Graphentheorie I

1
Graphentheorie I
Dr. Markus Severitt
LATEX-Mitschrift von
Christina und Jan
Dies ist unsere Vorlesungsmitschrift der Veranstaltung Graphentherie I von Herrn
Dr. Severitt, gelesen im Sommersemester 2011. Das Dokument ist weder final, noch
fehlerfrei. Kontaktinformationen und eventuell aktuellere Versionen sind auf
https://www.math.uni-bielefeld.de/˜cnaundor
bzw.
https://www.math.uni-bielefeld.de/˜jgoepfer
zu finden. Dort befindet sich ebenfalls eine Mitschrift zur Anschlussveranstaltung Algebraische Graphentheorie und Komplexitätstheorie, gelesen im Wintersemester
2011/2012.
Weil im Sommersemester 2013 wieder eine Veranstaltung Graphentheorie gehalten
werden wird, haben wir diese Mitschrift technisch leicht überarbeitet.
Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge sind deutlich erwünscht.
Christina und Jan
Januar 2013
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
Inhaltsverzeichnis
3
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Graphen . . . . . . . . . . . .
1.2 Morphismen und Färbungen .
1.3 Grade . . . . . . . . . . . . .
1.4 Teilgraphen . . . . . . . . . .
1.5 Wege, Kreise, Zusammenhang
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5
. 5
. 6
. 13
. 15
. 18
2 Bäume
2.1 Charakterisierung von Bäumen . .
2.2 Rekursive Struktur von Bäumen .
2.3 Blätterzahl von Bäumen . . . . . .
2.4 Wurzelbäume . . . . . . . . . . . .
2.5 Spannbäume . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Der Tiefensuchalgorithmus:
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29
31
3 Konstruktionen
35
3.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Line-Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Euler- und Hamilton-Pfade und -Zykel
47
4.1 Euler-Pfade und Zykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Hamilton-Pfade und Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Digraphen
5.1 Graphen und Digraphen . . . . .
5.2 Morphismen und Kantenzüge . .
5.3 Cayley-Graphen . . . . . . . . .
5.3.1 Rechenregeln für C(G, S)
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54
56
57
59
6 Flüsse in Netzwerken
6.1 Maximale Flüsse . . . . . . . . .
6.2 Minimale Schnitte . . . . . . . .
6.3 Das Max-Flow Min-Cut Theorem
6.4 Der Ford-Fulkerson Algorithmus
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63
64
67
68
69
7 Zusammenhang
73
7.1 Schnittknoten, Brücken, Blöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
4
Inhaltsverzeichnis
7.2
Knoten- und Kantenzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2.1 Nachträge und das Fan-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2.2 Die rekursive Struktur 3-zusammenhängender Graphen . . . . . 96
8 Färbungen
9 Planarität
9.1 Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Karten, Einbettungen, Flächen . . . . . . . . . . .
9.3 Unterteilungen und Minoren . . . . . . . . . . . . .
9.4 Brückenköpfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Der Beweis des Satzes von Wagner nach Thomason
9.6 Ein Einbettungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . .
9.7 Der 5-Farbensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Bemerkungen zum 4-Farbensatz . . . . . . . . . . .
10 Das chromatische Polynom
101
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105
105
107
116
124
128
131
133
134
137
11 Klausurvorbereitung
149
11.1 Wiederholung (Wichtige Themen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Inhaltsverzeichnis
5
1 Grundlagen
1.1 Graphen
1.1.1 Definition. Ein Graph G ist ein 2-Tupel G = (V, E), wobei E ⊂ V1 ∪
V
V
2 . (Dabei ist n = {n-elementige Teilmengen von V }.) Die Elemente aus V heißen
Knoten / Ecken (vertices) und die Elemente aus E heißen Kanten (edges).
1.1.2 Beispiel.
V = {1, 2, 3}
E = {{1}, {1, 2}, {2, 3}}
•1
•2
•3
Notation: Für v, w ∈ V schreiben wir vw = {v, w} und v ∼G w :⇔ vw ∈ E (Nachbarschaftsrelation). Für G = (V, E) schreiben wir auch V (G) := V , E(G) := E.
1.1.3 Definition. Sei G = (V, E) ein Graph.
• v, w ∈ V heißen benachbart (adjazent), falls v ∼G w.
• Falls v ∼G v, heißt vv = {v} ∈ E Schleife an v.
• G heißt einfach, falls es keine Schleifen gibt, also E ⊆
V
2
.
• G heißt endlich, falls |V | < ∞.
Konvention: Ab jetzt sind alle Graphen endlich.
Vorlesung 01 vom 04.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
6
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.1.4 Beispiel.
1. Kn , n ≥ 1
V (Kn ) := {1, . . . , n}
{1, . . . , n}
E(Kn ) :=
2
Vollständiger Graph auf n Knoten.
2. Pn , n ≥ 0
V (Pn ) := {0, . . . , n}
E(Pn ) := {{i, i + 1} | 0 ≤ i ≤ n − 1}
Pfad der Länge n.
3. Cn
n = 1:
•1
n≥3
V (Cn ) := {1, . . . , n}
E(Cn ) := {{i, i + 1} | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {{n, 1}}
Kreis der Länge n
1.1.5 Beobachtung.
• K1 und P0 haben das gleiche Bild.
• K2 und P1 haben das gleiche Bild.
• K3 und C3 haben das gleiche Bild.
1.2 Morphismen und Färbungen
1.2.1 Definition. Seien G, H Graphen. Ein Morphismus f : G → H ist eine Abbildung f : V (G) → V (H) so, dass
v ∼G w ⇒ f (v) ∼H f (w)
Vorlesung 01 vom 04.04.2011
1.2. MORPHISMEN UND FÄRBUNGEN
7
1.2.2 Beispiel.
1.
Pn → Pn+1
i 7→ i
n = 1:
•0
#
•1
#
•0
•1
•2
2.
P n → P1
(
0,
i 7→
1,
i≡0
i≡1
mod 2
mod 2
•3
•2
•1
•0
•0
•1
1.2.3 Bemerkung.
1.
idG : G → G
v 7→ v
ist ein Morphismus.
f
g
g◦f
2. G → H, H → J, f, g seien Morphismen. Dann ist auch g ◦ f , G → J Morphismus.
Kategorie.
Vorlesung 01 vom 04.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
8
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.2.4 Bemerkung. Die Existenz eines Morphismus zwischen G und H (gegeben) ist
im Allgemeinen völlig unklar, denn (konstante Morphismen): Falls E(G) 6= ∅ kann nur
auf einen Knoten v ∈ V (H) konstant abgebildet werden, der eine Schleife enthält, das
heißt, v ∼H v. Zum Beispiel ist f : P1 → P0 mit f (0) = 0 = f (1) kein Morphismus.
Allgemein: Falls E(G) 6= ∅ und H einfach, dann existiert kein konstanter Morphismus
G → H.
Insbesondere
@ G → K1 für E(G) 6= ∅
Aber: Für jeden Graphen G existiert genau ein Morphismus G → C1
1.2.5 Bemerkung. Jeder Morphismus f : G → H induziert eine Abbildung
fE : E(G) → E(H)
{v, w} 7→ {f (v), f (w)}
fE ist wegen der Morphismenbedingung wohldefiniert.
1.2.6 Definition. Ein Morphismus f : G → H heißt Knoten- (Kanten-) injektiv /
surjektiv / bijektiv, falls f : V (G) → V (H) (fE : E(G) → E(H)) es ist.
1.2.7 Beispiel. Pn → Pn+1 , i 7→ i ist Knoten- und Kanten-injektiv, aber nicht
surjektiv.
(
0, i ≡ 0 mod 2
Pn → P1 , i 7→
ist für n ≥ 1 Knoten- und Kanten-surjektiv, aber
1, i ≡ 1 mod 2
für n > 2 nicht injektiv.
Vorlesung 01 vom 04.04.2011
1.2. MORPHISMEN UND FÄRBUNGEN
9
1.2.8 Definition. Ein Morphismus f : G → H heißt Isomorphismus, falls es einen
Morphismus g : H → G gibt mit:
f ◦ g = idH
g ◦ f = idG
1.2.9 Bemerkung.
• g ist eindeutig bestimmt: Schreibe
f −1 := g
• Falls es einen Isomorphismus f : G → H gibt, schreibe G ∼
=H
1.2.10 Übungsaufgabe. f : G → H ist ein Isomorphismus ⇔ f ist Kanten-bijektiv
und Knoten-bijektiv.
1.2.11 Beispiel.
1. K1 , P0
•1
f
/ •0
•1
f
/ •0
•2
f
/ •1
⇒ K1 ∼
= P0
2. K2 , P1 , f (1) = 0, f (2) = 1
⇒ K2 ∼
= P1
1.2.12 Lemma. Sei f : G → H ein Morphismus. f ist ein Isomorphismus genau dann,
wenn:
(i) f ist Knoten-bijektiv
(ii) v ∼G w ⇐ f (v) ∼H f (w)
Beweis. „⇒“f −1 ist die Umkehrabbildung von f : V (G) → V (H) ⇒ (i)
Sei f (v) ∼H f (w). Da f −1 ein Morphismus ist, folgt
v = f −1 (f (v)) ∼G f −1 (f (w)) = w
Vorlesung 02 vom 07.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
10
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
„⇐“Sei f −1 : V (H) → V (G) die Umkehrabbildung von f .
Behauptung: f −1 ist ein Morphismus.
Zu zeigen: v ∼H w ⇒ f −1 (v) ∼G f −1 (w)
Wegen (ii) gilt:
v = f (f −1 (v)) ∼H f (f −1 (w)) = w ⇒ f −1 (v) ∼G f −1 (w)
Gegenbeispiel:
G •1
•2
•3
•4
Identität
→
H •1
•2
•3
•4
ist Knoten-bijektiv, aber (ii) stimmt nicht: 2 ∼H 4, aber 2 G 4
1.2.13 Übungsaufgabe.
1. f : G → H ist ein Isomorphismus ⇒ |E(G)| = |E(H)|
2. Falls f : G ⇒ H Knoten-bijektiv ist und |E(G)| = |E(H)| ⇒ f ist ein Isomorphismus.
1.2.14 Korollar. Ein Endomorphismus f : G → G ist ein Automorphismus genau
dann, wenn:
1. f ist Knoten-bijektiv
oder
2. f ist Knoten-injektiv
oder
3. f ist Knoten-surjektiv
1.2.15 Definition. G sei ein Graph.
Aut(G) := {f : G → G | f ist ein Automorphismus}
ist eine Gruppe durch Komposition.
Bemerkung:
1. Sei
S(V (G)) := {f : V (G) → V (G) | f ist bijektiv}
die symmetrische Gruppe von V (G). Aut(G) ⊆ S(V (G)) ist eine Untergruppe.
Vorlesung 02 vom 07.04.2011
1.2. MORPHISMEN UND FÄRBUNGEN
11
2. Sei V (G) = {v1 , . . . , vn } eine Knotenaufzählung. Dann gilt:
S(V (G)) ∼
= Sn
f 7→ (i 7→ j so, dass f (vi ) = vj )
(Nicht kanonisch, denn die Abbildung hängt von der Aufzählung ab.)
Also: Aut(G) ,→ Sn mit n = |V (G)| ist ein Gruppenmonomorphismus.
1.2.16 Beispiel. C4
•1
•4
•2
•3
Rotationen um 90° nach links
1 7→ 2
4 7→ 1
3 7→ 4
2 7→ 3
∈ Aut(4)
Anwendung von Morphismen: Färbungen
f
1.2.17 Definition. Eine n-Färbung von einem Graphen G ist ein Morphismus G →
Kn
1.2.18 Bemerkung.
f
(i) Ein Morphismus G → Kn ist
f : V (G) → {1, . . . , n}
v 7→ f (v)
so, dass
v ∼G w ⇒ f (v) 6= f (w)
denn i ∼Kn j ⇔ i 6= j
(ii) Falls G nicht einfach ist, das heißt es gibt eine Schleife (v ∼G v), gibt es für kein
f
n eine n-Färbung G → Kn . Denn:
f Morphismus, v ∼G v ⇒ f (v) ∼Kn f (v) Widerspruch!
(iii) Sei G einfach und V (G) = {v1 , . . . , vn }. Dann ist
f
G → Kn
vi 7→ i
eine n-Färbung.
Vorlesung 02 vom 07.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
12
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.2.19 Definition. Sei G ein einfacher Graph.
χ(G) := min{n | ∃ n-Färbung von G}
χ(G) heißt chromatische Zahl von G.
1.2.20 Bemerkung.
(i) χ(G) ≤ |V (G)|
(ii) ist E(G) 6= ∅, so existiert kein Morphismus G → K1 ∼
= P0 , das heißt χ(G) ≥ 2
(iii) Falls G ∼
= H ⇒ χ(G) = χ(H)
1.2.21 Beispiel. Pn
• n = 0: P0
•0
χ(P0 ) = 1
• n ≥ 1: E(P0 ) 6= ∅ ⇒ χ(Pn ) ≥ 2
Wir hatten einen Morphismus
Pn → P1
(
0,
i 7→
1,
∼
= K2
2|n
2-n
⇒ χ(Pn ) ≤ 2
⇒ χ(Pn ) = 2
1.2.22 Übungsaufgabe.
