Vorlesung: Funktionentheorie und Vektoranalysis

Vorlesung:
Funktionentheorie und Vektoranalysis
Annette A’Campo–Neuen
Universität Basel, Herbstsemester 2017
Inhaltsverzeichnis zur Vorlesung Funktionentheorie und
Vektoranalysis
1 Differentialrechnung im Komplexen
4
1.1 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Umkehrfunktionen und biholomorphe Abbildungen . . . . . . . . . . 15
2 Wegintegrale im Komplexen
21
2.1 Komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Cauchyscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Cauchyformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Holomorphe Funktionen
3.1 Exkurs: Konvergenz von Reihen . . . . . . . .
3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung
3.3 Nullstellen holomorpher Funktionen . . . . . .
3.4 Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . .
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50
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4 Residuen
4.1 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Umlaufzahlversion des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Fouriertheorie
74
5.1 Fourierreihen und Laurententwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Fouriertransformation und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Diracsche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Vektoranalysis
6.1 Glatte Kurven und Flächen in R3 . . . . .
6.2 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung
6.3 Integration auf Flächen . . . . . . . . . . .
6.4 Integralsatz für die Ebene: Satz von Green
6.5 Satz von Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Rotation und der Satz von Stokes . . . . .
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Inhaltsverzeichnis zur Vorlesung Funktionentheorie und Vektoranalysis
3
Die Vorlesung, die an den zweisemestrigen Zyklus Mathematische Methoden I
und II anschliesst, besteht im wesentlichen aus zwei Themenblöcken, nämlich Funktionentheorie einerseits und Vektoranalysis andererseits. Beide Themen spielen in
der Physik eine zentrale Rolle, die Funktionentheorie u.a. in der Strömungslehre
und die Vektoranalysis zum Beispiel in der Elektrodynamik.
Mit dem Begriff Funktionentheorie wird im deutschen Sprachraum traditionellerweise die Analysis der Funktionen in einer komplexen Variablen bezeichnet. Die
Grundlagen einer Theorie komplex-differenzierbarer, sogenannter holomorpher Funktionen wurden im 19. Jahrhundert vor allem von Cauchy, Riemann und Weierstrass
entwickelt. Cauchy untersuchte Integraldarstellungen einer holomorphen Funktion,
Riemann betrachtete die geometrischen Eigenschaften der holomorphen Funktionen als Abbildungen zwischen Gebieten in der komplexen Ebene und Weiterstrass
schliesslich ging aus von Funktionen, die sich lokal in konvergente Potenzreihen entwickeln lassen. Ihre unterschiedlichen Standpunkte ergänzen sich, und wir werden
all diese Zugänge ausführlicher kennenlernen. Der Zielpunkt dieses Themenblocks
ist das Residuenkalkül, mit dem sich gewisse uneigentliche reelle Integrale auf dem
Umweg übers Komplexe einfach berechnen lassen.
Im Themenblock zur reellen Vektoranalysis werden reelle Vektorfelder und die
Integralsätze von Gauss und Stokes behandelt, die sowohl in der Elektrodynamik
als auch in der Differentialgeometrie grundlegend sind.
Kapitel 1
Differentialrechnung im Komplexen
1.1
Komplexe Funktionen
Erinnern wir zunächst an die Konstruktion der komplexen Zahlen. Die Menge C :=
{a + ib | a, b ∈ R} wird zu einem Körper, indem man Addition und Multiplikation
folgendermassen erklärt:
(a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d) und (a + ib)(c + id) := (ac − bd) + i(ad + bc) .
Diese Regeln ergeben sich zwangsläufig, wenn man verlangt, dass i2 = −1 sein
soll und ausserdem alle üblichen Körperrechenregeln gelten. Wir können die reellen
Zahlen als Teilmenge von C auffassen, indem wir a ∈ R als Zahl a + i · 0 auffassen.
Das Nullelement in C ist die Zahl 0 + i0, die wir mit 0 ∈ R identifizieren, und das
multiplikative Inverse einer Zahl z = a + ib 6= 0 lautet, wie man direkt nachrechnen
kann,
a
b
(a + ib)−1 = 2
−i 2
.
2
a +b
a + b2
Der Körper C hat einen wichtigen Automorphismus über R, nämlich die komplexe
Konjugation
z = a + ib 7→ z := a − ib .
