1. Fouriertransformation

ZHW, NTM, 2005/10, Rur
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Kapitel 2: Fourieranalyse
Analoge, nichtperiodische Signale
Inhaltsverzeichnis
1. FOURIERTRANSFORMATION ......................................................................................... 1
2. EIGENSCHAFTEN DER FOURIERTRANSFORMATION.................................................. 2
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
LINEARITÄT .................................................................................................................. 2
FALTUNG ..................................................................................................................... 2
ZEITSKALIERUNG.......................................................................................................... 3
DUALITÄT (SYMMETRIE) ................................................................................................ 4
ZEITVERSCHIEBUNG ..................................................................................................... 5
FREQUENZVERSCHIEBUNG ........................................................................................... 5
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION ............................................................................. 6
3. SIGNALENERGIE ............................................................................................................. 6
4. SYMMETRIEN .................................................................................................................. 6
5. DIRAC-IMPULS ................................................................................................................. 7
6. FOURIERTRANSFORMATION PERIODISCHER SIGNALE ............................................. 8
7. APPROXIMATION DER FOURIERTRANSFORMATION MIT DER DFT ........................... 8
Literatur- bzw. Quellenverzeichnis
[1]
J.R. Ohm, H. D. Lüke, „Signalübertragung“, Grundlagen der digitalen und analogen
Nachrichtenübertragungssysteme, 8. Auflage, Springer, 2002.
[2]
M. Meyer, „Signalverarbeitung“, Vieweg, 2000.
1. Fouriertransformation
Nicht-periodische bzw. aperiodische Signale s(t) können nicht als Fourierreihe dargestellt
werden. Damit man das Spektrum von s(t) aber trotzdem mit Hilfe der Fourierreihe bestimmen kann, betrachtet man das periodisch fortgesetzte Signal und lässt die Periodendauer
T gegen Unendlich streben, siehe Abbildung 1.
s(t)
-T→ -∞
T→ ∞
_
_
Abbildung 1: (Im Unendlichen) periodisch fortgesetztes aperiodisches Signal.
t
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Dieser Grenzübergang ist gestattet, falls s(t) absolut integrierbar ist, d.h.


s(t ) dt   .
(1)

Die Voraussetzung in (1) trifft für die meisten Signale mit endlicher Energie und für die
Impulsantworten stabiler, linearer Systeme (wie z.B. Filter) zu.
Für das periodisch fortgesetzte Signal existiert nun die Fourierreihe. Für T→∞ rücken die ckSpektrallinien immer näher zusammen (Linienabstand = 1/T). Es entsteht ein kontinuierliches
Spektrum. Allerdings streben die ck-Spektrallinien gegen Null, weil die mittlere normierte
Leistung gegen Null strebt. Die spektrale Dichte
c
lim ( k )
T  1 / T
(2)
hingegen existiert.
Mit Hilfe des Grenzübergangs (2) kann man das Amplituden-Dichtespektrum S(f) [V/Hz] bzw.
die Fouriertransformierte S(f) des aperiodischen Signals s(t) bestimmen. Die Transformation
und die entsprechende Rücktransformation lauten,

