ALGEBRAISCHE RELATIONEN BEI REIHEN ¨UBER REZIPROKE

ALGEBRAISCHE RELATIONEN BEI REIHEN ÜBER REZIPROKE
POTENZEN VON FIBONACCI- UND LUCASZAHLEN
CARSTEN ELSNER
(Auszug aus Gemeinschaftsarbeiten mit Shun Shimomura und Iekata Shiokawa)
Abstract. Es sei (Fn )n≥0 die Folge der Fibonaccizahlen, (Ln )n≥0 die Folge der Lucaszahlen.
In diesem Vortrag werden Reihen der Gestalt
∞
∞
∞
∞
n+1
n+1
X
X
X
X
(−1)
1
(−1)
1
,
,
,
(s = 1, 2, 3, . . . )
F 2s
Fn2s
L2s
L2s
n
n=1
n=1 n
n=1
n=1 n
(und verwandte Reihen, die mit ganzen Zahlen aus gewissen linearen Rekursionen erzeugt
werden) auf ihre algebraische Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit hin untersucht. Bestehende algebraische Abhängigkeiten werden explizit angegeben. Wesentliche Hilfsmittel zur
Erlangung solcher Resultate sind q - Reihen, elliptische Funktionen und Rekursionsformeln
für die Taylorkoeffizienten gewisser mit elliptischen Funktionen gebildeter Reihen. Weiterhin wird Nesterenkos Satz über die algebraische Unabhängigkeit der Ramanujanfunktionen
P (q), Q(q) und R(q) im Falle eines algebraischen q angewendet.
1. Resultate.
(i)
In diesem Vortrag untersuchen wir Reihen der Gestalt
∞
X
1
Xns
n=1
∞
X
(−1)n+1
und
n=1
Xns
,
wobei die positiv - ganzen Zahlen Xn Lösungen der linearen Rekursion
Xn+2 = aXn+1 + Xn
(n ≥ 0)
(1)
mit einer festen nichtnegativen ganzen Zahl a sind. Die allgemeine Lösung der Rekursion
(1) lautet bekanntlich
Xn = C1 αn + C2 β n
(n ≥ 0)
(2)
mit
√
√
a + 4 + a2
a − 4 + a2
α :=
und
β :=
.
(3)
2
2
Es ist dann |β| < 1 und αβ = −1. Die Koeffizienten C1 und C2 in (2) hängen von den beiden
Anfangswerten X0 und X1 der Folge (Xn )n≥0 ab. Speziell betrachten wir hier solche Folgen,
bei denen entweder C1 = C2 = 1 oder C1 = −C2 = 1/(α − β) ist. Damit schließen unsere
Ergebnisse einige bekannte Zahlenfolgen ein:
1.) Fibonacci - Zahlen: (Fn )n≥0 = 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
Hier ist
√
√
1− 5
1
1
1+ 5
X0 = 0 , X1 = 1 , a = 1 , α =
, β=
, C1 = −C2 =
=√ ,
2
2
α−β
5
1
2
CARSTEN ELSNER
Fn := Xn
2.) Lucas - Zahlen:
Hier ist
(n ≥ 0) ;
(4)
(Ln )n≥0 = 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . .
√
√
1+ 5
1− 5
X0 = 2 , X1 = 1 , a = 1 , α =
, β=
, C1 = C2 = 1 ,
2
2
(n ≥ 0) ;
Ln := Xn
3.) Pell - Zahlen:
Hier ist
(5)
(Pn )n≥0 = 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, . . .
X0 = 0 , X1 = 1 , a = 2 , α = 1 +
√
2, β = 1 −
Pn := Xn
√
2 , C1 = −C2 =
1
1
=√ ,
α−β
8
(n ≥ 0) .
(6)
Um diese beiden Typen von Folgen zu unterscheiden, schreiben wir im folgenden nicht mehr
nur Xn , sondern Un und Vn :
αn − β n
α−β
(n ≥ 0) ,
(7)
Vn := αn + β n
(n ≥ 0) .
(8)
Un :=
(ii)
1989 wurde durch R.André-Jeannin [1] die Irrationalität von
∞
X
1
F
n=1 n
P
3
gezeigt. Der arithmetische Charakter von ∞
n=1 1/Fn ist bis heute nicht bekannt. D.Duverney,
Ke.Nishioka, Ku.Nishioka und I.Shiokawa [2] bewiesen 1997 die Transzendenz der Reihen
∞
X
1
,
2s
F
n
n=1
∞
X
1
,
2s
L
n
n=1
∞
X
1
n=1
s
F2n−1
,
∞
X
1
Ls
n=1 2n
(s = 1, 2, 3, . . . )
unter Verwendung von Nesterenkos berühmtem Satz über die Ramanujan - Funktionen P (q),
Q(q) und R(q). Wir kommen auf diesen Satz unten noch zurück. In vier Arbeiten haben
nun Shun Shimomura, I.Shiokawa und C.Elsner die algebraischen Abhängigkeiten bzw. Unabhängigkeiten solcher Reihen sowie der zugehörigen alternierenden Reihen untersucht. In
diesem Vortrag werden die Hauptresultate dieser vier Arbeiten vorgestellt. Exemplarisch
wird für einen Satz der Beweis skizziert, um die verwendeten Hilfsmittel und Ideen darzulegen. Ich zitiere diese vier Arbeiten der Einfachheit halber mit Paper 1,2,3,4 ([3], [4], [5],
[6]).
(iii) Paper 1 . Setze
ζF (s) :=
ζL (s) :=
∞
X
1
,
s
F
n
n=1
ζF∗ (s) :=
∞
X
1
,
s
L
n
n=1
ζL∗ (s) :=
∞
X
(−1)n+1
n=1
Fns
∞
X
(−1)n+1
n=1
Lsn
(s = 1, 2, 3, . . . ) ,
(9)
(s = 1, 2, 3, . . . ) .