Damit ist gemeint, dass diese Zuordnung mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Gleichzeitig ist dies (ausser der identischen Abbildung) der einzige
Körperautomorphismus von C, der alle reellen Zahlen festhält.
Wir können die komplexen Zahlen mit den Punkten einer Ebene identifizieren, indem wir Real- bzw. Imaginärteil als kartesische Koordinaten verwenden. Man spricht
deshalb auch von der komplexen Zahlenebene. Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten wird zur Festlegung eines Punktes z = x + iy 6= 0 in der Ebene R2 sein
Abstand r zum Nullpunkt und der Winkel ϕ, den der Ortsvektor mit der positiven
x-Achse einschliesst, verwendet. Es gelten die folgenden Beziehungen:
x = r cos ϕ und y = r sin ϕ .
Auf Euler geht die folgende Schreibweise zurück:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ .
Diese Schreibweise wird in Analogie zur reellen Exponentialfunktion verwendet, weil
auch hier wieder das charakteristische Gesetz der Exponentialfunktion gilt, nämlich:
ei(ϕ+ψ) = eiϕ · eiψ .
1.1. Komplexe Funktionen
5
Hinter dieser Kompaktschreibweise verbergen sich die Additionstheoreme von Sinus
und Cosinus.
Die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen lässt sich mithilfe der
Zahlenebene nun folgendermassen geometrisch deuten: die Addition entspricht der
Vektoraddition und man multipliziert zwei komplexe Zahlen, indem man die Längen
der entsprechenden Ortsvektoren multipliziert und die Winkel, die sie mit der positiven x-Achse einschliessen, addiert. Die komplexe Konjugation entspricht einer
Spiegelung an der reellen Achse.
Eine der wichtigsten Aussagen über komplexe Zahlen ist der Fundamentalsatz
der Algebra:
1.1.1 Satz Sei p(z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ein Polynom von Grad n ∈ N
mit Koeffizienten aj ∈ C. Dann gibt es eine komplexe Zahl z0 ∈ C mit p(z0 ) = 0.
Man sagt hierzu auch, der Körper C ist algebraisch abgeschlossen.
Durch vollständige Induktion kann man hieraus schliessen, dass p sogar (mit
Vielfachheit gezählt) genau n komplexe Nullstellen besitzt. Genauer gilt folgendes:
1.1.2 Satz Sei p(z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ein Polynom von Grad n ∈ N
mit Koeffizienten aj ∈ C. Dann gibt es komplexe Zahlen z1 , . . . , zn ∈ C mit
z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ) .
Die Liste der zj besteht aus sämtlichen Nullstellen des Polynoms p, dabei können
Nullstellen auch mehrfach aufgelistet sein. Die Häufigkeit, mit der eine bestimmte
Nullstelle in der Liste vorkommt, bezeichnet man als Vielfachheit der Nullstelle.
1.1.3 Folgerung Ist V ein zweidimensionaler Vektorraum über C, so gibt es keine
Multiplikation auf V , die V zu einem Körper macht. Die Körpererweiterung von R
zu C lässt sich also nicht iterieren.
Beweis. Wählen wir eine Basis 1, v für V über C. Gäbe es eine entsprechende Multiplikation, müsste v 2 sich als Linearkombination der Form v 2 = a0 +a1 v mit a1 , a2 ∈ C
schreiben lassen. Aber dann wäre v eine Nullstelle eines quadratischen komplexen
Polynoms p. Wäre V ein Körper, hätte p auch über V höchstens zwei Nullstellen.
Also müsste v mit einer der komplexen Nullstellen von p übereinstimmen. Dies ist
ein Widerspruch.
q.e.d.
Hat das Polynom p reelle Koeffizienten, so besteht die Nullstellenmenge in C aus
reellen Zahlen und Paaren von zueinander konjugierten “echt” komplexen Zahlen.
Denn wir können folgendes festhalten:
1.1.4 Bemerkung Sind alle Koeffizienten des Polynoms p reell, und ist w eine
Nullstelle, so ist auch w eine Nullstelle und zwar von derselben Vielfachheit.
Beweis. Sind alle Koeffizienten ak des Polynoms p reell, so folgt mit den Rechenregeln für die komplexe Konjugation aus p(w) = 0:
0 = p(w) = w n + an−1 w n−1 + . . . + a1 w + a0 = wn +an−1 w n−1 +. . .+a1 w+a0 = p(w) .
