Was bisher geschah

Was bisher geschah
Modellierung von
Aussagen durch logische Formeln
Daten durch Mengen, Multimengen, Folgen, Sprachen
Zusammenhängen und Eigenschaften von Elementen von Mengen
durch Relationen
(Eigenschaften von Relationen)
Spezielle binäre Relationen (QO, ÄR, HO, LO)
Darstellung binärer Relationen durch Graphen
Zuordnungen zwischen Elementen von Mengen durch Funktionen
(Eigenschaften von Funktionen)
197
Wiederholung: Modellierung in Prädikatenlogik
Grundannahme:
Die zu modellierende Welt besteht aus Individuen, die
Eigenschaften haben und zueinander in Beziehungen (Relationen,
Funktionen) stehen.
Prädikatenlogik zur Formalisierung von Aussagen über
Eigenschaften oder Beziehungen von Individuen aus
(algebraischen) Strukturen
198
Wiederholung: Prädikatenlogische Aussagen
I
Personen sind Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder
denselben Vater haben.
I
A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A’s Vater oder
A’s Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist.
I
Nachfahren derselben Person sind verwandt.
Individuenbereich: Menge von Personen
Beziehungen: ist-Nachfahre-von, sind-verwandt, sind-Geschwister
Funktionen: Mutter-von, Vater-von
199
Wiederholung: Prädikatenlogische Aussagen
I
Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
genau zwei verschiedene Teiler haben.
I
Gerade Zahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
durch zwei teilbar sind.
I
Es existieren gerade Primzahlen.
I
Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim.
I
Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
N
Individuenbereich: Menge
aller natürlichen Zahlen
Eigenschaften: prim, gerade
Beziehung: teilt |
Funktionen: Nachfolger, Quadrat
200
(Algebraische) Strukturen – Beispiele
(Träger-)Mengen (Individuenbereiche) mit Relationen (Eigenschaften,
Beziehungen) und Funktionen (Operationen) auf den Elementen, z.B.
I
Menge aller Personen
Relationen: ist-älter-als, sind-Geschwister (zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): blond
Funktion (einstellig): Mutter-von
I
Menge
aller natürlichen Zahlen
Relationen: ≥ (zweistellig), | (teilt, zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): prim, gerade
Funktionen: Nachfolger (einstellig), + (zweistellig)
I
Menge 2 aller Punkte der Ebene
Relationen: hat-kleineren-Abstand-von-0 (zweistellig),
bilden-gleichseitiges-Dreieck (dreistellig)
Funktionen: verschieben (einstellig), Mittelpunkt (zweistellig)
I
Menge A∗ aller endlichen Wörter über Alphabet A
Relation: Anfangswort, lexikographische Ordnung (zweistellig)
Funktion: Verkettung (zweistellig)
N
R
201
Algebraische Strukturen – mehr Beispiele
Darstellung algebraischer Strukturen A = (A, f1 , . . . , fm , R1 , . . . , Rn ) mit
I
(nicht-leerer) Trägermenge A,
I
(endlicher) Menge von Funktionen f1 , . . . , fm
I
(endlicher) Menge von Relationen R1 , . . . , Rn
algebraische Strukturen (ohne Funktionen) kennen wir schon, z.B.
