Aussagenlogik

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197 Wegener Math/1_Logik Dienstag 03.04.2007 16:11:47
Mathematische Logik
Aussagenlogik
In der mathematischen Logik gibt es genau zwei Wahrheitswerte nämlich nur wahr oder falsch. Ein Drittes gibt es nicht (Tertium non datur!).
Zu einer Aussage a lässt sich die Negation ¬a (die Verneinung, sprich:
"nicht a") bilden. Zwei Aussagen a und b lassen sich durch die Konjunktion a∧b (das logische Und, sprich: "a und b"), die Disjunktion a∨b
(das logische nicht ausschließende Oder, sprich: "a oder b"), die Implikation a⇒b (die Schlussfolgerung, sprich: "aus a folgt b" oder "a impliziert b")
oder die Äquivalenz a⇔b (die Gleichwertigkeit, sprich: "a gleichwertig zu
b" oder "a äquivalent (zu) b") miteinander verknüpfen.
Die Ergebnisse der einzelnen Verknüpfungen sind in den folgenden Wahrheitstafeln angegeben:
a
wahr
falsch
1
© Dr. Gerd Wegener, Hannover 2007
¬a
falsch
wahr
a
wahr
wahr
falsch
falsch
b
wahr
falsch
wahr
falsch
a∧b
wahr
falsch
falsch
falsch
a∨b
wahr
wahr
wahr
falsch
a⇒b
wahr
falsch
wahr
wahr
a⇔b
wahr
falsch
falsch
wahr
Mathematische Logik
Aussagenlogik
Die Konjunktion ist also nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr
sind, während die Disjunktion wahr ist, wenn eine oder beide der verknüpften Aussagen wahr sind.
Nur die Implikation, aus etwas Wahrem etwas Falsches zu schließen,
ist falsch. Alle anderen Implikationen sind wahr. Man sagt auch aus Unsinn
kann alles geschlossen werden.
Folgende Zusammenhänge bestehen zwischen den Verknüpfungen:
a⇒b ⇔ ¬a∨b
¬(a∧b) ⇔ ¬a∨¬b
a⇒b ⇔ ¬b⇒¬a
¬(a∨b) ⇔ ¬a∧¬b
Die letzten zwei Beziehungen werden auch Regel von de Morgan genannt. Beispiel: Es regnet und die Sonne scheint. (Dann gibt es einen Regenbogen!) Das negiert: Es regnet nicht oder die Sonne scheint nicht.
(Dann gibt es keinen Regenbogen!)
© Dr. Gerd Wegener, Hannover 2007
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Mathematische Logik
Aussagenlogik
Wenn man sich nicht sicher ist, ob eine zusammengesetzte Aussage wahr ist,
prüft man diese mit Hilfe einer Wahrheitstafel, in der alle möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten der benutzten Variablen ausprobiert werden.
a
wahr
wahr
falsch
falsch
a
wahr
wahr
falsch
falsch
© Dr. Gerd Wegener, Hannover 2007
b
wahr
falsch
wahr
falsch
b
wahr
falsch
wahr
falsch
c=(a⇒b)
wahr
falsch
wahr
wahr
c=(a⇒b)
wahr
falsch
wahr
wahr
¬a
falsch
falsch
wahr
wahr
¬a
falsch
falsch
wahr
wahr
d=(¬a∨b)
wahr
falsch
wahr
wahr
c⇔d
wahr
wahr
wahr
wahr
¬b
d=(¬b⇒¬a)
falsch
wahr
wahr
falsch
falsch
wahr
wahr
wahr
c⇔d
wahr
wahr
wahr
wahr
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Mathematische Logik
Aussagenlogik
Die folgenden Wahrheitstafeln beweisen die Regel(n) von de Morgan.
a
wahr
wahr
falsch
falsch
b
wahr
falsch
wahr
falsch
a∧b
wahr
falsch
falsch
falsch
c=¬(a∧b)
falsch
wahr
wahr
wahr
¬a
falsch
falsch
wahr
wahr
¬b
d=(¬a∨¬b)
falsch
falsch
wahr
wahr
falsch
wahr
wahr
wahr
c⇔d
wahr
wahr
wahr
wahr
a
wahr
wahr
falsch
falsch
b
wahr
falsch
wahr
falsch
a∨b
wahr
wahr
wahr
falsch
c=¬(a∨b)
falsch
falsch
falsch
wahr
¬a
falsch
falsch
wahr
wahr
¬b
d=(¬a∧¬b)
falsch
falsch
wahr
falsch
falsch
falsch
wahr
wahr
c⇔d
wahr
wahr
wahr
wahr
© Dr. Gerd Wegener, Hannover 2007
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Mathematische Logik
Prädikatenlogik
Logische Aussagen haben zwar einen Wahrheitswert, aber keinerlei Bezug
zu den Objekten der Welt. Um also Aussagen über Objekte (z.B. Zahlen) zu
machen, bedarf es sog. Quantoren.
Will man ausdrücken, dass für alle Elemente a einer Menge A ein bestimmtes Prädikat (=Aussage) P(a) gilt, so schreibt man das folgendermaßen:
∀ P(a)
a∈A
Das Zeichen ∀ wird auch
Allquantor
genannt (sprich: "für alle").
Soll notiert werden, dass es mindestens ein Element a einer Menge A gibt,
für das ein bestimmtes Prädikat P(a) gilt, so schreibt man das folgendermaßen:
∃ P(a)
a∈A
Das Zeichen ∃ wird auch Existenzquantor genannt (sprich: "es gibt").
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P(a)
∃ P(a)
∀
Mathematische Logik
Prädikatenlogik
Für beide Quantoren gilt
¬(
∀ P(a))
a∈A
⇔
∃ ¬P(a)
a∈A
In Worten: Die Negation von für alle a aus A gilt P(a) ist gleichwertig zu es
gibt ein a aus A, so dass P(a) nicht gilt. Beispiel: Das Gegenteil der Aussage
alle Kreter sind Lügner lautet es gibt (mindestens) einen Kreter, der kein
Lügner ist.
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¬(
∀ P(a))
⇔
∃ ¬P(a)
Mathematische Logik
Definitionen, Sätze und Beweise
In der Mathematik beschäftigt man sich mit Objekten des Denkens, die zwar
aus der realen Welt abstrahiert (abstrahere = (etwas) abstreifen) sind, innerhalb der Mathematik jedoch keinerlei Bezug zur Welt außerhalb benötigen.
Zuerst legt man die Objekte, von denen man spricht, in einer Definition
fest. Dann formuliert man Aussagen oder Sätze über diese Objekte. Anschließend muss man für jeden Satz einen Beweis angeben, bei dem man
sich natürlich auf bereits bewiesene Sätze stützen kann. Einige grundlegende
Sätze muss man jedoch meistens voraussetzen, die man nicht beweisen will
oder kann. Diese Sätze werden Axiome genannt.
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Mathematische Logik
Definitionen, Sätze und Beweise
Ein Beweis ist nichts Anderes als eine Kette von Schlussfolgerungen, die
mit einer unbestritten wahren Aussage beginnt und bei der behaupteten Aussage endet. Diese muss dann nämlich wahr sein (wenn man richtig geschlossen hat), da aus etwas Wahrem nur etwas Wahres gefolgert werden kann.
Manchmal gelingt es nicht, eine solche Beweiskette zu führen. Dann kann
man auch mit der Negation der behaupteten Aussage beginnen und versuchen, durch korrekte Schlussfolgerungen auf einen Widerspruch zum
Anfang zu kommen. Wenn die Negation einer Aussage falsch ist, so schließt
man, muss diese richtig sein. (Nicht alle Mathematiker erkennen diese Beweismethode an. Deswegen ist es immer besser, einen direkten Beweis zu
haben.)
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Mathematische Logik
Beweis durch Widerspruch
Im folgenden der Beweis für den Euklidischen Satz gegeben, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Satz:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
Angenommen, es gäbe endlich viele Primzahlen und ihre Anzahl
sei n. Dann bezeichnen wir diese mit p1, p2, p3, ... pn.
Wir bilden nun das Produkt p aller dieser Primzahlen und zählen
eins dazu.
p = p1·p2·p3·...·pn
q = p + 1
Die Zahl p ist durch alle Zahlen pi (1≤i≤n) teilbar. Die Zahl q hingegen ist durch keine Zahl pi teilbar. Deswegen muss es selbst eine
Primzahl oder mindestens durch eine -bisher unbekannte- teilbar
sein. Das aber steht im Widerspruch zur Ausgangsannahme, womit der Satz bewiesen ist. (Man schreibt dann q.e.d. (= quod erat
demonstrandum = was zu beweisen war (manche schreiben auch
w.z.b.w.)) und versucht, möglichst cool dreinzuschauen.)
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Beweis durch vollständige Induktion
Im folgenden ist ein Beweis für die Formel von Gauß über die Summe der
Zahlen von 1 bis n gegeben.
∀
Satz:
n
∑i =
n∈IN i=1
Beweis:
n·(n+1)
2
Die Formel ist richtig für n=1. Sei sie richtig für ein n>0, dann ist
n+1
n
∑ i = ∑ i + (n+1) =
i=1
i=1
=
n·(n+1)
2
+ (n+1) =
n·(n+1)+2·(n+1)
2
=
(n+2)·(n+1)
2
(n+1)·((n+1)+1)
2
Die Formel gilt offensichtlich auch für n+1. Dann gilt sie auch für
n+2, n+3, n+4, etc. (q.e.d.)
Der Schluss wenn etwas für ein n richtig ist, dann ist es auch für n+1 richtig,
zusammen mit es ist für n=1 richtig, woraus folgt dann ist es für alle n richtig,
heißt Beweis durch vollständige Induktion.
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∀
Mathematische Logik
n
∑i =
n·(n+1)
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