7.2 Ringe von Brüchen, Lokalisierung, Quotien

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7.2
Ringe von Brüchen, Lokalisierung, Quotientenkörper
Wir verallgemeinern zunächst die Bildung von Q aus Z als Menge der Äquivalenzklassen von Brüchen ganzer Zahlen. Dazu bemerken wir, daß folgendes
leicht nachgerechnet werden kann:
7.2.1 Satz Ist 0 6= R ein kommutativer Ring mit Eins und N ⊆ R ein Teilmonoid von (R∗ , ·) (d. h. N ist multiplikativ abgeschlossen, also eine Unterhalbgruppe,
und N enthält das Einselement von R), dann gilt:
• Folgende Relation auf R × N ist eine Äquivalenzrelation:
(r, n) ∼ (r0 , n0 ) :⇐⇒ ∃ n00 ∈ N : n00 (rn0 − r0 n) = 0.
• Die Menge [R × N ]∼ der entsprechenden Äquivalenzklassen [r, n]∼ :=
[(r, n)]∼ , ist zusammen mit den Verknüpfungen
[r, n]∼ + [r0 , n0 ]∼ := [rn0 + r0 n, nn0 ]∼
und
[r, n]∼ · [r0 , n0 ]∼ := [rr0 , nn0 ]∼
ein kommutativer Ring mit dem Einselement [n, n]∼ und dem Nullelement
[0, n]∼ , sowie mit den additiven Inversen
−[r, n]∼ = [−r, n]∼ .
Die Teilmenge N heißt dabei die Nennermenge.
7.2.2 Beispiele Ist R 6= 0 ein kommutativer Ring mit Einselement, dann sind
R∗ , E(R) und R\I, für jedes Primideal I geeignete Nennermengen. Beispiele
sind also Z∗ , {1, −1}, und Z\(p), für Primzahlen p.
3
7.2.3 Hilfssatz N sei eine Nennermenge gemäß 7.2.1. Es gilt:
• Die Abbildung
f : R → [R × N ]∼ , r 7→ [rn, n]∼
ist ein Ringhomomorphismus mit f (N ) ⊆ E([R × N ]∼ ).
• Ist R ein Integritätsbereich, dann ist f sogar injektiv, und wir haben eine
Einbettung
R ,→ [R × N ]∼ , r 7→ [rn, n]∼
von R. Wir können in diesem Fall das Element [rn, n]∼ durch r ersetzen.
Die oben angegebene Äquivalenzrelation vereinfacht sich zu
(r, n) ∼ (r0 , n0 ) :⇐⇒ rn0 − r0 n = 0,
das Element [r, n]∼ ist demnach durch den Bruch nr ersetzbar. Der so aus
[R×N ]∼ entstandene Ring heißt Ring der Brüche von R mit Nennermenge
N . Wir bezeichnen ihn mit
B(R, N ).
7.2. RINGE VON BRÜCHEN, LOKALISIERUNG, QUOTIENTENKÖRPER297
Beweis:Übungsaufgabe.
Das bekannteste Beispiel ist natürlich
Q := B(Z, Z∗ ),
der Körper der rationalen Zahlen. Die herausragende Eigenschaft dieses Ringes
der Brüche ist seine Universalität (Übungsaufgabe):
7.2.4 Satz Ist R ein Integritätsbereich, N eine Nennermenge in R, dann ist
die Einbettung
R ,→ B(R, N )
universell bzgl. der Klasse F der (Ring mit 1)-Homomorphismen von R in Ringe
R0 mit Einselement und der Eigenschaft f (N ) ⊆ E(R0 ), sowie der Klasse L der
Ring-mit-Eins-Homomorphismen.
7.2.5 Definition (lokale Ringe) Ein Ring R heißt lokaler Ring, wenn R genau
ein maximales Ideal besitzt.
•
7.2.6 Satz Ist R ein Integritätsbereich, P ein Primideal in R, dann ist der Ring
der Brüche
B(R, R\P )
ein lokaler Ring.
Beweis: Wir zeigen daß das Ideal (nachprüfen!)
o
np I :=
p ∈ P, n ∈ R\P
n
genau aus den Nichteinheiten von B(R, R\P ) besteht:
a.
a
n
6∈ I ⇒ a 6∈ P ⇒
b. I 3
p
n
n
a
Einheit, etwa
∈ B(R, R\P ) ⇒
p
n
·
a
n0
a
n
Einheit.
= 1 ⇒ pa = |{z}
nn0 , ein Widerspruch.
|{z}
∈P
∈R\P
Als Menge aller Nichteinheiten ist dieses Ideal maximal. Umgekehrt besteht
jedes maximale Ideal aus Nichteinheiten, liegt also in I und ist deshalb gleich I.
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7.2.7 Beispiel Der Ring der Brüche
B(Z, Z\(p))
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ist lokal, falls p eine Primzahl ist.
7.2.8 Satz Ist R Integritätsbereich, dann ist der Ring der Brüche
B(R, R∗ )
ein Körper, der sogenannte Quotientenkörper von R.
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Beweis: Das Nullideal ist Primideal, also ist, nach 7.2.6, B(R, R∗ ) lokal und
dessen Nullideal ist maximal, enthält also alle Nichteinheiten. Demnach ist
B(R, R∗ ) Schiefkörper und wegen der Kommutativität auch ein Körper.
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Das klassische Beispiel hierfür ist natürlich wieder
Q := B(Z, Z∗ ),
der Körper der rationalen Zahlen. Ein weiteres Beispiel ist — für jeden Körper
K — der Körper
K(x) := B(K[x], K[x]∗ )
der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten x. Entsprechendes gilt für
mehrere Variable x0 , x1 , . . . xn−1 .