Wenn wir nun endliche analytische Geometrie betreiben wollen

Wenn wir nun endliche analytische Geometrie betreiben wollen, muss natürlich der
zu Grunde liegende Zahl- bzw. Rechenbereich eine endliche Menge sein. Gibt es
dafür geeignete Rechenbereiche? Die einfachsten und bekanntesten endlichen
„Rechenbereiche“ sind die Restklassenringe (Rm, ⊕, ⊗) modulo einer natürlichen
Zahl m.
Wir wollen an einem einfachen Beispiel testen, ob diese für unsere Zwecke tauglich
sind. Wir versuchen, ob der Restklassenring modulo 6, also (R6, + , *) geeignet ist.
[Da keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir für die Restklassen aus
drucktechnischen Gründen auf den Überstrich verzichten und die Reste selbst
notieren. Ebenso verwenden wir die gewöhnlichen Zeichen für die Addition und
Multiplikation für die Restklassenverknüpfungen.]
Wir betrachten die beiden folgenden Geraden mit den Koeffiziententripeln (1; 3; 2)
bzw. (3; 1; 4), also mit den Gleichungen
x + 3y + 2 = 0
(1)
3x + y + 4 = 0
(2)
Folgende Paare (x; y) erfüllen die erste Gleichung (überprüfen Sie durch Einsetzen):
(1; 1), (1; 3), (1; 5), (4; 0), (4; 2) und (4; 4).
Folgende Paare (x; y) erfüllen die zweite Gleichung (überprüfen Sie durch
Einsetzen):
(0; 2), (1; 5), (2; 2), (3; 5), (4; 2) und (5; 5).
Wir haben demnach folgende Situation vor uns: Obwohl die beiden „Geraden“ zwei
Punkte gemeinsam haben, sind sie nicht gleich. Das widerspricht unserem Axiom A1
einer affinen Inzidenzebene und der Rechenbereich (R6, +, *) ist für unsere Zwecke
ungeeignet.
Das Gleichungssystem mit den zwei linearen Gleichungen x + 3y + 2 = 0 bzw.
3x + y + 4 = 0 besitzt im Restklassenring mod 6 genau zwei verschiedene
Lösungen. Das aber würde bedeuten, dass zwei verschiedene, nicht zueinander
parallele Geraden zwei gemeinsame Punkte hätten, und das würde unserem Axiom
A1 widersprechen. Der Restklassenring modulo 6 eignet sich also nicht für affine
analytische Geometrie.
Nur solche Rechenbereiche, in denen zwei unabhängige lineare Gleichungen genau
eine Lösung besitzen, kommen für unsere Zwecke in Frage. Dies ist jedoch in
Restklassenringen mit Primzahlmoduln der Fall, denn diese bilden sogar
algebraische Körper.
Die reellen Zahlen z. B., mit denen wir die wohlbekannte analytische Geometrie der
reellen Ebene betreiben, bilden einen Zahlkörper.
Wir wollen nun endliche Rechenbereiche, die die Eigenschaften eines Körpers
haben, bereitstellen, mit deren Hilfe wir dann endliche analytische Geometrie
betreiben können.
Es wird sich zeigen, dass jede Koordinatenebene über einem Körper genau die drei
Axiome A1 bis A3 einer affinen Inzidenzebene erfüllt und wir auch auf diesem Weg
zur Struktur endlicher affiner Inzidenzebenen gelangen.