Uebungen mit Loesungen
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ELHL1 Übungen mit Lösungen Version vom 28.6.2012 Übungen 1 1. Aufgabe Anzeige Taschenrechner Einheit Notation mit 3 signifikanten Stellen unter Verwendung des genannten Präfixes* 1275.83 m 1,28 km 0.009987 m mm 1.9847E-5 m µm 6.92764E4 m km 1.2001E-11 m pm 8.92E-8 m nm *) Präfixe: «k» für «km», «c» für «cm» etc. Verwenden Sie keine führenden Nullen und schreiben Sie das Resultat möglichst kompakt. «Signifikante Stellen», Stellenanzahl, wobei mit der ersten Ziffer ungleich Null zu zählen begonnen wird (folgende Nullen werden gezählt und sind u.U. signifikant!) 2. Aufgabe Wolle wird an einem PVC-Stab gerieben. Was wird positiv aufgeladen? 3. Aufgabe Von Herstellern integrierter Schaltungen («Computerchips») wird oft das «Human Body Model» verwendet, um zu definieren, wie stark sich ein Mensch aufladen kann. Entladungen auf integrierte Schaltungen sind kritisch, weil sie oft zu Teil- bis Vollschädigungen des Bausteins führen. Beim «Human Body Model» wird von einer maximalen Entladungsmenge von -2 µC ausgegangen. Wie viele überschüssige Elektronen befinden sich dabei mindestens auf dem aufgeladenen Menschen? 4. Aufgabe Unten abgebildete Protonen und Elektronen bewegen sich in die Richtungen gemäss den Pfeilen. Geben Sie an, welche Ladungsmenge in die Richtung des Strombezugspfeils transportiert wird. Benützen Sie die Einheit Coulomb. e -e I e Q= -e I I e -e Q= Q= 5. Aufgabe Bei einer Batterie ändert der Ladezustand wie folgt: q(t ) Q0 Q1 t . T Geben Sie den Verlauf des Stromes i(t) an. ZHAW, 24.10.2012 2/57 6. Aufgabe Die folgenden Bilder zeigen den Verlauf der Stromstärke in einem Draht, unten dargestellt. Geben Sie an (in Coulomb), welche Ladungsmenge in der Zeit t = 0 … 2 s von A nach B durch den Draht transportiert wurde. i A a) B b) 0 i/A 2 1 1 1 0 2 20 0 0 2 2 1 0 0 i/A 2 0 0 2 2 1 0 1 1 1 0 2 20 2 t /s 2 t /s d) c) 0 i/A 2 1 1 1 0 2 20 0 0 2 2 1 0 i/A 2 0 0 2 t /s 2 ‐2 t /s 7. Aufgabe a) Ein zylindrisches Drahtstück hat den Durchmesser d und führt einen Strom I. Berechnen Sie die Stromdichte. b) Ein Drahtstück der Länge ℓ ist konisch und hat einen Durchmesser von d1 beim einen Drahtende (Position x = 0) und einen Durchmesser von d2 beim anderen Ende (Position x = ℓ). Im Drahtstück fliesst ein Strom I. Geben Sie den Verlauf der Stromdichte als Funktion von x an. 8. Aufgabe Ein voll aufgeladener 28 V Akkumulator (wiederaufladbare Batterie) eines Airbus A320 kann eine nutzbare Ladung von 23 Ah liefern. a) Nach welcher Zeit ist er zu 90% entladen, wenn er zunächst für 3 Stunden eine konstante Stromstärke von 4 A liefert und anschliessend eine von 3 A? b) Welche Aufladezeit ist anschliessend (Akku 90% entladen) nötig, falls der Ladestrom 2 A beträgt und alle Ladung als nutzbare Ladung gespeichert wird (keine Ladeverluste)? c) Welche Energie in J (Joule) ist im voll geladenen Akkumulator enthalten, wenn dessen Klemmenspannung 28 V unabhängig vom Ladezustand beträgt? d) Im Normalfall werden die elektrischen Systeme eines Jets durch die Lichtmaschine der Triebwerke versorgt. Weiterhin kann ein ausfahrbarer Propeller-Generator bei Triebwerksausfall Strom erzeugen. Funktioniert auch dieser nicht, können die elektrischen Systeme eines Airbus mit den zwei vorhandenen, vollen Akkumulatoren 30 ZHAW, 24.10.2012 3/57 Minuten lang im reduzierten Modus betrieben werden. Was folgt daraus für ein Strombezug eines Airbus in einem solchen Fall? e) Der Akkumulator liefert eine konstante Stromstärke von 6 A an einenVerbraucher. Berechnen Sie die am Verbraucher umgesetzte Leistung. 9. Aufgabe An einer kalten Glühlampe, welche zum Zeitpunkt t = 0 eingeschalten wird, misst man folgende Spannungs- und Stromverhältnisse: t i (t ) I exp T u (t ) U Mit I = 140 mA, U = 2 V und T = 100 ms. Stellen Sie den Verlauf der Momentanleistung p(t) = u(t) · i(t) in einem Diagramm für den Zeitbereich t = 0 bis 500 ms dar. ZHAW, 24.10.2012 4/57 Übungen 2 10. Aufgabe Eine altmodische Taschenlampe mit Glühbirne werde durch das unten stehende Schaltbild (Schema) repräsentiert: die Batterie als ideale Spannungsquelle mit Spannung U = 12 V, die Glühbirne als ohmscher Widerstand R. Die Leistung an der Glühbirne (dem Widerstand R) betrage 1,7 W. a) Zeichnen Sie im Schema beim Widerstand einen Spannungspfeil ein. b) Zeichnen Sie im Schema einen Strompfeil gemäss konventionellem Pfeilsystem (Verbraucherpfeilsystem) ein. c) Berechnen Sie, welcher Strom in der Schaltung fliesst. d) Berechnen Sie den Widerstandswert des Widerstands. e) Wie gross ist die Heizleistung der Glühlampe, wenn 2% der Gesamtleistung in sichtbares Licht umgesetzt wird? f) Anstelle der Glühlampe eine rote Leuchtdiode (LED) eingesetzt werden, um Energie zu sparen. Rote LEDs setzen 13% der Gesamtleistung in sichtbares Licht um (2% für Grüne, 5.5% für Blaue). Die Leistung, welche in sichtbares Licht umgesetzt wird, soll die gleiche sein, wie bei der Glühlampe. Berechnen Sie a. Die Gesamtleistung. b. Wie viel Energie in einer Stunde gespart wird. ZHAW, 24.10.2012 5/57 11. Aufgabe Gegeben sei die unten aufgezeichnete Kennlinie eines Zweipols wie z. B. einer Glühbirne. Beachten Sie die Achsenbeschriftungen und wo der Nullpunkt liegt. a) Bestimmen Sie die Widerstandswerte R = U / I der Glühbirne für die fünf in der Kennlinie markierten Punkte (o) und tragen Sie die Werte in die untenstehenden Tabelle ein. Stromstärke in mA -33 0 33 66 100 R(I) in Ω b) Zeichnen Sie in die Grafik die Kennlinien folgender Widerstände ein: 200 Ω, 5 Ω 12. Aufgabe Gegeben sind die untenstehenden Messpunkte bezüglich eines nichtlinearen Zweipols (gemessen mit dem Verbraucherpfeilsystem). Stellen Sie die Kennlinie des nichtlinearen Zweipols in einem Diagramm dar, mit der Spannung auf der x-Achse. Spannung in Volt 0 2 5 10 15 30 50 70 Stromstärke in Ampère 0 0,1 0,2 0,3 0,35 0,4 0,42 0,45 80 0,5 13. Aufgabe Ein zylindrisches Stück Metall mit Länge 225 mm und Durchmesser 1 mm weist, bei Kontaktierung an den Stirnseiten und so geringem Strom, dass keine Erwämung stattfindet, bei 20 °C einen Widerstandswert von 7,96 mΩ auf. Berechnen Sie den spezifischen Widerstand und geben Sie eine Vermutung ab, aus welchem Material das Leitungsstück bestehen könnte. 