6
Kapitel 1. Differentialrechnung im Komplexen
Das bedeutet: Ist w eine Nullstelle von p, so auch w. Ist ausserdem w 6= w, so können
wir p durch das quadratische Polynom q := (z−w)(z−w) = z 2 −(w+w)z+w·w teilen.
Da w + w = 2 Re(w) und w · w = |w|2 reelle Zahlen sind, ist q ein reelles Polynom.
Nach Teilung von p durch q bleibt also ein reelles Polynom kleineren Grades übrig.
Per Induktion über den Grad kann man nun schliessen, dass die Vielfachheiten der
Nullstelle w und der Nullstelle w miteinander übereinstimmen.
q.e.d.
1.1.5 Folgerung Hat ein reelles Polynom p eine Nullstelle w ∈ C \ R, so kann
man, wie eben gezeigt, über den reellen Zahlen einen quadratischen Faktor von p
abspalten, nämlich q := (z − w)(z − w) = z 2 − (w + w)z + w · w. Durch vollständige
Induktion folgt hieraus, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten sich vollständig
in ein Produkt aus linearen oder quadratischen Polynomfaktoren zerlegen lässt.
1.1.6 Beispiel Das Polynom f (x) = x4 + 5x2 + 4 lässt sich schreiben als f (x) =
(x2 + 1)(x2 + 4) und hat die komplexen Nullstellen ±i und ±2i.
Wenden wir uns nun Teilmengen der komplexen Zahlenebene zu. Wir wollen eine
Teilmenge U ⊂ C offen nennen, wenn die entsprechende Teilmenge in R2 offen ist.
Wir übernehmen also die Topologie von R2 .
1.1.7 Definition Eine Teilmenge G ⊂ C heisst Gebiet, wenn G offen und zusammenhängend ist. Letzteres bedeutet, dass G nicht als disjunkte Vereinigung von zwei
in G abgeschlossenen Teilmengen dargestellt werden kann.
Hier eine Reihe von häufig vorkommenden Beispielen.
1.1.8 Beispiele
• C oder C∗ := C \ {0};
• die obere Halbebene H := {z ∈ C | Im(z) > 0};
• die geschlitzte Ebene {z ∈ C | z ∈
/ R<0 };
• die Einheitskreisscheibe E := {z ∈ C | |z| < 1};
• eine Kreisscheibe Kr (z0 ) := {z ∈ C | |z − z0 | < r} von Radius r > 0 um den
Punkt z0 ;
• ein Kreisring {z ∈ C | r < |z − z0 | < R} (0 < r < R fest gewählt) um den
Punkt z0 ;
• ein horizontaler Streifen {z ∈ C | y1 < Im(z) < y2 }.
Betrachten wir jetzt komplexwertige Funktionen, definiert auf Gebieten der komplexen Ebene.
Sei dazu G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine Zuordnung. Die Funktion f ist
stetig im Punkt z0 ∈ G, wenn für jede gegen z0 konvergierende Folge von Punkten
zn ∈ G gilt:
lim f (zn ) = f (z0 ) .
n→∞
1.1. Komplexe Funktionen
7
Dabei verwenden wir den Konvergenzbegriff von Punktfolgen in R2 . Wie im reellen
Fall kann man einsehen, dass zum Beispiel alle komplexen Polynomfunktionen stetig
(wobei p, q komplexe Polynome sind
sind. Auch jede Funktion der Form f (z) = p(z)
q(z)
und z ∈ C, q(z) 6= 0), ist stetig.
Um sich eine solche Funktion zu veranschaulichen, gibt es mehrere Möglichkeiten.
Man kann die (dreidimensionalen) Graphen des Realteils und des Imaginärteils der
Funktion betrachten, oder die Funktion als Transformation eines Teils der Ebene
auffassen. Schauen wir uns einige Beispiele genauer an.
1. Sei z0 ∈ C fest gewählt. Die Funktion f : C → C, z 7→ z + z0 , beschreibt eine
Parallelverschiebung der Ebene um den Vektor z0 .
2. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl i bewirkt eine Drehung der komplexen Ebene um 90◦ .