(i) χ(Kn ) = n
(ii) n = 3 : K3 ∼
⇒ χ(C3 ) = χ(K3 ) = 3
= C3 (
2, 2 | n
n ≥ 3 : χ(Cn ) =
3, 2 - n
1.2.23 Lemma. Sei g : G → H ein Morphismus der existiert =). Dann ist χ(G) ≤ χ(H)
f
Beweis. Sei n = χ(H) und H → Kn eine n-Färbung. Dann ist
G
g
/H
f ◦g
eine n-Färbung von G ⇒ χ(G) ≤ χ(H)
Vorlesung 02 vom 07.04.2011
f
/ Kn
6
1.3. GRADE
13
1.3 Grade
1.3.1 Definition. Sei G ein Graph.
(i) v ∈ V (G) und e ∈ E(G) heißen inzident, falls v ∈ e
(ii) Sei v ∈ V (G). deg(v) := Anzahl der zu v inzidenten Kanten, wobei eine Schleife
doppelt zählt.
(iii) Falls deg(v) = 1, heißt v Blatt. Falls deg(v) = 0, heißt v isoliert.
(iv) G heißt r-regulär, falls
∀ v ∈ V (G) : deg(v) = r
1.3.2 Beispiel.
(i) Knoten mit unterschiedlichen Graden:
(ii) ∀ v ∈ V (Kn ) : deg(v) = n − 1 ⇒ Kn ist n − 1-regulär
(iii) ∀ v ∈ V (Cn ) : deg(v) = 2 ⇒ Cn ist 2-regulär
1.3.3 Lemma (Handshaking-Lemma). Sei G ein Graph. Dann gilt:
X
deg(v) = 2 · |E(G)|
v∈V (G)
Beweisidee: Jede Kante e trägt zum Grad von 2 Knoten je 1 bei oder zu einem 2.
Formal: Induktion nach der Kantenzahl |E(G)|
1.3.4 Korollar. Sei G r-regulär. Dann gilt:
2 · |E(G)| = r · |V (G)|
Beweis. Handshaking-Lemma
Vorlesung 02 vom 07.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
14
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.3.5 Definition. Sei G ein Graph
(i)
δ(G) := min{deg(v) | v ∈ V (G)}
heißt Minimalgrad von G
(ii)
∆(G) := max{deg(v) | v ∈ V (G)}
heißt Maximalgrad von G
1.3.6 Bemerkung. Wegen dem Handshaking-Lemma gilt:
δ(G) · |V (G)| ≤ 2 · |E(G)| ≤ ∆(G) · |V (G)|
1.3.7 Übungsaufgabe. Sei G ein einfacher Graph ⇒ χ(G) ≤ ∆(G) + 1 (Brooks)
später
1.3.8 Definition. Sei G ein Graph, v ∈ V (G)
NG (v) := {w ∈ V (G) | w ∼G v}
ist die Nachbarschaft von v.
1.3.9 Bemerkung.
(i)
(
#NG (v),
v G v
deg(v) =
#NG (v) + 1, v ∼G v
(ii) Sei f : G → H ein Morphismus.
∀ v ∈ V (G) : f (NG (v)) ⊆ NH (f (v))
1.3.10 Lemma. Sei f : G → H ein Morphismus. Dann gilt:
(i) Ist f Knoten-injektiv, so gilt degG (v) ≤ degH (f (v))
(ii) Ist f ein Isomorphismus, so gilt degG (v) = degH (f (v))
Beweis.
(i) wissen:
f (NG (v)) ⊆ NH (f (v)) + f ist Knoten-injektiv ⇒ #NG (v) ≤ #NH (f (v))
Sei v G v :
degG (v) = #NG (v) ≤ #NH (f (v)) ≤ degH (f (v))
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
1.4. TEILGRAPHEN
Sei v ∼G v :
f Morph.
⇒
15
f (v) ∼H f (v)
degG (v) = #NG (v) + 1 ≤ #NH (f (v)) + 1 = degH (f (v))
(ii) Wende (i) auf f und f −1 an (denn f −1 (f (v)) = v)
1.4 Teilgraphen
1.4.1 Definition.
(i) Sei G ein Graph. Ein Teilgraph H ⊆ G ist ein Graph H mit V (H) ⊆ V (G) und
E(H) ⊆ E(G).
(ii) Sei H ⊆ G ein Teilgraph. H heißt induziert, falls:
∀ v, w ∈ V (H) : v ∼G w ⇒ v ∼H w
(iii) Ein Teilgraph H ⊆ G heißt spannend, falls V (H) = V (G)
1.4.2 Beispiel. Sei
G= •
•
•
•
Dann ist
•
•
•
•
zwar ein Teilgraph, aber nicht induziert, und
•
•
•
ist ein induzierter Teilgraph.
1.4.3 Bemerkung.
(i) Ein indzierter Teilgraph H ⊆ G ist durch V (H) eindeutig bestimmt. Für U ⊆ V (G)
sei G[U ] der durch U induzierte Teilgraph.
(ii) H ⊆ G ist ein induzierter Teilgraph ⇔ G[V (H)] = H
(iii) H ⊆ G ist ein spannender Teilgraph ⇔ G[V (H)] = G
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
16
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Konstruktionen:
(i) Sei G ein Graph und E 0 ⊆ E(G).
G − E 0 := (V (G), E(G) − E 0 )
(ii) Sei G ein Graph und U ⊆ V (G)
G − U := G[V (G) − U ]
1.4.4 Bemerkung. Sei f : H → G ein Morphismus. Sei f (H) :=
(f (V (H)), fE (E(H)) ⊆ G das Bild von f (Teilgraph). f (H) ist im Allgemeinen nicht
induziert.
Falls f : H ,→ G Knoten-injektiv ist, so sagen wir: H ist Teilgraph von G via f
(f : H → f (H) ist ein Isomorphismus). H wird mit f (H) via f identifiziert.
1.4.5 Beispiel.
(i) Der K2 ist in jedem Graphen mit mindestens einer Kante enthalten:
H = K2
G=
(ii)
Pn ,→ Pn+1
i 7→ i
•0
•1 ,→ •0
•1
•2
1.4.6 Lemma. Sei H ⊆ G ein Teilgraph.
⇒ χ(H) ≤ χ(G)
f
Beweis. (Lemma: ∃ ein Morphismus H → G ⇒ χ(H) ≤ χ(G))
H ,→ G
v 7→ v
⇒ χ(H) ≤ χ(G)
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
1.4. TEILGRAPHEN
17
1.4.7 Definition. Sei H ⊆ G ein Teilgraph. H heißt Retrakt von G, falls eine
Retraktion r : G → H existiert, das heißt, r ist ein Morphismus mit r|H = idH .
1.4.8 Beispiel.
Pn ,→ Pn+1 , n ≥ 1
•
0
1
•n ,→ •0
(
i
r(i) =
n−1
n−1
• ···•
•1 · · · •n−1
•n
•n+1
für 0 ≤ i ≤ n
für i = n + 1
1.4.9 Lemma. Sei H ⊆ G ein Retrakt
χ(H) = χ(G)
Beweis.
χ(H) ≤ χ(G) (Lemma 1.4.6)
r
1.2.23
G → H ⇒ χ(G) ≤ χ(H)
1.4.10 Bemerkung.
(i) Sei H ⊆ G ein Retrakt. Dann ist H induziert.
Denn: Sei r : G → H die Retraktion und v, w ∈ V (H).
Zu zeigen: v ∼G w ⇒ v ∼H w.
r ist ein Morphismus, also gilt r(v) ∼H r(w).
r|H = idH ⇒ r(v) = v, r(w) = w ⇒ v ∼H w
(ii) Sei f : H → G ein Morphismus und r : G → H mit r ◦ f = idH
⇒
a) f ist Knoten-injektiv, also ist H ein Teilgraph von G via f
b) r ◦ f = idH ⇒ H ist ein Retrakt von G via f
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
18
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.5 Wege, Kreise, Zusammenhang
1.5.1 Definition. Sei G ein Graph
(i) Ein Kantenzug K der Länge n ist das Bild eines Morphismus
k : Pn → G
vi := k(i)
Notation: k = v0 · · · vn
Beachte: vi ∼G vi+1 für 0 ≤ i ≤ n − 1. K heißt v0 -vn -Kantenzug.
(ii) Ein v-w-Kantenzug heißt geschlossen, falls v = w.
1.5.2 Bemerkung. Sei n ≥ 3. Betrachte
p
Pn → Cn
(
i
i 7→
n
1≤i≤n
i=0
n = 3:
P3 = •0
6
#
•1
•3
•3
C3 =
•2
•1
•2
k
Für n ≥ 3 ist Pn → G geschlossen genau dann, wenn k faktorisiert als
/G
>
k
Pn
p
k
0
Cn
mit k 0 (i) = k(i), das heißt, k kann durch k 0 : Cn → G beschrieben werden.
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
1.5. WEGE, KREISE, ZUSAMMENHANG
19
1.5.3 Definition. Sei K ein Kantenzug in G. Dann heißt
k
• K Weg, falls Pn → G Kanten-injektiv ist.
k
• K einfacher Weg, falls K ein Weg und Pn → G Knoten-injektiv ist. (v0 = vn
ist erlaubt)
• K Kreis, falls K ein geschlossener einfacher Weg ist. (Notation: C statt K)
• K Pfad, falls K ein nicht geschlossener einfacher Weg ist. (Notation: P statt K)
1.5.4 Bemerkung.
k
(i) Sei G ein Graph und K ein Pfad in G. ⇒ Pn ,→ G, also ist Pn ein Teilgraph von
G via k.
k0
(ii) Sei G ein Graph und K ein Kreis in G. ⇒ Cn ,→ G, also ist Cn ein Teilgraph von
G via k 0 .
(iii) Jeder v-w-Kantenzug enthält einen einfachen v-w-Weg.
(iv) Jeder geschlossene Weg K besteht in gewisser Hinsicht aus Kreisen C1 , . . . , Cr ⊆ G
E(K) =
n
]
E(Ci )
i=1
Vorlesung 03 vom 11.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
20
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.5.5 Lemma. Sei G ein einfacher Graph und k ≥ 0 so, dass deg(v) ≥ k ∀ v ∈ V (G)
(zum Beispiel k = δ(G)). Dann gilt:
(i) G enthält einen Pfad der Länge ≥ k.
(ii) Falls k ≥ 2 enthält G einen Kreis der Länge ≥ k + 1.
Beweis.
(i) Sei P = v0 · · · vr ein maximaler Pfad, das heißt ∀ w ∈ V (G) mit w ∼G vr gilt:
w ∈ {v0 , . . . , vr } (P ist als Pfad nicht verlängerbar)
NG (vr ) ⊆ v0 , . . . , vr }
Da G einfach ist, ist k ≤ deg(vr ) = #NG (vr ) ⇒ r ≥ k
(ii) Sei k ≥ 2 und P = v0 , . . . , vr wie in (i). Sei i maximal mit NG (vr ) ⊆ {vi , . . . , vr−1 }
⇒ vi ∈ NG (vr )
⇒ r − i ≥ k ≥ 2 ⇒ vi 6= vr , vr−1
⇒ vi · · · vr vi ist ein Kreis der Länge ≥ k + 1
1.5.6 Definition. Sei G ein Graph
(i) Graphmetrik: Für v, w ∈ V (G) ist
dG (v, w) := inf{n | ∃ v-w-Kantenzug der Länge n in G }
(falls v 6= w)
= inf{n | ∃ v-w-Pfad der Länge n in G }
Beachte:
dG : V (G) × V (G) → [0, ∞]
dG (v, w) = ∞ ⇔ @ v-w-Kantenzug in G
(ii) G heißt zusammenhängend, falls ∀ v, w ∈ V (G) gilt: dG (v, w) < ∞
(iii) Sei C ⊆ G ein induzierter Teilgraph. C heißt Zusammenhangskomponente,
falls C maximal zusammenhängend ist, das heißt für C ⊆ C 0 ⊆ G, wobei C 0 ein
induzierter zusammenhängender Teilgraph ist ⇒ C = C 0
Vorlesung 04 vom 14.04.2011
1.5. WEGE, KREISE, ZUSAMMENHANG
21
1.5.7 Bemerkung.
(i) Sei G ein Graph. Dann ist (V (G), dG ) ein metrischer Raum.
(ii) Sei C ⊆ G ein induzierter Teilgraph. Dann sind äquivalent:
a) C ist eine Zusammenhangskomponente
b) Sei ∼∗ die von ∼G erzeugte Äquivalenzrelation, dann ist V (C) eine
Äquivalenzklasse von ∼∗ .
c)
d)
∃ x ∈ V (C) so, dass V (C) = {y ∈ V (G) | ∃ x-y-Kantenzug in G}
∀ x ∈ V (C) gilt V (C) = {y ∈ V (G) | ∃ x-y-Kantenzug in G}
(iii) Sei G ein Graph und seien K1 , . . . , Kr die von den Äquivalenzklassen der Relation
∼∗ induzierten Teilgraphen. Dann gilt:
a)
V (G) = V (K1 ) ] . . . ] V (Kr )
b)
E(G) = E(K1 ) ] . . . ] E(Kr )
1.5.8 Präsenzübungsaufgabe. Die Metrik eines einfachen Graphen legt einen Graphen eindeutig fest.
1.5.9 Präsenzübungsaufgabe. Sei f : G → H ein Morphismus. Dann gilt:
1.
dG (v, w) ≥ dH (f (v), f (w))
2.
f : (V (G), dG ) → (V (H), dH )
ist stetig.