 s(t ) e
S( f ) 
 j2 f t
dt


s (t ) 
 S( f ) e
(3)
j2 f t
df

wobei wir im Folgenden Spektren mit Grossbuchstaben kennzeichnen.
Die Fouriertransformation kann übrigens auch aus der Laplace-Transformation hergeleitet
werden, indem man einfach s = jω setzt. Die Herleitung oben gibt uns aber mehr Einblick in
die „Natur“ der Fouriertransformation.
2. Eigenschaften der Fouriertransformation
Im Folgenden werden einige Eigenschaften der Fouriertransformation besprochen (ohne
Beweis). Sie sind wichtig für das Verständnis vieler nachrichtentechnischer Prinzipien.
2.1. Linearität
Die Fouriertransformation ist linear. Es gilt das Superpositionsprinzip, d.h. für beliebige reelloder komplexwertige a und b gilt:
a·s1(t) + b·s2(t) ○-● a·S1(f) + b·S2(f)
(4)
2.2. Faltung
Der Faltung (*-Operation) im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich,
d.h.
s(t) * h(t) ○-● S(f) · H(f) .
(5)
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In Abbildung 2 ist die Faltungseigenschaft dargestellt. Das Ausgangssignal eines linearen
Systems kann im Zeitbereich bestimmt werden, indem man das Eingangssignal s(t) mit der
Impulsantwort h(t) faltet.
Alternativ kann man im Frequenzbereich das Spektrum des Ausgangssignals bestimmen,
indem man das Fourierspektrum S(f) des Eingangssignals mit der Übertragungsfunktion H(f)
des linearen Systems bzw. der Fouriertransformierten der Impulsantwort h(t) multipliziert.
Zur Konkretisierung ist in Abbildung 2 zusätzlich der RC-Tiefpass 1. Ordnung mit der Impulsantwort h(t) und dem Betragsspektrum IH(f)I dargestellt.
lineares System
Impulsantwort h(t)
s(t)

