sisykap3FT

ZHAW, SiSy, Rumc, 3-1
Kapitel 3
Fouriertransformation
Inhaltsverzeichnis
1. FOURIERTRANSFORMATION ......................................................................................... 2
2. EIGENSCHAFTEN DER FOURIERTRANSFORMATION.................................................. 4
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
LINEARITÄT .................................................................................................................. 5
ZEITVERSCHIEBUNG ..................................................................................................... 5
ZEITSKALIERUNG / ZEIT-BANDBREITE-PRODUKT............................................................. 6
DUALITÄT (SYMMETRIE) ................................................................................................ 8
FREQUENZVERSCHIEBUNG ........................................................................................... 9
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION ............................................................................10
FALTUNG ....................................................................................................................11
3. SIGNALENERGIE ............................................................................................................12
4. SYMMETRIEN .................................................................................................................12
5. DIRAC-IMPULS ................................................................................................................13
6. FOURIERTRANSFORMATION PERIODISCHER SIGNALE ............................................14
7. APPROXIMATION DER FOURIERTRANSFORMATION .................................................14
8. ZUSAMMENFASSUNG ....................................................................................................15
Literatur- bzw. Quellenverzeichnis
[1]
J.R. Ohm, H. D. Lüke, „Signalübertragung“, Grundlagen der digitalen und analogen
Nachrichtenübertragungssysteme, 8. Auflage, Springer, 2002.
[2]
M. Meyer, „Signalverarbeitung“, Vieweg, 2000.
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1. Fouriertransformation
Nicht-periodische Signale s(t) können nicht als Fourierreihe dargestellt werden. Damit man
das Spektrum von s(t) aber trotzdem mit Hilfe der Fourierreihe bestimmen kann, betrachtet
man das periodisch fortgesetzte Signal und lässt die Periodendauer T0 gegen Unendlich
streben, siehe Abbildung 1.
s(t)
t
-∞ ← -T0
T0→ ∞
_
_
Abbildung 1: (Im Unendlichen) periodisch fortgesetztes, nicht-periodisches Signal.
Dieser Grenzübergang ist gestattet, falls s(t) absolut integrierbar ist, d.h. wenn


s(t ) dt   .
(1)

Die Voraussetzung in (1) trifft für die meisten Signale mit endlicher Energie und für die
Impulsantworten stabiler, linearer Systeme (wie z.B. Filter) zu.
Für das periodisch fortgesetzte Signal existiert nun die Fourierreihe. Für T0→∞ rücken die
ck-Spektrallinien immer näher zusammen (Linienabstand f0 = 1/T0). Es entsteht ein kontinuierliches Spektrum. Allerdings streben die ck-Spektrallinien gegen Null, weil die mittlere
normierte Leistung gegen Null strebt. Die spektrale Dichte
c
lim ( k )
T0  1/T
0
(2)
hingegen existiert.
Mit Hilfe des Grenzübergangs (2) kann man das Amplituden-Dichtespektrum S(f) [V/Hz] bzw.
die Fouriertransformierte S(f) des nicht-periodischen Signals s(t) bestimmen. Die Transformation und die entsprechende Rücktransformation lauten,

S(f)

 s(t) e
 j2πf t
dt

(3)

s(t)