3. Sei jetzt allgemeiner a > 0, ψ ∈ R fest gewählt und w = aeiψ . Die Multiplikationsabbildung f : C → C, z = reiϕ 7→ w · z = arei(ϕ+ψ) , beschreibt eine
Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ψ, gefolgt von einer Streckung um
den Faktor a. Man spricht hier von einer Drehstreckung.
4. Die komplexe Konjugation C → C, z 7→ z entspricht der Spiegelung an der
reellen Achse. Und die Funktion z 7→ i · z beschreibt die Spiegelung an der
Winkelhalbierenden.
5. Die Abbildung f : C → C, z 7→ z 2 schreibt sich in Polarkoordinaten so:
reiϕ 7→ r 2 ei2ϕ . Auf dem Einheitskreis zum Beispiel bewirkt diese Abbildung
also jeweils eine Verdopplung des Winkels. Die rechte Halbebene G = {z ∈
C | Re(z) > 0} wird von f bijektiv auf die geschlitzte Ebene abgebildet.
Denn mit Polarkoordinaten können wir die rechte Halbebene so beschreiben:
G = {reiϕ | r > 0, − π2 < ϕ < π2 }, also ist
f (G) = {reiϕ | r > 0, −π < ϕ < π} .
Und dies ist nichts anderes als die oben beschriebene längs der negativen xAchse geschlitzte Ebene.
z−i
definiert eine Bijektion von der oberen Halbebene
z+i
H auf die Einheitskreisscheibe E.
Denn diejenigen Punkte der komplexen Zahlenebene, die von i und −i gleich
weit entfernt sind, bilden gerade die reelle Achse, während sämtliche Punkte
oberhalb der reellen Achse näher an i als an −i liegen. Sämtliche Punkte
unterhalb der reellen Achse sind von i weiter entfernt also von −i. Das bedeutet
für z ∈ C \ {i}:
6. Die Zuordnung f : z 7→
f (z) ∈ E
⇔
|z − i| < |z + i|
⇔
z ∈ H = {z ∈ C | Im(z) > 0} .
Ausserdem ist die Zuordnung umkehrbar und daher bijektiv, denn aus f (z) =
1+w
w folgt z = i · 1−w
.
8
Kapitel 1. Differentialrechnung im Komplexen
Die komplexe Exponentialfunktion kann man folgendermassen definieren. Für
z = x + iy (x, y ∈ R) setzen wir
exp(z) = ez := ex · eiy = ex (cos y + i sin y) .
Diese Vorschrift garantiert, dass auch für die komplexe Exponentialfunktion die bekannten Potenzrechenregeln gelten, und sie definiert eine stetige Funktion. Weil die
reelle Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, ist das Bild der komplexen
Exponentialfunktion die punktierte Ebene C \ {0}. Die Funktion exp ist periodisch
in y mit Periode 2π, wenn wir sie aber einschränken, zum Beispiel auf den horizontalen Streifen zwischen −π und π, erhalten wir eine Bijektion mit der geschlitzten
Ebene:
exp: S = {z ∈ C | −π < Im(z) < π} → G = {z ∈ C | z ∈
/ R≤0 } .
Dabei werden Parallelen zur x-Achse auf Halbstrahlen in der geschlitzten Ebene
abgebildet, und senkrechte Abschnitte der Form {a + iy | y ∈ R, −π < y < π}
(a ∈ R fest) gehen über in Kreislinien um den Nullpunkt von Radius ea , denen der
Schnittpunkt mit der negativen reellen Achse fehlt.
Da die Exponentialfunktion als Abbildung von S nach G bijektiv ist, können
wir sie dort umkehren und erhalten so den sogenannten Hauptzweig des komplexen
Logarithmus, nämlich:
ln: G = {reiϕ | −π < ϕ < π} → S,
ln(reiϕ ) = ln(r) + iϕ .
πi
exp
Re
0
bc
1
1
e
Re
ln
−πi
1.2
Komplexe Differenzierbarkeit
Analog zum reellen Fall definiert man komplexe Differenzierbarkeit folgendermassen:
1.2.1 Definition Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine komplexwertige Funktion. Die Funktion f ist komplex differenzierbar an der Stelle z0 ∈ G, falls der
Grenzwert
f (z0 + z) − f (z0 )
= f ′ (z0 )
lim
z→0
z
existiert. Ist dies der Fall, bezeichnet man f ′ (z0 ) als die komplexe Ableitung von f
an der Stelle z0 .