1.5.10 Definition. Sei G ein Graph.
1. Der Durchmesser ist
diam(G) := sup{dG (v, w) | v, w ∈ V (G)}
2. Die Taillenweite (girth) ist
g(G) := inf{n | ∃ Kreis der Länge n in G}
1.5.11 Bemerkung. Falls G nicht einfach ist, existiert v ∈ V (G) mit v ∼G v ⇒ vv
ist ein Kreis der Länge 1, also g(G) = 1.
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Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
22
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.5.12 Übungsaufgabe. Sei G ein Graph mit 3 ≤ g(G) ≤ ∞. Dann gilt: g(G) ≤
2 diam(G) + 1
Vorlesung 04 vom 14.04.2011
1.5. WEGE, KREISE, ZUSAMMENHANG
23
2 Bäume
2.0.1 Definition.
(i) Ein Wald ist ein kreisfreier Graph.
(ii) Ein Baum ist ein zusammenhängender Wald.
2.0.2 Beispiel. Jede Zusammenhangskomponente des Waldes ist ein Baum:
Wald
Baum
Baum
2.0.3 Bemerkung.
(i) Jeder Wald ist ein einfacher Graph.
(ii) Sei G ein Wald und K1 , . . . , Kr die Zusammenhangskomponenten. Die Ki sind
Bäume.
Vorlesung 05 vom 18.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
24
KAPITEL 2. BÄUME
2.1 Charakterisierung von Bäumen
2.1.1 Satz. Sei G ein Graph mit n = |V (G)| ≥ 1. Dann sind äquivalent:
(i) G ist ein Baum.
(ii) G hat n − 1 Kanten und ist kreisfrei.
(iii) G hat n − 1 Kanten und ist zusammenhängend.
(iv) G ist maximal kreisfrei, das heißt
a) G ist kreisfrei.
b) ∀ x, y ∈ V (G) mit xy =: e ∈
/ V (G) hat G ∪ e einen Kreis.
(v) G ist minimal zusammenhängend, das heißt
a) G ist zusammenhängend.
b) ∀ e ∈ E(G) ist G − e nicht zusammenhängend.
(vi) G ist einfach und ∀ v 6= w ∈ V (G) existiert genau ein v-w-Pfad in G.
2.1.2 Lemma. Jeder Graph G mit
|E(G)| ≥ |V (G)| ≥ 1
(2.1)
enthält einen Kreis.
Beweis. Induktion nach n = |V (G)|
n = 1 X •1
n≥2
Fall 1 ∃ v ∈ V (G) mit deg(v) = 0 oder 1. Betrachte G − v.
Behauptung: G − v erfüllt die Induktionsvoraussetzung (2.1)
|V (G − v)| = |V (G)| − 1
|E(G − v)| ≥ |E(G)| − 1
Also enthält G − v nach I.V. einen Kreis. Damit auch G.
Fall 2 Es gelte deg(v) ≥ 2 ∀ v ∈ V (G)
1.5.5
⇒ Es existiert ein Kreis der Länge ≥ k + 1 = 3 in G.
2.1.3 Lemma. Sei G ein Graph mit
|E(G)| < |V (G)| − 1
Dann ist G nicht zusammenhängend.
Vorlesung 05 vom 18.04.2011
(2.2)
2.1. CHARAKTERISIERUNG VON BÄUMEN
25
Beweis. Induktion nach n = |V (G)|
n = 1 : |E(G)| < 0 solch ein Graph existiert nicht.
n = 2 : |E(G)| < 1 ⇒ G ist nicht zusammenhängend.
n ≥ 3 Behauptung: ∃ v ∈ V (G) mit deg(v) = 0 oder 1.
Sonst gilt δ(G) ≥ 2 und
(2.2)
H.S.
2 · n = 2 · |V (G)| ≤ δ(G) · |V (G)| ≤ 2 · |E(G)| 2 · (n − 1)
Falls deg(v) = 0 ⇒ v ist isoliert.
Falls deg(v) = 1: Betrachte G − v → erfüllt (2.2)
Also ∃ x, y ∈ V (G) − v die in G − v nicht verbunden sind. Da deg(v) = 1 , sind x,y
auch nicht in G verbunden.
Beweis des Satzes.
• (i) ⇒ (ii) Zu zeigen: |E(G)| = n − 1
Nach Lemma 2.1.2 folgt: |E(G)| ≤ n − 1, da G kreisfrei ist.
Nach Lemma 2.1.3 folgt: |E(G)| ≥ n − 1, da G zusammenhängend ist.
⇒ |E(G)| = n − 1
• (ii) ⇒ (iii) Zu zeigen: G ist zusammenhängend.
Seien K1 , . . . , Kr die Zusammenhangskomponenten von G. Da G kreisfrei ist,
sind auch die Ki kreisfrei, also Bäume.
⇒ |E(Ki )| = |V (Ki )| − 1
|V (G)| − 1 = |E(G)|
r
X
=
|E(Ki )|
i=1
=
r
X
(|V (Ki )| − 1) = |V (G)| − r
i=1
⇒r=1
• (iii) ⇒ (iv)
(b) Da |E(G)| = n − 1 ist |E(G ∪ e)| = n ≥ n ⇒ G ∪ e ist nicht kreisfrei.
(a) Induktion nach n
n=1X
n > 1 G zusammenhängend ⇒ @ Knoten v mit deg(v) = 0 ⇒ ∃ v mit
deg(v) = 1
G − v erfüllt die I.V. ⇒ G − v ist kreisfrei ⇒ G ist kreisfrei.
• (iv) ⇒ (v)
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26
KAPITEL 2. BÄUME
(b) Sei e = {xy}. Angenommen, G − e ist zusammenhängend. Sei P ein x-y-Pfad
in G − e ⇒ P ∪ e ist ein Kreis in G. Widerspruch!
(a) Angenommen, ∃ x, y ∈ G : d(x, y) = ∞
Behauptung: G ∪ {x, y} ist kreisfrei (⇒ Widerspruch!)
Sonst gäbe es einen Kreis v0 · · · vn in G∪{x, y}. Da G kreisfrei ist, ∃ 0 ≤ i ≤ n
mit x = vi , y = vi+1
⇒ vi+1 · · · vn = v0 · · · vi ist ein x-y-Pfad in G. Widerspruch! Größerer Widerspruch!
• (v) ⇒ (vi) G ist einfach. Denn angenommen, ∃ v mit vv ∈ E(G) ⇒ G − e ist
zusammenhängend. Widerspruch!
Eindeutiger Pfad: Sei a 6= b ∈ V (G). Da G zusammenhängend ist, ∃ mindestens
ein a-b-Pfad in G.
Angenommen, ∃ a 6= b mit 2 verschiedenen a-b-Pfaden
P1 = (a = x0 · · · xn = b)
P2 = (a = y1 · · · ym = b)
oBdA sind nur a und b gemeinsam.
⇒ Kreis x0 · · · xn = ym · · · y0
Sei e = {a, x1 } ⇒ G − e ist zusammenhängend, da G zusammenhängend ist.
Widerspruch!
Denn: jeder v-w-Kantenzug, der e = {a, x1 } verwendet, kann durch a = y0 · · · ym =
xn · · · x1 zu einem v-w-Kantenzug in G − e gemacht werden.
• (vi) ⇒ (i) G zusammenhängend X
G kreisfrei: Angenommen ∃ Kreis C der Länge ≥ 3 (G ist einfach) ⇒ ∃ zwei
verschiedene a-b-Pfade in G.
2.2 Rekursive Struktur von Bäumen
Ziel: Das Bild
ist nicht speziell.
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2.3. BLÄTTERZAHL VON BÄUMEN
27
2.2.1 Satz. Ein Graph G ist ein Baum genau dann, wenn es eine Sequenz von Graphen
G0 , . . . , Gn gibt so, dass
(i) G0 = K1 und Gn = G
(ii) Für alle 0 ≤ i < n gilt: ∃ v ∈ V (Gi+1 ) mit degGi+1 (v) = 1 so, dass Gi+1 − v = Gi .
(Es gilt notwendig: |V (G)| = n + 1)
Beweis.
„⇐“ Induktion nach n (von G0 , . . . , Gn )
n = 0: G0 = K1 X
n ≥ 1 Nach I.V. ist Gn−1 ein Baum, hat also (n − 1) Kanten und ist kreisfrei.
Da v mit deg(v) = 1 existiert so, dass G − v = Gn−1 , hat G n Kanten und ist
kreisfrei ⇒ G ist ein Baum.
„⇒“ Induktion nach n = |V (G)|
n=1X
n ≥ 2 Nach (iii) hat G n − 1 Kanten und ist zusammenhängend. Also @ v mit
deg(v) = 0. Also existiert v mit deg(v) = 1 (Handshaking-Lemma).
⇒ G − v hat n − 2 Kanten und ist zusammenhängend
⇒ G − v ist ein Baum
I.V.
⇒ ∃ G0 , . . . , Gn−2 mit (i) und (ii): G − v = Gn−2 . Setze Gn−1 = G ⇒ fertig.
2.3 Blätterzahl von Bäumen
2.3.1 Lemma. Sei G ein Baum mit n ≥ 2 Knoten. Dann gilt:
X
#Blätter = 2 +
(deg(v) − 2)
v∈V (G)
deg(v)>2
Beweis. Wissen: G hat n − 1 Kanten
X
H.S.
deg(v) = 2 · (n − 1)
v∈V (G)
X
⇒0=2+
deg(v) − 2n
v∈V (G)
X
=2+
(deg(v) − 2)
v∈V (G)
Da n ≥ 2 und G zusammenhängend ist, @ v mit deg(v) = 0.
=−#Blätter
0=2+
X
(deg(v) − 2) +
v∈V (G)
deg(v)>2
Vorlesung 05 vom 18.04.2011
X
v∈V (G)
deg(v)=2
(deg(v) − 2) +
{z
}
|
=0
z X
v∈V (G)
deg(v)=1
}|
{
(deg(v) − 2)
{z
}
|
=−1
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28
KAPITEL 2. BÄUME
2.3.2 Korollar. Sei G ein Baum. Dann hat G mindestens ∆(G) Blätter.
Beweis. Induktion nach n = |V (G)|
n=1
•G X
n≥2
#Blätter = 2 +
X
(deg(v) − 2) ≥ 2
v∈V (G)
deg(v)>2
Falls ∆(G) = 2 X
Falls ∆(G) ≥ 3, sei v0 ∈ V (G) mit deg(v0 ) = ∆(G)
⇒ #Blätter ≥ 2 + (deg(v0 ) − 2) = ∆(G)
2.4 Wurzelbäume
2.4.1 Definition.
(i) Sei T ein Baum und v, w ∈ V (T ), v 6= w. Nach (vi) ∃ ! v-w-Pfad in T . Notiere
den als vT w.
(ii) Ein Wurzelbaum ist ein Paar (T, w), wobei T ein Baum ist und w ∈ V (T ) ein
ausgezeichneter Knoten, die Wurzel.
(iii) Ein Wurzelbaum (T, w) induziert eine Halbordnung auf V (T ) :
x ≤T,w y :⇔ x ∈ yT w
Bemerkung: eine Halbordnung ist reflexiv, transitiv und anti-symmetrisch.
Vorlesung 05 vom 18.04.2011
2.4. WURZELBÄUME
29
2.5 Spannbäume
2.5.1 Definition. Es sei G ein Graph
(i) Ein spannender Wald von G ist ein spannender Teilgraph W ⊆ G, der ein
Wald ist.
(ii) ein Spannbaum von G ist ein zusammenhängender spannender Wald.
2.5.2 Bemerkung. Sei W = (V (G), ∅) ⊆ G. Dann ist W ein spannender Wald.
Interessanter: Pro Zusammenhangskomponente ein Spannbaum.
2.5.3 Beispiel.
G
Spannbäume
2.5.4 Lemma. G hat einen Spannbaum ⇔ G ist zusammenhängend.
Beweis.
„⇒“: Sei T ⊆ G ein Spannbaum. Da T zusammenhängend und V (T ) = V (G), sind alle
Kanten aus G über T verbunden ⇒ G ist zusammenhängend.
„⇐“: (nicht konstruktiv)
Betrachte
M := {T ⊆ G | T Baum }
Dann gilt: M 6= ∅, da ∀ v ∈ V (G) ist T := ({v}, ∅) ∈ M
Sei T ein enthaltens-maximales Element von M .
Behauptung: V (T ) = V (G)
Angenommen, ∃ y ∈ V (G) − V (T )
Sei y0 ∈ V (T )
Da G zusammenhängend ist, ∃ y-y0 -Pfad y0 = x0 . . . xn = y in G.
Sei xk der erste Knoten in T (k ≥ 1)
Setze T 0 := (V (T ) ∪ {xk−1 }, E(T ) ∪ {xk−1 , xk })
T 0 ist ein Baum (rekursive Struktur) und T ( T 0
Widerspruch zu T maximal!
Vorlesung 06 vom 25.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
30
KAPITEL 2. BÄUME
Frage: Gegeben ein Baum T und einen zusammenhängenden Graphen G . Enthält G
einen zu T isomorphen Spannbaum?
2.5.5 Lemma. Sei T ein Baum und G ein einfacher Graph mit δ(G) ≥ |V (T )| − 1.
Dann enthält G einen Teilgraphen, der isomorph zu T ist.
Beweis. Induktion nach n = |V (T )|.
n = 1 T• X
n ≥ 2 Da T Baum und |V (T )| ≥ 2:
Nach der rekursiven Struktur existiert ein Knoten v ∈ V (T ) mit degT (v) = 1. Dann ist
T − v wieder ein Baum.