(10)
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
3
Läßt man in ζF (s) vorübergehend s als komplexe Zahl zu, so erweist sich diese als Fibonacci
Zetafunktion bezeichnete Abbildung
∞
X
1
ζF (s) :=
(<(s) > 0)
Fs
n=1 n
als eine in die ganze komplexe Ebene fortsetzbare meromorphe Funktion. Bei s = −2, −6,
−10, −14, . . . hat sie triviale Nullstellen, nimmt rationale Zahlwerte bei s = −1, −3, −5, . . .
an und hat (im Gegensatz zur Riemannschen Zetafunktion) auch einfache Pole bei s =
0, −4, −8, −12, . . ..
Zur Formulierung der Ergebnisse benötigen wir einige Bezeichnungen. s stehe fortan für eine
natürliche Zahl. Mit
σ0 (s) = 1 , σ1 (s) , σ2 (s) , . . . , σs−1 (s) = (−1)s−1 (s − 1)!2
notieren wir die elementarsymmetrischen Funktionen an den Stellen −12 , −22 , −32 , . . . ,
−(s − 1)2 . Formal ist also
X
σi (s) = (−1)i
r12 · · · ri2
(1 ≤ i ≤ s − 1) .
(11)
1≤r1 <···<ri ≤s−1
Weiterhin brauchen wir eine explizite Gestalt der Laurententwicklung des Quadrates vom
Cosecans um 0:
∞
X
1
2
aj x2j
(12)
cosec x = 2 +
x
j=0
mit
aj−1
j (−1)j X 2j
:=
(22i − 2)(22j−2i − 2)B2i B2j−2i
(2j)! i=0 2i
(j ≥ 1) .
Hierin stehen B0 , B1 , . . . für die Bernoullizahlen. Unser erstes Resultat bezieht sich auf
reziproke Summen mit Elementen der Folgen (Un )n≥0 aus (7). Damit ist der folgende Satz
auf Fibonacci- und Pellzahlen anwendbar.
Satz 1. Die Folge (Un )n≥0 genüge den Bedingungen (1), (2) und (7). Setze
−2s
Φ2s := (α − β)
∞
X
1
.
U 2s
n=1 n
(13)
Dann sind die Zahlen Φ2 , Φ4 und Φ6 algebraisch unabhängig über Q, und für jede ganze Zahl
s ≥ 4 kann Φ2s durch
!
s−1
X
1
(−1)j (2j)!
σs−1 (s)µs −
σs−j−1 (s) ϕj − (−1)s ψj − aj
(14)
Φ2s =
2j+3
(2s − 1)!
2
j=1
ausgedrückt werden. Hierbei sind die aj in (12), die σs−j−1 (s) durch (11) definiert, während
die Größen µs , ϕj und ψj folgendermaßen rekursiv erklärt werden:

,
falls s ungerade

 Φ2
µs :=
(15)

 1 4Φ2 + 2Φ2 − 18Φ4 + ω − 5
,
falls s gerade
2
3
4
4
CARSTEN ELSNER
mit
ω
ϕ1
ϕ2
56Φ6 + 5/4
;
4Φ2 + 1
4
13
2
:=
32Φ2 − 5Φ2 − ω +
,
3
10
77
4
2
:= − (24Φ2 − 1) 112Φ2 − 21Φ2 − 5ω +
63
12
:=
(16)
(17)
j−2
ϕj
:=
ψ1
:=
ψ2
:=
ψj
:=
X
3
ϕi ϕj−i−1
(j ≥ 3) ,
(j − 2)(2j + 3) i=1
4
25
2
16Φ2 − 13Φ2 − 5ω +
,
3
4
4
25
2
(24Φ2 − 1) 16Φ2 − 13Φ2 − 5ω +
9
4
1
j(2j − 1)
2(24Φ2 − 1)ψj−1 − 3
j−2
X
(18)
(19)
(20)
!
ψi ψj−i−1
(j ≥ 3) ,
(21)
i=1
Weiterhin gilt
(1 + 4Φ2 )[s/2] · Φ2s − rs Φ4
∈ Q[Φ2 , Φ6 ]
(s ≥ 4) ,
(22)
wobei rs eine rationale Zahl ist, die im Falle eines ungeraden s verschwindet. Der Grad des
Polynoms links in (22) übersteigt nicht s + [s/2].
Beispiel:
Für die Zahl ζF (8) ergibt sich mit den Abkürzungen
u := ζF (2)
und
v := ζF (6)
folgende Darstellung:
ζF (8) −
15
ζF (4) =
14
256u6 − 3456u5 + 2880u4 + 1792u3 v − 11100u3 + 20160u2 v − 10125u2 + 7560uv + 3136v 2 − 1050v
.
378(4u + 5)2
Aus der expliziten Gestalt (14) ergibt sich mit der algebraischen Unabhängigkeit der Φ2 , Φ4 , Φ6
sofort
Korollar 1. Für jedes s ≥ 1 ist die Zahl Φ2s transzendent.
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
5
Ähnliche Resultate wie in Satz 1 für Φ2s gelten nun auch für die Größen
Φ∗2s
:=
−2s
(α − β)
∞
X
(−1)n+1
n=1
Ψ2s
∞
X
1
:=
,
V 2s
n=1 n
Ψ∗2s
:=
∞
X
(−1)n+1
n=1
Vn2s
Un2s
,
.
Wir fassen nur die wichtigsten qualitativen Resultate zusammen und verzichten hier auf die
quantitativen Aussagen 1.