14. Aufgabe Im Airbus A380 werden zur Gewichtseinsparung Kabel aus Aluminium statt aus Kupfer verlegt. a) Wie schwer, in Prozent des Gewichts eines Kupferkabels, ist dasselbe (gleichförmige) Kabel aus Aluminium statt aus Kupfer? b) Um wieviel grösser, in Prozent des Widerstands des Kupferkabels, ist der Widerstand desselben Kabels aus Aluminium statt Kupfer? c) Um wieviel grösser, in Prozent der Leistung beim Kupferkabel, ist die Leistung, welche am Aluminiumkabel bei gleichem Stromfluss umgesetzt wird («verloren geht»)? ZHAW, 24.10.2012 6/57 d) Indem der Durchmesser eines Rundkabels (Querschnitt ist ein Kreis) vergrössert wird, sinkt der Widerstand des Kabels. Um wieviel Prozent des ursprünglichen Durchmessers des Aluminiumkabels muss dieser vergrössert werden, damit das Aluminiumkabel denselben Widerstandswert aufweist wie das Kupferkabel? e) Berechnen Sie das Gewichtsverhältnis zwischen einem Aluminiumkabel und einem Kupferkabel, welche beide denselben Widerstandswert aufweisen. f) Die Wärme eines langen Kabels wird hauptsächlich über dessen Oberfläche abgegeben. Das Kabel-Material spielt dabei eine vernachlässigbare Rolle. Vergleichen Sie (Verhältnis) die Leistung/Oberflächenteilstück bei gleichem Stromfluss für… a. ein Aluminiumkabel mit gleichem Durchmesser wie das Kupferkabel b. ein Aluminiumkabel mit gleichem Widerstand wie das Kupferkabel g) Beurteilen Sie den Einsatz von Aluminiumkabeln in Flugzeugen aufgrund der obigen Erkenntnisse. ZHAW, 24.10.2012 7/57 Übungen 3 15. Aufgabe Berechnen Sie alle Spannungen und Ströme in den untenstehenden Netzwerken, indem Sie zuerst das Netzwerk durch Zusammenfassen auf den Ersatzwiderstand reduzieren und den Quellenstrom bestimmen. Für die Werte der Elemente gilt: U0 = 10 V, R1 = 200 Ω, R2 = 250 Ω, R3 = 400 Ω, R4 = 600 Ω. Netzwerk 1 Netzwerk 2 ZHAW, 24.10.2012 8/57 Netzwerk 3 Netzwerk 4 16. Aufgabe Berechnen Sie alle Spannungen und Ströme im untenstehenden Netzwerk, indem Sie die Symmetrie beachten, Zusammenfassen und den Quellenstrom bestimmen. ZHAW, 24.10.2012 9/57 17. Aufgabe Berechnen Sie alle Spannungen im untenstehenden Widerstandswürfel, bestehend aus lauter 1 kΩ Widerständen, indem Sie die Symmetrie beachten, das Netzwerk auf den Ersatzwiderstand reduzieren und den Quellenstrom bestimmen. 18. Aufgabe Fassen Sie die untenstehende Schaltung soweit wie möglich zusammen. 19. Aufgabe Eine lineare Quelle hat eine Leerlaufspannung U0 = 12 V und eine Kurzschlussstromstärke I0 = 240 mA. a) Stellen Sie die lineare Quelle mit einer idealen Spannungsquelle und einem Widerstand dar. Beschriften Sie die Elemente mit ihren Werten. b) Stellen Sie die lineare Quelle mit einer idealen Stromquelle und einem Leitwert dar. Beschriften Sie die Elemente mit ihren Werten. 20. Aufgabe Wandeln Sie die untenstehende lineare Quelle um in eine, welche eine ideale Stromquelle beinhaltet. In welche Richtung fliesst der Strom der Stromquelle? ZHAW, 24.10.2012 10/57 21. Aufgabe Vereinfachen Sie die nebenstehende Schaltung soweit wie möglich. ZHAW, 24.10.2012 11/57 Übungen 4 22. Aufgabe Stellen Sie für die folgenden Netze gemäss dem Superpositionsprinzip die Teillösungs-Netze auf, bestimmen Sie die Spannungen und Ströme diesen Netzen und addieren Sie diese zur Gesamtlösung. Überprüfen Sie Ihre Lösungen, indem Sie das Netzwerk auf eine andere Art analysieren (Maschen- und Knotengleichungen auflösen oder Quellenumwandlungen durchführen). Netzwerk 1 Netzwerk 2 Netzwerk 3 Netzwerk 4 Netzwerk 5 ZHAW, 24.10.2012 12/57 23. Aufgabe In Flugzeugen mit metallischem Chassis wird der Minuspol von Batterien und Generatoren mit dem Chassis verbunden. Dazu isoliert werden eine oder mehrere Kabel verlegt, an die die Pluspole von Batterien und Generatoren angeschalten werden können (sogenannte «Sammelschienen», engl. «bus bar»). An eine solche Sammelschiene seien zwei Batterien und eine Last (z.B. ein Notlicht), dargestellt durch den Lastwiderstand R, angeschalten. Die beiden Batterien können als lineare Quellen mit den Leerlaufspannungen UB1 und UB2, sowie den Innenwiderständen R1 und R2 modelliert werden. Der Widerstand der Sammelschiene zwischen Batterie und Last soll als Teil des Innenwiderstands der Batterie betrachtet werden, d. h. er wird nicht explizit angegeben. Die Anordnung kann durch folgendes elektrische Ersatzschema dargestellt werden: Numerisch gelten folgende Werte: UB1 = UB2 = 28 V, R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R = 6 Ω Bestimmen Sie sämtliche Stromstärken und Spannungen der Schaltung mittels der Methode der Superposition. Lösen Sie die Aufgabe sodann mittels Quellenumwandlungen und stellen Sie fest, ob Sie zu denselben Resultaten kommen. 24. Aufgabe Stellen Sie für die folgenden Netzwerke alle nicht redundanten Maschen- und Knotengleichungen auf. Die Maschen und Knoten sind bereits nummeriert und in den Maschen ist ein Umlaufsinn definiert. Ebenso sind die Strombezeichnungen und –richtungen definiert. Alle Widerstandswerte sind in Ω. Netzwerk 1 ZHAW, 24.10.2012 13/57 Netzwerk 2 ZHAW, 24.10.2012 14/57 Netzwerk 3 Netzwerk 4 Netzwerk 5 ZHAW, 24.10.2012 15/57 Netzwerk 6 25. Aufgabe Bei der unten abgebildeten Brücke ist bei Nullabgleich RN = 75 Ω. Wie gross ist Rx? ZHAW, 24.10.2012 16/57 Übungen 5 26. Aufgabe Gegeben ist eine reale Spannungsquelle, die mit einer idealen Spannungsquelle der Spannung U0 = 12 V und einem Innenwiderstand Ri = 6 Ω angenähert wird. An diese Quelle wird ein Lastwiderstand R von 24 Ω angeschlossen. a) Zeichnen Sie den entstandenen Schaltkreis und berechnen Sie Spannung und Strom am Lastwiderstand. b) Skizzieren Sie die Kennlinien der Quelle und des Lastwiderstands in einer gemeinsamen Graphik und finden Sie den Arbeitspunkt grafisch. c) Welche Leistung nimmt der Lastwiderstand auf? d) Welche Leistung kann die lineare Quelle maximal an einen (entsprechend gewählten) Lastwiderstand abgeben? Wie gross muss dazu der Lastwiderstand gewählt werden? 27. Aufgabe In der Übung 2 haben Sie die Kennlinie eines nichtlinearen Zweipols aufgrund untenstehender Messpunkte aufgezeichnet: Spannung in Volt 0 2 5 10 15 30 50 70 80 Stromstärke in Ampère 0 0,1 0,2 0,3 0,35 0,4 0,42 0,45 0,5 a) Dieser Zweipol wird an eine lineare Quelle mit U0 = 80 V und Ri = 160 Ω angeschlossen. Verwenden Sie die Methode der Spiegelung der Quellengerade, um den Arbeitspunkt zu finden, bei dem der Zweipol betrieben wird. b) In Serie zum nichtlinearen Zweipol wird ein Widerstand von 40 Ω geschalten. Diese Serieschaltung wird wieder an die lineare Quelle mit U0 = 80 V und Ri = 160 Ω angeschlossen. Bestimmen Sie wiederum grafisch den Arbeitspunkt. 