Es gilt:
δ(G) ≥ |V (T )| − 1 > |V (T − v)| − 1
Nach I.V. existiert ein Teilgraph S ⊆ G zusammen mit einem Isomorphismus
f : (T − v) → S
Sei w der (eindeutige) Nachbar von v in T .
Wissen:
degG (f (w)) ≥ δ(G) ≥ |V (T )| − 1 = |V (S)|
G einfach
⇒
∃ y ∈ V (G) − V (S) mit y ∼G f (w)
Setze
S 0 := (V (S) ∪ {y}, E(S) ∪ {f (w), y})
(
f (x) x 6= v
0
0
f :T →S
x 7→
y
x=v
Behauptung: f 0 ist ein Isomorphismus.
(i) f ist ein Morphismus X
Denn:v ∼T w ⇒ y = f 0 (v) ∼S f 0 (w) = f (w)
(ii) f 0 ist Knoten-bijektiv X
(iii) |E(T )| = |E(S 0 )| X
Denn weil f ein Isomorphismus ist, gilt: |E(T − v)| = |E(S)|
2.5.6 Bemerkung.
(i) Lässt man die Bedingung T Baum fallen, ist das Lemma i.A. falsch:
K3
K3,3
K3,3 ist Dreiecks-frei, aber δ(K3,3 ) = 3 ≥ |V (K3 )| = 2
(ii) Lässt man sie Bedingung δ(G) ≥ |V (T )| − 1 fallen, so ist es i.A. auch falsch.
Vorlesung 06 vom 25.04.2011
2.5. SPANNBÄUME
31
2.5.7 Definition. Stern(n): Baum mit n + 1 Knoten
1
n
2
0
Falls G r-regulär ist mit r < |V (Stern(n))| − 1 = n, ist Stern(n) nicht in G enthalten,
denn
∀ v ∈ V (G) : degG (v) ≤ degStern(n) (0) = n
Ziel: Algorithmische Konstruktion von Spannbäumen mit besonderen Eigenschaften:
Tiefen- und Breitensuche.
Erinnerung: Sei (T, w) ein Wurzelbaum (ein Baum T mit einem ausgezeichneten
Wurzelknoten w). Dann induziert
x, y ∈ V (T ) : x ≤T,w y ⇔ x ∈ wT y
eine Halbordnung auf V (T ).
2.5.8 Definition. Sei G ein Graph und (T, w) ⊆ G ein Spannbaum. (T, w) heißt
(i) normal oder Tiefensuchbaum, falls:
∀ x, y mit x ∼G y gilt: x ≤T,w y oder y ≤T,w x
(ii) Breitensuchbaum, falls:
∀ x, y mit x ∼G y und x T y gilt: x T,w y und y T,w x
2.5.1 Der Tiefensuchalgorithmus:
Seien als globale Variablen i (Index), T (Baum) und vj (Knotenbezeichnungen) gegeben.
Input: Graph G und Knoten w ∈ V (G).
1. Initialisierung:
• i=1
• v1 = w
• T = ({w}, ∅)
2. Falls i = |V (G)| = n: Ende und Output: v1 , . . . , vn , T .
Falls i < n: Gehe zu 3.
Vorlesung 06 vom 25.04.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
32
KAPITEL 2. BÄUME
3. Sei j maximal mit 1 ≤ j ≤ i und
N (vj ) * {v1 , . . . , vi }
Wähle v ∈ N (vj ) \ {v1 , . . . , vi } und setze
• vi+1 = v
• i=i+1
• T = (V (T ) ∪ {v}, E(T ) ∪ {{vj , v}})
Gehe zu 2.
2.5.9 Beispiel.
w = v1
v9
v2
v4
v3
v5
v3
v4
w = v1
v6
v5
v8
v2
v7
Notation Sei vj ein Knoten aus 3. und v ein vom Algorithmus gewählter Nachbar.
Dann notieren wir diese Wahl in 3. als
3.
vj −
→v
Beachte, dass gerade die Kante {vj , v} zum Baum hinzukommt.
2.5.10 Satz. Für jeden zusammenhämgenden Graphen G und Knoten w ∈ V (G)
produziert obiger Algorithmus einen spannenden Tiefensuchbaum (T, w) von G.
Beweis. Sei G zusammenhängend. Wir zeigen zunächst, dass ein Spannbaum produziert
wird. Angenommen der Algorithmus produziert eine Liste
{v1 , . . . , vi }
mit i < n = |V (G)|. Das heißt, nicht alle Knoten von G werden aufgelistet. Da G
zusammenhängend, existiert ein j mit 1 ≤ j ≤ i und ein nicht gelistetes v mit vj ∼G v.
Wähle ein maximales j. Dieses führt aber in 3. des Algorithmus zu einem weiteren
Listenelement im Widerspruch zur Annahme.
Für die Eigenschaft des Tiefensuchbaums (Normalität) sei vr ∼G vs mit r ≤ s. Wir
behaupten, dass vr ≤T,w vs . Für r = s ist dieses klar. Sei also s > r. Dann gibt es
einen Moment, in dem der Algorithmus schon die Liste {v1 , . . . , vr } produziert hat und
i = r ist. Dann ist das maximale j aber r, da der Nachbar vs in dem Moment noch
ungelistet ist. Nun kann es nur zwei Fälle geben:
Vorlesung 06 vom 25.04.2011
v6
2.5. SPANNBÄUME
33
Fall 1: vs wird in 3. vom Algorithmus gewählt. Dann gilt vr ≤T,w vs .
Fall 2: Es gibt einen weiteren in 3. gewählten Nachbar vk von vr (also k > r) und Knoten
vi1 , . . . , vit mit
3.
3.
3.
3.
3.
vr −
→ vk −
→ vi 1 −
→ ··· −
→ vit −
→ vs
Das heißt, vs wird im Baum unterhalb von vr durch einen anderen Nachbar vk
aufgelistet. Auch dann gilt vr ≤T,w vs .
Damit ist gezeigt, dass der Algorithmus einen normalen Spannbaum (T, w) von G
produziert.
Vorlesung 06 vom 25.04.2011
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35
3 Konstruktionen
3.0.1 Definition. Sei n ∈ N. Der leere Graph En auf n Knoten ist das Komplement
En := K n , das heißt V (En ) = {1, . . . , n}, E(En ) = ∅
3.0.2 Definition. Sei G ein Graph und ≈ eine Äquivalenzrelation auf V (G). Der
Quotientengraph G/ ≈ ist
V (G/ ≈) := V (G)/ ≈
[v] ∼G/≈ [w] :⇔ ∃ v 0 ≈ v, w0 ≈ w mit v 0 ∼G w0
3.1 Summen und Produkte
3.1.1 Definition. Seien G, H Graphen
(i) Die Summe G + H ist:
V (G + H) := V (G) × {1} ] V (H) × {2}
(v, i) ∼G+H (w, j) :⇔ i = j ∧ v ∼ w
(ii) Die Vereinigung G ∪ H ist
V (G ∪ H) := V (G) ∪ V (H)
E(G ∪ H) := E(G) ∪ E(H)
(iii) Der Durchschnitt G ∩ H ist
V (G ∩ H) := V (G) ∩ V (H)
E(G ∩ H) := E(G) ∩ E(H)
Beispiel: En ∼
= E1 + . . . + E1
|
{z
}
n-mal
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36
KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN
3.1.2 Bemerkung. G + H hat G und H als Teilgraphen durch die Inklusionen:
G ,→ G + H
v 7→ (v, 1)
H ,→ G + H
w 7→ (w, 2)
In G + H gilt:
G ∪ H = G + H, G ∩ H = ∅
3.1.3 Definition. Seien G, H Graphen und S ⊆ G, S ⊆ H ein gemeinsamer Teilgraph.
Definiere eine Äquivalenzrelation ≈ auf V (G + H):
(v, 1) ≈ (v, 2) ∀ v ∈ V (S)
Die amalgamierte Summe bezüglich S ist:
G +S H := G + H/ ≈
3.1.4 Beispiel. G = H = K3 , S = K2
G + H2
3
2
G+H≈
−→
1
1
3
3.1.5 Definition. Seien G, H Graphen. Das vollständige Produkt G ∗ H ist:
V (G ∗ H) := V (G) × {1} ] V (H) × {2}
(v, i) ∼G∗H (w, j) :⇔ ((i = j ∧ v ∼ w) ∨ i 6= j)
3.1.6 Beispiel.
(i) Kn,m := En ∗ Em vollständig bipartiter Graph auf n × m Knoten
(ii) Kn ∼
= E1 ∗ . . . ∗ E1 ⇒ Kn ∗ Km ∼
= Kn+m
{z
}
|
n-mal
3.1.7 Bemerkung. Seien G und H einfach.
⇒ G ∗ H ist einfach und G ∗ H ∼
= G + H bzw. G ∗ H = G + H (G = G)
Bezüglich G → G sind + und ∗ „dual“ zueinander.
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3.1. SUMMEN UND PRODUKTE
37
3.1.8 Definition. Seien G,H Graphen. Das Boxprodukt GH ist:
V (GH) := V (G) × V (H)
(v, w) ∼GH (v 0 , w0 ) :⇔ (v = v 0 ∧ w ∼H w0 ) ∨ (v ∼G v 0 ∧ w = w0 )
3.1.9 Beispiel.
P2 K2
K2 K2
(1, 2)
(1, 1)
P2
(2, 1)
(2, 2)
K2
Bemerkung: GK1 ∼
=G
3.1.10 Definition. Seien G, H Graphen. Das Produkt G × H ist:
V (G × H) := V (G) × V (H)
(v, w) ∼G×H (v 0 , w0 ) :⇔ v ∼G v 0 ∧ w ∼H w0
3.1.11 Beispiel. K2 × K2
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
Bemerkung: n = |V (G)|. Dann ist G × K1 = En
3.1.12 Übungsaufgabe. Im Allgemeinen gilt nicht: G × H ∼
= G × H0 ⇒ H ∼
= H0
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38
KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN
3.1.13 Bemerkung.
(i) Die Projektionen
π
G
G
G×H →
(v, w) 7→ v
π
H
H
G×H →
(v, w) 7→ w
sind Morphismen.
Es gilt folgende universelle Eigenschaft: zu jedem Paar von Morphismen
fG : J → G,
fH : J → H
existiert genau ein Morphismus
f : J →G × H mit
πG ◦ f = fG
πH ◦ f = fH
7 GO
fG
J
∃ !f
πG
/ G×H
πH
' H
fH
Denn: f muss wie folgt aussehen: f (v) = (fG (v), fH (v))
Außerdem definiert dies einen Morphismus, falls fG und fH Morphismen sind.
(ii) (Anwendung von (i)) Ein Kantenzug in einem Graphen ist ein Morphismus
Pn → G.
Das heißt: (v0 , w0 ) · · · (vn , wn ) ist ein (v0 , w0 )-(vn , wn ) Kantenzug in G × H ⇔
(v0 · · · vn ist ein v0 -vn -Kantenzug in G, w0 · · · wn ist ein w0 -wn -Kantenzug in H).
π
H
Pn →G × H →
H
i 7→(vi , wi ) 7→ wi
Das ist wichtig für den Zusammenhang!
3.1.14 Lemma. Ist G × H zusammenhängend, so auch G und H.
Beweis. Seien v, w ∈ V (G), x ∈ V (H) fixiert. Da G × H zusammenhängend ∃ (v, x)-
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3.2. LINE-GRAPHEN
39
(w, x)-Kantenzug in G × H
Bemerkung (ii) ∃ v-w-Kantenzug in G.
3.1.15 Lemma. Seien G, H Graphen ⇒ χ(G × H) ≤ min{χ(G), χ(H)}
Beweis. Es existieren die Projektionsmorphismen
π
π
H
G
H
G, G × H →
G×H →
⇒ χ(G × H) ≤ χ(G) und χ(G × H) ≤ χ(H)
Vermutung: Es gilt
teilweise bekannt
χ(G × H) = min{χ(G), χ(H)}
GT2
3.1.16 Korollar. Seien G, H Graphen. G ist bipartit ⇒ G × H ist bipartit.
Beweis. Das folgt direkt aus:
3.1.17 Übungsaufgabe. Sei G ein Graph. G ist bipartit ⇔ χ(G) ≤ 2
3.2 Line-Graphen
3.2.1 Definition. Sei G ein einfacher Graph. Der Line-Graph L(G) ist:
V (L(G)) := E(G)
e ∼L(G) f :⇔ |e ∩ f | = 1
3.2.2 Beispiel. Fehlt noch.
3.2.3 Definition.
1. Sei G ein einfacher Graph. Eine Kantenfärbung von G ist eine Färbung von
L(G)
2. χ0 (G) := χ(L(G)) ist der chromatische Index
3.2.4 Lemma.
χ0 (G) ≥ ∆(G)
Beweis. Sei v ∈ V (G) mit deg(v) = ∆(G) = n. n Kanten treffen sich in v. Die müssen
verschieden gefärbt werden.
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40
KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN
Bemerkung:
K1,n
v1
vn
v
L(K1,n ) ∼
= Kn
3.2.5 Satz. Sei G ein bipartiter Graph. Dann gilt:
χ0 (G) = ∆(G)
3.2.6 Satz. Sei G ein einfacher Graph ⇒ ∆(G) ≤ χ0 (G) ≤ ∆(G) + 1
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3.2. LINE-GRAPHEN
41
3.2.7 Bemerkung.
(i)
3.2.8 Präsenzübungsaufgabe. e = {xy} ∈ E(G), dann ist
degL(G (e) = degG (x) + degG (y) − 2
(ii)
G∼
= H ⇒ L(G) ∼
= L(H)
aber
L(G) ∼
= L(H) ; G ∼
=H
da: L(G + K1 ) ∼
= L(G) und L(K3 ) ∼
= L(K1,3 )
Frage: Welche Graphen sind Line-Graphen?