 S(f) e
j2πf t
df

wobei im Folgenden Spektren mit Grossbuchstaben gekennzeichnet werden.
Nicht-periodische Signale s(t) besitzen also ein kontinuierliches Amplituden-Dichtespektrum S(f) [V/Hz], während periodische Signale ein Linienspektrum aufweisen.
Die Fouriertransformation kann übrigens auch aus der Laplace-Transformation hergeleitet
werden, indem einfach s = jω = j2πf gesetzt wird. Die Herleitung oben gibt aber mehr Einblick in die „Natur“ der Fouriertransformation.
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Beispiel
In Abbildung 2 ist die periodische Fortsetzung eines Rechteckpulses der Dauer τ dargestellt.
s(t)
1
t
-T 0
τ fix
T0
Abbildung 2: Periodische Fortsetzung eines Rechteckpulses der Dauer τ.
Das resultierende periodische Signal s(t) besitzt ein sinc-förmiges ck-Linienspektrum
(wählen Sie die Integrationsgrenzen in der komplexen Fourierreihe von -T0/2 bis T0/2)
τ
sin(k  π  )
τ
T0s(t)
ck  
τ
T0
1
kπ
T0
Für k=0 ist der sin(x)/x-Term 1 und c0 = τ / T0 entspricht tatsächlich dem DC-Wert von
s(t). Wenn die
-T 0 Periode T0 -> ∞, streben alle ck-Fourierkoeffizienten gegen Null, auch c0.
τ fix
In Abbildung 3 ist das periodisch fortgesetzte Rechteckpuls-Signal s(t) und das zugehörige Amplituden-Dichtespektrum ck / (1/T0) für den Fall
τ = 0.25 s und T0 = 1 s
dargestellt. Die Linien im sinc-förmigen Amplituden-Dichtespektrum ck / (1/T0) haben einen Abstand von f0 = 1/T0 = 1 Hz und die Nullstellen liegen bei Vielfachen von 1/τ = 4 Hz.
Abbildung 3: Periodisches Signal s(t) und Amplituden-Dichtespektrum ck / (1/T0).
T0
1
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-T 0
T0
τ fix
In Abbildung 4 ist das periodisch fortgesetzte Rechteckpuls-Signal s(t) und das zugehöri-ge Amplituden-Dichtespektrum ck / (1/T0) für den Fall
τ = 0.25 s und T0 = 2 s
dargestellt. Die Linien im sinc-förmigen Dichtespektrum ck / (1/T0) haben nun einen
Abstand von f0 = 1/T0 = 0.5 Hz und die Nullstellen liegen wieder bei Vielfachen von 4 Hz.
Abbildung 4: Periodisches Signal s(t) und zugehöriges Dichtespektrum ck / (1/T0).
Für T0 -> ∞ rücken die Linien immer näher zusammen und das Amplituden-Dichtespektrum ck / (1/T0) geht in ein kontinuierliches Amplituden-Dichtespektrum über, das
mit der Fouriertransformierten des Rechteckpulses der Dauer τ
S(f)  τ 
sin( π f τ)
π fτ
(4)
übereinstimmt (benutzen Sie die Definition der Fouriertransformation (3) und die
Eulerformel für die sin-Funktion).
2. Eigenschaften der Fouriertransformation
Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Fouriertransformation besprochen (ohne
Beweise). Sie sind wichtig für das Verständnis vieler technischer Prinzipien.
Im Folgenden wird das Korrespondenz-Symbol ○-● verwendet, wobei der nicht-gefüllte Teil
der Hantel auf den Zeitbereich und der gefüllte Teil der Hantel auf den Frequenzbereich
zeigen. Der Frequenzbereich wird auch Spektralbereich oder Bildbereich genannt.
■
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2.1. Linearität
Die Fouriertransformation ist linear. Es gilt das Superpositionsprinzip, d.h. für beliebige reelloder komplexwertige a und b gilt:
a·s1(t) + b·s2(t) ○-● a·S1(f) + b·S2(f)
(5)
2.2. Zeitverschiebung
Die Verschiebung des Signals s(t) um t0 im Zeitbereich bewirkt eine Phasenverschiebung im
Frequenzbereich (Multiplikation des Originalspektrums S(f) mit einer Winkelfunktion):
s(t-t0) ○-● S(f) ·
e  j2πf t 0
(6)
Wenn also das Signal s(t) das Spektrum IS(f0)I·eiφo @ f=f0 besitzt, dann besitzt das um t0 zeitverschobene Signal s(t-t0) das Spektrum IS(f0)I·ei(φo + Δφ) @ für f=f0, wobei Δφ=2π·f0·t0. Die
beiden Signale s(t) und s(t-t0) haben das gleiche Betragsspektrum IS(f)I.
Beispiel
1
τ
 t/τ
In Abbildung 5 ist das Exponentialsignal s(t)  u(t)   e
dargestellt, wobei u(t) dem
Einheitsschritt entspricht und die Zeitkonstante τ = 1/(2π) ms = 159 µs gewählt worden ist.
Abbildung 5: Exponential-Signal und zeitverschobene Kopie.
Das Exponentialsignal s(t) besitzt die folgende Fouriertransformierte

