Kapitel 1 Vollständige Induktion Kapitel 1 Vollständige Induktion
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Kapitel Kapitel 11 Vollständige VollständigeInduktion Induktion Inhalt Inhalt 1.1 1.1Das DasPrinzip Prinzip A(n) A(n)⇒ ⇒A(n+1) A(n+1) 1.2 1.2Anwendungen Anwendungen 11++22++33++... ...++nn==?? 1.3 1.3Landkarten Landkartenschwarz-weiß schwarz-weiß 1.4 1.4Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen 1, 1,1, 1,2, 2,3, 3,5, 5,8, 8,13, 13,21, 21,... ... © Beutelspacher April 2004 Seite 2 Kapitel 1 Seite 1 1 1.1 1.1Das DasPrinzip Prinzip •• Ziel: Ziel:In Inder derMathematik Mathematikmacht machtman manininder derRegel RegelAussagen Aussagenüber über unendlich viele Objekte (alle Zahlen, alle Dreiecke usw.) unendlich viele Objekte (alle Zahlen, alle Dreiecke usw.) •• Solche SolcheAussagen Aussagenkann kannman manprinzipiell prinzipiellnicht nichtdadurch dadurchklären klären („beweisen“), dass man alle Fälle einzeln ausprobiert. („beweisen“), dass man alle Fälle einzeln ausprobiert.Man Manmuß mußdie die Aissage Aissagesozusagen sozusagen„auf „aufeinen einenSchlag“ Schlag“erledigen. erledigen.Dazu Dazudient dientdie die (vollständige, (vollständige,mathematische) mathematische)Induktion. Induktion. •• Bemerkung: Bemerkung:Unter Unter„Induktion“ „Induktion“versteht verstehtman man(im (imGegensatz Gegensatzzur zur „Deduktion“ eigentlich das – logisch unzulässige – Schließen „Deduktion“ eigentlich das – logisch unzulässige – Schließenvon von Einzelfällen Einzelfällenauf aufalle alleFälle. Fälle.Die Diemathematische mathematischeInduktion Induktionist istein ein Werkzeug, Werkzeug,mit mitdem demman mandas dassauber saubermachen machenkann. kann. © Beutelspacher April 2004 Seite 3 Kapitel 1 Das DasPrinzip Prinzipder dervollständigen vollständigenInduktion Induktion Prinzip Prinzip der der vollständigen vollständigen Induktion. Induktion. Sei Sei AA eine eine Aussage Aussage oder oder eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt.Wir Wir schreiben schreibenauch auch A(n). A(n). Wenn Wennwir wirwissen, wissen,daß daßfolgendes folgendesgilt: gilt: (1) (1) Induktionsbasis Induktionsbasis (Induktionsverankerung): (Induktionsverankerung): Die Die Aussage Aussage AA gilt giltim imFall Fall nn==11 (das (dasheißt, heißt,es esgilt gilt A(1)), A(1)), (2) (2) Induktionsschritt: Induktionsschritt: Für Für jede jede natürliche natürliche Zahl Zahl nn ≥≥ 11 folgt folgt aus aus A(n) die Aussage A(n+1), A(n) die Aussage A(n+1), dann danngilt giltdie dieAussage Aussage AA für füralle allenatürlichen natürlichenZahlen Zahlen ≥≥1. 1. © Beutelspacher April 2004 Seite 4 Kapitel 1 Seite 2 2 Erläuterung Erläuterung Bedeutung Bedeutungder dervollständigen vollständigenInduktion: Induktion:Um Umeine eineAussage Aussageüber über unendlich unendlichviele vieleObjekte Objektenachzuweisen, nachzuweisen,muss mussman mannur nurzwei zwei Aussagen Aussagenbeweisen: beweisen: Induktionsbasis: Induktionsbasis:A(1) A(1) Induktionsschritt: Induktionsschritt:A(n) A(n)⇒ ⇒A(n+1) A(n+1) Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Die Diehinter hinterdiesem diesemPrinzip Prinzipstehende