3.2.9 Definition. Sei G ein Graph. Eine Clique C ⊆ G ist ein vollständiger Teilgraph,
das heißt C ∼
= Kn mit n = |V (C)|.
3.2.10 Beispiel.
Bemerkung (GT2):
Das Entscheidungsproblem: Gegeben Graph G und n ≥ 2 - hat G eine n-Clique? ist
N P-vollständig.
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42
KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN
3.2.11 Beispiel (Lokale Struktur von Line-Graphen). Sei G ein einfacher Graph.
v ∈ V (G), deg(v) = r ⇒ K1,r ⊆ G
vrK1,r
v1
v
Cv := L(K1,r ) V (Cv ) = {e ∈ E(G) | v ∈ e}
Cv ist eine r-Clique.
⇒ Kr ⊆ L(G)
Beobachtung: Jede Kante •v
•w liegt genau in Cv und Cw .
3.2.12 Satz. Sei G ein einfacher Graph. Äquivalent sind:
1. ∃ einfacher Graph H mit L(H) ∼
=G
2. ∃ Cliquen C1 , ..., Cs in G so, dass
(i)
E(G) =
s
]
E(Ci )
i=1
(ii) ∀ v ∈ V (G) existieren höchstens zwei und mindestens ein i mit v ∈ V (Ci )
Beweis. Sei oBdA L(H) = G
• 1⇒2
Definiere für v ∈ V (H) Cv :
V (Cv ) := {e ∈ E(H) | v ∈ e}
x ∼Cv y ⇔ x ∩ y 6= ∅
Cv ist eine deg(v)-Clique in L(H). Zu zeigen:
1.
]
E(L(H)) =
v∈V (H)
„⊇“X
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E(Cv )
3.2. LINE-GRAPHEN
43
„⊆“
e ∼L(H) f
⇒ e = {v, x}, f = {v, y}, x 6= y
⇒ e, f ∈ Cv (dieses v ist eindeutig, also ])
⇒ e ∼Cv f
⇒ {e, f } ∈ E(Cv )
2. Sei e = {v, w} ∈ V (L(H)) und sei z ∈ V (G) mit e ∈ Cz
z ∈e⇒z =v∨z =w X
• 2 ⇒ 1: Konstruktion
Seien C1 , ..., Cs Cliquen in G.
(i)
E(G) =
s
]
E(Ci )
i=1
(ii) ∀v ∈ V (G) gilt: es existieren höchstens zwei und mindestens ein i mit v ∈ Ci .
Sei ni := |V (Ci )|. Zu jeder Clique Ci assoziiere einen K1,ni
Sei V (Ci ) = {vi1 , ..., vini }
Benenne die Kanten des K1,ni als evij := {0, j}. Starte mit: K1,n1 +...+K1,ns
Sei v ∈ V (G). Falls zwei Cliquen Ci und Cj v enthalten, so tritt ev in K1,ni
und K1,nj auf. Also: ev = {0, s} in K1,ni , ev = {0, t} in K1,nj
Identifiziere nun:
0
t
ev
s
0
Im resultierenden Graphen tritt ev nur noch einmal auf (wegen (ii))
Verfahre so mit allen v ∈ V (G).
H sei der resultierende Graph.
Behauptung:
G → L(H)
v 7→ ev
ist ein Isomorphismus.
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44
KAPITEL 3. KONSTRUKTIONEN
(i) Die Abbildung v 7→ ev ist wohldefiniert und bijektiv
(ii) Es gilt: v ∼G w ⇔ ev ∼L(H) ew
Denn:
(i)
{v, w} ∈ E(G) ⇔ ∃ ! i mit {v, w} ∈ E(Ci ) und: v, w ∈ Ci
⇔ ∃ ! i so, dass ev und ew liegen beide in K1,ni
⇔ |ev ∩ ew | = 1
⇔ ev ∼L(H) ew
3.2.13 Beispiel.
3.2.14 Beispiel.
G
In G gibt es nur 1er und 2er Cliquen. G ist kein Line-Graph
3.2.15 Lemma. Ein Morphismus f : G → H (G, H einfach) induziert durch fE :
E(G) → E(H) einen Morphismus L(f ) : L(G) → L(H) genau dann, wenn f die
folgende Bedingung erfüllt:
{v, x}, {v, y} ∈ E(G) mit x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
Vorlesung 08 vom 02.05.2011 (Jans Geburtstag!)
3.2. LINE-GRAPHEN
45
Denn: e1 ∼L(G) e2 ⇒ {f (v), f (x)} ∼L(H) {f (v), f (y)}
Dann ist L(f ) : L(G) → L(H) via fE wohldefiniert.
3.2.16 Beispiel. Ist f : G → H Kanten-injektiv (Bed. ist erfüllt), so ist L(f ) : L(G) →
L(H) Knoten-injektiv.
3.2.17 Beispiel. f erfüllt die Bedingung nicht:
•
e1
•
e2
f
• → •
•
∼ K1 . Dort gibt es keine Schleifen.
e1 ∼L(P2 ) e2 , aber f (e1 ) = f (e2 ) und L(P1 ) =
Erinnerung: Ein Weg oder Kantenzug in einem Graphen G ist eine zusammenhängende
k
Folge von Kanten. Das kann man auch als Morphismus Pn → G sehen. Der Kantenzug
heißt Weg, falls k Kanten-injektiv ist und einfacher Weg, falls k Kanten- und Knoteninjektiv ist. (Hinweis: aus Knoten-Injektivität folgt Kanten-Injektivität). Ein Kreis ist
ein geschlossener einfacher Weg (v0 = vn ist bei einfachen Wegen erlaubt). Ein Pfad ist
ein einfacher, nicht geschlossener Weg.
)
f
∼ L(Pn ) L(f
→ L(G) ein einfacher
Anwendung: Sei Pn → G ein Weg in G, so ist Pn−1 =
Weg in L(G).
Konkret: Ist v0 · · · vn ein Weg in G, so ist {v0 , v1 }{v1 , v2 } · · · {vn−1 , vn } ein einfacher
Weg in L(G).
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47
4 Euler- und Hamilton-Pfade und
-Zykel
4.1 Euler-Pfade und Zykel
4.1.1 Definition. Sei G ein Graph.
(i) Ein Euler-Weg in G ist ein Kanten-bijektiver Kantenzug Pn → G.
(ii) Ein Euler-Pfad ist ein nicht geschlossener Euler-Weg.
Ein Euler-Zykel ist ein geschlossener Euler-Weg.
4.1.2 Beispiel. Haus vom Nikolaus
x
y
Euler-Pfad von x nach y
Enthält keinen Euler-Weg
4.1.3 Satz (Euler). Sei G ein zusammenhängender Graph.
(i) G hat einen Euler-Zykel ⇔ jeder Knoten in G hat geraden Grad
(ii) G hat einen Euler-Pfad (von x nach y) ⇔ genau zwei Kanten haben ungeraden
Grad (das sind x und y)
Beweis.
(i)
„⇒“: Sei v0 · · · vm (v0 = vm ) ein Euler-Zykel, das heißt, jede Kante aus G kommt
darin genau einmal vor. Sei v ∈ V (G). Tritt v in v0 · · · vm k-mal auf, so ist
degG (v) = 2k
Vorlesung 09 vom 05.05.2011
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48
KAPITEL 4. EULER- UND HAMILTON-PFADE UND -ZYKEL
„⇐“: Sei P = v0 · · · vm ein Weg maximaler Länge in G. Dann liegt jede zu vm
inzidente Kante in P , da P sonst verlängerbar wäre.
Behauptung: v0 = vm . Ansonsten ist der Grad von vm ungerade:
• v0
...
•2vm
Widerspruch zu deg(vm ) gerade ⇒ v0 = vm
Behauptung: P enthält alle G-Kanten.
Ansonsten existiert weil G zusammenhängend ist eine Kante {w, vi }, die
nicht in P liegt ⇒ wvi · · · vm = v0 · · · vi ist längerer Pfad. Widerspruch!
(ii)
6 vm . Dann ist für 1 ≤ i ≤
„⇒“: Sei P = v0 · · · vm ein Euler-Pfad, das heißt v0 =
m − 1 deg(vi ) gerade und deg(v0 ), deg(vm ) sind ungerade.
„⇐“: Seien x und y die beiden Knoten ungeraden Grades. Füge zu G einen neuen
Knoten z und Kanten {x, z}, {y, z} hinzu
G ∪ {z}.
In G ∪ {z} hat jeder Knoten geraden Grad ⇒ es existiert ein Euler-Zykel
· · · xzy · · · . Entferne z
Euler-Pfad in G mit Endknoten x und y
4.1.4 Bemerkung. Das Entscheidungsproblem:
Gegeben G. Hat G einen Euler-Pfad oder Zykel ist ein P-Problem.
4.2 Hamilton-Pfade und Kreise
4.2.1 Definition. Sei G ein Graph.
(i) Ein Hamilton-Pfad ist ein Knoten-surjektiver Pfad Pn → G (n = |V (G)|) (Also
ist die Abbildung Knoten-bijektiv!)
(ii) ein Hamilton-Kreis ist ein Knoten-surjektiver Kreis Cn → G
4.2.2 Beispiel. K3 hat einen Hamilton-Kreis.
K1,3 hat keinen Hamilton-Kreis.
Vorlesung 09 vom 05.05.2011
4.2. HAMILTON-PFADE UND KREISE
49
4.2.3 Bemerkung. G enthält einen Hamilton-Kreis ⇒ G enthält einen Hamilton-Pfad.
4.2.4 Bemerkung. (GT2):
Das Entscheidungsproblem: Gegeben G. Hat G einen Hamilton-Pfad oder -Kreis? ist
N P-vollständig.
4.2.5 Lemma. Sei G ein einfacher Graph. Enthält G einen Euler-Pfad oder einen
Euler-Zykel, so enthält L(G) einen Hamilton-Pfad oder einen Hamilton-Kreis.
4.2.6 Bemerkung. G hat keinen Euler-Weg ; L(G) hat keinen Hamilton-Weg (zum
∼ K3 )
Beispiel L(K1,3 ) =
f
Beweis des Lemmas. Sei Pn → G ein Euler-Pfad, das heißt, f ist Kanten-bijektiv.
⇒ Pn−1
∼
=
/∼
= L(Pn )
L(f )
/1 L(G)
knotenbijektiv
Das ist ein Hamilton-Pfad.
Konkret:
Sei v0 · · · vm | vi = f (i) ein Euler-Pfad in G ⇒ {v0 , v1 }{v1 , v2 } · · · {vm−1 , vm } ist ein
Hamilton-Pfad in L(G).
f
Sei nun Pn → G ein Euler-Zykel (weil G einfach ist, gilt n ≥ 3). Nach Bemerkung 1.5.2
faktorisiert f als
f
Pn
f0
p
/G
>
Cn
mit f (i) = f (i).
0
⇒ Cn
∼
=
L(f )
/1 L(G)
/∼
= L(Cn )
knotenbijektiv
Das ist ein Hamilton-Kreis.
4.2.7 Beispiel. K2,4
4.2.8 Satz. Der Kn enthält genau b n−1
2 c paarweise Kanten-disjunkte Hamilton-Kreise.
4.2.9 Korollar. Sei G ein einfacher Graph mit n = |V (G)| und
n−1
n
|E(G)| >
−b
c
2
2
dann enthält G einen Hamilton-Kreis.
Vorlesung 09 vom 05.05.2011
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50
KAPITEL 4. EULER- UND HAMILTON-PFADE UND -ZYKEL
Beweis des Satzes.
|E(Kn )| =
n−1
n
=n·
2
2
Da jeder Hamilton-Kreis n Kanten enthält, gibt es höchstens b n−1
n c paarweise Kantendisjunkte Hamilton-Kreise.
Fall 1:
n−1
n = 2k + 1 ⇒ b
c=k
2
Notiere V (Kn ) = Z2k ] {x} = {0, ..., 2k − 1, x}
Betrachte:
ist Hamilton-Kreis.
z0 = (x, 0, 1, 2k − 1, 2, 2k − 2, ..., k + 2, k − 1, k + 1, k, x)
Idee: rotiere z0 um x um jeweils 1 Einheit.
Das heißt: für j ∈ {1, ..., k − 1}
φj : Kn → Kn
(
v
v=x
v 7→
v + j v 6= x
Setze zj := φj (z0 )
Da φj ein Automorphismus ist, ist zj ein Hamilton-Kreis.
Behauptung: z0 , ..., zk−1 sind paarweise kantendisjunkt.
Kanten an x in zj : j und j + k
Die anderen Kanten in zj haben Knotensumme 2j mod 2k oder 2j + 1 mod 2k.
Fall 2: n = 2k + 2 ⇒ b n−1
2 c=k
Notiere V (Kn ) = Z2k ] {x, x0 }
Selbe Idee! Die Kanten an x0 in zj :
als Knoten: d 23 ke + j
Vorlesung 09 vom 05.05.2011
4.2. HAMILTON-PFADE UND KREISE
4.2.10 Satz. (Dirac) Sei G einfach mit δ(G) ≥
einen Hamilton-Kreis.
51
n
2,
wobei n = |V (G)|. Dann enthält G
Beweis.