28. Aufgabe Berechnen Sie das Thévenin-Ersatzschaltbild zu den untenstehenden Netzwerken bezüglich den Anschlüssen (Knoten) 1 und 2. Für die Werte der Elemente gilt: U0 = 10 V, R1 = 200 Ω, R2 = 250 Ω, R3 = 400 Ω, R4 = 600 Ω. Nutzen Sie Ihre Lösungen zu den ähnlichen Netzwerken in Übung 2. Netzwerk 1 Netzwerk 2 ZHAW, 24.10.2012 17/57 ZHAW, 24.10.2012 18/57 29. Aufgabe Berechnen Sie das Thévenin-Ersatzschaltbild zu den untenstehenden Netzwerken bezüglich den Anschlüssen (Knoten) 1 und 2. Nutzen Sie Ihre Lösungen zu den ähnlichen Netzwerken in dieser Übung weiter oben. Netzwerk 1 Netzwerk 2 Netzwerk 3 30. Aufgabe Ein Widerstand von 100 Ω erwärmt sich durch Stromfluss von 20 °C auf 85 °C. Wie ändert sich der Widerstandswert, in Prozent des ursprünglichen Werts, wenn a) der Widerstand aus Kohle besteht (billigstes Material), welches einen Temperaturkoeffizienten von -450 ppm/°C aufweist? («ppm» = 10-6) b) der Widerstand aus einem Metallfilm besteht (teurer), welcher einen Temperaturkoeffizienten von +100 ppm/°C aufweist? ZHAW, 24.10.2012 19/57 Übungen 7 31. Aufgabe An einem (idealen) Kondensator der Kapazität 100 nF verläuft die Spannung dreieckförmig: Amplitude: ±1 V, Periodendauer: T = 1 ms. a) Skizzieren Sie den entsprechenden Stromstärkeverlauf für die Dauer 2T. Die Spannung starte zu Periodenbeginn mit -1 V und einem Spannungsanstieg. b) Bestimmen Sie die (numerischen) Eckwerte des Stromstärkenverlaufs. 32. Aufgabe a) Ein 100 nF Kondensator wird zum Zeitpunkt t = 0 mit einen Widerstand von 12 kΩ in Serie an eine Spannungsquelle von 5 V angeschlossen. Berechnen Sie Spannung und Stromstärke unmittelbar nach dem Anschliessen, wenn der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen ist. b) Berechnen Sie Spannung und Stromstärke unmittelbar nach dem Anschliessen gemäss Teilaufgabe a), wenn der Kondensator vor dem Anschliessen auf 10 V geladen war. 33. Aufgabe Zwei Kondensatoren der Kapazitäten C1 = 0,1 µF und C2 = 2,2 µF haben beide die (maximal erlaubte) Nennspannung UN = 100 V. a) Welche Gesamtladung nehmen die Kondensatoren auf, wenn sie parallel an der Nennspannung liegen? b) An welcher maximalen Spannung dürfen beide Kondensatoren in Serie betrieben werden? Welche Ladung nehmen sie dabei auf? 34. Aufgabe Ein Kondensator C = 1 µF und ein Widerstand R = 100 kΩ in Serie hängen an einer idealen Gleichspannungsquelle Uq = 10 V. Die Spannung über dem Widerstand wird mit uR(t), die über dem Kondensator mit uC(t) bezeichnet. a) Wie gross sind uR und die Stromstärke i im Schaltkreis, wenn uC = Uq ist? b) Wie gross sind uR und i, wenn uC = 0 ist? c) Zum Zeitpunkt t = t0 sei uC(t0) = 5 V. Wie gross sind uR(t0) und i(t0) sowie die Ladungen q+(t0) und q–(t0) auf den Kondensatorelektroden? 35. Aufgabe Ein Kondensator der Kapazität C = 1 µF ist in Serie mit einemWiderstand R = 1 Ω an eine ideale Stromquelle angeschlossen. Für t < 0 ist keine Ladung im Kondensator gespeichert. Für t ≥ 0 verläuft die Stromstärke der Quelle i0(t) nach folgender Graphik: ZHAW, 24.10.2012 20/57 Zeichnen Sie den Verlauf der Spannung uc(t) am Kondensator in die Graphik ein. 36. Aufgabe Eine zeitvariable, lineare Spannungsquelle mit Spannung u0(t) und Innenwiderstand R speist einen Kondensator C. Zeichnen Sie die Schaltung auf Stellen Sie die Maschengleichung auf Stellen Sie die Gleichung für Strom und Spannung am Widerstand und die Gleichung für Strom und Spannung am Kondensator auf Kombinieren Sie alle Gleichungen, um die Differentialgleichung für die Schaltung zu erhalten, welche nur noch die Grössen R, C, i(t) und u0(t) enthält. ZHAW, 24.10.2012 21/57 Übungen 8 37. Aufgabe Wie viel Energie steckt im elektrischen Feld zwischen dem Proton und dem Elektron eines Wasserstoffatoms? Radius des Wasserstoffatoms: 37 pm (Distanz Proton-Elektron, pm = «Picometer», d.h. 10-12 m). Tipp: die gleiche Energie wird benötigt, um das Elektron unendlich weit weg vom Proton zu entfernen. 38. Aufgabe a) Wie sehen die Feldlinien bei der untenstehenden Ladungs-Situation aus (grobe Skizze)? Verwenden Sie eine konstante, wählbare Feldliniendichte (Anzahl Feldlinien pro Umfang) auf der positiv geladenen Kugel. b) Die Ladungen werden mit Wasser umgeben. Wie ändern sich die von Ihnen gezeichneten Feldlinien? 39. Aufgabe Ein Elektron mit Masse me = 9,1·10-31 kg wird zwischen zwei elektrisch geladenen Platten beschleunigt. Die Spannung zwischen den Platten beträgt U = 10 kV. Das Elektron startet von der negativ geladenen Platte. Mit welcher Geschwindigkeit trifft es auf die gegenüberliegende Platte? Hinweis: Energiebilanz, kinetische Energie: Wk = mev2/2. 40. Aufgabe Ein Wickelkondensator wird aus zwei einseitig metallisch beschichteten Kunststoffolien gewickelt. Die Kunststoffolie ist 0.1 mm dick, die Permittivitätszahl εr ist 3 und die Durchschlagsfestigkeit 500 kV/cm. Die Fläche jeder Folie beträgt 3 m2 a) Wie hoch ist die zulässige Spannung? b) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. c) Welche Ladung und welche Energie sind bei 100 V im Kondensator gespeichert? d) Wie gross ist die elektrische Feldstärke in der Folie bei 100 V, ausgedrückt in kV/cm? 41. Aufgabe Ein gerades Drahtstück hat die Länge 0,5 m, den Durchmesser 0,2 mm, den Widerstandswert 20 Ω und wird mit 100 mA bestromt. Gesucht sind: a) Stromdichte b) Feldstärke im Drahtinnern c) Spezifischer Leitwert d) Abstand der Äquipotentialflächen im Drahtinnern in Metern bei einem Spannungsunterschied von 0,4 V zwischen den Äquipotentialflächen e) Potential in Funktion der Position bezüglich der Drahtlängsachse ZHAW, 24.10.2012 22/57 Übungen 9 42. Aufgabe Skizzieren Sie den Verlauf der magnetischen Feldlinien in einer Ebene senkrecht zu zwei stromführenden, geraden, parallelen, dünnen Leitern falls die Stromstärken gleich gross und entgegengerichtet sind. 43. Aufgabe Ein Ausschnitt der Länge ℓ = 20 cm eines geraden, dünnen Leiters befindet sich in einem homogenen magnetischen Feld mit magnetischer Flussdichte B = 0,5 T. Im Leiter fliesst der Gleichstrom I = 1 A. Das Magnetfeld steht senkrecht auf die Stromrichtung. a) Skizzieren Sie die Feldlinien des homogenen magnetischen Feldes in einer Querschnittsebene durch den geraden Leiter senkrecht zum Stromfluss. b) Bestimmen Sie formal und numerisch die magnetische Kraft auf das Leiterstück. 