1.2. Komplexe Differenzierbarkeit
9
Äquivalent dazu ist die schon aus der reellen Situation bekannte Dreigliedentwicklung:
1.2.2 Bemerkung Die komplexe Funktion f : G → C ist genau dann an der Stelle
z0 ∈ G komplex differenzierbar, wenn es eine Zahl w ∈ C, eine Kreisscheibe Kǫ (z0 ) ⊂
G und eine Funktion r: K := Kǫ (0) → C gibt, so dass für alle z ∈ K gilt:
f (z0 + z) = f (z0 ) + w · z + r(z) ,
wobei limz→0 r(z)
= 0. Ist dies der Fall, so ist w = f ′ (z0 ).
z
1.2.3 Folgerung Ist eine komplexe Funktion komplex differenzierbar, so ist sie
auch stetig. Für die komplexe Ableitung gelten analoge Rechenregeln wie für die
reelle Ableitung von reellwertigen Funktionen in einer reellen Variablen, nämlich
die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Die
Beweise lassen sich wörtlich übertragen.
Zum Beispiel ist die Ableitung der Funktion f (z) = z n (n ∈ N, z ∈ C) wie erwartet f ′ (z) = nz n−1 für alle z ∈ C. Dies ergibt sich durch vollständige Induktion aus
der Produktregel. Mithilfe der Quotientenregel kann man zeigen, dass die Ableitung
der Funktion g: C∗ → C, definiert durch g(z) = z1 , lautet: g ′ (z) = − z12 . Ist p eine
Polynomfunktion von Grad n der Form p(z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 , dann
gilt wegen der elementaren Rechenregeln für Ableitungen analog zum reellen Fall:
p′ (z) = nz n−1 + an−1 (n − 1)z n−2 + . . . + a1 .
Die Ableitung p′ ist also eine Polynomfunktion von Grad n − 1. Auch sämtliche
rationalen Funktionen in einer komplexen Variablen sind komplex differenzierbar.
Die komplexe Ableitung können wir mithilfe der Quotientenregel bestimmen.
1.2.4 Bemerkung Die komplexe Konjugation ist an keiner Stelle komplex differenzierbar. Denn sei z0 ∈ C fest gewählt. Dann ist
z0 + ti − z0
z0 + t − z0
= −1 6= 1 = lim
.
t∈R,t→0
t∈R,t→0
ti
t
lim
Die komplexe Ableitung an der Stelle z0 kann also nicht existieren.
Kommen wir nun zu einer weiteren Charakterisierung der komplexen Differenzierbarkeit. Dazu werden wir komplexwertige Funktionen in einer komplexen Variablen als Funktionen in zwei reellen Variablen mit Werten in R2 interpretieren. Ein
vorgegebenes Gebiet G ⊂ C können wir natürlich als Teilmenge D des R2 auffassen,
indem wir setzen D := {(x, y) ∈ R2 | x + iy ∈ G}. Ist f : G → C nun eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet G, so können wir die Bilder von f jeweils in
Real- und Imaginärteil zerlegen, und erhalten so reellwertige Funktionen u, v auf D:
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
10
Kapitel 1. Differentialrechnung im Komplexen
Der komplexen Funktion f entspricht also die reelle Abbildung
u(x, y)
2
F : D → R , (x, y) 7→
.
v(x, y)
Schauen wir uns zunächst lineare Abbildungen genauer an. Wenn wir C mit R2
identifizieren, können wir jede (über R) lineare Abbildung L: C → C als Multiplikation mit einer festen reellen 2 × 2-Matrix A beschreiben.
1.2.5 Bemerkung Eine R-lineare Abbildung L: C → C ist genau dann C-linear,
wenn zusätzlich L(iz) = iL(z) gilt für alle z ∈ C. Anders gesagt, L ist C-linear,
wenn es sich um die Multiplikation mit einer festen komplexen Zahl w = a + ib
handelt. Dies
dazu, dass die zugehörige reelle 2 × 2-Matrix von der
ist äquivalent
a −b
Form A =
ist. Geometrisch bedeutet dies, dass die lineare Abbildung
b a
eine Drehstreckung der Gaussschen Ebene ist.