Satz 2. Die Folge (Un )n≥0 genüge den Bedingungen (1), (2) und (7). Dann sind die Zahlen
Φ∗2 , Φ∗4 und Φ∗6 algebraisch unabhängig über Q, und für jede ganze Zahl s ≥ 4 kann Φ∗2s
explizit durch

falls s ungerade
 P2s (Φ∗2 , Φ∗4 , ξ) ∈ Q[Φ∗2 , Φ∗4 , ξ] ,
∗
Φ2s =

P2s (Φ∗4 , ξ)
∈ Q[Φ∗4 , ξ]
,
falls s gerade
ausgedrückt werden, wobei ξ eine effektiv bestimmbare Wurzel des Polynoms
177
3
2
∗
∗
∗
∗
8ξ + 5ξ + (1440Φ4 − 46)ξ − 252Φ2 + 1260Φ4 − 7560Φ6 −
= 0
16
ist.
Beispiel:
Für die Zahl ζF∗ (8) aus (9) ergibt sich folgende Darstellung:
ζF∗ (8)
=
625
(ζF∗ (4))2
+
1875
ξ2
11ξ
23
−
+
945 9450 10800
ζF∗ (4) +
ξ4
ξ3
23ξ 2
71ξ
143
−
−
+
−
6804 6804 18144 108864 1741824
mit der Wurzel ξ = −2, 66158 . . . des kubischen Polynoms
288ξF∗ (4)
252ξF∗ (2) 252ξF∗ (4) 1512ξF∗ (6) 177
3
2
8ξ + 5ξ +
− 46 ξ −
+
−
−
= 0.
5
5
5
25
16
Während die vorstehenden Ergebnisse insbesondere auch für Fibonacci- und Pellzahlen gültig
sind, können die beiden folgenden Sätze auf die Lucaszahlen angewendet werden.
1Der
Übersichtlichkeit halber steht im folgenden P für ein allgemeines Polynom, während Q eine allgemeine rationale Funktion bezeichnet.
6
CARSTEN ELSNER
Satz 3. Die Folge (Vn )n≥0 genüge den Bedingungen (1), (2) und (8). Dann sind die Zahlen
Ψ2 , Ψ4 und Ψ6 algebraisch unabhängig über Q, und für jede ganze Zahl s ≥ 4 kann Ψ2s
explizit durch

∈ Q[Ψ2 , η]
,
falls s ungerade
 P2s (Ψ2 , η)
Ψ2s =
 P (Ψ , Ψ , η) ∈ Q[Φ∗ , Φ∗ , η] ,
falls s gerade
2s
2
4
2
4
ausgedrückt werden, wobei η eine effektiv bestimmbare Wurzel des Polynoms
(η + 5)2 + 192Ψ22 + 48Ψ2 − 6 −
3840Ψ6 + 30
= 0
8Ψ2 + 1
ist.
Satz 4. Die Folge (Vn )n≥0 genüge den Bedingungen (1), (2) und (8). Dann sind die Zahlen
Ψ∗2 , Ψ∗4 und Ψ∗6 algebraisch unabhängig über Q, und für jede ganze Zahl s ≥ 4 kann Ψ∗2s
explizit durch

falls s ungerade
 Q2s (Ψ∗2 , Ψ∗4 , θ) ∈ Q(Ψ∗2 , Ψ∗4 , θ) ,
∗
Ψ2s =

Q2s (Ψ∗4 , θ)
∈ Q(Ψ∗4 , θ)
,
falls s gerade
ausgedrückt werden, wobei θ eine effektiv bestimmbare Wurzel des Polynoms
θ2 − (192Ψ∗4 − 6)θ + 1920Ψ∗6 − 64Ψ∗2 − 7 = 0
ist.
(iv) Paper 2,3 . Hier werden Reihen untersucht, bei denen der Index der erzeugenden
Folgen nur durch die ungeraden bzw. geraden natürlichen Zahlen läuft; dafür unterliegen
die ganzzahligen Exponenten keinen Einschränkungen. Beispielsweise werden Aussagen über
die Reihen
∞
X
1
−p
(23)
fp := (α − β)
p
U
n=1 2n−1
getroffen.
Satz 5. Die Folge (Un )n≥0 genüge den Bedingungen (1), (2) und (7). Dann sind die Zahlen
f1 , f2 und f3 algebraisch unabhängig über Q, und für jede ganze Zahl s ≥ 2 können f2s und
f2s+1 explizit durch
f2s = Q2s (f1 , f2 , f3 ) ∈ Q(f1 , f2 , f3 )
bzw.
Q2s+1 (f1 , f3 ) ∈ Q(f1 , f3 )
ausgedrückt werden.
Beispiele:
f4
1
4
1
= − f12 + f1 f3 + f2 ,
6
3
6
f5
=
1
6f1
− f14 + 8f13 f3 + f1 f3 + f32
.
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
Ähnliche Resultate werden auch für Reihen der Gestalt
∞
∞
X
X
1
(−1)n+1
(s
≥
1)
und
2s+1
V 2s
V2n−1
n=1 2n−1
n=1
sowie etwa für die Reihen
∞
X
1
(α − β)−2s
U 2s
n=1 2n
(s ≥ 1)
und
∞
X
1
Vp
n=1 2n
(s ≥ 0)
(p ≥ 1)
7
(Paper 2)
(Paper 3)
erzielt.
(v) Paper 4 . Jetzt werden algebraische Abhängigkeiten und Unabhängigkeiten zwischen
den 12 Zahlen der Menge
( ∞
)
∞
∞
∞
X 1
X
(−1)n+1 X 1 X (−1)n+1
Γ :=
,
,
,
(s = 1, 2, 3)
2s
2s
2s
2s
F
F
L
L
n
n
n
n
n=1
n=1
n=1
n=1
untersucht. Drückt man jede der Zahlen in Γ durch vollständige elliptische Integrale erster
und zweiter Art sowie durch ihren jeweiligen Modul aus, erweisen sich sofort je vier Zahlen
aus Γ als algebraisch abhängig über Q. Nun gibt es
12
= 220
3
dreielementige Teilmengen von Γ. Aus Spezialfällen der Sätze 1, 2, 3 und 4 wissen wir schon,
daß vier dieser 220 Teilmengen über Q algebraisch unabhängig sind, nämlich
( ∞
) ( ∞
) ( ∞
)
X 1
X (−1)n+1
X 1
(s = 1, 2, 3) ,
(s = 1, 2, 3) ,
(s = 1, 2, 3) ,
2s
2s
2s
F
F
L
n
n
n
n=1
n=1
n=1
( ∞
)
X (−1)n+1
(s = 1, 2, 3) .
