Teilfolgen Man betrachte eine unendliche Teilmenge J⊂ℕ

Teilfolgen
Man betrachte eine unendliche Teilmenge J ⊂ℕ .
Offenbar kann man die Elemente von J der Reihe nach abzählen, d.h. j 1 sei das kleinste Element,
j 2 das nächste, etc. Dies läßt sich präzise rekursiv fassen, indem man setzt: j 1 := min J ,
J 1 := { j 1 } , j n1 := min  J −J n  , J n1 := J n∪{ j n1 } . Die Folge  j n n∈ℕ ist offenbar streng
monton steigend; jedes Element von J kommt genau einmal vor.
Geht man umgekehrt von einer streng monoton steigenden Folge  j n n∈ℕ natürlicher Zahlen aus,
so durchlaufen die Folgenglieder eine unendliche Teilmenge J ⊂ℕ in natürlicher Reihenfolge.
Sei nun  x n n∈ℕ eine Folge in einer Menge M .
Wir betrachten unter den Indizes der Folgenglieder nur solche, die in einer vorgegebenen Teilmenge
J ⊂ℕ liegen. Indem wir wie oben die monoton wachsende Folge  j n n∈ℕ bilden, deren Glieder
die Elemente von J der Reihe nach durchlaufen, und anschließend y n := x j setzen, ergibt sich
eine neue Folge  y n n∈ℕ , die man als Teilfolge von  x n n∈ℕ bezeichnet.
n
Abkürzend benutzt man häufig nur die Notation  x j n∈ℕ für eine Teilfolge von  x n n∈ℕ und geht
implizit davon aus, daß  j n n∈ℕ eine streng monton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist.
n
Kehren wir zurück zu konvergenten Folgen reeller Zahlen.
Satz: Eine Teilfolge einer konvergenten Folge reller Zahlen ist ebenfalls konvergent und besitzt
denselben Grenzwert.
Zur Gewöhnung an Konvergenzbeweise sei hier der Beweis ausgeführt.
Gehen wir aus von der konvergenten Folge  x n n∈ℕ in ℝ mit Grenzwert a , d.h. von
∀ 0 ∃ n0 ∈ℕ ∀ nn0 : ∣x n−a∣ .
Die Teilfolge von  x n n∈ℕ sei gegeben durch eine streng monoton wachsende Folge natürlicher
Zahlen  j n n∈ℕ . Man beweist durch Induktion leicht j nn . Ist also 0 vorgegeben und
n0 ∈ℕ so bestimmt, daß ∀ nn0 : ∣x n −a∣ , so betrachte man ein beliebiges nn 0 und hat
dann wegen der Montonie j n j n0 n0 und daher auch ∣x j −a∣ , und insgesamt die
Konvergenz der Teilfolge mit Grenzwert a.
n
Folgende Begriffe erweisen sich als sinnvoll:
Sind a , ∈ℝ , 0 , so nennt man die Menge U  a := { x ∈ℝ∣∣x−a∣ } auch
„ ε-Umgebung von a “. Sie ist also die Menge derjenigen Elemente von ℝ , die von a einen
Abstand kleiner als ε besitzen, und es gilt U  a=] a− , a[ .
Offenbar kann man die Grenzwertdefinition damit so ausdrücken:
∀ 0∃ n0 ∈ℕ ∀ nn0 : x n ∈U  a
oder so: In jeder ε-Umgebung von a liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder.
Häufungswerte
Man nennt a einen Häufungswert1 der Folge, wenn in jeder ε-Umgebung von a unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Betrachtet man z.B. die durch x n := −1n gegebene Folge, so liegen in jeder ε-Umgebung von 1
(ε <1) alle Folgenglieder mit geradem Index, außerhalb alle mit ungeradem Index.
Die Folge  x n n∈ℕ besitzt offenbar genau 2 Häufungswerte, nämlich -1 und 1.
Die obige Definition von Häufungswert könnte man auch so ausdrücken:
∀ 0 ∀ n 0 ∈ℕ∃ nn0 : x n ∈U  a , oder so:
∀ 0 ∀ n0 ∈ℕ∃ nn0 : ∣x n −a∣ .
Es gilt:
Ist die Folge  x n n∈ℕ konvergent mit Grenzwert a , so ist a auch Häufungswert der Folge, und es
gibt keinen weiteren Häufungswert.
Anders als in der Vorlesung im Eifer des Gefechts behauptet, gilt jedoch nicht ohne weiteres die
Umkehrung: Eine Folge, die nur einen Häufungswert besitzt, muß nicht konvergent sein, wie das
0 für n ungerade
Beispiel x n :=
zeigt. Die so gegebene Folge besitzt offenbar 0 als einzigen
n für n gerade
Häufungswert, ist aber sicher nicht konvergent.