1. G ist zusammenhängend, sonst gibt es mindestens 2 Komponenten. In der kleinsten
Komponente gibt es höchstens n2 Knoten. Da G einfach ist, ist der Knotengrad
in dieser Komponente immer ≤ n2 − 1. Widerspruch zu δ(G) ≥ n2 .
2. Existenz eines Hamilton-Kreises
Sei P = v0 ...vk ein Pfad maximaler Länge (⇒ k + 1 ≤ n).
Betrachte folgende Eigenschaften eines Knotens vi von P (0 ≤ i ≤ k − 1)
a) vi ∼G vk
b) vi+1 ∼G v0
Behauptung: ∃ i mit 0 ≤ i ≤ k − 1 so, dass vi a) und b) erfüllt.
Denn: wegen der maximalen Länge von P liegen alle Nachbarn von v0 auf P und
alle Nachbarn von vk liegen auf P .
Das heißt, n2 Knoten der v0 , · · · , vk−1 erfüllen a) und n2 Knoten der v0 , · · · , vk−1
erfüllen b).
Da k < n existiert ein vi , das a) und b) erfüllt.
Behauptung: C = (v0 · · · vi vk · · · vi+1 v0 ) ist ein Hamilton-Kreis.
Sonst: Da G zusammenhängend ist, existiert v ∈
/ {v0 , · · · , vk } und j mit v ∼G vj
⇒ neuer maximaler Pfad mit Länge k + 1.
Motivation:
Sei G ein Graph, x 6= y ∈ V (G), x G y.
Zwei Zahlen:
1. Die kleinste Anzahl Knoten, die man aus G entfernen muss, um x und y zu
trennen.
2. Die größte Anzahl Knoten-disjunkter x-y-Pfade in G.
Es gilt immer: 1. ≥ 2.
4.2.11 Satz (Menger).
1. = 2.
Herangehensweise: Flüsse in Netzwerken
Ford-Fulkerson: Max-Flow Min-Cut
Vorlesung 10 vom 09.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
53
5 Digraphen
5.0.1 Definition.
1. Ein Digraph (directed Graph) D = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V
und einer Kantenmenge E ⊆ V × V .
2. Eine Kante (v, w) ∈ E führt von v nach w. Zeichne •v
Endecke.
e− := v, e+ := w
/ •w , v Startecke, w
e
5.0.2 Beispiel.
. .O .
:•
v
6•
/•o
...
←
−
5.0.3 Definition. Sei D = (V, E) ein Digraph. Das Richtungsdual D ist:
←
−
V ( D) := V (D)
←
−
(v, w) ∈ E( D) :⇔ (w, v) ∈ E(D)
„Umdrehen aller Pfeile“
5.0.4 Beispiel.
D:
:•
/•
←
−
D:
$
•o
•
5.0.5 Bemerkung. Zu jeder Aussage über den Digraphen D gibt es eine duale Aussage
←
−
über D.
5.0.6 Definition. Sei D ein Digraph, v ∈ V (D)
deg+ (v) := #{e ∈ E(D) | v = e− } (Anzahl Kanten mit v als Startecke)
deg− (v) := #{e ∈ E(D) | v = e+ } (Anzahl Kanten mit v als Endecke)
Vorlesung 10 vom 09.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
54
KAPITEL 5. DIGRAPHEN
5.0.7 Beispiel.
a
8•
/ •b
deg+ (a) = 2
deg− (a) = 1
deg+ (b) = 0
deg− (b) = 1
5.1 Graphen und Digraphen
5.1.1 Definition. Sei G = (V, E) ein Graph. Der zu G assoziierte Digraph D(G) ist:
V (D(G)) = V (G)
(v, w) ∈ E(D(G)) :⇔ {v, w} ∈ E(G)
5.1.2 Definition. Sei G = (V, E) ein Graph.
1. Eine Orientierung O ist eine Abbildung:
O : E(G) → V × V so, dass
φ ◦ O = idE(G) , wobei
v
v
φ:V ×V →
∪
1
2
(v, w) 7→ {v, w}
Das heißt: Ist {vw} ∈ E(G), so ist O({v, w}) = (v, w) oder (w, v), Wahl einer
Richtung.
→
−
2. Sei O eine Orientierung von G. Der zugehörige Digraph GO ( G ) ist:
V (GO ) := V (G)
(v, w) ∈ E(GO ) :⇔ {v, w} ∈ E(G) und O({v, w}) = (v, w)
Vorlesung 10 vom 09.05.2011
5.1. GRAPHEN UND DIGRAPHEN
55
5.1.3 Beispiel.
1. Für P2 •
rungen:
• gibt es (bis auf Isomorphie) nur 3 mögliche Orientie-
•
•
•
/•
/•o
•o
•
/•
•
/•
2.
•1 · · · •n−1
P n : •0
•n
O({i, i + 1}) := (i, i + 1)
−
→
Pn : •0
3.
/ •1
/ ···
/ •n−1
/
−
→
C1 =
4.
−
→
C2 =
5.
•n
:•
•
v
6•
Cn n ≥ 3
O({i, i + 1}) = (i, i + 1)
1≤i≤n−1
O({n, 1}) = (n, 1)
1
?•
−
→
→ Cn =
Vorlesung 10 vom 09.05.2011
•n
/ •2
•3
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
56
KAPITEL 5. DIGRAPHEN
5.2 Morphismen und Kantenzüge
5.2.1 Definition. Seien D1 , D2 Digraphen. Ein Morphismus f : D1 → D2 ist eine
Abbildung f : V (D1 ) → V (D2 ) so, dass (v, w) ∈ E(D1 ) ⇒ (f (v), f (w)) ∈ E(D2 )
5.2.2 Bemerkung. Seien G, H Graphen und f : V (G) → V (H) eine Abbildung.
Dann gilt:
f : G → H ist Graph-Morphismus ⇔ f : D(G) → D(H) ist Digraph-Morphismus
Graphen→ Digraphen, G → D(G), f → f ist eine volltreue Einbettung.
5.2.3 Definition. Sei D ein Digraph.
−
→ f
(i) Ein gerichteter Kantenzug in D ist ein Digraph-Morphismus Pn → D.
Schreibe mit vi := f (i) : v0 ...vn
Beachte:
/ •vi+1
(vi , vi+1 ) ∈ E(D) = •vi
(ii) Ein gerichteter Kantenzug f heißt Weg, falls f Kanten-injektiv ist, einfacher
Weg, falls f Knoten-injektiv ist (v0 = vi ist erlaubt), Pfad, falls f ein nicht
geschlossener einfacher Weg ist und Kreis, falls f ein geschlossener einfacher Weg
ist.
(iii) Ein (gerichteter) Euler-Pfad (-Zykel) in D ist ein gerichteter Kanten-bijektiver
−
→
Kantenzug Pn → D
Ein (gerichteter) Hamilton-Pfad (-Kreis) in D ist ein Knoten-surjektiver gerichteter Pfad (Kreis)
−
→ f
5.2.4 Bemerkung. Pn → D ist geschlossen ⇔ 0,_n
−
→
Pn
p
n
−
→
Cn
f
/D
?
∃!f 0
5.2.5 Definition. Ein Digraph D heißt strikt zusammenhängend, falls ∀ v 6= w
aus V (D) ein gerichteter v → w oder w → v Kantenzug existiert.
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
5.3. CAYLEY-GRAPHEN
57
5.2.6 Definition. Sei D ein Digraph.
(i) Der zu D assoziierte Graph G(D) ist
V (G(D)) := V (D)
E(G(D)) := φ(E(D))
v
v
φ : V (D) × V (D) →
∪
1
2
(v, w) 7→ {v, w}
(ii) D heißt zusammenhängend, falls G(D) zusammenhängend ist.
5.2.7 Beispiel.
(i) D:
$
(
•h
G(D):
(ii) D: • o
G(D): •
/ • ist strikt zusammenhängend.
•
•
•
•
•
• ist zusammenhängend.
/ • ist nicht strikt zusammenhängend.
• ist zusammenhängend.
5.2.8 Bemerkung.
(i) D ist zusammenhängend ⇔ ∀ v 6= w ∈ V (D) ∃ ungerichteter Kantenzug v =
v0 ...vn = w und ∀ 0 ≤ i ≤ n − 1 gilt: (vi , vi+1 ) ∈ E(D) oder (vi+1 , vi ) ∈ E(D)
etwa:
/•
/•
/•
/ •w
•v
•o
•
(ii) D ist strikt zusammenhängend ⇒ D ist zusammenhängend
5.3 Cayley-Graphen
5.3.1 Definition. Sei G eine endliche Gruppe und S ⊆ G eine Teilmenge. Der CayleyGraph C(G, S) ist der Digraph:
V (C(G, S)) := G
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
(g, h) ∈ E(C(G, S)) ⇔ g −1 h ∈ S
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
58
KAPITEL 5. DIGRAPHEN
5.3.2 Bemerkung.
(i)
(g, h) ∈ E(C(G, S))
⇔ g −1 h = s für ein (eindeutiges) s ∈ S
⇔ ∃! s ∈ S mit h = gs
(ii) C(G, S) enthält Schleife
⇔ für ein g ∈ G ist (g, g) ∈ E(C(G, S))
⇔ g −1 g = eG ∈ S
⇔ ∀ g ∈ G : (g, g) ∈ E(C(G, S))
(iii) Sei •g
/ •gs ∈ E(C(G, S))
Die „Rückkante“ •gs
/ •g ∈ E(C(G, S)) ⇔ (g · s)−1 · g ∈ S
| {z }
=s−1
(iv)
5.3.3 Übungsaufgabe. ∀ g ∈ G gilt
−
deg+
C(G,S) (g) = degC(G,S) (g) = #S
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
5.3. CAYLEY-GRAPHEN
59
5.3.4 Beispiel.
(i) G = Z2 = {0, 1}
•0
0
8•
u
5 •1
w
5 •1
u
S = {1}
S = {0, 1}
(ii)
G = Z2 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
r
(1,0)
•(0,0)
2•
r
•(0,1)
S = {(1, 0)}
(1,1)
2•
r
•(0,0)
V
r
•(0,1)
(1,0)
2• V
S = {(1, 0), (0, 1)}
(1,1)
•
2
5.3.5 Definition. Seien D1 , D2 Digraphen.
(i) Das Boxprodukt D1 D2 ist:
V (D1 D2 ) := V (D1 ) × V (D2 )
((v, w), (v 0 , w0 )) ∈ E(D1 D2 )
:⇔ ((v, v 0 ) ∈ E(D1 ) ∧ w = w0 ) ∨ (v = v 0 ∧ (w, w0 ) ∈ E(D2 ))
(ii) Das Produkt D1 × D2 ist:
V (D1 × D2 ) := V (D1 ) × V (D2 )
((v, w), (v 0 , w0 )) ∈ E(D1 × D2 )
:⇔ (v, v 0 ) ∈ E(D1 ) ∧ (w, w0 ) ∈ E(D2 )
5.3.1 Rechenregeln für C(G, S)
5.3.6 Definition. Seien G und H Gruppen. G×H ist eine Gruppe mit (g, h)·(g 0 , h0 ) :=
(gg 0 , hh0 ).
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
60
KAPITEL 5. DIGRAPHEN
1. Seien G, H Gruppen und S ⊆ G.
f
f
G −→ H ist ein Gruppenisomorphismus ⇒ C(G, S) −→ C(H, f (S))ist ein Digraph-Isomorphism
2. SG ⊆ G, SH ⊆ H
⇒ C(G × H, SG × {eH } ∪ {eG } × SH ) = C(G, SG )C(H, SH )
5.3.7 Beispiel.
G = H = Z2,
G × H = Z2 × Z2,
SG = SH = {1}
SG × {eH } ∪ {eG } × SH = {(1, 0), (0, 1)}
3. SG ⊆ H, SH ⊆ H
C(G × H, SG × SH ) ∼
= C(G, SG ) × C(H, SH )
Beweis. Es existiert (g, h) → (g 0 , h0 ) bezüglich SG × SH )
⇔ ∃ ! s ∈ SG und ∃ ! t ∈ SH mit g 0 = gs und h0 = ht
⇔ (g, g 0 ) ∈ E(C(G, SG )) und (h, h0 ) ∈ E(C(H, SH ))
←−−−−−
4. C(G, S) = C(G, S −1 )
Beweis.
←−−−−−
(g, h) ∈ E(C(G, S))
⇔ (h, g) ∈ E(C(G, S))
⇔ ∃ ! s mit h = g · s
∃ ! t ∈ S −1 mit g = h · t
⇔ (h, g) ∈ E(C(G, S −1 ))
5.3.8 Definition. Sei G eine (endliche) Gruppe, S ⊆ G eine Teilmenge. S heißt
Erzeugendensystem vom G (EZG), falls:
∀ g ∈ G ∃ s1 , ..., sn ∈ S :
g = sε11 · · · · · sεnn , εi = ±1
5.3.9 Beispiel. G = Z2 × Z2
S = {(0, 1), (1, 0)} ist ein Erzeugendensystem von G, da:
(a, b) = b · (0, 1) + a · (1, 0) = (0, 1) + · · · + (0, 1) + (1, 0) + · · · + +(1, 0)
{z
} |
{z
}
|
b-mal
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
a-mal
5.3. CAYLEY-GRAPHEN
61
5.3.10 Satz. Sei G eine endliche Gruppe, S ⊆ G eine Teilmenge. Dann gilt:
C(G, S) ist zusammenhängend ⇔ S ist ein Erzeugendensystem von G
Beweis. Es gilt:
C(G, S) ist zusammenhängend ⇔ (∀ g ∈ G ∃ ungerichteter e-g-Pfad)
Überlegung: Ein (ungerichteter) e-g-Kantenzug sieht wie folgt aus: g0 g1 ...gn mit g0 =
e, gn = g und
∀ i = 0, ..., n − 1 : gi+1 = gi sεi i für ein si ∈ S, εi ∈ {±1}
εn−1
gn = g0 · sε00 · · · · · sn−1
Vorlesung 11 vom 12.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
63
6 Flüsse in Netzwerken
6.0.1 Definition. Sei D ein Digraph, A, B ⊆ V (D). Sei
→
−
E (A, B) := {e ∈ E(D) | e− ∈ A, e+ ∈ B} (Kanten, die „von A nach B“ führen)
6.0.2 Definition. Sei D ein Digraph und g : E(D) → R eine Funktion.
P
(i) F ⊆ E(D), setze g(F ) := e∈F g(e)
→
−
→
−
(ii) A ⊆ V (D), setze g + (A) := g( E (A, V − A)), g − (A) := g( E (V − A, A))
(iii) v ∈ V (D), setze g + (v) := g + ({v}), g − (v) := g − ({v})
6.0.3 Übungsaufgabe.
