Grundlagen der Wissensverarbeitung

Was bisher geschah
Logik zur Wissensrepräsentation und -verarbeitung
Klassische Aussagenlogik:
I
Syntax (Formelbaum)
I
Semantik (Modellmenge, Boolesche Funktion)
I
Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
Äquivalenz von Formeln
I
I
I
I
semantische Äquivalenz
syntaktisches Umformen
Folgerungen aus Formelmengen
I
I
semantisches Folgern
syntaktisches Schließen:
Hilbert-Kalkül, Resolutions-Kalkül
106
Klassische Aussagenlogik
Wissensrepräsentation deklarative Beschreibung von
Problemen:
I Erfüllbarkeitsprobleme,
z.B. kombinatorische Suche: n-Damen,
Planen
I Allgemeingültigkeitsprobleme,
z.B. Schaltkreisentwurf
I Unerfüllbarkeitsprobleme,
z.B. Programmverifikation (Nachweis der
Korrektkeit)
I Folgerungsprobleme,
z.B. automatisches Beweisen
Wissensverarbeitung Lösung der durch aussagenlogische
Formeln beschriebene Probleme durch
Standard-Verfahren
(z.B. Wahrheitswerttabellen, Resolution,
SAT-Solver)
107
Algorithmische Entscheidbarkeit der Aussagenlogik
Es existieren Verfahren, welche
I
für jede Formel ϕ ∈ AL(P) entscheiden, ob
I ϕ erfüllbar ist, z.B.
semantisch nichtleere Modellmenge, WW-Tabelle
syntaktisch f aus ϕ durch Resolution nicht ableitbar
I ϕ unerfüllbar ist, z.B.
semantisch leere Modellmenge, WW-Tabelle
syntaktischI Ableitung von ¬ϕ im Hilbert-Kalkül
I
I
Resolutionsableitung von f aus ϕ
ϕ allgemeingültig ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktischI Ableitung von ϕ im Hilbert-Kalkül
I
Resolutionsableitung von f aus ¬ϕ
für jedes Paar von Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) entscheiden, ob ϕ ≡ ψ
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch äquivalente Umformungen
I für jede Formelmenge Φ ⊆ AL(P) und jede Formel ψ ∈ AL(P)
entscheiden, ob Φ |= ψ
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
I Ableitung von ψ aus Φ im Hilbert-Kalkül
syntaktisch
I Resolutionsableitung von f aus Φ ∪ {¬ψ}
I
108
Beschränkte Ausdrucksstärke der Aussagenlogik
I
Aussagen immer zweiwertig
(nur wahr oder falsch, keine Zwischenwerte),
z.B.: Die Rose ist rot. Das Bier ist kalt. Der Student ist fleißig.
(Erweiterung zu mehrwertigen Logiken, fuzzy logic)
I
Aussagen immer absolut
(keine Abhängigkeit vom Kontext, z.B. Ort, Zeitpunkt),
z.B.: Es regnet. System ist in einem kritischen Zustand.
(Erweiterung zur Modal- und Temporallogiken)
I
Aussagen über alle Elemente „großer“ Mengen aufwendig
(Erstellung, Platzbedarf), z.B. n-Damen-Problem
keine Aussagen über Elemente einer unendlichen Mengen oder
Mengen unbestimmter Mächtigkeit möglich, z.B.
I
I
I
Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade.
Es gibt eine gerade Primzahl.
Es ist nicht alles Gold was glänzt.
(Erweiterung zur Prädikatenlogik)
109
Modellierung in Prädikatenlogik
Grundannahme:
zu modellierende Welt besteht aus Objekten, die Eigenschaften
haben und zueinander in Beziehungen (Relationen) stehen
Prädikatenlogik zur Formalisierung von Aussagen über
Eigenschaften oder Beziehungen von Objekten aus
algebraischen Strukturen
Algebraische Struktur:
Menge mit Relationen und Funktionen auf den Elementen
in der Mathematik z.B.
N
I Halbordnung, z.B. (Z, ≤),(N, |), (2X , ⊆)
Z
I
Äquivalenzrelation, z.B. ( , =), (AL(P), ≡), ( , ≡n )
I
Graphen, z.B. G = (V , E) mit V = {1, . . . , 4} und
E = {(u, v ) | u, v ∈ V ∧ u 6= v }
I
Halbgruppen, z.B. ( , +), (2 , ·), (2X , ∪),
I
Gruppen, z.B. ( , +, 0), (
Z
N
N
R \ {0}, ·, 1),
110
(Algebraische) Strukturen – Beispiele
Menge mit Relationen zwischen und Funktionen auf den Elementen
Beispiele:
I
I
I
I
I
Menge aller Studenten im Raum
Relationen: sitzt-neben (zweistellig),
einstellige Relationen (Eigenschaften): blond
Funktion (einstellig): rechter-Nachbar
Menge aller natürlichen Zahlen
Relationen: ≥ (zweistellig), | (teilt, zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): prim, gerade
Funktion: Nachfolger (einstellig), + (zweistellig)
Menge 2 aller Punkte der Ebene
Relationen: kleinerer-Abstand-von-0 (zweistellig),
bilden-gleichseitiges-Dreieck (dreistellig)
Funktionen: verschieben (einstellig), Mittelpunkt (zweistellig)
Menge A∗ aller endlichen Wörter (Vektoren) über A
Relation: Präfix (Anfangswort, zweistellig))
Funktionen: Spiegelung (einstellig), Verkettung (zweistellig)
Menge aller Spielkarten in einem Skatblatt
Relationen: Trumpf (einstellig), gleiche-Farbe, sticht (zweistellig)
Funktionen: Wenzel (nullstellig), gewinnt-Stich (dreistellig)
N
R
111
Atome (elementare Aussagen)
Aussagenlogik : Aussagenvariable
bekommt festen Wahrheitswert durch Belegung
Prädikatenlogik : (parametrisierte) Aussage über
Eigenschaften von oder Beziehungen zwischen
Objekten
Wahrheitswert abhängig von beteiligten Objekten
z.B. nebeneinander(x, y ),gerade(n) , x < 3, x < y
112
Prädikatenlogische Aussagen – Beispiele
I
A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A’s Vater oder A’s
Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist.
Nachfahren derselben Person sind verwandt.
Personen sind Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder
denselben Vater haben.
Objektbereich: Menge von Personen
Beziehung: Nachfahre, verwandt, Geschwister
Funktionen: Mutter, Vater
I
Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die genau
zwei verschiedene Teiler haben.
Gerade Zahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
durch zwei teilbar sind.
Es existiert eine gerade Primzahl.
Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim.
Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
Objektbereich: Menge aller natürlichen Zahlen
Eigenschaft: prim, gerade
Beziehung: teilbar
Funktion: Nachfolger
N
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Modellierung in Prädikatenlogik – Beispiele
I
Eine Person x ist genau dann Schwester einer Person y ,
wenn x weiblich ist und x und y einen gemeinsamen
Elternteil haben.
Grundbereich: Menge aller Menschen
Eigenschaften: S(x, y ) gdw. x ist Schwester von y ,
E(x, y ) gdw. y ist Elternteil von x
W (x) gdw. x weiblich,
S(x, y ) ↔ (W (x) ∧ ∃z(E(z, x) ∧ E(z, y )))
I
Auf jeden Topf passt ein Deckel.
Grundbereich: Kochgeschirr
Eigenschaften: T (x), D(x), P(x, y )
∀x(T (x) → ∃y (D(y ) ∧ P(y , x)))
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