stehende“Philosophie” “Philosophie”ist istdie, die,dass dassman maninin objektiv objektivkontrollierbarer kontrollierbarerWeise Weiseüber übereine eineUnendlichkeit Unendlichkeit(“alle” (“alle” natürlichen natürlichenZahlen) Zahlen)sprechen sprechenkann. kann.Die DieBedeutung Bedeutungdieses diesesPrinzips, Prinzips, wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professorinin Gießen) Gießen)und undGiuseppe GiuseppePeano Peano(Professor (ProfessorininTurin) Turin)entdeckt. entdeckt. © Beutelspacher April 2004 Seite 5 Kapitel 1 Aussagen Aussagen A(n): A(n):4n 4n ist isteine einegerade geradeZahl Zahl 2 A(n): A(n):nn2 ist isteine einegerade geradeZahl Zahl A(n): A(n):nn ist isteine einePrimzahl Primzahl A(n): A(n):Die DieAnzahl Anzahlder derSitzordnungen Sitzordnungenvon von nn Studierenden Studierendenauf auf nn Stühlen Stühlenist ist n! n!(:= (:=n⋅(n–1)⋅...⋅2⋅1, n⋅(n–1)⋅...⋅2⋅1,sprich sprich „n „n Fakultät”) Fakultät”) A(n): A(n):nn geradlinige geradlinigeStraßen Straßenhaben habenhöchstens höchstens nn Kreuzungen Kreuzungen A(n): A(n):Wenn Wenn nn Computer Computerzu zujejezweien zweiendurch durcheine eineLeitung Leitungverbunden verbunden werden, werden,so sobraucht brauchtman mangenau genau n(n–1)/2 n(n–1)/2 Leitungen Leitungen © Beutelspacher April 2004 Seite 6 Kapitel 1 Seite 3 3 1.2 1.2Anwendungen Anwendungen Problem Problem(C.F. (C.F.Gauß): Gauß):1+2+3 1+2+3+...+ +...+100 100==??? ??? 1.2.1 1.2.1Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt: gilt: 1+2+... 1+2+...++nn==n(n+1)/2. n(n+1)/2. In In Worten: Worten: Die Die Summe Summe der der ersten ersten nn positiven positiven ganzen ganzen Zahlen Zahlen ist ist gleich (n+1)n/2. gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Konsequenz:Man Mankann kanndie dieSumme Summe1+2+3+...+n 1+2+3+...+n ganz ganzeinfach einfach ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler. ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler. © Beutelspacher April 2004 Seite 7 Kapitel 1 Dreieckszahlen Dreieckszahlen Definition. Definition. Die Die Zahlen Zahlen der der Form Form (n+1)n/2, (n+1)n/2, also also die die Zahlen Zahlen 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, 15, ... heißen Dreieckszahlen. 10, 15, ... heißen Dreieckszahlen. Man Man kann kann Satz Satz 1.2.1 1.2.1 also also auch auch so so ausdrücken: ausdrücken: Die Die Summe Summe der der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich der n-ten Dreieckszahl. ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich der n-ten Dreieckszahl. © Beutelspacher April 2004 Seite 8 Kapitel 1 Seite 4 4 Beweis Beweis(durch (durchInduktion) Induktion) Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Die DieAussage Aussage A(n) A(n) sei seidie dieAussage Aussagedes desSatzes, Satzes,also: also: A(n): A(n):1+2+3 1+2+3+...+ +...+nn==n(n+1)/2. n(n+1)/2. Sowohl Sowohl bei bei der der Induktionsbasis Induktionsbasis als als auch auch beim beim Induktionsschritt Induktionsschritt zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und und rechts rechts das dasGleiche Gleichesteht. steht. Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Dann Dannsteht stehtauf aufder derlinken linkenSeite Seitenur nurder der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2⋅1/2, also ebenfalls Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2⋅1/2, also ebenfalls 1. 1.Also Alsogilt giltA(1) A(1) © Beutelspacher April 2004 Seite 9 Kapitel 1 Induktionsschritt Induktionsschritt Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahl ≥≥1, 1,und undsei seidie die Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt,die die Summe Summe 1+2+3+... 1+2+3+...+(n–1) +(n–1)++nn++(n+1) (n+1) berechnen. berechnen. Wir Wirspalten spaltenwir wirdiese dieseSumme Summeauf: auf: 1+2+3+... 1+2+3+...+(n–1) +(n–1)++nn++(n+1) (n+1) ==[1+2+3+... +(n–1) + n] + [1+2+3+... +(n–1) + n] +(n+1) (n+1) == n(n+1)/2 + (n+1) (nach n(n+1)/2 + (n+1) (nachInduktion) Induktion) ==[n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt Insgesamthaben habenwir wirdie dieAussage Aussage A(n+1) A(n+1) bewiesen. bewiesen. Somit gilt der Satz. Somit gilt der Satz. © Beutelspacher April 2004 Seite 10 Kapitel 1 Seite 5 5 Der DerTrick Trickvon vonGauß Gauß Gauß Gaußhat hatdie dieSumme Summe1+2+3+...+100 1+2+3+...+100nicht nichtso sobestimmt, bestimmt,sondern sondernmit mit folgendem folgendemgenialen genialenTrick: Trick: 11 ++ nn ++ 22 ++ 33 ++ ++ n–1 n–1++ n–2 n–2++ ... ... ... ... ++n–2 n–2 ++n–1 n–1++ ++ 33 ++ 22 ++ nn 11 ==n+1 n+1++ n+1 n+1++ n+1 n+1++ ... ... ++n+1 n+1 ++n+1 n+1++ n+1 n+1 ==n(n+1). n(n+1). Also Alsogilt gilt 1+2+3+...+n 1+2+3+...+n==n(n+1)/2. n(n+1)/2. © Beutelspacher April 2004 Seite 11 Kapitel 1 Summe Summeder derungeraden ungeradenZahlen Zahlen 1.2.2 1.2.2Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt: gilt: 2 2 . In Worten: Die Summe 1+3+5 + ... + (2n–1) = n derersten ersten nn 1+3+5 + ... + (2n–1) = n . In Worten: Die Summeder ungeraden ungeradenZahlen Zahlenist istgleich gleichder der n-ten n-tenQuadratzahl. Quadratzahl. Beispiele: Beispiele:(a) (a)11++33++55==99 (b) (b)11++33++55++... ...++1999 1999==1.000.000 1.000.000 © Beutelspacher April 2004 Seite 12 Kapitel 1 Seite 6 6 Beweis Beweis Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht stehtauf aufder derlinken linkenSeite Seitenur nurder der 2 Summand Summand 1, 1,und undauf aufder derrechten rechtenSeite Seitesteht steht 112==1. 1.Somit Somitgilt gilt A(1). A(1). Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥1, 1,und undes esgelte gelte A(n). A(n).Wir Wirmüssen müssen A(n+1) A(n+1) nachweisen. nachweisen. Wir beginnen mit der linken Wir beginnen mit der linkenSeite Seitevon von A(n+1) A(n+1) und undformen formendiese dieseso so lange langeum, um,bis biswir wirdie dierechte rechteSeite Seitevon von A(n+1) A(n+1) erhalten: erhalten: 1+3+5+ 1+3+5+... ...++(2n–1) (2n–1)++(2n+1) (2n+1)==[1+3+5+ [1+3+5+... ...++(2n–1)] (2n–1)]++(2n+1) (2n+1) ==nn22++(2n+1) (nach Induktion) (2n+1) (nach Induktion) 2 ==nn22++2n + 1 2n + 1==(n+1) (n+1)2.. Somit Somitgilt gilt A(n+1), A(n+1),und unddamit damitist istdie dieAussage Aussagebewiesen. bewiesen. © Beutelspacher April 2004 Seite 13 Kapitel 1 Die DieBernoullische BernoullischeUngleichung Ungleichung 1.2.3 1.2.3Satz. Satz.Für Fürjede jedenat. nat.Zahl Zahl nn und undfür fürjede jedereelle reelleZahl Zahl xx≠≠-1 -1gilt gilt n (1+x) nx. (1+x)n≥≥11++nx. Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann Induktionsbasis: Sei n = 1. Dannist istlinke linkeSeite Seite==1+x 1+x==rechte rechteSeite; Seite; insbesondere insbesondereist ist linke linkeSeite Seite≥≥rechte rechteSeite. Seite. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Induktionsschritt: Sei n eine natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥1, 1,und undsei seidie die Behauptung Behauptungrichtig richtigfür für n. n.Damit Damitfolgt folgt n+1 nn⋅(1+x) n+1 = (1+x) (1+x) (1+x) = (1+x) ⋅(1+x) ≥≥(1 (1++nx) nx)⋅(1+x) ⋅(1+x) (nach (nachInduktion) Induktion) 22≥ 1 + nx + x = 1 + (n+1)x. ==11++nx + x + nx nx + x + nx ≥ 1 + nx + x = 1 + (n+1)x. Damit Damitist istder derInduktionsschritt Induktionsschrittbewiesen, bewiesen,und unddamit damitgilt giltder derSatz. Satz. © Beutelspacher April 2004 Seite 14 Kapitel 1 Seite 7 7 1.3 1.3Landkarten Landkartenschwarz schwarz--weiß weiß Ein EinGebiet, Gebiet,etwa etwaein einErdteil, Erdteil,durch durchgeradlinige geradlinigeGrenzen GrenzenininLänder Länder aufgeteilt ist. Die Grenzen sollen dabei so gezogen sein, dass aufgeteilt ist. Die Grenzen sollen dabei so gezogen sein, dasssie sie den denganzen ganzenErdteil Erdteildurchqueren. durchqueren. Frage: Frage: Wieviel Wieviel Farben Farben braucht braucht man, man, um um die die Länder Länder so so zu zu färben, färben, dass keine zwei Länder, die ein Stück Grenze gemeinsam haben, dass keine zwei Länder, die ein Stück Grenze gemeinsam haben, gleich gleichgefärbt gefärbtsind? sind? Bemerkungen: Bemerkungen: 1. 1. Länder, Länder, die die nur nur einen einen Punkt Punkt gemeinsam gemeinsam haben, haben, dürfen sehr wohl gleich gefärbt sein. dürfen sehr wohl gleich gefärbt sein. 2. 2.Eine Einesolche solcheFärbung Färbungnennt nenntman manauch aucheine einezulässige zulässigeFärbung. Färbung. © Beutelspacher April 2004 Seite 15 Kapitel 1 Färbung Färbungvon vonLandkarten Landkarten 1.3.1 1.3.1Satz. Satz.Jede JedeLandkarte, Landkarte,die diedadurch dadurchentsteht, entsteht,dass dassman maneinen einen Erdteil durch Geraden aufteilt, kann mit zwei Farben so gefärbt Erdteil durch Geraden aufteilt, kann mit zwei Farben so gefärbt werden, werden,dass dassjejezwei zweiLänder, Länder,die dieeine einegemeinsame gemeinsameGrenze Grenzehaben, haben, verschieden verschiedengefärbt gefärbtsind. sind. Beweis Beweisdurch durchInduktion. Induktion.Was Wasist ist n? n?Sei Sei nn die dieAnzahl Anzahlder derGeraden, Geraden, die den Erdteil aufteilen. Dann lautet A(n) so: die den Erdteil aufteilen. Dann lautet A(n) so: A(n): A(n):Jede JedeLandkarte, Landkarte,die diedadurch dadurchentsteht, entsteht,dass dassman maneinen einenErdteil Erdteil durch n Geraden aufteilt, kann mit den Farben schwarz und durch n Geraden aufteilt, kann mit den Farben schwarz undweiß weiß so sogefärbt gefärbtwerden, werden,dass dassjejezwei zweiLänder, Länder,die dieeine einegemeinsame gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Grenze haben, verschieden gefärbt sind. © Beutelspacher April 2004 Seite 16 Kapitel 1 Seite 8 8 Beweis Beweis Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Jede JedeLandkarte, Landkarte,die diedurch durchAufteilung Aufteilung durch nur eine Gerade entsteht, kann mit zwei Farben gefärbt durch nur eine Gerade entsteht, kann mit zwei Farben gefärbt werden. werden.Klar: Klar:Durch Durcheine eineGerade Geradeentstehen entstehennur nurzwei zweiLänder, Länder,die die man manmit mitzwei zweiFarben Farbenfärben färbenkann. kann. Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥1, 1,und undsei seidie die Aussage A(n) richtig. Wir müssen beweisen, dass auch A(n+1) Aussage A(n) richtig. Wir müssen beweisen, dass auch A(n+1) gilt. gilt. Dazu Dazubetrachten betrachtenwir wireine einebeliebige beliebigeLandkarte, Landkarte,die diedurch durchZiehen Ziehenvon von n+1 Geraden g , g , ..., g entstanden ist. Wir müssen zeigen, n+1 Geraden g1 , g2 , ..., gn+1 entstanden ist. Wir müssen zeigen, 1 2 n+1 dass dassdiese dieseLandkarte Landkartezulässig zulässigmit mitden denFarben Farbenschwarz schwarzund undweiß weiß gefärbt werden kann. gefärbt werden kann. © Beutelspacher April 2004 Seite 17 Kapitel 1 Beweis Beweis(Der (DerTrick) Trick) Sei waagrecht und betrachten diese Gerade Seidie dieGerade Gerade ggn+1 n+1 waagrecht und betrachten diese Gerade (vorerst) (vorerst)nicht. nicht. Damit Damit entsteht entsteht eine eine Landkarte, Landkarte, die die durch durch die die nn Geraden Geraden gg11,..., ,..., ggnn entstanden entstanden ist. ist. Nach Nach Induktionsvoraussetzung Induktionsvoraussetzung ist ist diese diese Landkarte Landkarte also alsomit mitden denFarben Farbenschwarz schwarzund undweiß weißzulässig zulässigfärbbar! färbbar! Wir Wirmüssen müssendie dieOriginallandkarte Originallandkartemit mitfärben! färben!Dazu Dazufügen fügenwir wirdie die (n+1)-te Gerade wieder ein. Dabei entstehen neue Länder. (n+1)-te Gerade wieder ein. Dabei entstehen neue Länder. Wir Wirmüssen müssendie dieLänder, Länder,oder oderjedenfalls jedenfallseinen einenTeil Teilumfärben. umfärben. Trick: Trick:Wir Wirfärben färbendie dieobere obereHälfte Hälfteder derKarte Karteum! um!Die DieLänder Länderim im südlichen Teil der Karte behalten dagegen ihre Farbe. südlichen Teil der Karte behalten dagegen ihre Farbe. © Beutelspacher April 2004 Seite 18 Kapitel 1 Seite 9 9 Beweis Beweis(Abschluss) (Abschluss) Behauptung: Behauptung:Diese DieseFärbung Färbungist istzulässig. zulässig. . Dann 1. 1.Fall: Fall:Die DieGrenze Grenzevon von LL und und L'L' liegt liegtunterhalb unterhalbvon von ggn+1 n+1. Dann hatten hattendie dieLänder Länder L, L,L'L' verschiedene verschiedeneFarbe. Farbe.Da Dasich sichunten untennichts nichts geändert geänderthat, hat,haben haben LL und und L'L' nach nachwie wievor vorverschiedene verschiedeneFarbe. Farbe. 2. . Oberhalb 2.Fall: Fall:Die DieGrenze Grenzevon von LL und und L'L' liegt liegtoberhalb oberhalbvon von ggn+1 n+1. Oberhalb von g hat sich alles geändert. Da L und L' vorher verschiedene von gn+1 hat sich alles geändert. Da L und L' vorher verschiedene n+1 Farben Farbenhatten, hatten,haben habensie sieauch auchjetzt jetztverschiedene verschiedeneFarben. Farben. 