I
Äquivalenzrelationen,
z.B. ( , =), (AL(P), ≡), ( , ≡ mod n), (Menge aller Graphen, ')
I
Halbordnungen,
z.B. ( , ≤),( , |), (2X , ⊆),
(Menge aller Graphen, Teilgraph-Relation)
I
Graphen. z.B. V = {0, 1, 2, 3, 4},
E = {(0, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 1)},
(V , E ) mit V = {a, b, c}, E = ∅ ,
(V , E ) mit V = {0, 1, 2, 3}, E = V 2 \ {(x, x) | x ∈ V }
N
Z
Z
N
202
Relationale Strukturen
Eine relationale Struktur A = (A, {Ri | i ∈ I }) besteht aus
I
einer nichtleeren Menge A und
I
einer Menge von Relationen Ri ⊆ Ani (je mit Stelligkeit ni )
Beispiele:
N
I
( , |, ≤)
I
({0, 1}, ≤, =)
I
(2A , ⊆)
I
(A∗ , v)
I
Menge aller endlichen Graphen mit ' und
Teilgraph-Relationen
203
Algebraische Strukturen – noch mehr Beispiele
(funktionale) algebraische Strukturen (Algebren) aus den
Mathematik-LV:
∗
Halbgruppe , z.B. ( , +), (2 , ·), (2X , ∪) , (A∗ , ◦), (2(A ) , ◦)
Monoid , z.B. ( , ·, 1), ( , +, 0), (2X , ∪, ∅) , (A∗ , ◦, ε),
∗
(2(A ) , ◦, {ε})
Gruppe , z.B. ( , +, 0), ( n , +, 0), ( n , ·, 1) für Primzahl n
∗
Halbring , z.B. (2 , +, ·), ({0, 1}, XOR, ·), (2(A ) , ∪, ◦)
Ring , z.B. ( , +, ·, 0, 1), ( n , +, ·, 0, 1) für Primzahl n
Körper , z.B. ( , +, ·, 0, 1), ( n , +, ·, 0, 1) für Primzahl n
Vektorraum n
zwei Trägermengen (Individuen verschiedener Typen):
Skalare , Vektoren n
Funktionen, z.B. skalare Addition, Multiplikation
+, · : × →
Vektoraddition + : n × n → n , Skalarprodukt
(·, ·) : n × n →
Kombinationen (Strukturen mit Funktionen und Relationen)
z.B. halbgeordnete Gruppe ( , +, 0, ≤)
R
N
N
Z
Z
Z
Q
R
Z
N
Z
Z
Z
Z
R
R R R
R R
R R R
Z
R
204
Algebren (Strukturen ohne Relationen)
Eine Algebra A = (A, {fi | i ∈ I }) besteht aus
I
einer Menge A 6= ∅ und
I
einer Menge von Funktionen fi : Ani → A
(je mit Stelligkeit ni )
wobei A unter jeder Funktion fi (algebraisch) abgeschlossen ist.
Beispiele:
N
I
( , +, ·, s, 0) mit einstelliger Nachfolgerfunktion s
I
({0, . . . , 7}, +, 0) ist keine Algebra, weil
{0, . . . , 7} nicht unter + abgeschlossen (z.B. 4 + 5 6∈ {0, . . . , 7})
I
( , −) ist keine Algebra, weil
I
({0, 1}, min, max)
I
({0, 1}, XOR, ·)
I
(2M , ∪, ∩, \, ∅)
N
N nicht unter − abgeschlossen
Menge aller (endlichen) Graphen unter ∪, ∗
I {M ∈ 2N | |M| ∈ }, ∪, ∩
(Menge aller endlichen Teilmengen von
)
aber nicht {M ∈ 2N | |M| ∈ },
, weil z.B. |{1, 4}| 6∈
I
N
N
N
N
205
Algebraische Strukturen desselben Types
A Menge {0, 1} mit
I Konstanten 0, 1
I Funktionen min, max (zweistellig)
I Eigenschaft gerade
I Relation ≤ (zweistellig)
B Menge aller Studenten im Raum mit
I Konstanten Anton, Berta
I Funktionen Älterer,
kleinere-Matrikelnummer(zweistellig)
I Eigenschaft blond
I Relation befreundet (zweistellig)
C Menge 2N mit
I Konstanten ∅,
I Funktionen ∩, ∪ (zweistellig)
I Eigenschaft endlich
I Relation ⊆ (zweistellig)
N
206
Signaturen
(syntaktische) Gemeinsamkeiten der Strukturen A, B, C:
I eine Trägermenge
I zwei Konstanten (nullstellige Funktionen)
