Algorithmen und Datenstrukturen“ ¨Ubungsblatt 1, SS

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut Theoretische Informatik
FG Automaten und Formale Sprachen
PD Dr. M. Brinkmeier, Dr. E. Hübel
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/aud ss09.html
Algorithmen und Datenstrukturen“
”
Übungsblatt 1, SS 2009
Aufgabe 1 (Induktion)
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollständiger Induktion.
n
P
i = n(n+1)
(a)
2
i=1
(b)
n
P
(b − 1)bi = bn+1 − 1 für b ≥ 1
i=0
(c) Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl n ≥ 2 eine Primfaktorzerlegung hat, d.h. Produkt von
Primzahlen ist.
(d) Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig
bestimmt ist.
Aufgabe 2 (Die Harmonischen Zahlen)
Für n ∈ N ist Hn =
n
P
i=1
1
i
die n-te Harmonische Zahl. Zeigen Sie: ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln n + 1.
Hinweis: Beachten Sie, dass
R
1
x dx
= ln x gilt und betrachten Sie Ober- und Untersumme.
Aufgabe 3 (Erwartungswerte)
(Ω, p) sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. Ω 6= ∅ ist endliche Menge, p : Ω → [0, 1] ist
Funktion mit
P
p(ω) = 1. (p heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, ω ∈ Ω heißt Elementarereignis.)
ω∈Ω
Ein Ereignis ist eine Teilmenge A von Ω. Die Wahrscheinlichkeit Pr(A) ist als
P
p(ω) definiert.
ω∈A
Zeigen Sie: Für Ereignisse A, B gilt:
(a) 0 ≤ Pr(A) ≤ 1; Pr(∅) = 0, Pr(Ω) = 1.
(b) A ⊆ B =⇒ Pr(A) ≤ Pr(B).
(c) Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B).
Notation:
Wenn ϕ(ω), eine Aussage über ω’s ist, schreiben wir Pr(ϕ) anstelle von Pr({ω ∈ Ω | ϕ(ω)}).
Eine
P Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω →
p(ω) · X(ω).
R. Der Erwartungswert E(X) ist definiert als
ω∈Ω
Zeigen Sie:
(d) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) für zwei Zufallsvariablen X und Y .
(e) E(αX) = α E(X) für α ∈ R konstant, X Zufallsvariable.
P
(f ) Für jede Zufallsvariable X gilt: E(X) =
x · Pr(X = x). Dabei ist X[Ω] = {X(ω) | ω ∈ Ω} =
x∈X[Ω]
Bild(X).
R
(g) E(X) = Pr(Y ∈ V ), falls Y eine Zufallsvariable ist und V ⊆ ist und X die Zufallsvariable mit
(
1 falls Y (ω) ∈ V
X(ω) =
0 falls Y (ω) 6∈ V.
Bitte wenden
Aufgabe 4 (Rechenregeln für die asymptotische Notation)
Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
(a) O(f + g) = O(max{f, g}).
(b) g1 ∈ O(f1 ) und g2 ∈ O(f2 ) =⇒ g1 · g2 ∈ O(f1 · f2 ).
(c) |h(n)| = o(f (n)), f ∈ F + =⇒ f + h ∈ Θ(f ).
(d) g ∈ Θ(f ) ⇔ O(f ) = O(g).
(Sorgfältig beide Richtungen zeigen.)
(e) Sei f (n) = ln n und g(n) = log n. Zeigen Sie O(f ) = O(g).
(f) n! = O(nn ) und n! = Ω((n/2)n/2 ).
Aufgabe 5 (Wachstumsordnungen)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen für jedes k > 0:
(a) log n ∈ O(n1/k )
√
(b) O(log n) ⊆ O( n) ⊆ O( logn n ) ⊆ O(n) ⊆ O(n log n) ⊆ O(n(log n)2 ) ⊆ O(n2 ) ⊆ O(n3 ) ⊆ O(2n )