A ⊆ V (D) ⇒ g + (A) − g − (A) =
X
(g + (v) − g − (v))
v∈A
6.0.4 Definition.
(i) Sei D ein Digraph, s, t ∈ V (D). Ein s-t-Fluss in D ist eine Funktion f : E(D) →
R, die die Flussbedingung erfüllt:
∀ v 6= s, t gilt: f + (v) = f − (v)
s: source, t: target
(ii) Ein Netzwerk N (s, t) besteht aus:
a) Digraph D
b) zwei Knoten s, t ∈ D
c) Kapazitätsfunktion c : E(D) → [0, ∞)
(iii) Sei N (s, t) ein Netzwerk. Ein (zulässiger) Fluss f in N (s, t) ist ein s-t-Fluss f
in D, der noch die Bedingung
0 ≤ f (e) ≤ C(e) ∀ e ∈ E(D)
erfüllt.
Vorlesung 12 vom 16.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
64
KAPITEL 6. FLÜSSE IN NETZWERKEN
6.0.5 Beispiel.
(i) Sei N (s, t) ein Netzwerk.
0-Fluss: f : E(D) → [0, ∞) e 7→ 0
(ii) Notation:
/•
e
•
f (e)|c(e)
/•
•
6.1 Maximale Flüsse
6.1.1 Lemma. Sei D ein Digraph, f ein s-t-Fluss. Dann gilt:
f + (s) − f − (s) = f − (t) − f + (t)
6.1.2 Definition.
(i) Sei D ein Digraph, f ein s-t-Fluss.
val(f ) := f + (s) − f − (s) = f − (t) − f + (t)
ist der Wert von f .
(ii) Sei N (s, t) ein Netzwerk. Ein Fluss f in N (s, t) heißt maximal, falls es keinen
Fluss größeren Wertes in N (s, t) gibt.
Bemerkung: Da der 0-Fluss existiert, ist der Wert eines maximales Flusses ≥ 0
Beweis des Lemmas.
X
0=
(f − (v) − f + (v))
v6=s,t
=
X
(
X
v6=s,t e,e+ =v
e− 6=v
X
=
X
e,e 6=e
e+ =s
+
f (e)
X
f (e) −
f (e)] − [
f (e) −
−
X
e,e 6=e
e+ =t
−
+
X
f (e) −
e,e+ 6=e−
e,e+ 6=e−
e+ =s,t
X
+
X
e,e+ 6=e−
e− 6=s,t
e,e+ 6=e−
=−
f (e))
e,e− =v
e+ 6=v
f (e) −
e,e+ 6=e−
e+ 6=s,t
=[
X
f (e) −
f (e) +
−
X
−
= [f (s) − f − (s)] − [f (t) − f + (t)] = 0
Vorlesung 12 vom 16.05.2011
f (e)]
e,e+ 6=e−
e− =s,t
f (e) +
e,e 6=e
e− =s
+
X
X
e,e 6=e
e− =t
+
f (e)
−
6.1. MAXIMALE FLÜSSE
65
6.1.3 Lemma. Sei D ein Digraph, f ein s-t-Fluss. Sei A ⊆ V (D) mit s ∈ A, t ∈
/ A.
Dann gilt:
val(f ) = f + (A) − f − (A)
Beweis.
f + (A) − f − (A)
ÜA 6.0.3
=
X
(f + (v) − f − (v))
v∈A
+
s∈A
= f (s) − f − (s) +
X
(f + (v) − f − (v))
v∈A−{s}
t∈A
/
+Flussbed.
=
val(f ) + 0
Maximaler Fluss - Problem: Gegeben ein Netzwerk N (s, t). Finde einen maximalen
Fluss.
Bemerkung: Da der 0-Fluss existiert, kann man auch fragen:
Gegeben ein Fluss f :
1. Ist f maximal?
2. Falls f nicht maximal ist, kann man f vergrößern?
Zur 2. Frage:
6.1.4 Definition. Sei N (s, t) ein Netzwerk mit einem zulässigen Fluss f . Sei P ein
(ungerichteter) s-v-Pfad (v ∈ V (D)). P = v0 ...vn , s = v0 , v = vn .
Für alle e(vi , vj ) in P setze


f (e)|c(e)
vi
/ •vi+1 Restkapazität
ε(e) := c(e) − f (e) j = i + 1 •
f (e)
i = j + 1 •vi o
•vi+1 Rückfluss
und
ε(P ) := min{ε(e) | e ∈ P }
6.1.5 Beispiel. P
3/4
•s
ε:
2/5
/•o
1
7/8
•
2
1
/•
1/2
/ •t
1
ε(P ) = 1
Vorlesung 12 vom 16.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
66
KAPITEL 6. FLÜSSE IN NETZWERKEN
6.1.6 Definition. Sei N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss, P ein s-v-Pfad.
(i) P heißt f -saturiert, falls ε(P ) = 0
P heißt f -unsaturiert, falls ε(P ) > 0
Ein s-t-Pfad heißt f -augmentierend, falls er f -unsaturiert ist.
(ii) Sei P = v0 ...vn f -augmentierend (v0 = s, vn = t).
Setze den Fluss fP als:


f (e) + ε(P ) e = (vi , vi+1 ) ∈ P
fP (e) = f (e) − ε(P ) e = (vi+1 , vi ) ∈ P


f (e)
sonst
6.1.7 Übungsaufgabe. fP ist wirklich ein Fluss in N (s, t).
Es gilt:
val(fP ) = val(f ) + ε(P )
(ε(P ) > 0)
Das heißt ∃ f -augmentierender Pfad ⇒ f ist nicht maximal.
Vorlesung 12 vom 16.05.2011
6.1. MAXIMALE FLÜSSE
67
6.2 Minimale Schnitte
6.2.1 Definition. Sei N (s, t) ein Netzwerk.
(i) Ein Schnitt in N (s, t) (s-t-Kantenschnitt) ist:
→
−
CA := E (A, V − A) (Kanten, die „aus A herausgehen“)
Wobei A ⊆ V (D) mit s ∈ A, t ∈
/A
(ii) Sei CA ein Schnitt. Die Kapazität von CA ist
X
cap(CA ) := c(CA ) =
c(e)
→
−
e∈ E (A,V −A)
(iii) Ein Schnitt CA heißt minimal, falls es keinen Schnitt kleinerer Kapazität gibt.
6.2.2 Beispiel.
(i) A = {s} A = V (D) − {t}
(ii)
3
@•
/•
3
•
A
/•
CA
2
•
5
A•
3
6
4
•
4
•
4
/ •
cap(CA ) = 20
6.2.3 Bemerkung. CA ist ein Schnitt ⇒ in D − CA existiert kein gerichteter s → t
Pfad.
6.2.4 Definition. Sei N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss, e ∈ E(D). e heißt
(i) f -null, falls f (e) = 0
(ii) f -positiv, falls f (e) > 0
(iii) f -unsaturiert, falls c(e) − f (e) > 0
(iv) f -saturiert, falls f (e) = c(e)
Vorlesung 13 vom 19.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
68
KAPITEL 6. FLÜSSE IN NETZWERKEN
6.2.5 Satz (Satz 1). Sei N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss und CA ein Schnitt. Dann
gilt:
val(f ) ≤ cap(CA )
→
−
„=“gilt ⇔ alle e ∈ CA sind f -saturiert und alle e ∈ E (V − A, A) sind f -null.
Beweis. cap(CA ) = c+ (A) sowie f + (A) ≤ c+ (A) (da f zulässig: 0 ≤ f (e) ≤ c(e)),
f − (A) ≥ 0
Da s ∈ A, t ∈
/ A, gilt nach Lemma 6.1.3
val(f ) = f + (A) − f − (A) ≤ c+ (A) = cap(CA )
Hier fehlt etwas!
6.2.6 Korollar (Korollar 2:). Sei N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss, CA ein Schnitt
l
mit val(f ) = cap(f )
⇒ f ist maximal und CA ist minimal.
Beweis. Sei f 0 ein Fluss mit val(f ) ≤ val(f 0 )
Nach Satz 1 gilt:
val(f ) ≤ val(f 0 ) ≤ cap(CA )
l
⇒ val(f ) = val(f 0 )
⇒ f ist maximal.
CA minimal analog.
Praxis: Falls man Fluss f und Schnitt CA hat mit:
→
−
e ∈ CA ist f -saturiert, e ∈ E (V − A, A) ist f -null
Satz 1
⇒ val(f ) = cap(CA )
Korollar 2
⇒
f ist maximal und CA ist minimal.
6.3 Das Max-Flow Min-Cut Theorem
6.3.1 Satz (Satz 3:). Seii N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss. Angenommen, es gibt
keinen f -augmentierenden Pfad. Setze dann
A := {v ∈ V (D) | ∃ f -unsaturierter s-v-Pfad in D (ungerichtet)}
Dann gilt: f ist maximaler Fluss und CA ist minimaler Schnitt.
Vorlesung 13 vom 19.05.2011
6.4. DER FORD-FULKERSON ALGORITHMUS
69
Beweis. Nach Voraussetzung gilt: t ∈
/ A und s ∈ A
→
−
⇒ CA = E (A, V − A)
ist ein Schnitt.
Wegen “Praxis „reicht zu zeigen:
(i) alle e ∈ CA sind f -saturiert
→
−
(ii) alle e ∈ E (V − A, A) sind f -null
(i) Sei e = (v, w) mit v ∈ A, w ∈
/A
•v
/ •w
Angenommen, e ist f -unsaturiert, dann ist c(e) − f (e) > 0
Da v ∈ A∃ f -unsaturierter Pfad s = v0 ...vn = v
⇒ v0 ...vn w ist f -unsaturierter s-w-Pfad Widerspruch zu w ∈
/A
(ii) Sei e = (w, v), v ∈ A, w ∈
/A
•v o
•w
Angenommen, e ist f -positiv (f (e) > 0)
Da v ∈ A ∃ s = v0 ...vn = v f -unsaturiert
⇒ v0 ...vn w f -unsaturierter s-w-Pfad Widerspruch zu w ∈
/A
6.3.2 Satz (Max-Flow Min-Cut Theorem (Ford-Fulkerson)). Sei N (s, t) ein Netzwerk,
f ein maximaler Fluss, CA ein minimaler Schnitt
val(f ) = cap(CA )
Beweis.
1. Es existiert kein f -augmentierender Pfad (sonst ist f nicht maximal)
2. Satz 3 ⇒ ∃ A0 ⊆ V (D) so, dass CA0 minimaler Schnitt ist und
val(f ) = cap(CA0 ) = cap(CA )
(CA0 erfüllt die Bedingungen von Satz 1)
Also folgt mit Satz 1 val(f ) = cap(CA0 )
6.4 Der Ford-Fulkerson Algorithmus
Aufgabe: Gegeben Netzwerk und Fluss f . Vergrößere f zu einem maximalen Fluss und
gib einen maximalen Schnitt an.
Vorlesung 13 vom 19.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
70
KAPITEL 6. FLÜSSE IN NETZWERKEN
6.4.1 Satz. f maximal ⇔ @ f -augmentierenden Pfad
6.4.2 Definition. N (s, t) ein Netzwerk, f ein Fluss, T ⊆ N (s, t) ein Baum mit
s ∈ V (T )
T heißt f -unsaturiert, falls ∀ v ∈ V (T ): sT v ist f -unsaturiert.
Idee des Algorithmus:
1. Suche maximalen f -unsaturierten s-Baum T ⊆ N (s, t)
•∈T
e ist f -unsaturiert
/
/ •∈T
nimm e hinzu
•∈T o
e ist f -positiv
Beispiel
e
e
/
•∈T
nimm e hinzu
2. Falls t ∈ V (T ) ist |{z}
sT t f -augmentierend
=P
vergrößere f durch P
fP . Starte mit N (s, t) und fP in 1.
Falls t ∈ V (T )
⇒ T ist maximal f -unsaturiert.
„Praxis“
⇒ A = V (T ) bildet minimalen Schnitt CA und f ist maximaler Fluss.
Wann terminiert der Algorithmus?