2s
L
n
n=1
Man kann nun zeigen, daß genau 22 dreielementige Teilmengen von Γ algebraisch abhängig
sind, und die zugehörigen Polynome sind explizit berechenbar. Unsere Resultate sind etwas
allgemeiner: wir beweisen entsprechende Aussagen nämlich für die Menge
Ω := { Φ2 , Φ4 , Φ6 , Φ∗2 , Φ∗4 , Φ∗6 , Ψ2 , Ψ4 , Ψ6 , Ψ∗2 , Ψ∗4 , Ψ∗6 } ,
wobei diese Größen oben bereits mit Hilfe der Folgen (Un )n≥0 und (Vn )n≥0 definiert worden
sind.
Satz 6. Die 12 Zahlen in Ω sind paarweise verschieden, und je zwei sind algebraisch unabhängig über Q.
Satz 7. Mit Ausnahme der Mengen { Φ2 , Φ∗2 , Ψ∗2 }, { Ψ2 , Ψ4 , Ψ∗2 } und aller dreielementigen
Teilmengen von { Φ2 , Φ6 , Φ∗4 Ψ2 , Ψ6 , Ψ∗4 } sind je drei Zahlen aus Ω algebraisch unabhängig
über Q. Die jeweiligen Polynome für die
6
2+
= 22
3
Ausnahmemengen sind explizit berechenbar.
8
CARSTEN ELSNER
Beispiele (für algebraische Relationen von Ausnahmemengen in Satz 7):
Wir notieren zwei Beispiele speziell für Reihen mit Fibonacci- und Lucaszahlen:
∞
X
1
F2
n=1 n
!
·
∞
∞
∞
X
X
X
1
(−1)n+1
(−1)n+1
2
−
−5
F 2 n=1 Fn2
L2n
n=1 n
n=1
!
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
(−1)n+1
8
+1 −5
− 20
L2
L2
L4n
n=1 n
n=1 n
n=1
=
0,
=
0.
Andere Relationen sind weitaus komplizierter. So besteht die irreduzible Form des Polynoms
für die Relation zwischen Φ6 , Φ∗4 und Ψ6 aus 84 Monomen, und der Totalgrad dieses Polynoms
ist 9.
2. Bereitstellung der Hilfsmittel zum Beweis von Satz 1
(i)
Die Ideen zum Beweis von Satz 1 lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
Die reziproke Reihe in (13) wird zunächst mit Reihen hyperbolischer Funktionen ausgedrückt. Letztere wiederum können nach [10] als sogenannte qReihen mit q = e−πc geschrieben werden und dann in geschlossener Form
durch vollständige elliptische Integrale erster und zweiter Art K und E sowie
dem zugehörigen Modul k 6= 0, ±1 dargestellt werden.
Für eine komplexe Zahl k mit k 2 ∈ C \ {0} ∪ {z ∈ IR | z ≥ 1} heißen
Z 1
dt
p
K = K(k) =
,
(24)
(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
0
Z 1r
1 − k 2 t2
dt
(25)
E = E(k) =
1 − t2
0
vollständige elliptische Integrale erster bzw. zweiter Art. k wird in diesem Zusammenhang
auch als Modul bezeichnet. Weiterhin definieren wir einen Komplementärmodul k 0 durch
2
k 2 + (k 0 ) = 1
(26)
und legen hierzu die drei Größen
K0
,
q := e−πc
(27)
K
fest. Hinsichtlich der Vorzeichenwahl bei den Wurzeln der Integranden von (24) und (25)
entscheidet man sich jeweils für denjenigen Zweig, bei dem der Integrand mit t → 0 gegen 1
strebt.
Zu jedem c > 0 existieren Moduln k und k 0 , so daß c durch c = K 0 /K dargestellt wird. Hier
wird nun ein solches c durch die Gleichung
K 0 := K(k 0 ) ,
c :=
q = e−πc = β 2 (< 1)
(28)
mit dem β aus (3) für die Folge (Un )n≥0 aus (7) eindeutig festgelegt; wegen −1 < β < 0
nach (3) ist genauer β = −e−πc/2 . Man beachte, daß also c und q von β (und damit von der
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
Folge (Un )n≥0 ) abhängen.
Wir benötigen nun die beiden folgenden hyperbolischen Reihen:
∞
X
−2s
cosech2s (νπc) ,
Σ1 := 2
9
(29)
ν=1
Σ3
:=
−2s
2
∞
X
sech
2s
ν=1
(2ν − 1)πc
2
,
(30)
sowie zwei q - Reihen:
A2j+1 (q)
:=
∞
X
n2j+1 q 2n
n=1
D2j+1 (q)
:=
1 − q 2n
,
∞
X
(−1)n+1 n2j+1 q n
n=1
1 − q 2n
(31)
.
(32)
Wegen (28) können die hyperbolischen Reihen in (29) und (30) nach [10] folgendermaßen
durch die q - Reihen aus (31) und (32) ausgedrückt werden:
s−1
Σ1
=
X
1
σs−j−1 (s)A2j+1 (β 2 ) ,
(2s − 1)! j=0
Σ3
=
(−1)s−1 X
σs−j−1 (s)D2j+1 (β 2 ) .
(2s − 1)! j=0
(33)
s−1
Der Zusammenhang zu unserer Funktion Φ2s aus Satz 1 ist nun durch
!
∞
∞
X
X
1
1
−2s
+
= Σ 3 + Σ1
Φ2s = (α − β)
2s
2s
U2ν−1
U2ν
ν=1
ν=1
(34)
(35)
gegeben.