44. Aufgabe Zwei parallele, lange dünne Leiter sind im Abstand 1 m angeordnet und führen je 1 A Strom in entgegengesetzte Richtung. In der Querschnittsfläche wird ein Koordinatensystem eingeführt, so dass der eine Leiter bei Koordinate (x = 0, y = 0), der andere bei Koordinate (1, 0) zu liegen kommt (s.u). Berechnen Sie für die Punkte (0.25, 0.5), (0.5, 0.75) und (1.25, 0.25) folgendes: Betrag des Magnetfeldes B1 bewirkt durch den Strom I1 im betrachteten Punkt Betrag des Magnetfeldes B2 bewirkt durch den Strom I2 im betrachteten Punkt Jeweils Zerlegung von B1 und B2 in ihre x- und y-Komponenten (B1x , B1y ,B2x , B2y) Jeweils Addition von B1 und B2 (totales Magnetfeld im betrachteten Punkt) Der Einsatz einer Tabellenverarbeitung (z.B. MS Excel) ist für diese Aufgabe zulässig. In Prüfungen sollten Sie einfachste Vektoradditionen von Magnetfeldern durchführen können z.B. die Berechnung im Punkt (1.5,0). y I1 I2 x 0,0 ZHAW, 24.10.2012 1,0 23/57 45. Aufgabe Eine stromführende (I = 1 A), zylindrische Spule mit 4 cm Durchmesser und 400 Windungen wird in ein homogenes magnetisches Feld mit magnetischer Flussdichte B = 0,5 T gesetzt, so dass die Feldrichtung des homogenen Feldes parallel zur Zylinderachse liegt und das Magnetfeld BI, welches durch den Strom I erzeugt wird, im Innern der Spule dem Magnetfeld B entgegengesetzt gerichtet ist. a) Skizzieren Sie die Situation. b) Bestimmen Sie formal und numerisch die Kraft, die die Spule durch das homogene Magnetfeld B erfährt. Wie wirkt diese Kraft? c) Skizzieren Sie die Feldlinien des Magnetfeldes BI. d) Wie gross ist das Magnetfeld BI im Innern der Spule, wenn die Spule eine Länge von 10 cm aufweist? e) Der Strom I kann so gewählt werden, dass das resultierende Magnetfeld (vektorielle Summe aus B und BI) im Innern der Spule null ist. Welcher Strom müsste dazu gewählt werden, wenn die Spule 10 cm lang ist? ZHAW, 24.10.2012 24/57 Übungen 10 46. Aufgabe Eine offene, rechteckförmige Leiterschlaufe dreht sich mit der konstanten Drehfrequenz f = 50 Hz in einem homogenen Magnetfeld mit magnetischer Flussdichte B = 1 T. Die Rotationsachse steht senkrecht zum Feldvektor B. Die Leiterschleife hat Rechteckseiten mit den Längen a = 20 mm und b = 50 mm. Zur Zeit t = 0 sei der magnetische Fluss durch die Leiterschleife positiv und maximal gross. a) Skizzieren Sie die geometrische Anordnung zur Zeit t = 0 b) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Flusses durch die Leiterschlaufe für eine ganze Umdrehung c) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Klemmenspannung in Funktion der Zeit d) Die einfache Leiterschleife soll ersetzt werden durch eine Spule mit offenen Klemmen. Wieviele Windungen muss die Spule haben, damit die maximale Spannung 1 V beträgt? 47. Aufgabe An einer Spule mit N = 50 Leiterschleifen wird der folgende Spannungsverlauf gemessen: D.h. die Spannung verläuft von t = 100 ms bis t = 300 ms sinusförmig. a) Die Fläche unter der positiven „Halbwelle“ beträgt numerisch 2·10–3 V s. Welche physikalische Bedeutung hat diese Fläche? b) Skizzieren Sie den Verlauf des magnetischen, verketteten Flusses durch die Spule und geben Sie markante Punkte des Verlaufs numerisch an. Erläutern Sie wie dieser Verlauf zustande kommt. c) Wie und mit welcher Frequenz (in Umdrehungen/Min.) müsste die Spule in einem homogenen Magnetfeld gedreht werden um den Spannungsverlauf zu erhalten? d) Welche magnetische Flussdichte hat das homogene Magnetfeld, wenn die Spulenfläche 10 cm2 beträgt? ZHAW, 24.10.2012 25/57 Übungen 11 48. Aufgabe Ein Kondensator wird an ein Wechselstromnetz 230 V (Effektivwert), 50 Hz angeschlossen und es wird ein Strom von 0,5 A (Effektivwert) gemessen. Berechnen Sie die Amplitude von Spannung und Strom, sowie die Kapazität des Kondensators. 49. Aufgabe An einem Kondensator wurde folgender Spannungs und Stromstärkeverlauf gemessen: Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators anhand der Darstellung. 50. Aufgabe Gegeben ist eine Serieschaltung einer Induktivität L und eines Widerstands R.Wird die Serieschaltung mit 24 V Gleichspannung betrieben, stellt sich mit der Zeit ein stationärer Strom von 1,2 A ein. Wird die Serieschaltung mit Wechselspannung von 230 V, 50 Hz betrieben, fliesst ein stationärer Strom von 2,3 A (Effektivwert). Wie gross ist die Induktivität L und der Widerstand R? ZHAW, 24.10.2012 26/57 51. Aufgabe Gegeben sei folgende Schaltung: Î ÎR ~ ÎC Ûq Bestimmen Sie die Ströme in dieser Schaltung, wenn gilt: Ûq = 3 V (Amplitude der Quellenspannung), f = 2,5 kHz (Frequenz der Wechselspannungsquelle), R = 10 und C = 10 F. 52. Aufgabe Gegeben sind die zeitlichen Verläufe von Spannung und Strom an den Klemmen eines linearen Zweipols (Winkel in Radiant): u(t) = 5 V · sin (ωt + 0,2) i(t) = 0,02 A · cos (ωt + 0,1) gesucht: a) Momentanleistung p(t) über trigonometrische Formeln b) Wirkleistung P (linearer Mittelwert von p(t)) c) Blindleistung Q d) Scheinleistung S Hinweis: man beachte, dass die Formeln für die Leistungsberechnungen davon ausgehen, dass Strom und Spannung entweder beide als Sinus-, oder als Kosinusschwingungen vorliegen. ZHAW, 24.10.2012 27/57 Übungen 12 53. Aufgabe Wie gross ist die Ausgangsspannung UOUT, wenn die drei Eingangsspannungen U1, U2 und U3 beliebige Werte annehmen können? Verlangt wird ein allgemeiner Ausdruck für die Ausgangsspannung oder auch eine eindeutige Funktionsbeschreibung in Worten. 54. Aufgabe Gesucht ist die Kennlinie U2 = f(U1) der nachstehenden Schaltung für U1 = 0 ... 20 V. Wie ändert sich die Kennlinie, wenn die Polarität der Diode umgekehrt wird? ZHAW, 24.10.2012 28/57 55. Aufgabe Die Empfindlichkeit S der Photodiode in der nachfolgenden Schaltung betrage 50 nA/lx. Gesucht ist die Ausgangsspannung U2 der Schaltung in Abhängigkeit von der Beleuchtungsstärke Ev für den Bereich von Ev = 50 ... 2000 lx. 56. Aufgabe Die Quellenspannung sei sinusförmig mit einer Amplitude von 10 V und einer Frequenz von 50 Hz. Beide Kondensatoren haben eine Kapazität von C = 100 µF. Man überlege sich, wie die Spannung u1(t) verläuft und bestimme daraus den Verlauf der Ausgangsspannung u2(t). Vereinfachend wird angenommen, die Diodenfluss-Spannung sei UF = 0. ZHAW, 24.10.2012 29/57 Übung 13 57. Aufgabe Ein Rotor eines Motors besteht aus einer Spule mit 10 Windungen. Die geometrischen Abmessungen der Rotorspule betragen a = 6 cm, b = 5 cm. Eine mitdrehende autonome Stromquelle liefert einen Strom mit einer Stärke vom Betrag | I | = 10 A. Der Rotor befindet sich im Erdmagnetfeld (Bild Figur 5, rechts), welches senkrecht zur Rotorachse liegt, gegenüber der Vertikalen einen Winkel von 45° besitzt und die Stärke 48 T aufweist. Figur 5: Rotor a) In welche Richtung wirkt das Drehmoment, im Uhrzeigersinn oder im GegenUhrzeigersinn (bei Ansicht von Richtung A)? b) Für welche Winkel ist das Drehmoment maximal? c) Welcher Wert ergibt sich für das maximale Drehmoment? d) Nehmen Sie an, dass die Stromstärke I in Abhängigkeit des Drehwinkels gesteuert werden kann und I die Werte +10 A oder -10 A annehmen kann. Wie muss die Stromstärke gesteuert werden, damit der Rotor für eine Umdrehung die maximale Arbeit verrichten kann? Skizzieren Sie den Verlauf der Stromstärke I() für eine ganze Umdrehung. Hinweis: in vertikaler Richtung ist = 0°. 