S(f)   s(t)  e  j2πf t dt 


1  t(1 j2πf τ)/τ
e  t(1 j2πf τ)/τ 
1
.
e
dt



τ0
 (1  j 2π f τ) 0 1  j 2π f τ
Die Auswertung der Fouriertransformierten S(f) für f 0 = 1/(2π·τ) = 1 kHz ergibt
π
S(f 0 ) 
j
1
1

e 4 .
1 j
2
(7)
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Das zeitverschobene Exponentialsignal x(t) = s(t-t0), t0 = 0.5 ms, siehe Abbildung 5,
besitzt nach Gleichung (6) die folgende Fouriertransformierte
X(f)  S(f)  e  j 2π f t 0 
e  j 2π f t 0
.
1  j 2π f τ
Die Auswertung der Fouriertransformierten X(f) für f0 = 1 kHz ergibt
X(f 0 ) 
1
2
e
π
 j(  π)
4
.
Die Verschiebung des Exponentialsignals s(t) um t0 = 0.5 ms bewirkt also eine Phasenverschiebung des „Spektrums“ des Exponentialsignals s(t) um -180° bei der Frequenz
f0 = 1 kHz.
■
2.3. Zeitskalierung / Zeit-Bandbreite-Produkt
Die Verkürzung des Signals s(t) mit dem Faktor a>1 bzw. die Dehnung des Signals s(t) mit
dem Faktor a<1 hat neben einer Normierung eine Dehnung bzw. Verkürzung des Spektrums
S(f) mit dem Faktor 1/a zur Folge, d.h.
s(a·t) ○-● (1/IaI)·S(f/a)
(8)
Verkürzung im t-Bereich ○-● Dehnung im f-Bereich
Dehnung im t-Bereich ○-● Verkürzung im f-Bereich
Beispiel
Der in Abbildung 6 dargestellte Rechteckpuls x(t) = s(t) mit Amplitude 1 und Dauer τ0
besitzt bekanntlich das sinc-förmige Spektrum
X(f)  S(f)  τ 0
sin( π  f  τ 0 )
π  f  τ0
(9)
mit Nullstellen bei den ganzzahligen Vielfachen von 1/τ0, mit Ausnahme S(0) = τ0.
Der mit dem Faktor 2 verkürzte Rechteckpuls y(t) = s(2t) mit Amplitude 1 und Dauer τ0/2
besitzt wegen der Zeitskalierungseigenschaft (8) das um den Faktor 2 normierte und gedehnte Spektrum
Y(f) 
τ sin( π  (f/2)  τ 0 )
1
 S(f/2)  0
2
2
π  (f/2)  τ 0
mit Nullstellen bei den ganzzahligen Vielfachen von 2/τ0, mit Ausnahme S(0) = τ0/2.
(10)
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Abbildung 6: Fourier-Spektrum des (verkürzten) Rechteckpulses.
Bandbreite und Dauer eines Pulssignals hängen wegen der Zeitskalierungseigenschaft
der Fouriertransformation offenbar voneinander ab. In Abbildung 7 ist nochmals der
Rechteckpuls s(t) mit Amplitude 1 und Dauer τ sowie das normierte Betragsspektrum in
dB dargestellt. Es ist wieder der sinc-förmige Verlauf mit der Hauptkeule (main lobe) und
den Nebenkeulen (side lobes) sowie Nullstellen bei Vielfachen von 1/τ erkennbar. Die 1.
Nebenkeule ist übrigens -14 dB kleiner als die Hauptkeule.
Pulsdauer τ
- 4 dB
Bandbreite
B = 1/τ
- 14 dB
Abbildung 7: Visualisierung des Zeit-Bandbreite-Produkts beim Rechteckpuls.
ZHAW, SiSy, Rumc, 3-8
Definieren wir „willkürlich“ die Bandbreite als das Frequenzintervall [-1/(2τ), 1/(2τ)], in
dem die Spektralkomponenten maximal 20·log10(2/π) ≈ -4 dB kleiner als IS(0)I sind, so
sehen wir, dass hier für das Zeit-Bandbreite-Produkt
B·τ = 1
gilt. Der verkürzte Rechteckpuls s(2t) der Dauer τ/2 hat eine -4 dB Bandbreite von
B=2/τ bzw. ebenfalls ein Zeit-Bandbreite-Produkt von 1.
■
Der im obigen Beispiel festgestellte Zusammenhang zwischen der Pulsdauer und der Bandbreite gilt wegen der Zeitskalierungseigenschaft (8) allgemein für alle Pulssignale.
Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können nicht unabhängig voneinander gewählt
werden. Für das Zeit-Bandbreite-Produkt gilt die „Unschärferelation“
τ·B≈1
(11)
Je „kürzer“ also ein Einzelpuls ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite seines Spektrums.
Umgekehrt haben „lang“ andauernde Einzelpulse schmale Spektren.
2.4. Dualität (Symmetrie)
Wenn ein aperiodisches Signal s(t) das Fourierspektrum S(f) besitzt, erhält man sofort eine
neue Korrespondenz, indem man im Ausdruck des Spektrums die Frequenz f durch die Zeit t
und im Ausdruck des Signals die Zeit t durch die negative Frequenz -f ersetzt.
S(t) ○-● s(-f)
(12)
Beispiel
Der Rechteckpuls besitzt ein sinc-förmiges Spektrum, siehe (9). Umgekehrt besitzt ein
rechteckförmiges Spektrum wegen der Dualität ein sinc-förmiges Zeitsignal.
Wir werden später sehen, dass ein ideales Tiefpass-Filter mit der Grenzfrequenz fg/2, das
alle Frequenzkomponenten mit f ≤ fg/2 ungedämpft passieren lässt und alle Frequenzkomponenten mit f > fg/2 perfekt unterdrückt, ein rechteckförmiges Spektrum besitzt bzw.
eine sogenannte Übertragungsfunktion der folgenden Form hat
1 für f  f g / 2
H(f)  
.
0 für f  f g / 2
(13)
Das zugehörige Zeitsignal h(t) wird mit Impulsantwort bezeichnet und ist sinc-förmig, d.h.
h(t)  f g
sin( π  t  f g )
π  t  fg
,
und besitzt Nullstellen bei den ganzzahligen Vielfachen von 1/fg.
(14)
■
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2.5. Frequenzverschiebung
Die Frequenzverschiebungseigenschaft ist dual zur Zeitverschiebungseigenschaft (6) und
wird in der Nachrichtentechnik häufig verwendet. Die Multiplikation eines Signals s(t) mit
einer Winkelfunktion hat eine Frequenzverschiebung des Spektrums zur Folge, d.h.
s(t) ·
e j2πf0 t ○-● S(f-f0) .
(15)
Beispiel
In Abbildung 8 ist die Multiplikation des Signals s(t) mit dem sogenannten Trägersignal
cos(2πf0·t) im Zeit- und im Frequenzbereich dargestellt. Es wird angenommen, dass das
Signal s(t) nur Frequenzkomponenten bei tiefen Frequenzen aufweist.
Für das Ausgangsignal gilt mit der Euler-Formel für die cos-Funktion
y(t)  s(t)  cos(2π f 0 t) 
1
1
 s(t)  e j 2π f 0 t   s(t)  e  j 2π f 0 t .
2
2
(16)
y(t)
s(t)
cos(2πf0·t)
S(f)
f
-f0
Y(f)
+f0
f
f0
-f0
Abbildung 8: Multiplikation eines Signals s(t) mit einem cos-Trägersignal.
Durch Fouriertransformation von Gleichung (16) und Anwendung der Frequenzverschiebungseigenschaft (15) erhält man für das Ausgangsspektrum
Y(f) 
1
1
 S(f  f 0 )   S(f - f 0 ) .
2
2
(17)
Das Spektrum S(f) des Eingangssignals s(t) wird durch die Multiplikation mit dem cosSignal halbiert und um f0 nach oben ins (Sende)-Band (und nach unten) verschoben.
Dieser Vorgang wird in der Nachrichtentechnik als „Mischung“ bezeichnet und wird in
jedem wireless-Gerät, z.B. in jedem Smartphone, verwendet.
■
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2.6. Differentiation und Integration
Bei der Fouriertransformation einer DGL darf einfach jedes Differential durch jω = j2πf und
jedes Integral durch 1/jω bzw. 1/(j2πf) ersetzt werden, d.h. es gelten die Korrespondenzen
dn/dtn s(t) ○-● (j2πf)n·S(f)
t
 s( )
d