3. . Dann sind L und 3.Fall: Fall:Die DieGrenze Grenzevon von LL und und L'L' liegt liegtauf auf ggn+1 n+1. Dann sind L und L'L' durch Aufteilung eines alten Landes L* entstanden. durch Aufteilung eines alten Landes L* entstanden.Wenn Wenn L* L* weiß war, bleibt L weiß, während L' schwarz wird. weiß war, bleibt L weiß, während L' schwarz wird. © Beutelspacher April 2004 Seite 19 Kapitel 1 Das DasVierfarbenproblem Vierfarbenproblem Berühmtes BerühmtesProblem Problemder derMathematik: Mathematik: Wie Wieviele vieleFarben Farbenbraucht brauchtman, man,um umeine einebeliebige beliebigeLandkarte, Landkarte,also also eine eineLandkarte, Landkarte,die dienicht nichtdurch durchZiehen Ziehenvon vonGeraden Geradenentsteht, entsteht, zulässig zulässigzu zufärben? färben?Über Über100 100Jahre Jahrewar wardie dieVermutung, Vermutung,dass dassvier vier Farben ausreichen, unbewiesen. Farben ausreichen, unbewiesen. 1976 1976haben habendie dieAmerikaner AmerikanerApel Apelund undHaken Hakenmit mitmassivem massivem Computereinsatz den “Vierfarbensatz” beweisen. Computereinsatz den “Vierfarbensatz” beweisen.Dabei Dabeibauten bautensie sie entscheidend auf Vorarbeiten des Deutschen H. Heesch auf. entscheidend auf Vorarbeiten des Deutschen H. Heesch auf. © Beutelspacher April 2004 Seite 20 Kapitel 1 Seite 10 10 1.4 1.4Die DieFibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen Fibonacci Fibonacci(= (=Leonardo Leonardovon vonPisa) Pisa)um um1200 1200 Definition Definitionder derFibonacci-Zahlen: Fibonacci-Zahlen: (a) (a)1, 1,1, 1,2, 2,3, 3,5, 5,8, 8,13, 13,21, 21,34, 34,55, 55,89, 89,... ... (b) Jedes Folgenglied ist die Summe seiner (b) Jedes Folgenglied ist die Summe seinerbeiden beidenVorgänger. Vorgänger. (c) (c)Wir Wirdefinieren definierendie dieFolge Folge f1f1,,f2f2,,f3f3,,... ...von vonnatürlichen natürlichenZahlen Zahlenmit mit folgenden folgendenEigenschaften: Eigenschaften: fnf ==fn–1 f ++fn–2 f und und n n–1 n–2 f1f ==1, 1, f2f ==1. 1. 1 2 © Beutelspacher April 2004 Seite 21 Kapitel 1 Beispiele Beispiele •• Kaninchen Kaninchen(jedenfalls (jedenfallsmathematische mathematischeKaninchen) Kaninchen)vermehren vermehrensich sich nach folgenden Regeln: nach folgenden Regeln: –– Jedes JedesKaninchenpaar Kaninchenpaarbraucht brauchtnach nachseiner seinerGeburt Geburtzwei zweiMonate, Monate, bis es geschlechtsreif ist. bis es geschlechtsreif ist. –– Von Vonda daan angebiert gebiertes esininjedem jedemMonat Monatein einneues neuesPaar Paar –– Alle Kaninchen leben ewig. Alle Kaninchen leben ewig. Wenn Wenn fnfn die dieAnzahl Anzahlder derKaninchen Kaninchenzu zuBeginn Beginndes desn-ten n-tenMonats Monats bezeichnet. Dann sind die f genau die Fibonacci-Zahlen. bezeichnet. Dann sind die nf genau die Fibonacci-Zahlen. n •• Ein EinBriefträger Briefträgersteigt steigteine einelange langeTreppe Treppehoch, hoch,indem indemer erdie dieerste erste Stufe Stufebetritt betrittund undvon vonda daan anjeweils jeweilseine eineoder odergenau genauzwei zweiStufen Stufenauf auf einmal nimmt. Auf wie viele Arten kann er die n-te Stufe erreichen? einmal nimmt. Auf wie viele Arten kann er die n-te Stufe erreichen? © Beutelspacher April 2004 Seite 