58. Aufgabe Wie verhält sich ein idealer Transformator gegenüber einem Mischsignal (Signal bestehend aus einer Wechselspannung addiert zu einer Gleichspannung)? Hinweis: Am idealen Transformator gilt das Superpositionsprinzip. Was gilt für die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal bei einem idealen Transformator, wenn beide Spulen denselben Wicklungssinn aufweisen? ZHAW, 24.10.2012 30/57 Beispiellösungen 1. Aufgabe Anzeige Taschenrechner Einheit Notiertes Resultat mit Präfixen 1275.83 m 1,28 km 0.009987 m 9,99 mm 1.9847E-5 m 19,8 µm 6.92764E4 m 69,3 km 1.2001E-11 m 12,0 pm 8.92E-8 m 89,2 nm 2. Aufgabe Wolle gibt Elektronen ab, lädt sich also positiv auf. 3. Aufgabe -6.24 · 1018 Elektronen / C · -2µC = 12.5 · 1012 Elektronen 4. Aufgabe e -e I e Q = 2 · 1.602 · 10-19 C = 3.20 · 10-19 C I -e Q = - (-2 · 1.602 · 10-19 C) = 3.2 · 10-19 C -e I e Q =-1.602 · 10-19 - 1.602 · 10-19 C = -3.2 · 10-19 C 5. Aufgabe Der Ladungsverlauf hat den Verlauf einer Gerade, mit Steigung Q1 und Achsenversatz Q0 . T Die Stromstärke ergibt sich durch die Ableitung des Ladungsverlaufs q nach der Zeit t. Bei einer Geraden ist die Ableitung gleich der Steigung der Geraden. Daraus folgt der konstante Strom i (t ) Q1 . T 6. Aufgabe Situationen a) bis c): je 2.0 As = 2.0 C Situation d) 0.0 C ZHAW, 24.10.2012 31/57 7. Aufgabe a) J 4 I d2 b) Durchmesser als Funktion von x: d ( x) d1 J ( x) 4 I d 2 ( x) I 4 d d1 d1 2 x d2 d1 x , daraus folgt: 2 8. Aufgabe Ein voll aufgeladener 28 V Akkumulator (wiederaufladbare Batterie) eines Airbus A320 speichert eine Ladung von 23 Ah. a) 90% · 23 Ah = 3 h · 4 A + x h · 3 A x = (90% · 23 Ah – 12 Ah) / 3 A = 2.90 h, d.h. total 3 h + 2.90 h = 5.90 h b) 90% · 23 Ah / 2 A = 10.4 h c) W = U · Q da Spannung konstant = 28 V · 23 Ah · 3600 s/h = 2.32 MJ d) I = ΔQ/ Δt = 46 Ah / 30 min = 92 A (Dies entspricht einer Leistung von 2,6 kW bei gleichbleibender Akkumulatorspannung. Zum Vergleich: eine Lichtmaschine eines Airbus kann bis zu 90 kW elektrische Leistung liefern, es sind zwei davon vorhanden. Weiterhin ein Generator mit ebenfalls bis zu 90 kW.) e) P = U · I = 28 V · 6 A = 168 W 9. Aufgabe p (t ) u (t ) i (t ) 2 V 0,14 A e t /0,1s Auswerten z.B. bei 0 s, 100 ms, 200 ms, 300 ms, 400 ms und 500 ms, Punkte verbinden: 0.35 Momentanleistung in Watt 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 Zeit in Sekunden 0.4 0.5 10. Aufgabe a), b) Der Spannungspfeil wird üblicherweise so eingezeichnet, dass die Spannung am Widerstand einen positiven Wert ergibt (s.u.), der Strompfeil muss für das Verbraucherpfeilsystem in die gleiche Richtung zeigen wie der Spannungspfeil. Der Spannungspfeil darf jedoch auch umgekehrt eingezeichnet werden (damit auch der Strompfeil umgekehrt). Weiter darf der Strompfeil an irgend einer Stelle des Stromkreises eingezeichnet werden, also z.B. auch auf dem unteren Leitungsstück. ZHAW, 24.10.2012 32/57 I + U R U c) I = P / U = 1.7 W / 12 V = 0.142 A d) R = U / I = 84,5 Ω e) 98% · 1.7 W = 1.67 W f) a. (2% · 1.7 W) / 13% = 262 mW, b. Wgespart = WGlühlampe - WLED = (PGlühlampe – PLED) · t = (1.7 W – 0.262 W) · 3600 s = 5.18 kJ 11. Aufgabe Achtung: die x-Achse ist hier der Strom, die y-Achse die Spannung. a) Widerstandswerte: Stromstärke I in mA -33 0 33 66 R(I) in Ω 20 0 20 30 (Bemerkung: die Resultate sollen nicht mehr Stellen haben, als die aus dem Diagramm heraus gelesenen Werte, die zur Berechnung verwendet wurden.) b) Zeichnen Sie in die Grafik die Kennlinien folgender Widerstände ein: 200 Ω, 5 Ω 100 40 200 5 ZHAW, 24.10.2012 33/57 12. Aufgabe 0.5 Strom in Ampère 0.4 0.3 0.2 0.1 Skizzierte Kennlinie Messpunkte 0 0 10 20 30 40 50 Spannung in Volt 60 70 80 13. Aufgabe = R · A / ℓ = 7,96 · 10-3 Ω · (10-3 m / 2)2 · / 0.225 m = 2,78 · 10-8 Ωm, vermutlich aus Aluminium. 14. Aufgabe a) Dichte Aluminum / Dichte Kupfer · 100% = 2,7 g/cm3 / 8,96 g/cm3 · 100% = 30,1% b) Al / Cu = 2,78 · 10-8 Ωm / 1,78 · 10-8 Ωm · 100% = 156,2%, also um 56,2% grösser. c) Leistung skaliert linear mit dem Widerstand, quadratisch mit Strom, Spannung. Strom bleibe gleich, damit entsteht bei einem 56,2% grösseren Widerstand (Teilaufgabe b) auch eine um 56,2% grössere Leistung. d) R = · ℓ / A , R soll um Faktor Cu /Al = 0,640 kleiner werden A muss um Faktor Al / Cu = 1,562 grösser werden, wegen A = (D/2)2 · muss der Durchmesser nur um Faktor (Al / Cu) = 1,250 grösser werden bzw. um 25,0% zunehmen. e) Gewicht Aluminiumkabel / Gewicht Kupferkabel = Volumen Aluminiumkabel · Dichte Aluminium / (Volumen Kupferkabel · Dichte Kupfer) = Querschnittsfläche Aluminiumkabel · Dichte Aluminium / (Querschnittsfläche Kupferkabel · Dichte Kupfer) , weil gleiche Länge = spezifischer Widerstand Aluminiumkabel · Dichte Aluminium / (spezifischer Widerstand Kupferkabel · Dichte Kupfer) , wegen Querschnittsflächen-Verhältnis aus d) = Al / Cu · Dichte Aluminium / Dichte Kupferkabel = 2,78 · 10-8 Ωm / 1,78 · 10-8 Ωm · 2,7 g/cm3 / 8,96 g/cm3 = 0,470 f) Leistung/Oberflächenstück bei… a. da ein Aluminiumkabel eine um 56,2% höhere Leistung gegenüber dem Kupferkabel bei gleichem Stromfluss aufweist (Teilaufgabe b), ist, bei gleicher Form der Kabel, auch die Leistung/Oberflächenstück beim Aluminiumkabel um 56,2% höher. b. gleicher Widerstand des Aluminiumkabels wie Kupferkabel: um 25,0% grösserer Durchmesser beim Aluminiumkabel = um 25,0% grösserer Umfang = um 25,0% bzw. Faktor 1,250 grössere Oberfläche, d.h um den Faktor 1/1,250 = 0,800 kleinere Leistung/Oberflächenstück. ZHAW, 24.10.2012 34/57 g) Im Flugzeugbau Aluminiumkabel statt Kupferkabel einzusetzen, führt zu einer Gewichtseinsparung, wenn akzeptiert werden kann, dass der Kabelwiderstand um 56% steigt (Gewichtseinsparung ca. 70%) oder das Kabelvolumen um 56% zunimmt (Gewichtseinsparung 50%). Bemerkung 1: das benötigte Volumen steigt bei Aluminiumkabeln auch deshalb, weil wegen der grösseren Sprödigkeit des Materials ein grösserer Biegeradius eingesetzt werden muss. Bemerkung 2: der Kilopreis von Aluminium ist wenig bis viel tiefer als der von Kupfer (je nach Kurs und Quelle). 