I Unterricht 13: Wiederholung.

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,
I
Unterricht 13: Wiederholung.
Erinnerungen:
• Die kleinen Übungen nden diese Woche statt.
• Zur Prüfung müssen Sie
Lichtbildausweis (Personalausweis oder Reisepass)
Studierendenausweis
mitbringen.
I.1 Reelle Zahlen
Denition I.1. Ein Element b heiÿt Supremum von einer Menge T ⊂ R
(
(i)∀t ∈ T t ≤ b,
⇐⇒ :
(ii)∀a ∈ R, a < b =⇒ ∃t ∈ T : a < t.
Satz I.2. Sei T eine beschränkte Menge. Dann gilt
∀ > 0∃t ∈ T : sup T − < t.
Beispiel: Sei M = (a, b), wobei a, b ∈ R a < b.
sup M = a.
Finden Sie die analogen Denitionen und Sätze für das Inmum.
I.2 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen haben die Form
z = a + ib,
wobei a, b ∈ R und i2 = −1. a = Re{z}, b = Im{z}. Sei zk = ak + bk , k ∈
{1, 2}. Es gilt:
z1 · z2 = a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + b1 a2 ), z1 + z2 = a1 + a2 + i(b1 + b2 ),
z1 = a1 − ib1 , |z1 | =
z1 6= 0 ⇒
1
z1
=
a1
a21 +b21
√
z1 z1 =
1
− i a2b+b
2.
1
1
p
a21 + b21 ,
2
,
Polar-Darstellung: Sei z = a + ib 6= 0, es folgt
z = reiθ ,
wobei
r = |z|, a = r cos(θ), b = r sin(θ).
Die Aussage
z n = rn einθ
ist wichtig, wenn wir die Wurzel von komplexen Zahlen nden wollen.
I.3 Limes
Denition I.3. Eine Folge (xn )n∈N konvergiert
⇐⇒ ∃x ∀ > 0∃N ∈ N : n > N =⇒ |xn − x| < ⇐⇒ (xn )n∈N ist eine Cauchy-Folge .
Seien (xn )n∈N und (yn )n∈N konvergente Folgen. Die folgenden Aussagen
sind wichtig für die Berechnung von Grenzwerten.
limn→∞ xn + yn = limn→∞ xn + limn→∞ yn , limn→∞ xn yn = limn→∞ xn limn→∞ yn ,
limn→∞
xn
yn
=
limn→∞ xn
,
limn→∞ yn
falls limn→∞ yn 6= 0.
Monoton fallende (oder monoton steigende) Folgen konvergieren, falls sie
nach unten beschränkt (oder nach oben beschränkt) sind.
Beispiele:
xn = (−1)n konvergiert nicht, xn = n konvergiert nicht,
xn =
n
1
=
1+n
1+
1
n
konvergiert, was ist der Grenzwert?
Warum? Beweis... Wie können wir beweisen, dass eine Folge konvergiert oder
nicht?
3
,
I.4
lim sup, lim inf
Denition I.4. Sei (xn )n∈N eine Folge
lim sup xn = inf sup{xi },
n∈N i≥n
n→∞
lim inf xn = sup inf {xi }.
n→∞
n∈N i≥n
Welche anderen äquivalenten Denitionen von lim sup und lim inf kennen
Sie?. Können sie den lim sup und lim inf von den letzten Beispielen berechnen?. Wie können wir mit Hilfe des lim sup und lim inf beweisen, dass eine
Folge nicht konvergent ist?
I.5 Reihen
Sei (an )n∈N eine Zahlenfolge. Dann heiÿt die Folge (sm )∞
m=1 mit
sm :=
m
X
an ,
n=1
Reihe. Ist (sm )∞
m=1 konvergent, so schreiben wir
∞
X
n=1
an = lim sm .
m→∞
∞
Die Reihe (sm )∞
m=1 konvergiert absolut, wenn
n=1 |an | existiert. Wir erin∞
nern uns daran, dass die Reihe (sm )m=1 genau dann konvergiert , wenn die
Folge (sm )∞
m=1 Cauchy ist. Wann divergiert eine Reihe?.
Konvergenzkriterien (und Divergenzkriterien)
P
• Majorantenkriterium
• Wurzelkriterium
• Quotientenkriterium
• Cauchykriterium.
Wir erinnern uns daran, dass ∞
n=1 |an | < ∞ =⇒ limn→∞ |an | = 0. Es folgt,
dass limn→∞ |an | =
6 0 =⇒ die Reihe konvergiert nicht.