1.2.6 Beispiel Die Multiplikation mit i entspricht der Drehung
um90◦ , die wie
0 −1
derum durch die Multiplikation mit der Drehmatrix A =
beschrieben
1 0
wird.
Erinnern wir nun zunächst an die Definition der Differenzierbarkeit einer reellen
Transformation F : D ⊂ R2 → R2 .
1.2.7 Definition Die Funktion F heisst reell differenzierbar an der Stelle p ∈ D,
wenn es eine R-lineare Abbildung L: R2 → R2 gibt derart, dass
|F (p + h) − F (p) − L(h)|
= 0.
h→0
|h|
lim
Ist dies der Fall, so ist die lineare Abbildung L eindeutig bestimmt und wird als
Differential DFp von F an der Stelle p bezeichnet.
Die reelle Differenzierbarkeit bedeutet, dass sich die Transformation F lokal in
der Nähe von p gut durch eine konstante plus eine lineare Transformation approximieren lässt. Denn es gilt für alle (betragsmässig genügend kleinen) 0 6= h ∈ R2 :
F (p + h) = F (p) + DFp (h) + R(h) ,
wobei der “Rest” R eine reelle Funktion nach R2 ist mit lim|h|→0 |R(h)|
= 0. An jeder
|h|
Stelle p ist das Differential von F eine lineare Selbstabbildung von R2 , wird also
durch eine reelle 2 × 2-Matrix dargestellt, nämlich die Jacobimatrix , bestehend aus
allen partiellen Ableitungen an der Stelle p der Komponenten von F .
Vergleichen wir jetzt komplexe und reelle Differenzierbarkeit, stellen wir folgendes fest:
1.2. Komplexe Differenzierbarkeit
11
1.2.8 Satz Die Funktion f : G → C ist genau dann im Punkt z0 = x0 + iy0 ∈ G
komplex differenzierbar, wenn die entsprechende Abbildung F : D → R2 im Punkt
(x0 , y0 ) reell differenzierbar ist und das Differential DF(x0 ,y0 ) von F an dieser Stelle
C-linear ist. Das bedeutet, dass die lineare Abbildung DF(x0 ,y0 ) eine Drehstreckung
ist und sich daher als Multiplikation mit einer komplexen Zahl auffassen lässt. Diese
komplexe Zahl wiederum ist nichts anderes als die komplexe Ableitung von f bei z0 .
1.2.9 Beispiele
• Die Funktion f (z) = z 2 (z ∈ C) hat die komplexe Ableitung
f ′ (z) = 2z. Es ist also f ′ (x + iy) = (2x) + i(2y). Zu der Funktion f (z) = z 2
auf G = C gehört die Abbildung
2
x − y2
2
2
.
F : R → R , F (x, y) =
2xy
Denn hier ist f (x + iy) = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i(2xy). Die Jacobimatrix von
F an der Stelle (x, y) lautet
2x −2y
.
2y 2x
Die Einträge in der ersten Spalte der Jacobimatrix stimmen also wie erwartet
mit dem Real- bzw. Imaginärteil von f ′ überein.
• Die komplexe Konjugation C → C, z 7→ z ist zwar überall reell differenzierbar.
Denn die entsprechende reelle Abbildung von R2 nach R2 ist die Spiegelung
an der reellen Achse. Da es sich bereits um eine lineare Abbildung handelt,
stimmt das Differential anjeder Stelle
mit dieser Spiegelung überein. Die ent1 0
sprechende Matrix lautet
, es ist also keine Drehstreckung! Deshalb
0 −1
lässt sich das Differential nicht als Multiplikation mit einer komplexen Zahl
auffassen. Und, wie oben bereits auf andere Weise gezeigt, ist die komplexe
Konjugation ja auch an keiner Stelle komplex differentierbar.
Wir können die Drehstreckungen auch als diejenigen linearen Abbildungen von
R2 nach R2 charakterisieren, die winkeltreu und orientierungserhaltend sind (siehe
Übungsaufgabe). Daraus ergibt sich folgende Umformulierung des Satzes:
1.2.10 Folgerung Die Funktion f : G → C ist genau dann im Punkt z0 = x0 +
iy0 ∈ G komplex differenzierbar, wenn die entsprechende Abbildung F : D → R2 im
Punkt (x0 , y0 ) reell differenzierbar ist und das Differential DF(x0 ,y0 ) von F an der
Stelle (x0 , y0 ) winkeltreu und orientierungserhaltend oder die Nullabbildung ist.