15. Aufgabe Hinweis zu den Spannungen: die Spannungspfeile wurden jeweils in Richtung des Strompfeils gewählt. Spannung am Widerstand R1 ist U1 etc. Netzwerk 1 Serieschaltung von R3 und R4 = 400 Ω + 600 Ω = 1 kΩ = sei R5. Parallelschaltung R2 || R5 = R2 · R5 / (R2 + R5 ) = 250 Ω · 1 kΩ / (250 Ω + 1 kΩ) = 200 Ω = sei R6 Serieschaltung von R1 und R6 = 200 Ω + 200 Ω = 400 Ω = sei R7 (nur noch ein Widerstand) = Ersatzwiderstand der Schaltung. I1 = U1 / Ersatzwiderstand der Schaltung = 10 V / 400 Ω = 25 mA Weitere Werte: Einheit I1 I2 I3 25 20 5 mA Einheit U1 U2 U3 U4 5 5 2 3 V Netzwerk 2 Ersatzwiderstand: 142 Ω Einheit I5 I1 I2 I3 I4 70,4 50 20,4 12,2 8,16 mA Einheit U1 U2 U3 = U4 10 5,10 4,9 V Netzwerk 3 Da ein Anschluss von R3 unbeschalten ist, muss I3 = 0 gelten. Ersatzwiderstand: 450 Ω Einheit I1 I2 I3 22,2 22,2 0 mA Einheit U1 U2 U3 4,44 5,56 0 V Netzwerk 4 R2 ist kurzgeschlossen, daher muss I2 = 0 gelten. Ersatzwiderstand: 200 Ω Einheit I1 I2 I3 50 0 50 mA Einheit U1 U2 10 0 V ZHAW, 24.10.2012 35/57 16. Aufgabe Aufgrund der Symmetrie ist das Potential am Knoten 2 gleich dem Potential am Knoten 4. D.h. die Spannung U24 = 0. Der Widerstand zwischen Knoten 2 und 4 kann entfernt werden, ohne dass sich an den Spannungen und Strömen im Netzwerk etwas ändert. Ersatzwiderstand: 1 kΩ Einheit I1 I2 I3 I4 I5 I6 28 14 14 14 0 14 mA Einheit U12 U14 U23 U24 U43 14 14 14 0 14 V 17. Aufgabe Die Knoten 2, 4 und 5 lassen sich durch eine Drehung des Würfels um die Achse 1-7 ineinander überführen. Dasselbe gilt für die Knoten 3, 6 und 8. Daraus folgt: Die Potentiale an den Knoten 2, 4 und 5 sind gleich Die Potentiale an den Knoten 3, 6 und 8 sind gleich D.h. die Knoten 2, 4 und 5 können durch einen Leiter verbunden werden, ohne dass sich die Spannungen und Ströme im Netzwerk ändern. Dasselbe gilt für die Knoten 3,6 und 8. Diese zusätzlich eingeführten Verbindungen erlauben die Anwendung der Vereinfachungsgesetze. Das so modifizierte Netzwerk des Würfels kann wie folgt gezeichnet werden: Aus der Parallel- und Serieschaltung der Widerstände folgt ein Ersatzwiderstand von 5/6 kΩ = 833 Ω. 18. Aufgabe Umordnen der Quellen und Widerstände ändert nichts am Verhalten der linearen Quelle mit Anschlüssen A und B. ZHAW, 24.10.2012 36/57 (siehe nächste Seite) ZHAW, 24.10.2012 37/57 19. Aufgabe Eine lineare Quelle hat eine Leerlaufspannung U0 = 12 V und eine Kurzschlussstromstärke I0 = 240 mA. c) Uq = U0 = 12 V, Ri = U0 / I0 = 12 V / 240 mA = 50 d) Iq = I0 = 240 mA, Gi = 1/ Ri = 1/ 50 = 20 mS 20. Aufgabe Kurzschliessen ergibt Stromrichtung durch Widerstand (zur Erinnerung: Strom kommt aus Pluspol). 21. Aufgabe ZHAW, 24.10.2012 38/57 22. Aufgabe Netzwerk 1 Teillösung A Teillösung B I = - 8 V / 1 kΩ = - 8 mA I = 9 V / 1 kΩ = 9 mA Gesamtlösung: I = - 8 mA + 9 mA = 1 mA Netzwerk 2 Teillösung A Teillösung B U=8V U = 1 kΩ · 2 mA = 2 V Gesamtlösung: U = 8 V + 2 V = 10 V Netzwerk 3 Teillösung A Teillösung B U = 2 mA · 1 kΩ = 2 V U = - 4 mA · 1 kΩ = - 4 V Gesamtlösung: U = 2 V - 4 V = - 2 V Netzwerk 4 Teillösung A ZHAW, 24.10.2012 Teillösung B 39/57 U1 = 5 V U1 = - 7 V U2 = 0 V U2 = 7 V Gesamtlösung: U1 = 5 V – 7 V = - 2 V U2 = 0 V + 7 V = 7 V Netzwerk 5 Teillösung A Teillösung B U1 = 5 V U1 = 0 V U2 = 5 V U2 = U1 - U3 = - 1 V U3 = 0 V U3 = 1 mA · 1 kΩ = 1 V I1 = 5 V / 1 kΩ = 5 mA I1 = 1 mA I2 = I1 = 5 mA I2 = 0 mA Gesamtlösung: U1 = 5 V + 0 V = 5 V U2 = 5 V - 1 V = 4 V U3 = 0 V + 1 V = 1 V I1 = 5 mA + 1 mA = 6 mA I2 = 5 mA + 0 mA = 5 mA ZHAW, 24.10.2012 40/57 23. Aufgabe Gesamtlösung: Einheit I2 I I1 4,2 2,8 -1,4 A Einheit U U1 U2 25,2 2,8 -2,8 V Lösung über Quellenumwandlungen: Quelle mit UB1 und R1 umwandeln in Stromquelle mit IB1 = UB1 / R1 = 28 A und R1. Quelle mit UB2 und R2 umwandeln in Stromquelle mit IB2 = UB2 / R2 = 14 A und R2. Ersatzwiderstand ist die Parallelschaltung von R, R1, R2 =0,6 Ω. Stromquellen zusammenfassen IB1 + IB2 = 42 A. Es ergibt sich damit eine Spannung U von 42 A · 0,6 Ω = 25,2 V. Damit können nun die restlichen Spannungen und Ströme bestimmt werden. 24. Aufgabe Netzwerk 1 M 1: I 3 100 I 6 200 10 V 0 M 2 : I 2 80 I 4 50 I 3 100 0 M 3 : I 4 50 I 5 30 I 6 200 0 K1: I1 I 2 I 3 0 K 2 : I3 I 4 I6 0 K 3 : I 2 I 4 I5 0 K 4 : I 5 I 6 I1 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) Netzwerk 2 M 1: I 3 500 I 4 120 20 V 0 M 2 : I 2 40 I 5 70 I 3 500 0 M 3 : I 6 10 I 2 40 20 V 0 K1: I 3 I 4 I 5 0 K 2 : I1 I 2 I 3 0 K 3 : I 4 I1 I 6 0 K 4 : I 2 I6 I5 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) Netzwerk 3 M 1: 5 V I 2 100 I 3 150 0 M 2 : I 2 100 I 4 120 9 V 0 M 3 : 9 V+I 5 80 I 3 150 0 K1: I1 I 2 I 4 0 K 2 : I 2 I6 I3 0 K 3 : I 3 I 5 I1 0 K 4 : I 4 I5 I6 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) ZHAW, 24.10.2012 41/57 Netzwerk 4 M 1: I 3 100 U 24 I1 50 0 M 2 : I 2 80 I 4 50 I 3 100 0 M 3 : I 4 50 I 5 30 U 24 0 K 1: I1 I 2 I 3 0 K 2 : I 3 I 4 0,1 A 0 K 3 : I2 I4 I5 0 K 4 : I 5 0,1 A I1 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) Netzwerk 5 M 1: I 4 30 20 V 20 V 0 M 2 : 20 V U 24 I 3 20 0 M 3 : 20 V I 5 10 U 24 0 K1: I 2 I 3 I 4 0 K 2 : I1 I 2 1 A 0 K 3 : I 4 I1 I 5 0 K 4 : I5 1 A I3 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) Netzwerk 6 M 1: 5 V 1 V U 23 0 M 2 : 1 V 3 V U 42 0 M 3 : U 23 U 42 U 43 0 K1: I1 I 2 I 3 0 K 2 : I 2 3 A 0,5 A 0 K 3 : 3 A 2 A I1 0 K 4 : I 3 0, 5 A 2 A 0 (Eine der Knotengleichungen ist redundant) 25. Aufgabe Rx R1 RN R2 Rx 150 75 45 250 ZHAW, 24.10.2012 42/57 26. Aufgabe Gegeben ist eine reale Spannungsquelle, die mit einer idealen Spannungsquelle der Spannung U0 = 12 V und einem Innenwiderstand Ri = 6 Ω angenähert wird. An diese Quelle wird ein Lastwiderstand R von 24 Ω angeschlossen. a) IR = U0 / (Ri + R) = 12 V / (6 Ω + 24 Ω) = 0.4 A, UAB = R · IR = 0.4 A · 24 Ω = 9.6 V IR I b) Kennlinie lineare Quelle, gespiegelt 24 0.5 A Arbeitspunkt U 4V Kennlinie lineare Quelle, ungespiegelt c) P = IR2 · R = (0.4 A)2 · 24 Ω = 3.84 W d) Pmax = Uq2/(4 · Ri) = (12 V)2 / (4 · 6 Ω) = 6 W. Der Lastwiderstand muss dazu gleich dem Innenwiderstand sein: R = Ri. 27. Aufgabe a) Es stellt sich ein Arbeitspunkt mit der Spannung 20,5 V am Zweipol und mit dem Strom 374 mA durch den Zweipol ein. 0.5 X: 20.53 Y: 0.3736 Strom in Ampère 0.4 0.3 0.2 0.1 Kennlinie Zweipol Quellenkennlinie gespiegelt 0 0 10 20 ZHAW, 24.10.2012 30 40 50 Spannung in Volt 60 70 80 43/57 b) Der zusätzliche Widerstand kann mit dem Innenwiderstand der Quelle zusammengefasst