Elementare Matrizenrechnung
Werbung
WS 15/16 Mathematik 1 : Thema 5.1 Elementare Matrizenrechnung m × n-Matrix von Zahlen Am×n m×n ai,j rechteckige Tabelle a1,1 = ... am,1 ... ... ... a1,n .. . am,n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n“ ” wobei m = Anzahl Zeilen, n = Anzahl Spalten Element der Matrix 1. Index Zeilennr., 2. Index Spaltennr. Eine 1 × 1-Matrix wird als Zahl — ohne die Matrixklammern — geschrieben Eine m × n-Matrix Am×n hat m · n Elemente ai,j Element= Zelle“ in der Sprache der Tabellenkalkulation ” 51 Gleichheit Am×n = Bm×n :⇔ elementweise Gleichheit Gleichheit A = B: 1. A und B müssen gleiche Dimension haben 2. ai,j = bi,j für alle Elemente im paarweisen Vergleich � � 1 sind nicht vergleichbar (als Matrizen) Bsp. ( 1 2 )1×2 und 2 2×1 ( 1 2 )1×2 �= ( 2 2 )1×2 ( 1 2 )1×2 = ( 30 4) 2 1×2 sind vergleichbar, aber verschieden sind gleich Transponierte (AT )n×m = (Am×n )T einer Matrix Am×n Die Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix werden in unveränderter Reihenfolge als Spalten (bzw. Zeilen) aufgeschrieben. Zweimaliges Transponieren führt zum Ausgangszustand zurück Eigenschaft: (AT )T = A �T � � � � � � �T 1 4 a1,1 a1,2 a a a 1 2 3 = 2 5 ; = 1,1 2,1 ; ( a1 a2 )T = 1 Bsp. a2,1 a2,2 a1,2 a2,2 a2 4 5 6 3 6 Transponieren ist insbesondere für reine Darstellungszwecke sehr nützlich, z.B. passt der etwas lästige Spaltenvektor a = ( 1 3 0 2 2 0 0 7 )T noch locker auf diese Seite ;-) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 6 WS 15/16 52 Mathematik 1 : Thema 5.1 Einige spezielle Matrizen Am×n Äußere Formen m = n quadratische Matrix m = 1 n-Zeilenvektor n = 1 m-Spaltenvektor d.h. Zeilenanzahl=Spaltenanzahl n = Elementeanzahl der einen Zeile m = Elementenzahl der einen Spalte Innere Formen 0m×n Nullmatrix in m Zeilen und n Spalten nur Nullen 0n , (0n )T Nullspalte, Nullzeile Spalte bzw. Zeile mit n Nullen 1m×n 1n , (1n )T ! ▼ Einsenmatrix in m Zeilen und n Spalten nur Einsen Einsenspalte, Einsenzeile Spalte bzw. Zeile mit n Einsen Wir schreiben Einsenmatrix statt Einsmatrix um jede Verwechslung mit der (folgenden) Einheitsmatrix auszuschließen Mischformen En×n ej. n T (ei. n) spezielle quadratische Matrizen 0 0 ... 0 1 0 ... 0 .. ... ... ... . ... 0 1 0 1 0 . Einheitsmatrix En×n = .. 0 0 ... 0 0 1 j-te Spalte von En×n = j-ter Einheitsspaltenvektor (das j-te Element von ej. n ist Eins, alle anderen sind Null) i-te Zeile von En×n = i-ter Einheitszeilenvektor (das i-te Element von (ei.n )T ist Eins, alle anderen sind Null) Bei einer quadratischen Matrix An×n heißen die Matrixelemente mit gleicher Zeilen- und Spaltennummer Diagonalelemente: a1,1 , a2,2 , . . . , an,n a 0 0 Eine quadratische Matrix An×n heißt 0 b 0 Diagonalmatrix wenn außerhalb ihrer Diagonale 0 0 c nur Nullen stehen (Bsp. En×n ) obere Dreiecksmatrix wenn unterhalb ihrer Diagonale a b c a 0 0 nur Nullen stehen 0 d e b c 0 untere Dreiecksmatrix wenn oberhalb ihrer Diagonale 0 0 f d e f nur Nullen stehen Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 6 WS 15/16 53 • Mathematik 1 : Thema 5.1 Rechenoperationen mit Matrizen Addition Matrix m×n ± Matrix m×n “ ” Addition von Matrizen gleicher Dimension = Elementweise Addition Regeln: A + B = B + A und (A + B)T = AT + B T • Multiplikation Zahl · Matrix“ ” = Multiplikation jedes Matrixelements mit dieser Zahl Regel: αA + βA = (α + β)A wobei α, β ∈ R • Multiplikation k-Zeilenvektor · k-Spaltenvektor“ ” als Baustein der Matrixmultiplikation: s1 ( z1 , . . . , zk ) · ... := z1 · s1 + . . . + zk · sk sk Skalarprodukt“ ” k � = zl · sl l=1 Multiplikation Matrix m×k · Matrix k×n “ ” = Multiplikation mehrerer k-Zeilenvekt. mit mehreren k-Spaltenvekt. Cm×n := Am×k · Bk×n wird elementweise definiert: Das Element ci,j von Cm×n ist das Ergebnis der Multiplikation (Zeile Nr. i von A) · (Spalte Nr. j von B) ← je k Elemente �k ci,j := ai,1 · b1,j + ai,2 · b2,j + . . . + ai,k · bk,j = l=1 ai,l · bl,j b . . . b . . . b 1,1 1,n 1,j .. . . ... ... .. .. = Bk×n . bk,1 . . . bk,j . . . bk,n a1,1 . . . a1,k . . . . . . . . . ci,j ai,1 . . . ai,k =: (A · B)m×n Am×k = .. .. ... . . am,1 . . . am,k • Regeln: C(A + B) = CA + CB und (A + B)C = AC + BC ! ▼ (A · B) · C = A · (B · C) und (AB)T = B T AT Vorsicht A · B = B · A ist im Allgemeinen falsch A·B ist nur definiert, wenn Spaltenanzahl von A = Zeilenanzahl von B Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 6 WS 15/16 Bsp. 1 Bsp. 2 Bsp. 3 Bsp. 4 Bsp. 5 Bsp. 6 Mathematik 1 : Thema 5.1 � � � � � � � � 1 2 3 0 4 2 1 2 + = ; +( 1 0 ) nicht definiert 2 −1 1 0 3 −1 2 1 Ausklammern eines zu jedem Element einer Matrix gemeinsamen � � 1 � Faktors : � − 1 −2 3 1 3 2 = 6 1 1 −4 − 23 6 1 1 1 ( 1 1 1 ) 2 = 6; ( 1 0 0 ) 2 = 1; ( 0 1 0 ) 0 = 0 3 3 1 1 1 1 1 1 0 6 2 1 1 0 0 · 2 0 2 = 1 1 0 0 1 0 3×3 3 1 −1 3×3 2 0 2 3×3 � � 1 1 1 1 1 1 1 0 0 · nicht definiert 1 0 0 2×3 0 1 0 3×3 � � � � 1 −1 1 2 3 5 −2 · −1 1 = 0 1 2 2×3 3 −1 2×2 2 −1 3×2 � � 1 −1 1 1 1 1 2 3 −1 1 · = −1 −1 −1 0 1 2 2×3 2 −1 3×2 2 3 4 3×3 � �� � � � � � � �� � 1 −1 1 1 0 0 −1 1 1 1 1 −1 = �= = −2 2 1 1 0 0 −1 1 1 1 −2 2 In Bsp. 5 sind (A · B)2×2 und (B · A)3×3 nicht einmal vergleichbar, in Bsp. 6 sind (A · B)2×2 und (B · A)2×2 vergleichbar, aber verschieden. Vier allgemeinere Beispiele (Eigenschaften) Bsp. 7 Für beliebige Matrizen Am×n (insbesondere Vektoren) ist Am×n · 0n×k = 0m×k Am×n + 0m×n = Am×n 0k×m · Am×n = 0k×n 0m×n + Am×n = Am×n Die Nullmatrix spielt bei der Matrixaddition die gleiche neutrale“ Rolle wie ” die Zahl Null bei der Addition von Zahlen. ! ▼ Anders als bei Zahlen kann aber bei der Matrixmultiplikation aus der Gleichung A · B = 0 im Allgemeinen nicht gefolgert werden, dass A oder B die Nullmatrix ist (vgl. Bspe. 2 und 6) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 6 WS 15/16 Mathematik 1 : Thema 5.1 Bsp. 8 Für beliebige Matrizen Am×n (insbesondere Vektoren) ist Am×n · En×n = Am×n En×n · an×1 = an×1 Em×m · Am×n = Am×n a1×n · En×n = a1×n Die Einheitsmatrix spielt bei der Matrixmultiplikation die gleiche neutrale“ ” Rolle wie die Zahl Eins bei der Multiplikation von Zahlen. Bsp. 