S( f )
1
 S (0)   ( f )
j 2 f
2
(18)
(19)
Mit Hilfe der Korrespondenz (18) kann eine Differentialgleichung im Zeitbereich in eine
algebraische Gleichung in ω=2πf im Frequenzbereich transformiert werden, welche in der
Regel einfacher gelöst werden kann und deren Resultat oft genauso einfach interpretiert
werden kann wie im Zeitbereich.
Beispiel
Die Strom-Spannungs-Beziehung bei den folgenden elektrischen Bauelementen wird
manchmal mit einer Differentialgleichung und manchmal mit einem komplexen Wechselstrom-Widerstand (Impedanz) wie folgt beschrieben:
- Widerstand:
u(t) = R·i(t)
ZR = R
- Kapazität:
i(t) = C·du(t)/dt
ZC = 1/jωC
- Induktivität:
u(t) = L·di(t)/dt
ZL = jωL
Den komplexen Wechselstrom-Widerstand erhält man, wenn man in der DGL die
Differentiale einfach durch 1/jω bzw. 1/(j2πf) ersetzt, siehe (18). Für die Induktivität
folgt dann
U(f) = j2πf·L·I(f) bzw. ZL = U(f) / I(f) = j·2πf·L,
oder in Polarkoordinaten-Darstellung und mit j = ejπ/2
IU(f)I·ejφu = 2πf·L·II(f)I·ej(φi+π/2)
Wenn also eine Induktivität L mit einem Wechselstrom mit peak-Amplitude Ip und
Frequenz f0 angeregt wird, dann beträgt die peak-Amplitude der Wechselspannung
über der Induktivität
Up(f0) = 2πf0·L·Ip(f0)
im eingeschwungenen Zustand. Für DC bzw. f0=0 ist die Spule also ein Kurzschluss und
für f0 → ∞ ein Leerlauf. Für die Phasenbeziehung bei der Spule gilt:
φu = φi + π/2 .
■
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2.7. Faltung
Die Faltung (*-Operation) im Zeitbereich entspricht der Multiplikation im Frequenzbereich,
x(t) * y(t) ○-● X(f) · Y(f) ,
(20)
wobei die Faltung wie folgt definiert ist

x(t) * y(t) 
 x(τ )  y(t  τ) dτ .
(21)

Wie wir später sehen werden, spielt die Faltung bei der Berechnung des Ausgangssignals
von linearen, zeitinvarianten Systemen eine zentrale Rolle.
Die duale Aussage gilt natürlich auch, nämlich
„Multiplikation im Zeitbereich“ ○-● „Faltung im Frequenzbereich“.
Beispiel
Die Faltung eines Rechteckpulses r(t) mit Amplitude 1/√τ0 und Dauer τ0 mit sich selbst
ergibt einen Dreieckpuls
d(t) = r(t) * r(t)
(22)
mit Amplitude 1 und Dauer 2τ0, siehe Abbildung 9. Vergewissern Sie sich, dass z.B. gilt:

d(0) 
 r(τ )  r(-τ ) dτ 


τ 0 /2
2
 r (t ) dt  τ 0  1/ τ 0

2
1
 τ 0 /2
1/√τ0
1
r(τ)
d(t)
r(t-τ)
-τ0/2
τ0/2
τ
τ0
- τ0
t
t
- 28 dB
Abbildung 9: Generierung Dreieckpuls d(t) und normiertes Betragsspektrum in dB.
ZHAW, SiSy, Rumc, 3-12
Mit der Faltungseigenschaft (20) der Fouriertransformation folgt, dass der Dreieckpuls d(t)
das Amplituden-Dichtespektrum
D(f)  R(f) 
2

sin( π f τ 0 ) 

