡ 1 (mod 16) und daher ist p2 − 1 durch 16
teilbar.
Fall 2: p ≡ 7 (mod 8). Dann ist p ≡ 7 (mod 16) oder p ≡ 15 (mod 16).
Wieder gilt in beiden Fällen p2 ≡ 1 (mod 16), also ist auch in diesem
Fall p2 − 1 durch 16 teilbar.
Fall 3: p ≡ 3 (mod 8). Dann ist p ≡ 3 (mod 16) oder p ≡ 11 (mod 16)
und es folgt in beiden Fällen p2 ≡ 9 (mod 16), also ist p2 − 1 nicht
durch 16 teilbar.
Fall 4: p ≡ 5 (mod 16). Dann ist p ≡ 5 (mod 16) oder p ≡
13 (mod 16) und wieder gilt in beiden Fällen p2 ≡ 9 (mod 16), also
ist wieder p2 − 1 nicht durch 16 teilbar.
2
Dies zeigt, dass p 8−1 in den Fällen 1 und 2 gerade und in den Fällen 3
und 4 ungerade ist. Insbesondere gilt:
p2 −1
1
, falls p ≡ 1 oder 7 (mod 8)
(−1) 8 =
−1
, falls p ≡ 3 oder 5 (mod 8).
Dies zeigt die geforderte Äquivalenz.
b) Der quadratische Reziprozitätssatz sagt für ungerade Primzahlen p 6= q
folgendes aus:
 
, falls p ≡ q ≡ 3 (mod 4)
− pq
p
=
 q
q
, sonst.
p
genau dann ungerade ist, wenn p ≡ q ≡
Zu zeigen ist also, dass (p−1)(q−1)
4
3 (mod 4). Dazu genügt es, das Produkt (p − 1) · (q − 1) modulo 8 zu
betrachten.
Falls p ≡ q ≡ 3 (mod 4), dann folgt (p − 1) ≡ (q − 1) ≡ 2 (mod 4), also
ist p − 1 ≡ 2 (mod 8) oder p − 1 ≡ 6 (mod 8) und analog für q − 1. Die
möglichen Produkte modulo 8 sind also 2 · 2 = 4, 2 · 6 = 12 und 6 · 6 = 36
und diese Werte sind also kongruent zu 4 modulo 8, insbesondere also
nicht durch 8 teilbar.
Andererseits gilt: Ist nur einer der beiden Zahlen p oder q kongruent zu 1
modulo 4, ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dies p, dann ist p − 1
durch 4 teilbar und da q − 1 in jedem Fall gerade ist, ist das Produkt also
durch 8 teilbar und daher gilt die geforderte Äquivalenz.
Aufgabe 4.
a) Rechne mit Legendre-Symbolen. Es gilt:
ab
a
b
b
1
=
=
·
=
.
1=
p
p
p
p
p
b) Analog zu a) gilt:
r
ab
a
b
b
=
=
·
=
.
p
p
p
p
p
Es gilt also: b ist genau dann quadratischer Rest modulo p, wenn r quadratischer Rest modulo p ist.