werden. Es stellt sich ein Arbeitspunkt mit der Spannung 12,8 V am Zweipol und mit dem Strom 337 mA durch den Zweipol ein. 0.5 Strom in Ampère 0.4 X: 12.83 Y: 0.3371 0.3 0.2 0.1 Kennlinie Zweipol Quellenkennlinie gespiegelt 0 0 10 20 30 40 50 Spannung in Volt 60 70 80 28. Aufgabe Netzwerk 1 Die Théveninspannung Uth ist gleich der Klemmenspannung U12 ohne eine Last an den Klemmen. Aus Übung 2: U12 = Uth = 5 V. Für die Bestimmung des Thévenin-Ersatzwiderstands wird die Quelle auf den Wert 0 gesetzt (Spannungsquelle wird zum Kurzschluss) und der Ersatzwiderstand des Netzwerks bezüglich den Klemmen bestimmt: In diesem Netzwerk sind R1 parallel zu R2 parallel zu (R3 + R4) geschalten, als Ersatzwiderstand folgt 1/(1/R1 + 1/R2 + 1/(R3 +R4)) = Rth = 100 Ω Das Thévenin-Ersatzschaltbild sieht also wie folgt aus: Netzwerk 2 Im Moment, wo die Spannungsquelle auf den Wert 0 gesetzt wird, wird R1 kurzgeschlossen. Der Thévenin-Ersatzwiderstand ist gleich der Parallelschaltung der übrigen Widerstände. Uth = 5,10 V; Rth = 122 Ω ZHAW, 24.10.2012 44/57 29. Aufgabe Netzwerk 1: Uth = - 2 V; Rth = 1 kΩ Netzwerk 2:Uth = 7 V; Rth = 0 Netzwerk 3: Uth = 4 V; Rth = 1 kΩ 30. Aufgabe R20 = 100 Ω, = 85 °C – 20 °C = 65 °C, R = R20 (1 + 20) a) R65 / R20 = 100 Ω (1 + -450 · 10-6/°C · 65 °C) / 100 Ω = 0.971, d.h. Widerstand sinkt um (1-0.971) · 100% = 2.93% b) R65 / R20 = 100 Ω (1 + 100 · 10-6/°C · 65 °C) / 100 Ω = 1.0065, d.h. Widerstand steigt um (1.0065 – 1) · 100% = 0.650% 31. Aufgabe 32. Aufgabe a) b) 33. Aufgabe 34. Aufgabe ZHAW, 24.10.2012 45/57 35. Aufgabe 36. Aufgabe uR(t) R + u0(t) C uC(t) i(t) u R (t ) uC (t ) u0 (t ) 0 u R (t ) R i (t ) 1 i (t ) dt C 1 R i (t ) i (t ) dt u0 (t ) 0 C uC (t ) 37. Aufgabe Potential im Abstand von 37 pm vom Proton: 37 pm 1 e 38.9 V 4 r Mit W = U · Q: W U e 37 pm e 6.23 10 18 J Zu Beachten: Die allgemeine Formel für den Zusammenhang zwischen Energie, Ladung und Spannung ist W = Q · U (siehe Formelsammlung unter Definition der Spannung). Für alle allgemeinen Fälle ist diese Formel zu verwenden. Die Formel W = 1/2 · Q · U gilt nur für die Energie im geladenen Kondensator. Der Faktor 1/2 kommt daher, dass am Anfang der Aufladung des Kondensators die Spannung Null ist, am Ende ist sie U, d.h. durchschnittlich wird Ladung mit der Spannung U/2 in den Kondensator eingebracht. Damit kann die Kondensatorformel auf die obige, generelle Formel zurückgeführt werden. 38. Aufgabe a) Die Feldlinien stehen senkrecht auf den geladenen Körper, zeigen vom positiv zum negativ geladenen Körper, nehmen den kürzesten Weg, aber meiden sich. Da keine Feldliniendichte vorgegeben ist, können Linien, welche obige Kriterien erfüllen, beliebig gewählt und gezeichnet werden. ZHAW, 24.10.2012 46/57 b) Im Wasser ist die Anziehung zweier geladener Körper um den Faktor 1/80 kleiner als im Vakuum, d.h. die Feldstärke ist um Faktor 80 kleiner. Da die Feldliniendichte proportional zur Feldstärke ist, müsste die Feldliniendichte um den Faktor 80 reduziert werden, d.h. 80 mal weniger Linien pro Fläche. 39. Aufgabe 40. Aufgabe 41. Aufgabe a) j 4 I A 3,18 106 2 2 d m b) U E R I E c) E j RI V 4 m E kA 796 j Vm d) Äquipotentialflächen im Drahtinnern sind Ebenen senkrecht zur Achse. Bei einem Spannungsunterschied von 0,4 V resultiert ein Abstand von: E E 10 cm e) Am Drahtende mit höherem Potential sei x = 0, d.h. () 0 V. Ein Punkt auf der Drahtachse entlang des Drahtes kann mit einem Abstand x von diesem Drahtende definiert werden. Mit dieser Definition folgt, dass das Potential mit zunehmendem x abnimmt: d E ( x ) (0) E dx E x dx Für x = ℓ ergibt sich 0 (0) E (0) 2 V ZHAW, 24.10.2012 47/57 D.h. ( x ) 2 V E x 42. Aufgabe Lösungsweg: skizzenhafte vektorielle Berechnung auf der Symmetrieebene ergibt die Feldlinie auf der Symmetrieebene. Leichte Abweichung von der Symmetrieebene ergibt eine leicht gekrümmte Gerade, die eine geschlossene Kurve sein muss. Daraus ergeben sich in der Folge die obigen Kurven. 43. Aufgabe a) In Querschnittsebene senkrecht zum Strom, Strom fliesst dem Betrachter entgegen (darf auch von der anderen Seite skizziert werden): I b) 44. Aufgabe Das Gesamtmagnetfeld am Ort x,y ergibt sich als Summe des Magnetfelds vom Strom I1 am Ort x,y (B1) und dem Magnetfeld des Stromes I2 am selben Ort x,y (B2). Da diese Magnetfelder Vektoren sind, dürfen nicht einfach die Beträge addiert werden, sondern es muss eine Vektoraddition ausgeführt werden. Zunächst berechnet man die Beträge der Magnetfelder (über die Formel für den langen, geraden Leiter). Anschliessend stellt man fest, dass die Magnetfelder jeweils senkrecht zur Verbindung zum Magnetfeld-erzeugenden Strom liegen (Richtung gemäss Rechter-Hand-Regel). Dies erlaubt, die beiden Magnetfeldvektoren jeweils in Komponenten in x-Richtung (B1x, B2x) und Komponenten in y-Richtung (B1y, B2y) aufzuteilen. Danach addiert man die Komponenten in x-Richtung B1x+B2x und die Komponenten in y-Richtung B1y+B2y. Damit erhält man die Komponenten des Gesamtmagnetfelds am Ort x,y. Der Betrag ergibt sich aus der Wurzel der Quadratsumme der Komponenten des Gesamtmagnetfeldvektors B = √((B1x+B2x)2+(B1y+B2y)2). ZHAW, 24.10.2012 48/57 y I1 0,0 X-Koordinate Y-Koordinate R1 R2 B1 B2 Delta X zu I1 Delta Y zu I1 Delta X zu I2 Delta Y zu I2 B1x B1y B2x B2y Bx By B I2 x 1,0 0.25 0.5 1.25 m 0.5 0.75 0.25 m 0.56 0.90 1.27 m 0.90 0.90 0.35 m 3.58E-07 2.22E-07 1.57E-07 T 2.22E-07 2.22E-07 5.66E-07 T 0.25 0.5 1.25 0.5 0.75 0.25 7.50E-01 5.00E-01 -2.50E-01 0.5 0.75 0.25 -3.20E-07 -1.85E-07 -3.08E-08 T 1.60E-07 1.23E-07 1.54E-07 T 1.23E-07 1.85E-07 4.00E-07 T 1.85E-07 1.23E-07 -4.00E-07 T -1.97E-07 0.00E+00 3.69E-07 T 3.45E-07 2.46E-07 -2.46E-07 T 3.97E-07 2.46E-07 4.44E-07 T Lösungsweg siehe Folien. Vorzeichen der Komponenten beachten. 45. Aufgabe a) Skizze der Situation: B I b) Die Kraft versucht, den Spulendurchmesser zu verkleinern. c) Skizze: d) BI 0 ZHAW, 24.10.2012 N 400 I 4 107 Tm/A 1A 5 mT L 0.1m 49/57 e) BI 0 N ! 