Ist diese Bedingung erfüllt und f ′ (z0 ) 6= 0, so bedeutet dies genauer folgendes:
Sind γ1 und γ2 parametrisierte Kurven im Gebiet G, die sich im Punkt z0 unter dem
Winkel α schneiden, so werden sie von f in ein Kurvenpaar überführt, das sich im
Punkt f (z0 ) ebenfalls unter dem Winkel α schneidet. Eine komplexe Funktion mit
dieser Eigenschaft heisst (bei z0 ) lokal konform.
12
Kapitel 1. Differentialrechnung im Komplexen
γ1
z0
b
f
α
f (z0 )
b
α
f (γ1)
f (γ2)
γ2
Beweis. Denn ist γj : (−ǫ, ǫ) → G mit γj (0) = z0 , folgt aus der Kettenregel
d
(F (γj (t)) = DFz0 (γ̇j (0)) .
dt
t=0
Das Differential DFz0 bildet also den Tangentialvektor der Kurve γj bei z0 auf den
Tangentialvektor der Kurve f ◦ γj an der Stelle f (z0 ) ab. Wenn das Differential
winkeltreu und orientierungserhaltend ist, müssen also die Winkel zwischen den
beiden Tangentialvektoren erhalten bleiben. q.e.d.
1.2.11 Definition Eine komplexe Funktion, die auf einem Gebiet G überall komplex differenzierbar ist, wird als holomorph auf G bezeichnet. Ist ausserdem f ′ (z) 6= 0
für alle z ∈ G, so ist f auf G lokal konform.
Bezeichnen wieder u und v den Realteil bzw. den Imaginärteil von f , und ver, uy := ∂u
wenden wir für die partiellen Ableitung von u die Schreibweise ux := ∂u
∂x
∂y
(und entsprechend für v), so lautet die Jacobimatrix von F an der Stelle (x0 , y0 ):
ux (x0 , y0 ) uy (x0 , y0 )
JF (x0 , y0 ) =
.
vx (x0 , y0 ) vy (x0 , y0 )
Das Differential DFx0 ,y0 ist also genau dann eine Drehstreckung (oder die Nullmatrix), wenn
ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) und uy (x0 , y0) = −vx (x0 , y0) .
Diese Beobachtung liefert folgendes Kriterium:
1.2.12 Satz Eine Funktion f : G → C ist genau dann holomorph auf G, wenn die
entsprechende Abbildung F : D → R2 auf ganz D reell differenzierbar ist und die
sogenannten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind, nämlich:
ux = vy
und uy = −vx
auf ganz D.
Ist dies der Fall, so ist f ′ (x + iy) = ux (x, y) + ivx (x, y) für alle x + iy ∈ G.
Wenden wir dies Kriterium nun an, um die Ableitung der komplexen Exponentialfunktion zu bestimmen.
1.2. Komplexe Differenzierbarkeit
13
1.2.13 Beispiel Die komplexe Exponentialfunktion ist gegeben durch ez = ex eiy
für z = x + iy. Hier lautet also der Realteil u(x, y) = ex cos(y) und der Imaginärteil
v(x, y) = ex sin(y). Die partiellen Ableitungen sind ux (x, y) = ex cos(y) = u(x, y),
uy (x, y) = −ex sin(y), vx (x, y) = ex sin(y) = v(x, y), vy (x, y) = ex cos(y). Also sind
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen hier erfüllt, und die komplexe Exponentialfunktion ist holomorph. Ausserdem stimmt die Ableitung der komplexen
Exponentialfunktion (wie schon im reellen Fall) mit sich selbst überein.
Hier sind noch zwei weitere Beispiele:
1.2.14 Beispiele Die Funktion f : C → C, definiert durch f (x+iy) = (x2 −y 2 +x)+
i(y+2xy) hat den Realteil u(x, y) = x2 −y 2 +x und den Imaginärteil v(x, y) = y+2xy.
Berechnet man die partiellen Ableitungen von u und v erhält man
ux (x, y) = 2x + 1 = vy (x, y) und uy (x, y) = −2y = −vx (x, y) .