I zwei zweistellige Funktionen
I eine Eigenschaft (einstellige Relation)
I eine zweistellige Relation
Bezeichnung der Relationen und Funktionen durch Symbole (mit
zugeordneter Stelligkeit):
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit Mengen
ΣF = {(f , n) | n ∈ } von Funktionssymbolen (mit Stelligkeit)
ΣR = {(R, n) | n ∈ } von Relationssymbolen (mit Stelligkeit)
(nullstellige Funktionssymbole heißen Konstantensymbole)
Signatur definiert einen Typ von Strukturen (Syntax)
Strukturen mit derselben Signatur unterscheiden sich in der
Semantik der Symbole:
I Trägermengen
I Bedeutung der Funktions- und Relationssymbole
N
N
207
Beispiele für Signaturen
I
Signatur für arithmetische Ausdrücke über natürlichen,
rationalen, reellen, . . . Zahlen
ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2), (/, 2)} ∪ {(x, 0) | x ∈ }
(je ein nullstelliges Symbol (Konstante) für jede Zahl aus der
Trägermenge, hier z.B. )
ΣR = ∅
Signatur für Mengen mit einer zweistelligen Relation
(Äquivalenzrelation, Halbordnung, Graph)
ΣF = ∅, ΣR = {(R, 2)}
Signatur für aussagenlogische Formeln
ΣF = {(∨, 2), (∧, 2), (¬, 1), (f, 0), (t, 0)},
ΣR = {(=, 2), (≡, 2), (erfuellbar, 1)}
Signatur für alle drei Strukturen A, B, C auf der vorletzten
Folie
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(rettich, 1), (tomate, 2)}
N
N
I
I
I
208
Σ-Strukturen
Für Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) heißt eine algebraische Struktur
A = (A, J·KA ) Σ-Struktur gdw.
I
A 6= ∅ Trägermenge (Individuenbereich, Universum)
I
∀(f , n) ∈ ΣF : Jf KA : An → A
I
∀(R, n) ∈ ΣR : JRKA ⊆ An (bzw. JRKA : An → {0, 1} )
J·KA ordnet jedem Funktions- und Relationssymbol seine Bedeutung in A
(Funktion / Relation passender Stelligkeit) zu.
Beispiel: für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
mit ΣR = {(R, 2)} und ΣF = {(f , 2), (c, 0)} sind z.B.
I
I
N
A = ( , J·KA ) mit
JcKA = 0, ∀(x, y ) ∈ 2 : Jf KA (x, y ) = x + y ,
JRKA = {(x, y ) ∈ 2 | x|y }
Z
N
N
B = ( , J·KB ) mit
JcKB = −3, ∀(x, y ) ∈ 2 : Jf KB (x, y ) = x · y ,
JRKB = {(x, y ) ∈ 2 | x ≤ y }
Z
Z
Σ-Strukturen
209
Weitere Beispiele für Σ-Strukturen
I
I
für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = ∅ und ΣR = {(Q, 2)}
ist der gerichtete Graph G = (V , JQKG ) mit
V = {1, 2, 3} und JQKG = {(1, 1), (2, 3), (2, 1)}
eine Σ-Struktur
für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(rettich, 1), (tomate, 2)}
sind z.B. die folgenden Strukturen Σ-Strukturen:
I
I
A = ({0, 1}, J·KA ) mit JapfelKA = 0, JbananeKA = 1
∀(x, y ) ∈ {0, 1} : JkirscheKA (x, y ) = min(x, y )
∀(x, y ) ∈ {0, 1} : JpflaumeKA (x, y ) = max(x, y ),
JrettichKA = {0}, JtomateKA = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}
C = (2N , J·KC ) mit JapfelKC = ∅, JbananeKC =
∀(x, y ) ∈ 2N : JkirscheKC (x, y ) = x ∩ y ,
∀(x, y ) ∈ 2N : JpflaumeKC (x, y ) = x ∪ y ,
JrettichKC = {M ⊂ | M endlich},
∀(x, y ) ∈ 2N : (x, y ) ∈ JtomateKC ↔ x ⊆ y
N
N
210