22 Kapitel 1 Seite 11 11 Beispiele Beispieleaus ausder derBiologie Biologie •• Bei BeiPflanzen Pflanzenkommen kommenFibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlenhäufig häufigvor. vor. •• Beispiele: Beispiele:Bei BeiSonnenblumen Sonnenblumensind sinddie dieKerne KerneininSpiralen Spiralen angeordnet, angeordnet,die dienach nachlinks linksund undnach nachrechts rechtsdrehen. drehen.Die DieAnzahlen Anzahlen der linksdrehenden und der rechtsdrehenden Spiralen sind der linksdrehenden und der rechtsdrehenden Spiralen sind aufeinanderfolgende aufeinanderfolgendeFibonacci-Zahlen. Fibonacci-Zahlen. Ähnlich bei Gänseblümchen, Ähnlich bei Gänseblümchen,Ananas, Ananas,(manchen) (manchen)Kakteen, Kakteen,.... .... © Beutelspacher April 2004 Seite 23 Kapitel 1 Wie Wiekann kannman manFibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlenausrechnen? ausrechnen? 1. 1.Durch DurchAnwenden Anwendender derrekursiven rekursivenDefinition. Definition. 2. 2.Durch DurchAnwenden Anwendender derfolgenden folgendenexpiziten expizitenFormel: Formel: 1.4.1 1.4.1Satz Satz(Binet-Formel). (Binet-Formel).Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥11 gilt gilt n n fnf ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5. √5. n Bemerkung. Bemerkung.Das DasErstaunliche Erstaunlichean andieser dieserFormel Formelist, ist,dass dasssich sichfür für jedes n die Wurzelterme so weg heben, dass nur eine natürliche jedes n die Wurzelterme so weg heben, dass nur eine natürliche Zahl, Zahl,nämlich nämlich fnfn stehenbleibt. stehenbleibt. © Beutelspacher April 2004 Seite 24 Kapitel 1 Seite 12 12 Beweis Beweis(Induktionsbasis) (Induktionsbasis) Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n.Die DieAussage Aussage A(n) A(n) ist ist n n fnf ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5. √5. A(n): A(n): n Induktionsbasis: Induktionsbasis:Sei Sei nn==1. 1.Wir Wirmüssen müssendie dieAussage AussageA(1) A(1)beweisen. beweisen. Dazu rechnen wir einfach die Formel (also die rechte Seite) Dazu rechnen wir einfach die Formel (also die rechte Seite) für für den den Fall Fall nn==11 aus: aus: 1 1 [((1+√5)/2) ((1–√5)/2)1]]//√5 √5==[(1+√5)/2 [(1+√5)/2––(1–√5)/2] (1–√5)/2]//√5 √5== [((1+√5)/2)1––((1–√5)/2) [2√5)/2] [2√5)/2]//√5 √5==11 Damit Damitgilt gilt A(1). A(1). Beweisen BeweisenSie SieA(2): A(2):Übungsaufgabe. Übungsaufgabe. © Beutelspacher April 2004 Seite 25 Kapitel 1 Beweis Beweis(Induktionsschritt) (Induktionsschritt) Induktionsschritt: Induktionsschritt:Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahlmit mit nn≥≥2, 2,und undes es mögen die Aussagen A(n) und A(n–1) gelten. mögen die Aussagen A(n) und A(n–1) gelten. Wir Wirmüssen müssenzeigen, zeigen,dass dassdann dannauch auch A(n+1) A(n+1) gilt. gilt.Dazu Dazuverwenden verwenden wir wirdie dieRekursionsformel Rekursionsformel fn+1 fn+1==fnfn++fn–1 fn–1,,und undwenden wendensowohl sowohlauf auf fnfn also alsoauch auchauf auf fn–1 f die dieInduktionsvoraussetzung Induktionsvoraussetzungan: an: n–1 fn+1 f ==fnf ++fn–1 f == n+1 n n–1 n n n–1 n–1 [((1+√5)/2) ((1–√5)/2)n]]//√5 √5++[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1]]//√5 √5 [((1+√5)/2)n––((1–√5)/2) n–1 n–1 ==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1[(1+ [(1+√5)/2 √5)/2++1] 1]––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1[(1– [(1–√5)/2 √5)/2++1]] 1]]//√5 √5... ... Wie Wiekann kannman mandiese diesemonströse monströseFormel Formelauflösen auflösen??? ??? © Beutelspacher April 2004 Seite 26 Kapitel 1 Seite 13 13 Beweis Beweis(das (dasWunder) Wunder) Wir Wirkönnen könnendie diekleinen kleineneckigen eckigenKlammern Klammerngünstig günstigumformen: umformen: 2 2 [(1+√5)/2 [(1–√5)/2++1] 1]==[(1–√5)/2] [(1–√5)/2]2.. [(1+√5)/2++1] 1]==[(1+√5)/2] [(1+√5)/2]2==[(1–√5)/2 Man Mansieht siehtbeide beideFormeln Formelnsofort sofortein, ein,wenn wennman mandie diejeweiligen jeweiligenrechten rechten Seiten ausrechnet. Seiten ausrechnet. Nun Nunkann kannuns unsaber abernichts nichtsmehr mehrhindern, hindern,weiterzurechnen: weiterzurechnen: n–1 2 n–1 2 ... ...==[((1+√5)/2) [((1+√5)/2)n–1[(1+√5)/2] [(1+√5)/2]2––((1–√5)/2) ((1–√5)/2)n–1[(1–√5)/2] [(1–√5)/2]2]]//√5 √5 n+1 n+1 ==[((1+√5)/2) n+1 – ((1–√5)/2) n+1 ] / √5. [((1+√5)/2) – ((1–√5)/2) ] / √5. ... ...und unddamit damitist istdie dieAussage Aussage A(n+1) A(n+1) bewiesen. bewiesen. Nach Nachdem demPrinzip Prinzipder dervollständigen vollständigenInduktion Induktiongilt giltalso alsodie dieAussage. Aussage. © Beutelspacher April 2004 Seite 27 Kapitel 1 Ein EinZaubertrick Zaubertrick 8 5 13 8 5 8 8 5 8 13 © Beutelspacher April 2004 Seite 28 Kapitel 1 Seite 14 14 Simpson-Identität Simpson-Identität 1.4.2 1.4.2Satz. Satz.Für Fürjede jedenatürliche natürlicheZahl Zahl nn≥≥22 gilt gilt n ffn+1⋅f⋅fn–1 ––ffn22==(–1) (–1)n.. n+1 n–1 n und ff 22 unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, In InWorten: Worten:fn+1 fn+1⋅f⋅fn–1 n–1 und n n unterscheiden sich nur um 1, mal um +1, mal malum um–1. –1. Beweis Beweisdurch durchInduktion Induktionnach nach n. n. Die DieAussage Aussage A(n) A(n) sei seidie dieAussage Aussagedes desSatzes. Satzes. Induktionsbasis. Induktionsbasis.Sei Sei nn==2. 2.Wir Wirmüssen müssendie dieAussage Aussage A(2) A(2) zeigen. zeigen. Dazu Dazurechnen rechnenwir wireinfach einfachdie dielinke linkeSeite Seiteaus: aus: 2 2 2 L.S. L.S.==f3f3⋅f⋅f11––f2f22==2⋅1 2⋅1––112==11==(–1) (–1)2==R.S. R.S. © Beutelspacher April 2004 Seite 29 Kapitel 1 Beweis Beweis(Induktionsschritt) (Induktionsschritt) Induktionsschritt. Induktionsschritt.Sei Sei nn eine einenatürliche natürlicheZahl Zahl ≥≥2, 2,und undes esgelte geltedie die Aussage A(n). Wir müssen A(n+1) zeigen. Auch dazu rechnen Aussage A(n). Wir müssen A(n+1) zeigen. Auch dazu rechnenwir wir einfach einfachdie dieentsprechende entsprechendelinke linkeSeite Seiteaus: aus: 2 2 fn+2 f 2==(f(fn+1 ++fnf ))⋅f⋅fn ––fn+1 f 2 f ⋅f⋅fn ––fn+1 n+2 n n+1 n+1 n n n+1 2 ==fn+1 fn+1⋅(f ⋅(fnn--fn+1 fn+1))++fnfn2 ==fn+1 – (–1)nn fn+1⋅(f ⋅(fnn--fn+1 fn+1))++fn+1 fn+1⋅f⋅fn–1 n–1 – (–1) (nach (nachInduktion) Induktion) n+1 ==fn+1 fn+1⋅(f ⋅(fnn++fn-1 fn-1––fn+1 fn+1))++(–1) (–1)n+1 n+1 n+1 ==fn+1 fn+1⋅0 ⋅0++(–1) (–1)n+1== (–1) (–1)n+1.. Somit Somitgilt giltdie dieAussage Aussage A(n+1). A(n+1). © Beutelspacher April 2004 Seite 30 Kapitel 1 Seite 15 15