(ii) Bekanntlich ist der elliptische Sinus w := sn z als Umkehrfunktion des elliptischen
Integrals
Z w
dw
p
z =
2
(1 − w )(1 − k 2 w2 )
0
erklärt; und weitere elliptische Funktionen sind dann
1
,
(36)
ns z =
sn z
nc z
=
dn z
=
nd z
=
1
,
1 − sn2 z
(37)
1 − k 2 sn2 z ,
(38)
√
√
1
.
dn z
(39)
10
CARSTEN ELSNER
Die q - Reihen A2j+1 und D2j+1 in (31) und (32) ergeben sich bei der Fourierentwicklung der
Funktionen ns2 z bzw. nd2 z. Die Zusammenhänge zwischen den q - Reihen A1 (q), A3 (q),
A5 (q) und den vollständigen elliptischen Integralen K und E (sowie dem Modul k) ergeben
sich wiederum aus den Potenzreihenentwicklungen der elliptischen Funktionen (36) - (39),
siehe hierzu [7]. Aus [10] entnimmt man so die folgenden expliziten Formeln:
2 2K
3E
2
2
P (q ) := 1 − 24A1 (q) =
,
(40)
−2+k
π
K
4
2K
2
Q(q ) := 1 + 240A3 (q) =
(1 − k 2 + k 4 ) ,
(41)
π
6
(1 + k 2 )(1 − 2k 2 )(2 − k 2 )
2K
2
.
(42)
R(q ) := 1 − 504A5 (q) =
π
2
Hierbei wird (27) vorausgesetzt, also q = e−πc und c = K 0 /K. Die Funktionen P , Q und R
heißen auch Ramanujanfunktionen.
Die in unserem Satz ausgedrückte algebraische Unabhängigkeit von Φ2 , Φ4 und Φ6 werden
wir unten auf den folgenden Satz zurückführen:
Satz 8. (Folgerung aus Nesterenkos Theorem, [9])
Ist q mit 0 < |q| < 1 eine über Q algebraische Zahl, so sind P (q), Q(q) und R(q) über Q
algebraisch unabhängig.
Aus diesem Satz sowie den Gleichungen (40) - (42) ergibt sich die folgende Aussage:
Lemma 1. Ist q = e−πc mit 0 < |q| < 1 eine über Q algebraische Zahl, so sind K/π, E/π
und k (mit c = K 0 /K) über Q algebraisch unabhängig.
Dieses Lemma kann mit einem elementaren Satz aus der Algebra über endliche Transzendenzbasen aus Satz 8 abgeleitet werden; wir benötigen dieses Hilfsmittel später erneut:
Lemma 2. Für jeden Körperturm K ⊆ M ⊆ L gilt
trans deg (L : K) = trans deg (L : M ) + trans deg (M : K) .
(siehe: [8], Satz 6.10.11). Hier ist wegen (40) - (42)
E K
2
2
2
Q ⊆ Q P (q ), Q(q ), R(q ) ⊆ Q
, ,k ,
π π
und daher folgt mit Lemma 2:
E K
trans deg Q
, ,k : Q
π π
E K
= trans deg Q
, , k : Q P (q 2 ), Q(q 2 ), R(q 2 ) + trans deg Q P (q 2 ), Q(q 2 ), R(q 2 ) : Q
π π
=
0+3 = 3 ,
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
11
2
2
2
denn weil E/π, K/π und
k
nach
(40)
(42)
über
Q
P
(q
),
Q(q
),
R(q
)
algebraisch sind,
E K
2
2
2
ist trans deg Q π , π , k : Q P (q ), Q(q ), R(q ) = 0. Hierbei ist in (40) der Bruch 3E/K
2
als 3(E/π) · 1/(K/π) zu schreiben. Da hier
nun q = β algebraisch ist, ergibt sich aus Satz
2
2
2
8 sofort trans deg Q P (q ), Q(q ), R(q ) : Q = 3, was Lemma 1 beweist.
(iii) Die in Satz 1 angegebenen expliziten Abhängigkeiten der Zahlen Φ8 , Φ10 , . . . von Φ2 ,
Φ4 und Φ6 werden aus Rekursionsformeln abgeleitet, denen die Koeffizienten der Laurentbzw. Potenzreihenentwicklungen gewisser elliptischer Funktionen genügen. Hierfür benötigen
wir die beiden folgenden Lemmata.
Lemma 3. Die Koeffizienten cj der Entwicklung
∞
ns2 z =
X
1
+
cj z 2j
z 2 j=0
ergeben sich rekursiv aus
1 − k2 + k4
c1 =
,
15
1 + k2
,
c0 =
3
(j − 2)(2j + 3)cj = 3
j−2
X
(1 + k 2 )(1 − 2k 2 )(2 − k 2 )
c2 =
;
189
(43)
(j ≥ 3) .
(44)
ci cj−i−1
i=1
Beweisidee:
Die Funktion u = ns2 z ist eine Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung
u00 = 6u2 − 4(1 + k 2 )u + 2k 2 .
Lemma 4. Die Koeffizienten c0j der Entwicklung
2
2
2
(1 − k )nd z = 1 − k +
∞
X
c0j z 2j
j=1
ergeben sich rekursiv aus
c01 = k 2 (1 − k 2 ) ,
c02 = −
1)c01 c0j
3c01
j(2j −
=
6c02 c0j−1
−
k 2 (1 − k 2 )(1 − 2k 2 )
;
3
j−2
X
c0i c0j−i−1
(j ≥ 3) .
(45)
(46)
i=1
Beweisidee:
Die Funktion u = (1−k 2 )nd2 z ist eine Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung
u00 = −6u2 + 4(2 − k 2 )u − 2(1 − k 2 )
mit den Anfangsbedingungen u(0) = 1 − k 2 und u0 (0) = 0.