P
4
,
I.6 Topologie
Was ist eine oene (oder nicht oene) Menge? Was ist eine abgeschlossene
(oder nicht abgeschlossene) Menge?
Beispiele
• (a, b) ⊂ R ist oen.
• [a, b] ⊂ R ist abgeschlossen.
• Was ist [a, b) ⊂ R?
• Welche Mengen sind [a, b) und [a, b)◦ .
Warum?: Beweis...
I.7 Kompakte Mengen
Was ist die Denition einer kompakten Menge? Ist zum Beispiel die Menge
(0, 1] kompakt? Warum?: Beweis...
I.8 Stetigkeit
Denition I.5. Sei M ⊂ K eine Menge und x0 ∈ M . Sei f : M → K eine
Funktion.
F ist stetig in x0
⇐⇒ ∀ > 0∃δ > 0∀x ∈ M : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < .
⇐⇒ {∀(xn )n∈N , lim xn = x0 : lim f (xn ) = f (x0 )}.
n→∞
n→∞
Die Funktion f ist stetig, wenn sie stetig in x für alle x ∈ M ist.
Wann ist eine Funktion nicht stetig in x0 ?
Seien f und g stetig in x0 . Es folgt, dass f + g und f g stetig in x0 sind.
Falls g(x0 ) 6= 0, so ist fg wohl-deniert in einer Umgebung von x0 und fg ist
stetig in x0 .
I.9 Dierentiation
Denition I.6. Seien U ⊂ R und f : U → R eine Abbildung. f ist bei
x0 ∈ U dierenzierbar ⇐⇒
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
5
,
existiert. In diesem Falle heiÿt
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Ableitung von f bei x0 .
Seien f und g dierenzierbar in x0 . Es folgt, dass f +g und f g dierenzierbar
in x0 sind. Falls g(x0 ) 6= 0, so sind fg wohl-deniert in einer Umgebung von
x0 und fg ist dierenzierbar in x0 . Falls f dierenzierbar in g(x0 ), so ist f ◦ g
dierenzierbar in x0 . Es folgt, dass
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
( fg )0 (x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 )−f (x0 )g 0 (x0 )
,
g(x0 )2
(f ◦ g)(x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 ).
Wir erinnern uns daran, dass wir in der groÿen Übung und kleinen Übung
Funktionen durch Reihen deniert haben. Wie können wir beweisen, dass
diese Funktionen dierenzierbar (oder stetig) sind?
Wie können wir durch die Denition beweisen, dass eine Funktion dierenzierbar ist? Wie können wir die Ableitung durch die Denition berechnen?
I.10 Lokales Minima und Maxima
Denition I.7. Sei U ⊂ R eine oene Menge und f : U → R eine reelle
Funktion.
• Ein Punkt x0 ∈ U heiÿt lokales Minimum von f
⇐⇒ ∃δ > 0∀x ∈ U : |x − x0 | < δ =⇒ f (x) ≥ f (x0 ).
• Ein Punkt x0 ∈ U heiÿt lokales Maximum von f
⇐⇒ ∃δ > 0∀x ∈ U : |x − x0 | < δ =⇒ f (x) ≤ f (x0 ).
Satz I.8. Sei U ⊂ R eine oene Menge und f : U → R eine reelle Funktion.
Wir nehmen an, dass f dierenzierbar bei x0 ist. Es folgt, dass
[ x0 ist ein lokales Maximum oder Minimum ] =⇒ [ f 0 (x0 ) = 0 ]
6
,
Satz I.8 ist wichtig, wenn wir lokale Maxima oder Minima nden wollen.
Sei f eine dierenzierbare Funktion. Wenn x0 ein lokales Minimum oder
Maximum ist, folgt dass f 0 (x0 ) = 0. Es folgt dass
{x : x ist ein lokales Maximum oder Minimum} ⊂ {x : f (x) = 0}.
Aber im Allgemeinen
{x : x ist ein lokales Maximum oder Minimum} 6⊃ {x : f (x) = 0}.
Wenn wir die lokalen Minima oder Maxima einer dierenzierbaren Funktion
nden wollen, sollten wir zuerst die Menge M := {x : f (x) = 0} nden
und danach müssen wir jeden Punkt von der Menge M untersuchen. Diese
Punkte könnten lokale Minima, lokale Maxima oder keins dergleichen sein.
I.11 Integration
• Was ist eine Partition von einem Intervall [a, b]?.
• Was ist eine Untersumme?
• Was ist eine Obersumme?
• Was ist das Unterintegral?
• Was ist das Oberintegral?
• Wann ist eine Funktion Riemann-integrierbar?
• Wie können wir ein Riemann-Integral durch die Denition berechnen?
Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg!