Kongruenz

Kongruenz
Allgemein:
Deckungsgleiche Figuren nennt man kongruent zueinander.
Kongruente Figuren haben entsprechend gleich große Strecken und Winkel.
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Figuren, die punkt- oder achsensymmetrisch sind, sind zueinander kongruent.
y
x
>
Kongruenzsätze für Dreiecke:
Kongruenzsätze sagen aus, unter welchen Voraussetzungen die Form und Größe eines
Dreiecks eindeutig festgelegt ist.
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SSS: Wenn Dreiecke in allen Seitenlängen übereinstimmen, sind sie kongruent.
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SsW: Wenn Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der der größeren
Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, sind sie kongruent.
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SWS: Wenn Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen, sind sie kongruent.
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WSW bzw. SWW: Wenn Dreiecke in einer Seitenlänge und zwei gleich liegenden
Winkeln übereinstimmen, sind sie kongruent.
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Damit ein Dreieck eindeutig konstruierbar ist, muss die Summe zweier
Seitenlängen immer länger sein als die dritte Seitenlänge.
=> (a+b) > c
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Kongruenz
Beispielaufgaben:
1. Welche Figuren sind kongruent zueinander ?
2. Ist ein Dreieck, in dem die Höhe h die gegenüberliegende
Seite halbiert, immer gleichschenklig ?
Begründe mit einem Kongruenzsatz!
3. Begründe, ob die folgenden Angaben ein Dreieck eindeutig bestimmen.
a) a = 7cm, b = 3cm, c = 11cm
b) b = 3cm, c = 8cm, γ = 90°.
4.a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB]
als Durchmesser hat.
b) C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke
[AB] liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten
von [AB] liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das
Dreieck ABC auch rechtwinklig
ist. ......................................................................................................................................
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Kongruenz
c) Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte
der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke. Kreuze an, welche der
folgenden Argumentationen richtig sind. Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...
o ...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks ist.
o ...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen
und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.
o ...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und
Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.
o ...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und
Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.
Lösungen:
1. Welche Figuren sind kongruent zueinander ?
(Bunt eingefärbt)
2. Durch h wird das Dreieck in zwei Teildreiecke zerlegt, die im rechten Winkel, sowie
in der Länge von [AM] und [MB] übereinstimmen. Da auch h in beiden Dreiecken
übereinstimmt, sind sie gemäß SWS kongruent. Daher sind [AC] und [BC] gleich
lang und somit gleichschenklig.
3. a) Mit der Regel: (a + b) > c
7cm+3cm < 11cm
=> Das Dreieck ist nicht konstruierbar.
b) Da der rechte Winkel gegenüber der größeren der beiden Seiten (c) liegt, kann
gemäß SsW das Dreieck eindeutig konstruiert werden.
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4.a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] und zeichne den Kreis, der [AB]
als Durchmesser hat.
b) C ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der Strecke
[AB] liegt. Das Dreieck ABC ist dann gleichschenklig, weil C auf der Mittelsenkrechten
von [AB] liegt, und deshalb von A und B gleich weit entfernt ist. Begründe, dass das
Dreieck ABC auch rechtwinklig ist.
Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C, weil C auf dem Thaleskreis über [AB] liegt.
c) Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte
der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke. Kreuze an, welche der
folgenden Argumentationen richtig sind. Die zwei Teildreiecke sind kongruent, ...
o ...weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks ist.
o ...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen
und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.
o ...weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und
Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer kongruent sind.
o ...weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich groß sind und
Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer kongruent sind.
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