12
CARSTEN ELSNER
3. Beweis von Satz 1
Wir fügen zuerst (33) und (34) in (35) ein; dabei setzen wir q = β 2 wie in Abschnitt 2
und schreiben im folgenden der Kürze halber A2j+1 und D2j+1 anstelle von A2j+1 (β 2 ) und
D2j+1 (β 2 ):
Φ2s
=
s−1
X
1
σs−j−1 (s) A2j+1 + (−1)s−1 D2j+1
(2s − 1)! j=0
=
1
(2s − 1)!
σs−1 (s)µs +
s−1
X
s
σs−j−1 (s) A2j+1 − (−1) D2j+1
!
;
(47)
j=0
hierbei ist µs := A1 − (−1)s D1 . Für s = 1, 2, 3 erhalten wir aus (47) insbesondere:
Φ2
= A1 + D 1
(48)
6Φ4
=
(A3 − D3 ) − (A1 − D1 )
(49)
120Φ6
=
(A5 + D5 ) − 5(A3 + D3 ) + 4(A1 + D1 )
(50)
Aus [10] entnimmt man nun für die Folgen (A2j+1 )j≥0 und (D2j+1 )j≥0 (exponentielle) erzeugende Funktionen, nämlich (unter Verwendung der in (24), (25), (36) und (39) eingeführten
Größen):
2
∞
X
2Kx
2K
4K(K − E)
(2x)2j
j
2
2
ns
=
+ cosec x − 8
(−1) A2j+1
(51)
π
π
π2
(2j)!
j=0
und
2K
π
2
2
(1 − k ) nd
2
2Kx
π
=
∞
X
(2x)2j
4KE
j
−
8
(−1)
D
2j+1
π2
(2j)!
j=0
(52)
In (51) und (52) führen wir nun je einen Koeffizientenvergleich durch, um A2j+1 und D2j+1
jeweils durch die Koeffizienten aj aus (12) sowie cj bzw. c0j aus Lemma 3 bzw. Lemma 4
auszudrücken.
In (51) verwenden wir (12) und Lemma 3:
!
2 2j
∞
X
π 2 1
2K
2K
+
cj
x2j
π
2K
x2 j=0
π
=
∞
∞
X
X
4K(K − E)
1
22j 2j
j
2j
+
+
a
x
−
8
(−1)
A
x ,
j
2j+1
π2
x2 j=0
(2j)!
j=0
also:
ϕj := cj ·
2K
π
2j+2
= aj − (−1)j
22j+3
A2j+1
(2j)!
(j ≥ 1) .
(53)
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
In (52) verwenden wir Lemma 4:
2
2K
π
=
13
!
2j
∞
X
2K
1 − k2 +
c0j
x2j
π
j=0
∞
X
4KE
22j 2j
j
x ,
−8
(−1) D2j+1
π2
(2j)!
j=0
(54)
also:
2j+2
2K
22j+3
ψj := ·
= (−1)j+1
D2j+1
(j ≥ 1) .
(55)
π
(2j)!
Es werden nun speziell D1 , D3 und D5 durch E, K und k ausgedrückt. Zuerst ergibt der
Koeffizientenvergleich für j = 0 in (54):
2
2K
4KE
(1 − k 2 ) =
− 8D1 ,
π
π2
c0j
bzw.
2 2K
E
2
8D1 =
+k −1 .
π
K
Für j = 1, 2 findet man aus (55) und (45):
4
32
2K
k 2 (1 − k 2 ) =
D3 ,
π
2
(56)
bzw.
16D3 =
2K
π
4
k 2 (1 − k 2 ) ;
(57)
und
6 2
2K
k (1 − k 2 )(1 − 2k 2 )
128
−
= −
D5 ,
·
π
3
24
bzw.
16D5 =
2K
π
6
k 2 (1 − k 2 )(1 − 2k 2 ) .
(58)
Für q = β 2 liegen mit (40), (41) und (42) Darstellungen von A1 , A3 und A5 durch E, K und
k vor. Diese werden jetzt mit den entsprechenden Darstellungen von D1 , D3 und D5 aus
(56) - (58) so kombiniert, daß alle fünf Summen und Differenzen in (48) - (50) (und damit
auch Φ2 , Φ4 und Φ6 ) allein durch E, K und k ausgedrückt werden können. So erhält man
beispielsweise
2 2 1
2K
3E
1 2K
E
1
2
2
A1 + D 1 =
−
−2+k
+
+k −1
24 24
π
K
8
π
K
!
2
1
2K
=
1−
(1 − 2k 2 ) ,
(59)
24
π
14
CARSTEN ELSNER
und auf ähnliche Weise:
1
24
A1 − D 1
=
A3 + D 3
1
= −
240
A3 − D 3
1
= −
240
A5 + D 5
1
504
=
1−
2K
π
1−
1−
1−
2 2K
π
4
2K
π
4
2K
π
6
6E
− 5 + 4k 2
K
!
,
(60)
!
1 + 14k 2 − 14k
4
1 − 16k 2 + 16k
4
,
(61)
,
(62)
!
!
(1 − 2k 2 ) 1 − 31k 2 + 31k
4
.
(63)
Es soll nun mit Hilfe von Lemma 1 und Lemma 2 die algebraische Unabhängigkeit von
Φ2 , Φ4 , Φ6 bewiesen werden; die oben gezeigte algebraische Abhängigkeit dieser Größen allein
von K/π, E/π und k reicht hierfür im allgemeinen noch nicht aus 2. Wir führen die Zahlen
2
2
2
2K
2K
E
2K
x :=
,
y :=
(1 − 2k 2 )
(64)
,
z :=
π
π
K
π
sowie
X := 24Φ2 − 1 ,
Y := 1440Φ4 + 11 ,
Z := −120960Φ6 + 4032Φ2 + 23
(65)
ein und werden nun zeigen; daß x, y, z über Q(X, Y, Z) algebraisch sind. Alle drei linearen
Gleichungen in (65) lassen sich eindeutig nach Φ2 , Φ4 und Φ6 auflösen; das zeigt zunächst:
Q(X, Y, Z) = Q(Φ2 , Φ4 , Φ6 ) .