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind also erfüllt und das heisst,
f ist holomorph. Ausserdem ist f ′ (x + iy) = ux (x, y) + ivx (x, y) = 1 + 2x + i2y.
Man hätte dies auch direkt sehen können, denn tatsächlich ist f (z) = z + z 2 , also
holomorph mit f ′ (z) = 1 + 2z.
Die Funktion g: C → C mit Realteil u(x, y) = x2 − y 2 + x und Imaginärteil
v(x, y) = 2xy − y ist dagegen nicht holomorph, denn hier gilt ux (x, y) = 2x + 1 6=
vy (x, y) = 2x − 1. Die Cauchy-Riemann-Bedingung ist also sogar an keiner einzigen
Stelle des Definitionsbereiches erfüllt.
Wir können ausserdem festhalten, dass eine holomorphe Funktion durch ihren Realteil bereits bis auf Konstante eindeutig festgelegt ist. Denn der dazu passende Imaginärteil muss ja dann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
erfüllen.
1.2.15 Beispiel Nehmen wir an, der Realteil u(x, y) = xy + 2x für (x, y) ∈ R2 sei
vorgegeben und v bezeichne einen dazu passenden Imaginärteil, so dass u + iv = f
holomorph ist. Versuchen wir v aus u zu rekonstruieren. Es muss gelten
ux (x, y) = y + 2 = vy (x, y) .
Daraus ergibt sich durch Integration über y:
Z
Z
y2
v(x, y) = vy (x, y)dy + C(x) = (y + 2)dy + C(x) =
+ 2y + C(x) ,
2
wobei C: R → R eine Funktion ist, die nur von x abhängt. Setzt man nun in die
zweite Cauchy-Riemann-Gleichung ein, erhält man die Bedingung:
−uy (x, y) = −x = vx (x, y) = C ′ (x) .
R
2
Also ist C(x) = − x dx + c = − x2 + c für eine geeignete Konstante c ∈ R. Das
bedeutet:
x2
y2
+ 2y −
+ c.
v(x, y) =
2
2
14
Kapitel 1. Differentialrechnung im Komplexen
Die sich daraus ergebende Funktion
y 2 − x2
f (x + iy) = xy + 2x + i(
+ 2y + c) (c ∈ R konstant)
2
ist nach Konstruktion tatsächlich holomorph. Es ist nichts anderes als die Funktion
f (z) = 2z − 12 iz 2 + ic.
Wie wir gesehen haben, lässt sich die Exponentialfunktion vom Reellen ins Komplexe fortsetzen. Auch die trigonometrischen Funktionen haben komplexe Entsprechungen, die man mithilfe der Exponentialfunktion definieren kann, indem man festsetzt:
1
cos(z) := (eiz + e−iz ) und
2
sin(z) :=
1 iz
(e − e−iz ) für z ∈ C.
2i
Real- und Imaginärteil der komplexen Cosinusfunktion lauten Re cos(x + iy) =
cos(x) cosh(y) und Im cos(x + iy) = − sin(x) sinh(y).
Die so definierten komplexen Funktionen sind holomorph und es gilt:
d
sin(z) = cos(z),
dz
d
cos(z) = − sin(z) für z ∈ C.
dz
Ausserdem bleiben die bekannten Identitäten auch im Komplexen gültig. Zum Beispiel kann man durch Nachrechnen überprüfen, dass
sin2 (z) + cos2 (z) = 1 für alle z ∈ C.
Fassen wir noch einmal zusammen. Wir haben nun folgende Charakterisierungen
holomorpher Funktionen kennengelernt:
1.2.16 Satz Eine Funktion f : G → C auf einem Gebiet G ⊂ C ist genau dann
holomorph, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
• An jeder Stelle z0 ∈ G existiert die komplexe Ableitung f ′ (z0 ) = limz→z0
f (z)−f (z0 )
.
z−z0
• f ist reell differenzierbar und das Differential Dfz0 ist C-linear für alle z0 ∈ G.
• f ist reell differenzierbar und lokal konform überall dort, wo das Differential
nicht verschwindet.
Ausserdem gilt:
• Seien u, v: G → R stetig partiell differenzierbar. Eine komplexe Funktion mit
Realteil u und Imaginärteil v ist holomorph auf G genau dann, wenn u und v
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.