  τ 0 
π f τ 0 

2
(23)
besitzt. Weil der Rechteckpuls r(t) aber ein sinc-förmiges Spektrum besitzt, hat der Dreieckpuls d(t) ein sinc2-förmiges Spektrum, also ein viel kompakteres bzw. weniger stark
auslaufendes Spektrum als der Rechteckpuls r(t). Die 1. Nebenkeule ist beim Rechteckpuls-Spektrum um -14 dB und beim Dreieckpuls-Spektrum um 2·(-14 dB) = -28 dB kleiner
als die Hauptkeule, siehe Abbildung 9.
■
3. Signalenergie
Für die normierte Signalenergie En (an 1Ω) gilt

En 
s
2
(t) dt .
(24)

Mit Hilfe des Satzes von Parseval kann die Energie En des nichtperiodischen Signals s(t)
auch im Spektrum bestimmt werden, d.h.

E n   s (t) dt 
2


 S(f)
2
df .
(25)

Die Dimension von IS(f)I2 ist übrigens V2/Hz2 = 1Ω·Ws/Hz.
4. Symmetrien
Folgende Symmetrien sind manchmal nützlich:
s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f)
(26)
s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär
(27)
s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell
(28)
Reelle Zeitsignale weisen also ein gerades Betragsspektrum, d.h. IS(-f)I = IS(f)I, und ein
ungerades Phasenspektrum, d.h. arg{S(-f)} = -arg{S(f)}, auf.
Gerade (reelle) Zeitsignale weisen rein reelle Spektren auf. Ungerade (reelle) Zeitsignale
hingegen weisen rein imaginäre Spektren auf.
Sinus und Cosinus sind Beispiele für die Symmetrien (27) und (28), siehe unten. In Matlab
können Betrag und Phase mit den Funktionen abs(.) und angle(.) bestimmt werden.
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Beispiel
Für das Amplituden-Dichtespektrum S(f) eines reellen Signals gilt Symmetrie (26) bzw. in
IS(f)I
S(f)
Polarkoordinaten-Darstellung
IS(-f)I·ejφ(-f) = IS(f)I·e-jφ(f).
f
-fg
fg
Das Betragsspektrum eines reellen Signals s(t) ist also eine
gerade Funktion,
d.h.
f
-fg
fg
IS(-f)I = IS(f)I.
Das Phasenspektrum eines reellen Signals s(t) hingegen ist eine ungerade Funktion, d.h.
φ(-f) = -φ(f).
IS(f)I
S(f)
f
-fg
fg
f
-fg
fg
■
Abbildung 10: Typisches Betrags- und Phasenspektrum eines reellen Signals s(t).
5. Dirac-Impuls
Um die Fouriertransformation von periodischen Signalen zu bestimmen, brauchen wir den
Dirac-Impuls δ(t).
Der Dirac-Impuls δ(t) kann als genügend kurzer Rechteck-Impuls hoher Amplitude gedeutet
werden. Er wird üblicherweise mit einem Pfeil und allenfalls einem „Gewicht“ dargestellt,
siehe Abbildung 11.
(1)
t
Abbildung 11: Dirac-Impuls δ(t).
Mathematisch gesehen ist der Dirac-Impuls δ(t) eine verallgemeinerte Funktion, eine sogenannte Distribution. Für den Dirac-Impuls gilt die folgende Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft:

 s(t )  (t  t0 ) dt
 s(t0 )
(29)

Mit Hilfe der Definition der Fouriertransformation (3) und Gleichung (29) ist es nun einfach,
das folgende duale Fouriertransformationspaar zu bestimmen:
δ(t) ○-● 1
1 ○-● δ(f)
Ein unendlich schmaler Puls hat also ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle
Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC-Signal eine sehr schmale
Linie bei f=0 im Amplituden-Dichtespektrum.
(30)
(31)
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6. Fouriertransformation periodischer Signale
Periodische Signale s(t) mit Periode T0=1/f0 können als komplexe Fourierreihe dargestellt
werden, d.h.
s(t) =