(66)
Im nächsten Schritt drücken wir X, Y, Z jeweils durch x, y, z aus.
(65)
(48)
X = 24Φ2 − 1 = 24(A1 + D1 ) − 1
Y
(65)
=
(60),(62)
=
=
=
(64)
=
2Ein
(59),(64)
= −z ;
(49)
1440Φ4 + 11 = 240 (A3 − D3 ) − (A1 − D1 ) + 11
(67)
4
2 2K
2K
6E
2
4
2
−1 +
(1 − 16k + 16k ) − 10 + 10
− 5 + 4k
+ 11
π
π
K
2 4
6E
2K
2K
2
− 5 + 4k
+
(1 − 16k 2 + 16k 4 )
10
π
K
π
2 4
2K
6E
2K
2
2
10
− 3 − 2(1 − 2k ) +
4(1 − 2k 2 ) − 3
π
K
π
10(6y − 3x − 2z) + 4z 2 − 3x2 .
(68)
Minimalbeispiel für die Notwendigkeit der hier angeführten Argumente ist durch folgende Situation
gegeben: Sind α und β zwei über Q algebraisch unabhängige Zahlen, so sind die hiermit gebildeten Größen
A := αβ und B := α2 β 2 wegen B − A2 = 0 noch lange nicht über Q algebraisch unabhängig.
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
15
Mit ähnlichen Rechnungen erhält man
Z =
z
21
(31z 2 − 27x2 ) + (9x2 − 7z 2 ) .
2
2
Unter Verwendung von (64) und (66) - (69) ergibt sich folgender Körperturm:
E K
, ,k .
Q ⊆ Q(Φ2 , Φ4 , Φ6 ) = Q(X, Y, Z) ⊆ Q(x, y, z) ⊆ Q
π π
(69)
(70)
Auf diesen Turm wird unten Lemma 2 angewendet; dabei wollen wir ausnutzen, daß x, y, z
über Q(X, Y ; Z) algebraisch sind. Um dies einzusehen, stellen wir die Gleichungen (67) (69) folgendermaßen um: (67) ist gleichwertig mit
z = −X .
(71)
(69) hingegen ergibt:
Z = −
X
21
(31X 2 − 27x2 ) + (9x2 − 7X 2 ) ,
2
2
also
2Z = −31X 3 + (27X + 189)x2 − 147X 2
bzw.
x2 =
31X 3 + 147X 2 + 2Z
=: Ω .
27(X + 7)
(72)
Schließlich findet man noch:
Y − 4X 2 − 20X + 3Ω
(68),(71),(72)
=
10(6y − 3x − 2z) + 4z 2 − 3x2 − 4z 2 + 20z + 3x2
=
30(2y − x) .
(73)
Somit ist gezeigt: z ist algebraisch über Q(X) (nach (71)), und x ist algebraisch über Q(X, Z)
(nach (72)). Stellt man (73) nach 30x um und quadriert, so erhält man mit x2 = Ω:
2
900Ω = (60y − Y + 4X 2 + 20X − 3Ω) ,
d.h. (nach Definition von Ω als rationale Funktion in X und Z): y ist algebraisch über
Q(X, Y, Z). Insgesamt ist so gezeigt:
trans deg Q(x, y, z) : Q(X, Y ; Z) = 0 .
(74)
16
CARSTEN ELSNER
Nun wenden wir Lemma 2 auf den Körperturm aus (70) an:
3
=
trans deg Q
trans deg Q
=
E K
, ,k
π π
E K
, ,k
π π
:Q
: Q(x, y, z) + trans deg Q(x, y, z) : Q(X, Y, Z)
+ trans deg Q(X, Y, Z) : Q(Φ2 , Φ4 , Φ6 ) + trans deg Q(Φ2 , Φ4 , Φ6 ) : Q
(64),(74),(66)
=
0 + 0 + 0 + trans deg Q(Φ2 , Φ4 , Φ6 ) : Q .
Damit ist die algebraische Unabhängigkeit von Φ2 , Φ4 und Φ6 über Q bewiesen.
Beweis der Rekursionsformeln:
Löst man (53) nach A2j+1 und (55) nach D2j+1 auf und
trägt die Resultate rechts in (47) ein, erhält man die Rekursionsformel (14) aus Satz 1. Es
bleiben die Formeln (15) - (21) zu zeigen. In (47) ist
s
µs = A1 − (−1) D1 =


A1 + D 1
,
falls s ungerade

A1 − D1
,
falls s gerade
.
Hierbei ist A1 + D1 = Φ2 nach (48); und
A1 − D1
2K
π
2 6E
− 5 + 4k 2
K
!
=
1
24
1−
=
1
24
2
2
2 !
2K
2K
E
2K
1−6
+
(2 − 4k 2 ) + 3
π
K
π
π
(26)
(64)
=
(71),(73)
=
=
1
1
(1 − 6y + 2z + 3x) =
1 − 3(2y − x) + 2z
24
24
Y − 4X 2 − 20X + 3Ω
1
1−
− 2X
24
10
1
(10 − Y + 4X 2 − 3Ω)
240
=
1
10 − 1440Φ4 − 11 + 4(24Φ2 − 1)2 − 3Ω
240
=
1
(3 + 2304Φ22 − 192Φ2 − 1440Φ4 − 3Ω) .