{
Man benötigt in diesem Zusammenhang den Begriff „Beschränktheit von Folgen“:
Eine Folge  x n n∈ℕ in ℝ heißt nach oben beschränkt , wenn ∃ A∈ℝ ∀ n∈ℕ : x n A
und nach unten beschränkt, wenn ∃ A∈ℝ ∀ n∈ℕ : x n  A und beschränkt, wenn
∃ A∈ℝ ∀ n∈ℕ: ∣x n∣ A , oder was dasselbe bedeutet ∃ A∈ℝ ∀ n∈ℕ: − Ax n A .
Eine Folge ist offenbar genau dann beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Die im letzten Beispiel gegebene Folge ist zwar nach unten, aber nicht nach oben beschränkt und
damit nicht beschränkt.
Konvergente Folgen sind beschränkt.
Dies zeigt man so:
Sei  x n n∈ℕ eine konvergente Folge in ℝ mit Grenzwert a . Man wähle =1 . Dann gibt es
ein n0 ∈ℕ , so daß für alle n∈ℕ mit nn0 gilt: ∣x n−a∣=1 . Aus der
Dreiecksungleichung erhält man sogar ∣x n∣−∣a∣∣∣x n∣−∣a∣∣∣x n−a∣1 und damit ∣x n∣1∣a∣ .
Die endlich vielen Werte x n mit 1nn0 können an der Beschränktheit auch nichts ändern;
genauer: setzt man b=max {∣x n∣∣ 1nn0 } (wobei wir oBdA n02 annehmen) und
schließlich A := max {1∣a∣, b} , so folgt jetzt: ∀ n∈ℕ: ∣x n∣ A , was zu beweisen war.
1 In der Vorlesung wurde das Wort Häufungspunkt verwendet. Aus Gründen, die später klar werden, ist es besser, von
Häufungswert zu reden.
Natürlich ist nicht jede beschränkte Folge konvergent, wie das Beispiel x n : = −1n zeigt.
Es gilt aber zumindest der Satz:
Zu jeder beschränkten Folge reeller Zahlen gibt es eine konvergente Teilfolge.
(Damit besitzt jede beschränkte Folge reeller Zahlen einen Häufungswert.)
Beweis:
Die Folge  x n n∈ℕ sei beschränkt; es gelte ∀ n∈ℕ : ∣x n∣ A .
Wir wissen also: alle Folgenglieder liegen im Intervall [− A , A ] .
Wir definieren jetzt rekursiv eine absteigende Folge von abgeschlossenen Intervallen I n , mit
I n1⊂ I n , deren Durchmesser eine Nullfolge bilden:
Dazu setze man einfach I 1 := [-A,A] und
linke Hälfte von I n , falls in dieser Hälfte unendlich viele Folgenglieder liegen
I n1 :=
rechte Hälfte von I n sonst
{
Jetzt läßt sich durch Induktion sofort zeigen, daß in jedem der Intervalle I n unendlich viele
Folgenglieder liegen. Weil jedes der Intervalle einen nur halb so großen Nachfolger besitzt, ist der
n−1
1
der Durchmesser (d.h. die Intervalllänge) von I n gleich
mal der Intervalllänge von I 1 ,
2
die ja 2A beträgt.

Man definiert schließlich rekursiv eine Teilfolge  x j n∈ℕ von  x n n∈ℕ so, daß x j ∈I n :
Dazu setze man j 1=1 . Im Rekursionsschritt gehen wir davon aus, daß j n bereits so gewählt ist,
daß x j ∈ I n . Unter den unendlich vielen Folgengliedern in I n1 muß es eines geben, dessen
Index größer als j n ist. Diesen Index nehmen wir als j n1 und haben damit x j ∈I n1
n
n
n
n1
Es ist leicht zu zeigen, daß diese Teilfolge eine Cauchyfolge ist:
Gibt man nämlich 0 vor, so gibt es ein n0 ∈ℕ , so daß der Durchmesser von I n kleiner als
ε ist. Es liegen aber alle Teilfolgenglieder x j für nn0 in I n , also ist der Abstand von zwei
Teilfolgengliedern ∣x j − x j ∣ mit n , mn 0 , kleiner gleich dem Intervalldurchmesser von I n
und damit kleiner als ε .
0
n
n
0
m
Eine Cauchyfolge in ℝ besitzt aber einen Grenzwert; andererseits wissen wir bereits, daß der
Grenzwert einer Teilfolge Häufungswert der Folge ist: der Satz ist bewiesen.
Übungsaufgabe: Man zeige, daß eine beschränkte Folge in ℝ mit genau einem Häufungswert
konvergiert.
0