9 Multiplikation mit Einheitsvektoren 54 T (ei. (von links) m ) · Am×n = i-te Zeile von A ”Zeilenpicker“ = j-te Spalte von A Spaltenpicker“ (von rechts) Am×n · ej. n ” � 0 für i �= j T · ej. = ) Insbesondere ist (ei. n n 1 für i = j Die Picker“ werden insbesondere für Vertauschungen von Zeilen bzw. Spalten ” (Permutationen) verwendet: 0 1 0 0 1 0 0 0 1 · A3×n Am×3 · 0 0 1 1 0 0 1 0 0 sortiert die 3 Zeilen von A sortiert die 3 Spalten von A in die Reihenfolge 2./3./1. in die Reihenfolge 3./1./2. Das Ergebnis der folgenden Matrixmultiplikation kann ohne Rechnung direkt angegeben werden: 0 1 0 8 7 9 0 1 0 1 2 3 0 0 1 · 2 3 1 · 0 0 1 = 6 5 4 1 0 0 5 4 6 1 0 0 9 8 7 Eine solche Vertauschung/Sortierung (die ja ausgedrückt ist durch die gewünschte Vertauschung der Zeilen bzw. Spalten der Einheitsmatrix) wird rückgängig gemacht durch die entsprechende transponierte Vertauschung, im Bsp.: 0 0 1 1 2 3 0 0 1 8 7 9 1 0 0 · 6 5 4 · 1 0 0 = 2 3 1 0 1 0 9 8 7 0 1 0 5 4 6 Bsp. 10 Multiplikation mit Einsenvektoren 1Tm · Am×n = Zeile mit den n Spaltensummen von Am×n Am×n · 1n = Spalte mit den m Zeilensummen von Am×n 1Tm · Am×n · 1n = Summe der m · n Elemente von Am×n � (Vgl. Grundlagen Nr. 9) Die j-te Spaltensumme ist gleich m , die i-te i=1 ai,j � � �n m n Zeilensumme gleich j=1 ai,j und die Gesamtsumme gleich i=1 j=1 ai,j Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 6 WS 15/16 Mathematik 1 : Thema 5.1 Anwendungsbeispiel Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden einstufigen Bedarfstabellen (Elemente: Bedarf in Anzahl Einheiten Zeilenobjekt bei der Produktion einer Einheit Spaltenobjekt) MRZ und MZE wie folgt gegeben: Endprodukte E Zwischenprodukte Z E2 E3 E1 Z2 Z3 Z1 Zwischen- Z1 1 0 1 Rohstoffe R1 1 2 2 produkte Z2 0 2 1 R R2 0 1 1 Z Z3 2 3 1 Rohstoffpreise r = (r1 , r2 ) = (4, 5) Verkaufspreise p = (p1 , p2 , p3 ) = (10, 100, 10) [Preise werden als Zeile angegeben. Zwischenprodukte werden in diesem einfachen Modell weder gekauft noch verkauft. Ebenso erfordern feinere Wertbetrachtungen (Produktionskosten/Gewinn) ein erweitertes ökonomisches Modell. Wir betrachten hier, sehr vereinfacht, nur Einkauf“ und Verkauf“.] ” ” MRE = MRZ · MZE Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung Endprodukte E MRZ · MZE MRE = � � E2 E3 E1 5 10 5 = , d.h. Rohstoffe R1 5 10 5 2 5 2 R R2 2 5 2 Z = MZE · E Zwischenproduktbedarf Z bei geg. Endproduktion E 5 10 Für E = 10 ist der Z-Mengenvektor: Z = MZE · E = 25 5 45 R = MRE · E = MRZ · Z Rohstoffbedarf R bei geg. Endproduktion E � � 5 150 Für E = 10 ist der R-Mengenvektor: R = MRE · E = 70 5 � � 10 150 Zum Vgl. einstufig rückwärts gerechnet: R = MRZ · 25 = 70 45 r · R Rohstoffkosten Rohstoffkosten = r · R = 950 p · E Verkaufserlös Verkaufserlös = p · E = 1100 Ist nicht die Endproduktion E vorgegeben, sondern ein Rohstoffvorrat R bzw. ein Zwischenproduktvorrat Z, so muss die Matrixgleichung R = MRE ·E bzw. Z = MZE · E nach E aufgelöst“ werden � Lineare Gleichungssysteme ” Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 6