240
(65)
(75)
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
17
Mittels Polynomdivision ergibt sich leicht:
Ω
=
31 2 70
490 2Z − 3430
X − X+
+
27
27
27
27(X + 7)
=
70
490 2(120960Φ6 − 4032Φ2 − 23) + 3430
31
(24Φ2 − 1)2 − (24Φ2 − 1) +
−
27
27
27
27(24Φ2 + 6)
=
1984 2 352
197 120960Φ6 − 1008(4Φ2 + 1) + 2700
Φ2 −
Φ2 +
−
3
3
9
81(4Φ2 + 1)
=
103 120960Φ6 + 2700
1984 2 352
Φ2 −
Φ2 +
−
3
3
3
81(4Φ2 + 1)
=
1984 2 352
103 80
Φ2 −
Φ2 +
− ω,
3
3
3
3
(65)
(76)
wobei
56Φ6 + 5/4
4Φ2 + 1
bereits in Satz 1 definiert wurde. Setzt man nun diese Darstellung für Ω in (75) ein, so ergibt
sich
1
A1 − D1 =
(3 + 2304Φ22 − 192Φ2 − 1440Φ4 − 1984Φ22 + 352Φ2 − 103 + 80ω
240
1
5
2
=
4Φ2 + 2Φ2 − 18Φ4 + ω −
,
3
4
ω =
womit (15) endgültig bewiesen ist.
Der Anfangswert ϕ1 in (16) ergibt sich folgendermaßen:3 Der zweite Entwicklungskoeffizient
a1 in (12) ist 1/15; folglich finden wir mit (53):
!
4
16
2K
(41) 1
+
(1 − k 2 + k 4 ) − 1
ϕ1
=
a1 + 16A3 =
15 240
π
=
(64)
=
(76),(65)
=
=
3Für
1
15
2K
π
3x2 + z 2
60
4
2
3 + (1 − 2k 2 )
4
(71),(72)
=
3Ω + X 2
60
1
104 + 2560Φ22 − 400Φ2 − 80ω
60
4
13
2
32Φ2 − 5Φ2 − ω +
.
3
10
ϕ2 , ψ1 und ψ2 in (17), (19) bzw. (20) wird ähnlich argumentiert; wir verzichten daher hier auf die
Wiederholung der Rechnungen.
18
CARSTEN ELSNER
Das ist (16). Die Rekursionsformel (18) für ϕj kann aus (44) in Lemma 3 hergeleitet werden.
(44) ist äquivalent mit
2j+2
2i+2 2(j−i−1)+2
j−2 X
2K
3
2K
2K
cj
=
ci ·
cj−i−1
(j ≥ 3) ,
π
(j − 2)(2j + 3) i=1
π
π
bzw. nach (53):
j−2
X
3
ϕj =
ϕi ϕj−i−1
(j − 2)(2j + 3) i=1
(j ≥ 3) .
Das ist (18). Für die Rekursionsformel (21) der ψj verwenden wir (46) in Lemma 4:
2j+2
2K
0
cj
π
2 0 2j
2i+2 2(j−i−1)+2
j−2 X
6
2K
c2 2K
3
2K
2K
0
0
=
·
cj−1 −
ci ·
c0j−i−1 ,
j(2j − 1)
π
c01
π
j(2j − 1) i=1
π
π
bzw. nach (55):
1
ψj =
j(2j − 1)
!
2 0
j−2
X
2K
c2
6
ψj−1 − 3
ψi ψj−i−1
π
c01
i=1
(21) ergibt sich hieraus mit
2 0
2K
c2
6
π
c01
(45)
=
=
(64)
=
(j ≥ 3) .
2
2K
1 − 2k 2
−6
π
3
2
2K
(1 − 2k 2 )
−2
π
(71)
(65)
−2z = 2X = 2(24Φ2 − 1) .
Die mit (22) verbundenen Aussagen leitet man unter Zuhilfenahme aller bisher bewiesenen
Formeln in Satz 1 her; dabei beachte man, daß Φ4 ausschließlich in µs im Falle eines geraden
s vorkommt. Ferner hat die auf der rechten Seite in (14) gebildete rationale Funktion in Φ2 ,
Φ4 und Φ6 als Nenner eine Potenz von 4Φ2 + 1, weil nur durch ω dieser Nenner ins Spiel
gebracht wird.
References
[1] R.André-Jeannin: Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes, C.R.Acad.Sci.
Paris Sér I Math. 308 (1989), 539–541.
[2] D.Duverney, Ke.Nishioka, Ku.Nishioka, I.Shiokawa: Transcendence of Rogers-Ramanujan continued
fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc.Japan Acad.Ser.A Math.Sci. 73 (1997), 140–
142.
[3] C.Elsner, Shun Shimomura, I.Shiokawa: Algebraic relations for reciprocal sums of Fibonacci numbers,
eingereichte Arbeit.
[4] C.Elsner, Shun Shimomura, I.Shiokawa: Algebraic relations for reciprocal sums of odd terms in Fibonacci
numbers, eingereichte Arbeit.
Algebraische Relationen bei Reihen über Fibonacci- und Lucaszahlen
19
[5] C.Elsner, Shun Shimomura, I.Shiokawa: Algebraic relations for reciprocal sums of even terms in Fibonacci numbers, eingereichte Arbeit.
[6] C.Elsner, Shun Shimomura, I.Shiokawa: Exceptional algebraic relations for reciprocal sums of Fibonacci
and Lucas numbers, eingereichte Arbeit.
[7] H.Hancock: Theory of Elliptic Functions, Dover, New York, 1958.
[8] K.Meyberg, Algebra, II, Carl-Hanser-Verlag, 1976.
[9] Yu.V.Nesterenko: Modular functions and transcendence questions, Mat.Sb. 187 (1996), 65–96; English
transl. Sb.Math. 187 (1996), 1319–1348.
[10] I.J.Zucker: The summation of series of hyperbolic functions SIAM J.Math.Anal. 10 (1979), 192–206.
FHDW Hannover, University of Applied Sciences, Freundallee 15, 30173 Hannover
Department of Mathematics, Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kohoku-ku, Yokohama, 2238522 Japan
E-mail address: [email protected]
E-mail address: [email protected]
E-mail address: [email protected]