Datensicherheit

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2010/11
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Datensicherheit
Die Bedingungen für den Erwerb einer Prüfungsvorleistung/eines Scheines finden Sie auf der Webseite zur Vorlesung. Abgabe bis Donnerstag,
25.11.2010, 7:30 Uhr, im Briefkasten vor 1/266. Es sind nur Einzelabgaben erlaubt. Begründen Sie Ihre Antworten.
Bitte beachten: Abgaben heften und Name, Matrikelnummer sowie Studiengang in Druckschrift auf die Abgabe. Geben Sie außerdem die genaue
Übungsgruppe an, in der Sie sind.
6. Übung
Aufgabe 6a [5 Punkte] Wir betrachten ganze Zahlen a, b, n mit n ≥ 1. Es ist a
kongruent zu b modulo n, geschrieben a ≡ b mod n, genau dann wenn es eine ganze
Zahl k gibt mit a − b = k · n. Zeigen Sie:
1. Gilt a ≡ b mod n und b ≡ c mod n, so gilt auch a ≡ c mod n.
2. Sei f ≥ 1 eine natürliche Zahl. Gilt a ≡ b mod f · n, so gilt auch a ≡ b mod n.
Aufgabe 6b [5 Punkte] Für ganze Zahlen a, n mit n ≥ 1 ist der Rest von a bei
Division durch n, bezeichnet mit a modulo n, definiert als
a mod n = a − ba/nc · n.
1. Zeigen Sie, dass mit dieser Definition für alle ganzen Zahlen a, f und n ≥ 1
gilt: a mod n = a + f · n mod n.
2. Lösen Sie folgende Rechenaufgaben:
• Addition/Subtraktion:
12 − 18 mod 21
12 + 18 mod 21
• Multiplikation:
4 · 3 mod 12
−4 · 8 mod 12
4 · 9 mod 12
17 · 5 · 21 mod 12
3. Falls es zu ganzen Zahlen a, n mit n ≥ 1 eine Zahl b ∈ Zn gibt (Zn =
{0, 1, . . . , n − 1}), für die ab mod n = 1 gilt, so nennen wir b das multiplikativ Inverse von a und bezeichnen es mit a−1 . Bestimmen Sie, ob folgende
Inverse existieren:
12−1 mod 13
bzw.
Bitte wenden!
7−1 mod 21.
Aufgabe 6c [5 Punkte] Sie wissen, dass eine n × n-Matrix A = (aij ) über Zb
invertierbar ist genau dann wenn ggT(det(A), b) = 1 ist. Dabei ist det(A) die Determinante von A. Im Falle der Invertierbarkeit ergibt sich die Inverse A−1 = (a−1
ij )
als
−1
a−1
· (−1)i+j · det(Aj,i ) mod b,
ij = (det(A))
wobei Aj,i die Untermatrix von A bezeichnet, die durch Streichen der j-ten Zeile
und der i-ten Spalte entsteht. Invertieren Sie die folgende Matrix über Z5 :


3 2 4
A= 0 1 1 
3 2 3
Hinweis: Im Spezialfall einer 2 × 2-Matrix A = (aij ) erhalten wir det(A) = a1,1 ·
a2,2 − a1,2 · a2,1 . Im Spezialfall einer 3 × 3-Matrix A = (aij ) erhalten wir
det(A) =
a1,1 · a2,2 · a3,3 + a1,2 · a2,3 · a3,1 + a1,3 · a2,1 · a3,2
−a1,3 · a2,2 · a3,1 − a1,2 · a2,1 · a3,3 − a1,1 · a2,3 · a3,2 .
Aufgabe 6d [5 Punkte] Eine Nachricht m ∈ {0, 1}n wird mittels eines sogenannten One Time Pads“ p verschlüsselt und übertragen. Hierbei wird von Alice ein
”
zufälliger (gleichverteilt) String p ∈ {0, 1}n gewählt. Danach berechnet sie das
Chiffrat c, indem m bitweise einer XOR-Verknüpfung mit p unterzogen wird, also ci = mi XOR pi . Das Pad p wird über einen sicheren Kanal an Bob übertragen,
das Chiffrat c über einen unsicheren.
1. Wie entschlüsselt Bob das Chiffrat c?
2. Zeigen Sie, dass das Verfahren absolut sicher ist (vorausgesetzt, p kann mit
Sicherheit geheim übertragen werden). Das bedeutet, ein Angreifer Oskar kann
nach Abhören des Chiffrates c keinerlei Information über die versendete Nachricht bestimmen. Hinweis: Kann man zeigen, dass jede beliebige Nachricht
zum abgehörten Chiffrat geführt haben kann?
3. Wieso könnte das Verfahren One Time Pad“ heißen?
”