j2πkf t
0 ,
 c e
k
k=-
(32)
wobei ck die komplexen Fourierkoeffizienten darstellen.
Weil die Fouriertransformation linear ist, darf man jeden Summanden in Gleichung (32)
einzeln transformieren. Auf jeden Summanden kann die Frequenzverschiebungs-Eigenschaft
(15) mit s(t) = 1 angewendet werden. Die Fouriertransformierte eines periodischen Signals
lautet deshalb
S(f) 

c
k  
k
 δ(f  kf 0 ) .
(33)
Periodische Signale s(t) besitzen also ein „Linien“-förmiges Amplituden-Dichtespektrum S(f).
Beispiel
Das periodische Signal cos(2πf0·t) = 0.5·(ej2πfo·t + e-j2πfo·t) hat die Fouriertransformierte
S(f) = 0.5·[δ(f-f0) + δ(f+f0)], siehe Abbildung 12. Das Spektrum S(f) ist rein reell, weil s(t)
reell und gerade ist.
S(f)
(1/2)
(1/2)
-f0
f0
f
Abbildung 12: Amplituden-Dichtespektrum von cos(2πf0·t).
■
7. Approximation der Fouriertransformation
Die Fourier-Transformationsgleichung (3) kann wie gewohnt für jeden Frequenzpunkt direkt
numerisch approximiert werden.
Die Fouriertransformation wird aber meistens mit Hilfe der Diskreten Fourier Transformation
(DFT) bzw. mit Hilfe der Fast Fourier Transformation (FFT, Matlab fft(.) ) numerisch
approximiert.
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8. Zusammenfassung
In der Tabelle 1 sind wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation zusammengefasst:
Zeitsignal
Fourier-Spektrum

Fourier-Transformation
S(f) 
s(t)
 s(t)  e
 j2π f t
dt


Rücktransformation
 S(f)  e
s(t) 
j2π f t
df
S(f)

Symmetrien
Linearität, Superposition
s(t) reell
S(-f) = S*(f)
s(t) reell, ungerade
S(f) imaginär
s(t) reell, gerade
S(f) reell
a·s1(t) + b·s2(t)
a·S1(f) + b·S2(f)
S(t)
s(-f)
Dualität
Zeitverschiebung
Frequenzverschiebung
s(t-t0)
s(t) ·
Zeit-Skalierung
e  j2πf t 0
S(f) ·
e j2πf0 t
S(f-f0)
s(a·t)
(1/IaI)·S(f/a)
dn/dtn s(t)
(j2πf)n·S(f)
(Zeitdauer · Bandbreite ≈ 1)
Differentiation
 s(τ) dτ
1
1
 S(f)   S(0)  δ(f)
j2π f
2
x(t) * y(t)
X(f)·Y(f)
x(t)·y(t)
X(f)*Y(f)
t
Integration

Faltung
Multiplikation
Periodisches Signal
s(t) 

 c k  e j2π kf0t
k  
S(f) 

c
k  

Energie (Parseval)
E n   s 2 (t) dt

k
 δ(f  kf 0 )

En 
 S(f)
2

Tabelle 1: Zusammenfassung wichtiger Eigenschaften der Fourier-Transformation.
df
ZHAW, SiSy, Rumc, 3-16
In Tabelle 2 sind einige wenige wichtige Fourier-Korrespondenzen zusammengefasst:
Dirac-Impuls
DC-Signal
Rechteckpuls
(Dauer τ)
Exponentialfunktion
(mit Zeitkonstante τ)
Zeitbereich
Frequenzbereich
δ(t)
1
1
δ(f)
1
s(t)  
0
t  τ/2
t  τ/2
(1 / τ)  e  t/τ
s(t)  
0

t0
t0
S(f)  τ 
S(f) 
sin( π f τ)
π fτ
1
1  j 2π f τ
cos-Signal
s(t) = cos(2π·f0·t)
S(f) = (1/2)·δ(f+f0) + (1/2)·δ(f-f0)
sin-Signal
s(t) = sin(2π·f0·t)
S(f) = (j/2)·δ(f+f0) – (j/2)·δ(f-f0)
Tabelle 2: Zusammenfassung einiger wichtiger Fourier-Korrespondenzen.