s(t )* h(t ) 
h(t)
 s( )  h(t   )
d

S(f)
S(f)·H(f)
Übertragungsfunktion H(f)
s(t)
R
C
s(t)*h(t) = F-1{S(f)·H(f)}
H(f) 
h(t) = (1/t0) e-t/t0 für ItI≥0
1
1  j2πft 0
[dB]
1/t0
t
log(f)
t0=RC
fg=1/(2πt0)
Abbildung 2: Faltungseigenschaft der Fouriertransformation.
2.3. Zeitskalierung
Die Verkürzung des Signals s(t) mit dem Faktor a>1 bzw. die Dehnung des Signals s(t) mit
dem Faktor a<1 hat neben einer Normierung eine Dehnung bzw. Verkürzung des Spektrums
S(f) mit dem Faktor 1/a zur Folge, d.h.
s(a·t) ○-● (1/IaI)·S(f/a) .
(6)
Beispiel
Der in Abbildung 3 dargestellte Rechteckpuls s(t) der Höhe A und der Breite τ besitzt das
sin(x)/x-förmige, zweiseitig unendliche Spektrum
S(f)  A  τ
sin(π  f  τ )
π  f τ
mit Nullstellen bei den ganzzahligen Vielfachen von 1/τ, mit Ausnahme S(0) = A·τ.
(7)
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Definieren wir willkürlich die Bandbreite des zweiseitigen Spektrums bei f = ±1/(2τ), so
ergibt sich bei den Bandgrenzen ein Abfall von 2/π ≈ 0.64 bzw. 20·log10(2/π) ≈ -4 dB.
Die -4 dB Bandbreite B = 1/τ und das Zeit-Bandbreite-Produkt B·τ = 1.
Der verkürzte Rechteckpuls s(2t) der Dauer τ/2 hat eine -4 dB Bandbreite B=2/τ bzw.
auch ein Zeit-Bandbreite-Produkt von 1.
s(t) / A
Zeitbereich
τ
Normierte Zeit t / τ
S(f) / A·τ
Frequenzbereich
2/π
B
Normierte Frequenz f·τ
■
Abbildung 3: Rechteckpuls im Zeit- und Frequenzbereich.
Der im obigen Beispiel festgestellte Zusammenhang zwischen der Pulsdauer und der Bandbreite gilt wegen der Zeitskalierungseigenschaft allgemein für alle Pulssignale.
Je „kürzer“ ein Einzelpuls ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite seines Spektrums. Umgekehrt haben „lang“ andauernde Einzelpulse schmale Spektren.
Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können also nicht unabhängig voneinander gewählt
werden. Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante.
2.4. Dualität (Symmetrie)
Wenn ein aperiodisches Signal s(t) das Fourierspektrum S(f) besitzt, erhält man sofort eine
neue Korrespondenz, indem man im Ausdruck des Spektrums die Frequenz f durch die Zeit t
und im Ausdruck des Signals die Zeit t durch die negative Frequenz -f ersetzt.
S(t) ○-● s(-f)
(8)
Beispiel
Der ideale (rechteckförmige) Tiefpass mit der Grenzfrequenz f g/2 hat die Übertragungsfunktion
1 für f  f g / 2
H(f)  
.
0 für f  f g / 2
(9)
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Die Impulsantwort
h(t)  A  f g
sin(π  t  f g )
π  t  fg
.
(10)
ist dual zum Spektrum in Gleichung (7).
Der ideale Tiefpass mit der Grenzfrequenz fg/2 hat also eine sin(x)/x-förmige, zweiseitig
unendliche Impulsantwort mit Nullstellen bei den ganzzahligen Vielfachen der doppelten
Grenzfrequenz fg.
■
2.5. Zeitverschiebung
Die Verschiebung des Signals s(t) um t0 im Zeitbereich bewirkt eine Multiplikation des
Originalspektrums S(f) mit einer Winkelfunktion, d.h.
s(t-t0) ○-● S(f) · e-j2πf·to .
(11)
Ein Signal s(t) hat das gleiche Betragsspektrum IS(f)I wie das um t0 zeitverschobene Signal
s(t-t0).
2.6. Frequenzverschiebung
Die duale Aussage zur Gleichung (11) wird in der Nachrichtentechnik häufig verwendet. Die
Multiplikation eines Signals s(t) mit einer Winkelfunktion hat eine Frequenzverschiebung des
Spektrums zur Folge, d.h.
s(t) · ej2πfo·t ○-● S(f-f0) .
(12)
Beispiel
In Abbildung 4 ist die Multiplikation des Basisband-Signals s(t) mit dem Trägersignal
cos(2πf0·t) im Zeit- und im Frequenzbereich dargestellt.
y(t)
s(t)
cos(2πf0·t)
S(f)
f
-f0
Y(f)
+f0
f
-f0
f0
Abbildung 4: Multiplikation eines Basisbandsignals s(t) mit einem cos-Trägersignal.
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Für das Trägersignal gilt mit der Eulerformel cos(2πf0·t) = 0.5·(ej2πfo·t + e-j2πfo·t). Damit
kann das (amplitudenmodulierte) Bandpass-Signal y(t) wie folgt umgeformt werden
y(t) = 0.5·s(t)·ej2πfo·t + 0.5·s(t)·e-j2πfo·t .
(13)
Mit der Frequenzverschiebungseigenschaft (12) folgt, dass das Spektrum Y(f) des BPSignals bis auf den Normierungsfaktor 0.5 dem um die Trägerfrequenz ± f0 verschobenen
Basisband-Spektrum S(f) entspricht, d.h.
Y(f) = 0.5·[S(f-f0)+S(f+f0)] .
(14)
Die Multiplikation mit dem Trägersignal cos(2πf0·t) hat also eine Frequenzverschiebung
des Spektrums des Eingangssignals S(f) um ± f0 zur Folge.
■
2.7. Differentiation und Integration
Der Vollständigkeit halber seien noch die beiden folgenden Korrespondenzen angegeben:
dn/dtn s(t) ○-● (j2πf)n·S(f)
t
 s( )
d
S( f )
1
 S (0)   ( f )
j 2 f
2


(15)
(16)
3. Signalenergie
Für die normierte Signalenergie W (an 1Ω) gilt

W   s 2 (t ) dt .
(17)

Mit Hilfe des Satzes von Parseval kann die Energie W des nichtperiodischen Signals s(t)
auch im Spektrum bestimmt werden, d.h.