400 I 0,5T 4 107 Tm/A I I 99.5A L 0.1m 46. Aufgabe a) Hinweis: Referenzrichtung der induzierten Spannung gemäss Rechte-Hand Regel. b) (t ) 0, 001 cos(100 t ) Wb (Die Drehrichtung ist für den Verlauf des Flusses irrelevant) c) u (t ) d (t ) / dt 100 0, 001V sin(100 t )= 0, 3141V sin(100 t ) 0.4 u(t) (V) 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.005 0.01 t (s) 0.015 0.02 d) N = 1 V / 0,3141 V = 3,18 47. Aufgabe Der magnetische, verkettete Fluss ist die Integration des Spannungsverlaufs über die Zeit an der Spule. ZHAW, 24.10.2012 50/57 uL (t ) Umax sin(t ) 32 mV sin(2 5 Hz t ) t 32 mV cos(2 5 Hz t ) (t ) 32 mV sin(2 5 Hz t ) 2 5 Hz t 100 ms t 100 ms t 1,02mW cos(2 5 Hz t ) 1,02 mWb 1,02mW 1 cos(2 5 Hz t ) d) Bmax max 2 103 Vs 40 mT N A 50 (10/100/100) m2 Hinweis: würde es sich beim Spannungsverlauf um einen kontinuierlichen Sinusverlauf handeln (z.B. wie bei der rotierenden Schlaufe im konstanten Magnetfeld), gälte Ψmax = Umax / (2π · 5 Hz) und damit Bmax = Umax / (2π · 5 Hz · N · A), weiter wäre Ψ (100 ms) = - Ψmax. Aus der Integration der einzelnen Sinuswelle folgt jedoch Ψ (100 ms) = 0, d.h. die Kurve des verketteten Flusses ist um Ψmax nach oben verschoben, woraus folgt: Ψmax = 2 · Umax / (2π · 5 Hz), bzw. Bmax = 2 · Umax / (2π · 5 Hz · N · A). Allgemein gehen bei einer Ableitung konstante Werte verloren, es ist deshalb im Allgemeinen falsch, aus einem Wert, welcher durch eine Ableitung erhalten wurde, zurückzuschliessen auf einen Wert vor der Ableitung. Z.B. kann man aus einem konstanten Stromfluss beim Kondensator nur auf die Spannung am Kondensator schliessen, wenn bekannt ist, auf welche Spannung der Kondensator aufgeladen war, bevor der Stromfluss einsetzte. 48. Aufgabe Uˆ U eff 2 230 V 2 325.3 V Iˆ I eff 2 0.5 A 2 0.707 A 1 Uˆ ( ) C Iˆ C 0.707 A Iˆ 6.92 μF Uˆ 325.3 V 50 Hz 2 49. Aufgabe Aus der Grafik: Î = 1 mA, Û = 0,2 V und T = 1 µs. 1 1 mA 1μs Uˆ Iˆ Iˆ Iˆ T ( ) C 796 pF ˆI ˆ ˆ ˆ C U U 2 f U 2 0, 2 V 2 ZHAW, 24.10.2012 51/57 50. Aufgabe Bei Gleichspannung ist die Spannung über der Induktivität = 0 V, da sich das Magnetfeld in der Induktivität nicht ändert. D.h. bei Gleichspannung liegen die 24 V direkt am Widerstand R an. U 24 V 20 I 1.2 A Iˆ I eff 2 3.25 A R Uˆ R Iˆ 20 65 V Uˆ U 2 325.3 V q eff Die Spannung ÛR über dem Widerstand kann nun nicht einfach von der Quellenspannung Ûq subtrahiert werden, da zwischen den Spannungskurven eine Phasenverschiebung besteht. Richtig ist die Rechnung «über das Quadrat»: Uˆ q2 Uˆ R2 Uˆ L2 Uˆ L Uˆ q2 Uˆ R2 (325, 3 V) 2 (65 V) 2 319 V Uˆ L Uˆ 319 V L L L 312 mH Iˆ Iˆ 3.25 A 2 50 Hz 51. Aufgabe Uˆ 3V IˆR q 300 mA R 10 Iˆ Uˆ C 3 V 2 2.5 kHz 10 F 478 mA C q Für die Beziehung zwischen den Strömen gilt: Iˆ 2 Î R2 Î C2 Iˆ Î R2 Î C2 (300 mA) 2 (478 mA) 2 564 mA 52. Aufgabe Für die Spannung wird eine Sinuskurve verwendet, für den Strom eine Kosinuskurve. Die Formeln für die Leistungsberechnung gelten nur, wenn beide Grössen, Strom und Spannung, entweder in Sinus- oder in Kosinusform notiert sind. Daher Umwandlung der Sinus-Spannungskurve in eine Kosinus-Spannungskurve: u(t) = 5 V · sin (t + 0.2) = 5 V · cos (t +0.2 -/2); u = 0.2 -/2 a.) p(t) = 0.5 · 5 V · cos (t +0.2 -/2) · 0.02 A · cos (ωt+ 0.1) (über trigonometrische Formeln) 53. Aufgabe Die Ausgangsspannung UOUT ist immer um die Flussspannung (Siliziumdioden: 0,7V) tiefer als die höchste der Eingangsspannungen U1, U2 und U3. Wird die Flussspannung ZHAW, 24.10.2012 52/57 vernachlässigt und können die Eingangsspannungen ausschliesslich digitale Werte (z.B. 0 V oder 5 V) annehmen, ist die Funktion ein OR-Gatter: OUT = U1 # U2 # U3. 54. Aufgabe Für diese Lösung (eines anderen Dozenten) wurde als Diodenflussspannung 0,6 V eingesetzt: ZHAW, 24.10.2012 53/57 55. Aufgabe Durch fortgesetzte Quellenumwandlung erhält man: U2 = U0 - S·Ev·Ri mit U0 = 1 mV und Ri = 4 kΩ: ZHAW, 24.10.2012 54/57 56. Aufgabe Analysiert man zunächst folgende Teilschaltung… … ausgehend vom ungeladenen Kondensator und einer sinusförmigen Quellenspannung, so stellt man fest: - Bei der ersten positiven Halbwelle geschieht nichts (Diode sperrt) - Bei der ersten negativen Halbwelle wird der Kondensator auf UBA = 10 V aufgeladen. Da kein Strom in Gegenrichtung zur Laderichtung aus dem Kondensator hinaus möglich ist, bleibt die Spannung über dem Kondensator fortan bei UBA = 10 V stehen. - Beim Spitzenwert der zweiten positiven Halbwelle ist UAC = 10 V, daraus folgt aber mit UBA = 10 V eine Spannung UBC = 20 V - Beim Spitzenwert der zweiten negativen Halbwelle ist UAC = -10 V, daraus folgt mit UBA = 10 V eine Spannung UBC = 0 V - Fortan variiert die Spannung UBC sinusförmig zwischen 0 V und 20 V Analysiert man nun die ganze Schaltung, kann man feststellen: - Der zweite Kondensator kann sich nicht entladen, d.h. in einem stationären Endzustand fliesst kein Strom mehr in den zweiten Kondensator, dies bedeutet, dass nach genügend langer Zeit die Spannung UBC sinusförmig zwischen 0 V und 20 V variiert - Daraus kann geschlossen werden, dass nach genügend langer Zeit die Spannung U2(t) = 20 V konstant beträgt - Bis zu dieser stationären Situation wird zeitweise Ladung vom ersten in den zweiten Kondensator verschoben, und zwar dann, wenn UBC sonst grösser würde als U2. Die Schaltung wird auch als Spannungsverdoppler bezeichnet. In der Literatur ist sie unter dem Namen ‚Villard-Schaltung’ bekannt. ZHAW, 24.10.2012 55/57 57. Aufgabe a) Kraft auf oberes Segment in Figur 5 nach rechts oben, dreht im Uhrzeigersinn. b) Dann, wenn Kraft senkrecht zur Strecke b d.h. beim Winkel = 45 ° und beim Winkel = 225 ° c) M = I · A · B · N M = 10 A · 0.06 m · 0.05 m · 48 T · 10 = 14.4 Nm d) 10 315 (7/4 ) 0 135 (3/4 ) -10 58. Aufgabe Am Ausgang eines Transformators erscheint bei einem Mischsignal am Eingang ein reines Wechselspannungssignal. Dies kann z.B. über Superposition gezeigt werden (Analyse der Situation mit reiner Gleichspannungsquelle und mit reiner Wechselspannungsquelle, Überlagerung). Beim idealen Transformator entsteht in den Spulen keine Verlustleistung (kein ohmscher Anteil, ideal leitende Drähte), es handelt sich um ideale Spulen. Bei einer idealen Spule folgt das Wechselstrom-Maximum mit 90° Verzögerung, d.h. mit einem Phasenwinkel von -90° auf das Wechselspannungs-Maximum. Der magnetische Fluss ist in Phase mit dem Strom der Primärspule. Die in der Sekundärspule induzierte Spannung ist die Ableitung des magnetischen Flusses. Eine Ableitung bedeutet eine Phasenverschiebung von + 90°. Daraus folgt, dass beim idealen Transformator die Ausgangsspannung in Phase ist mit der Eingangsspannung, wenn die Spulen den gleichen Wicklungssinn aufweisen. ZHAW, 24.10.2012 56/57 Quellenangaben Die meisten Übungen stammen von Martin Schlup und Mathis Nussberger (beide ZHAW). Andere Übungen stammen von Robert Moser und Roland Büchi (beide ZHAW) und aus dem Buch «Elektrotechnik für Ingenieure - Klausurenrechnen», Wilfried Weissgerber, 4. Auflage, Vieweg + Teubner Verlag. Quelle Bild Widerstandswürfel: de.wikipedia.org ZHAW, 24.10.2012 57/57
