Klausur: Mathematik 1 – Gruppe A

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. G. Warnecke, Dr. A. Reifegerste
Sommersemester 2017
20. September 2017
Klausur: Mathematik 1 – Gruppe A
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Aufgabe 1 (5+2 Punkte)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:


 
2 0 −c 2
0


 
 0 2 −1 c  x =  1 
−1 c 0 1
−1
a) Für welche c ∈ R ist das System lösbar?
Für welche dieser Werte c ist die Lösung eindeutig?
b) Gibt es ein c ∈ R, so dass das System mit dieser Koeffizientenmatrix für jede rechte
Seite v ∈ R3 lösbar ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2 (5+2+3 Punkte)
a) Zeichnen Sie die Zahlen a und b in die (skalierte) Gaußsche Zahlenebene ein.
a=
2+i
,
1 + 3i
b = −2 exp( 17π
i)
4
b) Zeigen Sie: z z̄ ∈ R für alle z ∈ C
c) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms f (z) = z 4 + 3z 2 + 2 in C.
Hinweis: f (i) = 0
Aufgabe 3 (3+2+3 Punkte)
Gegeben sei die Matrix:
A=
1 a
!
1 1
a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
b) Für welche a ∈ R ist A diagonalisierbar?
c) Bestimmen Sie für den Fall a = 4 eine Matrix S, so dass S −1 AS Diagonalform hat.
Bitte wenden!
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung:
x2
≤ |x| − 1
x−1
Aufgabe 5 (4+2+1 Punkte)
Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ : R4 → R3 mit
ϕ(x) = (x1 − 2x2 + 3x3 − x4 , 2x1 − 4x2 + 4x4 , −x1 + 2x2 + x3 − 3x4 ).
a) Berechnen Sie den Kern von ϕ.
b) Geben Sie eine Basis für den Bildraum von ϕ an.
c) Ist ϕ injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6 (1+1+2 Punkte)
a) Ist jede beschränkte Zahlenfolge konvergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Ist jede konvergente Zahlenfolge monoton? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Berechnen Sie:
n2 + 2
n→∞ n − 3n2
lim
Aufgabe 7 (2+2 Punkte)
Sei U = {A ∈ R2×2 : AT = A}.
a) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von R2×2 ist.
b) Bestimmen Sie die Dimension von U .
Aufgabe 8 (2+2 Punkte)
Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen.
a) f (x) = − ln(x)
b) f (x) = sin(2x + π)
Viel Erfolg!
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. G. Warnecke, Dr. A. Reifegerste
Sommersemester 2017
20. September 2017
Klausur: Mathematik 1 – Gruppe B
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Aufgabe 1 (5+2 Punkte)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:


 
−2 0 2 c
0


 
 0 2 c −1 x =  1 
−1 c 3 0
−1
a) Für welche c ∈ R ist das System lösbar?
Für welche dieser Werte c ist die Lösung eindeutig?
b) Gibt es ein c ∈ R, so dass das System mit dieser Koeffizientenmatrix für jede rechte
Seite v ∈ R3 lösbar ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2 (5+2+3 Punkte)
a) Zeichnen Sie die Zahlen a und b in die (skalierte) Gaußsche Zahlenebene ein.
a=
2−i
,
1 − 3i
b = −2 exp( 15π
i)
4
b) Zeigen Sie: z z̄ ∈ R für alle z ∈ C
c) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms f (z) = z 4 + 4z 2 + 3 in C.
Hinweis: f (i) = 0
Aufgabe 3 (3+2+3 Punkte)
Gegeben sei die Matrix:
A=
!
1 1
a 1
a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A.
b) Für welche a ∈ R ist A diagonalisierbar?
c) Bestimmen Sie für den Fall a = 4 eine Matrix S, so dass S −1 AS Diagonalform hat.
Bitte wenden!
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung:
x2
≥ 1 − |x|
1−x
Aufgabe 5 (4+2+1 Punkte)
Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ : R4 → R3 mit
ϕ(x) = (x1 − 2x2 + x3 + 3x4 , 2x1 − 4x2 − 4x3 , −x1 + 2x2 + 3x3 + x4 ).
a) Berechnen Sie den Kern von ϕ.
b) Geben Sie eine Basis für den Bildraum von ϕ an.
c) Ist ϕ injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 6 (1+1+2 Punkte)
a) Ist jede beschränkte Zahlenfolge konvergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Ist jede konvergente Zahlenfolge monoton? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Berechnen Sie:
n2 − 3
n→∞ n + 2n2
lim
Aufgabe 7 (2+2 Punkte)
Sei U = {A ∈ R2×2 : A = AT }.
a) Zeigen Sie, dass U ein Unterraum von R2×2 ist.
b) Bestimmen Sie die Dimension von U .
Aufgabe 8 (2+2 Punkte)
Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen.
a) f (x) = − ln(x)
b) f (x) = cos(2x − π)
Viel Erfolg!