Beispiele I

Seminar für Fragen der Festkörpertheorie
P.N. Racec
WS2003/2004
2
Contents
1 Spezialthemen in Festkörperphysik
1.1 Fermi-Dirac Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bose-Einstein Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vielteilchen Effekte
2.1 Lineare Response-Theorie . . . . . . . . .
2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Dichteoperator . . . . . . . . .
2.2 Lineare Responsefunktion . . . . . . . . .
2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
3
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CONTENTS
2.3
Beispiele
2.3.1
Überblick
• zeitabhängige Probleme
Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ1 (t) = Ĥ0 − ÂF (t);
F (t) = F0 e−i(ω+iη)t
• Dichte-Operator in der linearen Response-Theorie
D̂(t) = D̂0 + δ D̂(t)
i
δ D̂W (t) =
h̄
Z
t
dt0 [ÂW (t0 ), D̂0 ]F (t0 )
−∞
• der Erwartungswert einer Observablen B̂ in der linearen Response-Theorie
hB̂i(t) = hB̂iD0 + δhB̂i(t)
Z ∞
i
i(ω+iη)τ
δhB̂i(t) =
dτ h[B̂W (τ ), Â]iD0 e
F0 e−i(ω+iη)t
h̄ 0
|
{z
}
retardierte B-A Korrelationsfunktion
Bemerkung: τ = t − t0 ; τ ∈ [0, ∞) ⇒ 0 < t − t0 < ∞ ⇒ −∞ < t0 < t ⇒ Der Begriff
”retardiert” bringt zum Ausdruck, dass der Wert des Erwartungswertes hB̂i(t) zur
Zeit t nur vom Wert der Störung ÂW (t0 ) zu früheren Zeiten t0 < t, was physikalisch
der Kausalität entspricht, beeinflußt werden kann.
2.3.2
Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
Betrachten wir ein N-Elektronensystem unter einem elektrischen Wechselfeld. Ein elektrisches Feld koppelt über die Teilchendichte ρ(r) an ein System aus geladenen Teilchen
an, so dass der Viel-Teilchen Hamilton-Operator sei
Z
Ĥ(t) = Ĥ0 − e d3 r ρ̂(r)Vext (r, t)
(2.57)
Vext (r, t) = lim Vext (r)e−i(ω+iη)t
η→0
(2.58)
Der Mittelwert des Operator der Teilchendichte ist
hρ̂(r)i(t) = ρ0 (r) + δρ(r, t).
(2.59)
 ↔ ρ̂(r 0 )
F0 ↔ Vext (r 0 )
B̂ ↔ ρ̂(r)
(2.60)
Korespondenzen:
2.3. BEISPIELE
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Z
⇒
δρ(r, t) =
d3 r 0 Π(r, r 0 )Vext (r 0 , t),
(2.61)
wobei die Polarisation Π(r, r 0 ) durch die retardierte Dichte-Dichte Korrelationsfunktion
gegeben ist
Z
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ h[ρ̂W (r, τ ), ρ̂(r 0 )]iD0 ei(ω+iη)τ
(2.62)
h̄ 0
Z
n
o
i ∞
i(ω+iη)τ
0
=
dτ e
T r [ρ̂W (r, τ ), ρ̂(r )]D̂0
h̄ 0
Z
n i
o
i ∞
i(ω+iη)τ
Ĥ0 τ
− h̄i Ĥ0 τ
0
0 h̄i Ĥ0 τ
− h̄i Ĥ0 τ
h̄
=
dτ e
Tr e
ρ̂(r)e
ρ̂(r ) − ρ̂(r )e
ρ̂(r)e
f (Ĥ0 )
h̄ 0
Z ∞
X
i
i
i
dτ ei(ω+iη)τ
hψ|e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r 0 )f (Ĥ0 )|ψi
=
h̄ 0
{|ψi}
i
i
−hψ|ρ̂(r 0 )e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ f (Ĥ0 )|ψi
(2.63)
|ψi sind Viel-Teilchen Zustände (Vektoren). Um die Rechnungen weiter druchzuführen,
brauchen wir die Wirkung der oben gennanten Operatoren auf die Ein-Teilchen Vektoren.
Diese Wirkungen können wir nur in der zweiten Quantizierung detaliert berechnen. Wir
werden hier nur die Ergebnisse schreiben
X
X
f (Ĥ0 )|ψi −→
fF D (α )|ϕα i
α
{|ψi}
X
e
i
Ĥ τ
h̄ 0
|ψi −→
{|ψi}
i
e h̄ α τ |ϕα i
(2.64)
α
{|ψi}
X
X
i
hψ|e h̄ Ĥ0 τ −→
X
i
hϕα |e h̄ α τ ,
α
wobei |ϕα i und α die Ein-Teilchen-Zustände und Energien sind, und α indiziert diese
Zustände.
Gl. (2.63) wird
Z
X i
i
i ∞
0
Π(r, r ) =
dτ ei(ω+iη)τ
e h̄ α τ hϕα |ρ̂(r)e− h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r 0 )|ϕα ifF D (α )
h̄ 0
α
i
i
−hϕα |ρ̂(r 0 )e h̄ Ĥ0 τ ρ̂(r)|ϕα ie− h̄ α τ fF D (α ) (2.65)
Bibliography
[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloë. Quantum Mechanics. John Wiley & Sons,
1977.
[2] Gerd Czycholl. Theoretische Festkörperphysik. Vieweg Verlag, 2000.
[3] Albert Messiah. Quantenmechanik. Walter de Gruyter, 1991.
[4] W. Nolting. Statistische Physik. Verlag Zimmermann-Neufang, 1994.
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