W   s 2 (t ) dt 


 S (f )
2
df .
(18)

Die Dimension von IS(f)I2 ist übrigens V2/Hz2 = 1Ω·Ws/Hz.
4. Symmetrien
Folgende Symmetrien sind manchmal nützlich:
s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f)
(19)
s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär, ungerade
(20)
s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell, gerade
(21)
Reelle Zeitsignale weisen also einen geraden Amplitudengang, d.h. IS(-f)I = IS(f)I, und einen
ungeraden Phasengang, d.h. arg{S(-f)} = -arg{S(f)}, auf.
Sinus und Cosinus sind Beispiele für die Symmetrien (20) und (21), siehe unten.
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5. Dirac-Impuls
Um die Fouriertransformation von periodischen Signalen zu bestimmen, brauchen wir den
Dirac-Impuls δ(t).
Der Dirac-Impuls δ(t) kann als genügend kurzer Rechteck-Impuls hoher Amplitude gedeutet
werden. Er wird üblicherweise mit einem Pfeil und allenfalls einem „Gewicht“ dargestellt,
siehe Abbildung 5.
(1)
t
Abbildung 5: Dirac-Impuls δ(t).
Mathematisch gesehen ist der Dirac-Impuls δ(t) eine verallgemeinerte Funktion, eine sogenannte Distribution. Er kann durch das folgende Integral definiert werden:

 s(t )  (t  t0 ) dt
 s(t0 )
(22)

Der Dirac-Impuls verfügt über eine eigentliche Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft. Im Integral
oben wird aus dem Signal s(t) genau der Wert an der Impulsstelle t=t0 „herausgesiebt“. Es
kann auch gezeigt werden, dass die Siebeigenschaft für ein Produkt von einem Dirac-Impuls
δ(t) mit dem Signal s(t) gilt, d.h.
s(t )  (t  t0 )  s(t0 )  (t  t0 ) .
(23)
Mit Hilfe der Definition (22) ist es nun einfach, das folgende duale Fouriertransformationspaar zu bestimmen:
δ(t) ○-● 1
(24)
1 ○-● δ(f)
(25)
Ein unendlich schmaler Puls hat also ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle
Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC-Signal eine sehr schmale
Linie bei f=0 im Amplitudendichte-Spektrum.
Nützlich ist auch noch die folgende Korrespondenz: Eine Dirac-Impulsfolge mit Periode T hat
ein Kamm-Spektrum mit Linienabstand 1/T, siehe Abbildung 6.

 δ(t-nT)
n=-
-

(1/T)
 δ(f-n/T) .
n=-
(1)
(26)
(1/T)
○-●
T
t
Abbildung 6: Spektrum der periodischen Dirac-Impulsfolge.
1/T
f
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6. Fouriertransformation periodischer Signale
Periodische Signale s(t) mit Periode T=1/f0 können als komplexe Fourierreihe dargestellt
werden, d.h.
s(t) =

j2πkf t
0 ,
 c e
k
k=-
(27)
wobei ck die komplexen Fourierkoeffizienten darstellen.
Weil die Fouriertransformation linear ist, darf man jeden Summanden in Gleichung (27)
einzeln transformieren. Auf jeden Summanden kann der Frequenzverschiebungssatz (12)
mit s(t)=1 angewendet werden. Die Fouriertransformierte eines periodischen Signals lautet
deshalb
S (f ) 

c
k  
k
  (f  kf 0 ) .
(28)
Beispiel
Das periodische Signal cos(2πf0·t) = 0.5·(ej2πfo·t + e-j2πfo·t) hat die Fouriertransformierte
S(f) = 0.5·[δ(f-f0) + δ(f+f0)], siehe Abbildung 7. Das Spektrum S(f) ist rein reell, weil s(t)
reell und gerade ist.
S(f)
(1/2)
(1/2)
-f0
f0
f
Abbildung 7: Fourier-Amplitudendichtespektrum von cos(2πf0·t).
■
7. Approximation der Fouriertransformation
Die Fourier-Transformationsgleichung (3) kann wie gewohnt für jeden Frequenzpunkt direkt
numerisch approximiert werden.
Die Fouriertransformation kann aber auch mit der DFT (FFT) approximiert werden.