• Start-Fluss ist schon maximal
• 0-Fluss als Start + CE (D) → N
• f : E(D) → N und C : E(D) → N
Formal:
Input: Netzwerk N (s, t), Fluss f
Variablen: T Baum,
1. Initialisierung: T = ({s}, ∅), p(v) = ∅∀ v ∈ V (T )
2. Falls: ∃ v ∈
/ V (T ) und u ∈ V (t) mit
(i) e = (u, v) ∈ E und e ist f -unsaturiert
oder
(ii) e = (v, u) ∈ E und e ist f -positiv
wähle so ein v, wähle Möglichkeit (i) oder (ii).
Setze T = (V (T ) ∪ {v}, E(T ) ∪ {e}), p(v) = u
Gehe zu 2.
Falls kein v wie oben existiert, gehe zu 3.
Vorlesung 13 vom 19.05.2011
6.4. DER FORD-FULKERSON ALGORITHMUS
71
3. Falls t ∈
/ V (T ): Ende. Output: f, A = V (T )
Falls t ∈ V (T ) bilde t, p(t), ..., pn (t) = s
ist tT s = P
Berechne ε(p) = min{ε(e) | e ist in E(P )}
und für e = (pj−1 (t), pj (t)) ∈ E(P ) setze f (e) = f (e) + ε(p)
for e = (pj (t), pj−1 (t)) ∈ E(P ) setze f (e) = f (e) − ε(p)
Gehe mit diesem f (vergrößert) zu 1.
Vorlesung 13 vom 19.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
73
7 Zusammenhang
7.1 Schnittknoten, Brücken, Blöcke
7.1.1 Definition. Sei G ein Graph, c(G) = #Zusammenhangskomponenten von G
(i) v ∈ V (G) heißt Schnittknoten, falls c(G − v) > c(G)
(ii) e ∈ E(G) heißt Brücke, falls c(G − e) > c(G)
7.1.2 Beispiel.
(i)
v
G−v
G
Schnittecke
(ii)
e
G
G−e
Brücke
Bemerkung: eine Schleife ist nie eine Brücke.
7.1.3 Übungsaufgabe.
(i) e ist eine Brücke in G ⇔ e ist in keinem Kreis in G enthalten.
(ii) G ist zusammenhängend, |V (G)| ≥ 3, e = xy ist eine Brücke ⇒ x oder y ist ein
Schnittknoten.
7.1.4 Übungsaufgabe. Sei G zusammenhängend, |V (G)| ≥ 3. Dann gilt:
G hat keinen Schnittknoten ⇔ zu je zwei verschiedenen Knoten x, y existieren zwei
Knoten-unabhängige x-y-Pfade in G.
Vorlesung 14 vom 23.05.2011
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74
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.1.5 Definition. Sei G ein Graph, x, y ∈ V (G) und seien P, Q x-y-Pfade
(i) P und Q heißen Knoten-unabhängig, falls V (P ) ∩ V (Q) = {x, y}
(ii) P und Q heißen Kanten-unabhängig, falls E(P ) ∩ E(Q) = ∅
7.1.6 Definition. Sei G ein Graph. Eine Zerlegung von G ist eine Familie von
Teilgraphen G1 , ..., Gn , so, dass
n
]
E(G) =
E(Gi )
i=1
7.1.7 Beispiel. Sei G einfach, v ∈ V (G) Cv ⊆ L(G) wie in Beispiel 3.2.11
⇒ Cv , v ∈ V (G) ist eine Zerlegung von L(G).
7.1.8 Definition.
(i) Sei G zusammenhängend. Eine Separierung von G ist eine Zerlegung G1 , G2
von G, sd:
• G1 , G2 6= En ∀ n (Gi = • ist verboten)
• G1 , G2 sind zusammenhängend
• V (G1 ) ∩ V (G2 ) = {v} heißt separierender Knoten
(ii) G allgemein. Eine Separierung ist Separierung einer Zusammenhangskomponente
(iii) G heißt unseparierbar, falls G zusammenhängend ist und G keinen separierenden
Knoten enthält.
G heißt separierbar, falls G nicht unseparierbar ist.
7.1.9 Beispiel.
(i)
v
v
v
G1
G
G2
(ii)
G1
G
v
G2
w
(iii) Jeder Kreis Cn ist unseparierbar
Vorlesung 14 vom 23.05.2011
v
v
w
7.1. SCHNITTKNOTEN, BRÜCKEN, BLÖCKE
75
7.1.10 Bemerkung.
(i) Sei G zusammenhängend, |V (G)| ≥ 2, ∃ v ∈ V (G) : G hat eine Schleife an v
⇒ v ist separierend, G1 = vv = e, G2 = G − e
(i)
(ii) G ist unseparierbar und |V (G)| ≥ 2 ⇒ G ist einfach
7.1.11 Lemma. Sei G ein Graph, v ∈ V (G)
v ist ein Schnittknoten ⇒ v ist separierend
7.1.12 Übungsaufgabe. Sei G einfach. Dann gilt für v ∈ V (G):
v ist separierend ⇒ v ist ein Schnittknoten
7.1.13 Bemerkung. Wenn G einfach ist, gilt Äquivalenz:
separierend ⇔ Schnittknoten
Beweis des Lemmas: oBdA ist G zusammenhängend. Seien C1 , ..., Cr die Komponenten
von G − v (r ≥ 2)
Setze
G1 := G[V (C1 ) ∪ {v}]
G2 := G[V (C2 ) ∪ · · · ∪ V (Cr ) ∪ {v}] − {s} = {v, v} ← falls an v eine Schleife liegt
Behauptung: G1 , G2 ist eine Separierung von G.
• E(G) = E(G1 ) ] E(G2 )
Sei xy = e ∈ E(G)
– Falls x = v und y = v ⇒ e ∈ E(G1 ), e ∈
/ E(G2 )
(
– Falls x = v und y =
6 v ⇒ y ∈ Ci für genau ein i ⇒ e = xy ∈
E(G1 ), i = 1
E(G2 ), i ≥ 2
Beobachtung: Da G zusammenhängend ist, hat v zu jeder Komponente Ci mindestens
eine Kante.
• ⇒ G1 und G2 sind zusammenhängend
• ⇒ G1 und G2 sind nicht En ’s
• V (G1 ∩ G2 ) = {v}
⇒ Behauptung
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76
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.1.14 Satz (Whitney). Sei G zusammenhängend. Dann gilt: G ist unseparierbar ⇔
je zwei Kanten von G liegen auf einem gemeinsamen Kreis in G.
Beweis.
• „⇐“ Angenommen, G ist separierbar mit Separierung G1 , G2 und v als separierendem Knoten. Da G1 und G2 keine En ’s sind, existiert eine Kante ei in Gi , die
zu v inzident ist. Falls e1 oder e2 Schleife ⇒ @ Kreis, der e1 und e2 beinhaltet.
(Kreise sind Knoten-injektiv, ausgenommen v1 = vn ). Dieses Argument kann man
auf alle Schleifen in G anwenden. ⇒ G, G1 , G2 sind einfach
7.1.12
⇒ v ist ein Schnittknoten
Seien v1 , v2 Nachbarn von v in G1 und G2 mit e1 = {v1 , v}, e2 = {v2 , v}. Da v
ein Schnittknoten ist, existiert kein v1 -v2 -Pfad in G − v. ⇒ in G existiert kein
Kreis, der e1 und e2 beinhaltet. Widerspruch!
• „⇒“ Sei G unseparierbar (⇒ G ist einfach)
Seien e1 , e2 Kanten von G. Unterteile e1 und e2 durch Zwischenknoten v1 und v2
•x1
e1
•x2
→
•x1
• v1
•x2
•y1
e2
•y2
→
•y1
•v2
•y2
Sei H der resultierende Graph. H ist auch unseparierbar (Warum?) und zusammenhängend. Also gibt es keinen Schnittknoten (jeder Schnittknoten ist
separierend).
7.1.4
⇒ ∃ 2 Knoten-unabhängige v1 -v2 -Pfade in H: P und Q.
x1
v1
x2
degH (v1 ) = 2
Q
P
degH (v2 ) = 2
y1
v2
y2
Also gibt es einen Kreis in H, der v1 und v2 beinhaltet.
7.1.15 Definition. Sei G ein Graph. Ein Block B ist ein unseparierbarer Teilgraph
von G, der maximal ist mit dieser Eigenschaft.
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7.1. SCHNITTKNOTEN, BRÜCKEN, BLÖCKE
77
7.1.16 Beispiel.
B1
B2
B3
7.1.17 Bemerkung.
(i) Sei B ein Block, der eine Schleife vv enthält
⇒ B = ({v}, {vv})
(ii) Jeder Block ist zusammenhängend.
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78
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.1.18 Bemerkung. Sei G ein Graph. Dann gilt:
a) B1 6= B2 sind Blöcke von G ⇒ |V (B1 ) ∩ V (B2 )| ≤ 1
b) B1 , ..., Bn sind alle Blöcke von G ⇒ B1 , ..., Bn ist eine Zerlegung von G
c) C ⊂ G Kreis ⇒ ∃ Block B mit C ⊂ B
d) B1 6= B2 sind Blöcke von G, v ∈ V (B1 ) ∩ V (B2 ) ⇒ v ist separierend
e) v ist separierend ⇒ v liegt in mindestens 2 Blöcken
Beweis.
a) Angenommen, B1 und B2 enthalten mindestens 2 gemeinsame Knoten ⇒ B1 und
B2 sind einfach.
Da B1 6= B2 und B1 sowie B2 maximal unseparierbar ⇒ B1 * B2 und B2 * B1
Setze B := B1 ∪ B2 . Es gilt: B1 ( B, B2 ( B, B ist einfach.
Behauptung: B ist unseparierbar. (dann Widerspruch zu B1 und B2 maximal unseparierbar)
Sei v ∈ V (B). Dann ist v separierend genau dann, wenn v ein Schnittknoten ist.
B − v = (B1 − v) ∪ (B2 − v)
Da B1 − v und B2 − v zusammenhängend sind (B1 , B2 sind unseparierbar) und
V (B1 − v) ∩ V (B2 − v) 6= ∅, ist B − v zusammenhängend.
⇒ v ist kein Schnittknoten ⇒ B ist unseparierbar.
b) Behauptung:
E(G) =
n
]
E(Bi )
i=1
Sei e = vw ∈ E(G) ⇒ G[{v, w}] ⊆ G ist unseparierbar
⇒ e ist in einem maximal unseparierbarem Teilgraphen enthalten, also in einem
Block.
Angenommen, e = vw ∈ E(G) liegt in verschiedenen Blöcken B1 6= B2 , dann:
1. Fall: (v 6= w) Widerspruch zu a)
2. Fall: (v = w) e = vv ⊆ B1 ⇒ B1 = vv = B2 Widerspruch
c) Ein Kreis C ⊂ G ist unseparierbar
⇒ C liegt in einem maximal unseparierbarem Teilgraphen, also in einem Block.
d) B1 6= B2 , v ∈ V (B1 ) ∩ V (B2 )
• Falls vv ∈ E(G) ⇒ v ist separierend
Vorlesung 15 vom 26.05.2011
7.1. SCHNITTKNOTEN, BRÜCKEN, BLÖCKE
79
• Falls vv 6∈ E(G) ⇒ |V (B1 )| ≥ 2, |V (B2 )| ≥ 2
Da B1 , B2 zusammenhängend sind, existieren v-Nachbarn x 6= v in B1 , y 6= v
in B2
Behauptung: In G − v existiert kein x-y-Pfad, aber in G: xvy (⇒ v ist Schnittknoten ⇒ v ist separierend)
Sonst: ∃ x-y-Pfad P = x...y in G − v ⇒ C = x . . . yvx ⊂ G Kreis ⇒ C ⊆ B1
oder C ⊆ B2 Widerspruch!
e) Sei v separierend mit Separierung G1 , G2
⇒ In G1 und G2 ist v zu jeweils einer Kante inzident. Diese Kante liegt jeweils in
einem Block: 1 G1 -Block, 1 G2 -Block
7.1.19 Definition. Sei G ein Graph. Der Blockgraph B(G) ist der bipartite Graph:
V (B(G)) = B ] S
wobei B: Menge der G-Blöcke, S: Menge der separierenden Knoten von G mit
B ∼B(G) s :⇔ s ∈ B
B ∈ B, s ∈ S
7.1.20 Beispiel.
B1
B1
s1
G=
s1
B2
B3
B(G) =
s2
B2
s2
B4
B3
B4
7.1.21 Lemma. Sei G ein Graph.
(i) G ist zusammenhängend ⇒ B(G) ist zusammenhängend
(ii) B(G) ist kreisfrei
Folgerung: G zusammenhängend ⇒ B(G) Baum
Beweis.
(i) Da jeder separierende Knoten in einem Block liegt (Proposition e)) reicht:
Für zwei Blöcke B 6= B 0 existiert ein B-B 0 -Pfad in B(G)
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80
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
Sei v ∈ V (B) und w ∈ V (B 0 ). Da G zusammenhängend ist, existiert ein v-w-Pfad
in G:
v0 v1 . . . vn−1 vn
|{z}
|{z}
=v∈B
=w∈B 0
Wegen Proposition b) liegt jede Kante vi vi+1 aus P in genau einem Block Bi .
Falls es einen Blockwechsel entlang P Bi → Bi+1 in vi vi+1 vi+2 gibt mit Bi =
6 Bi+1
⇒ {vi+1 } = V (Bi ) ∩ V (Bi+1
Prop. d)
⇒
vi+1 ist separierend, also vi+1 ∈ S
Das ergibt einen B-B 0 -Pfad in B(G)
(ii) Sei C = s1 B1 s2 B2 ...sn Bn s1 ein Kreis in B(G) so, dass alle Knoten verschieden
sind.
Da die Bi zusammenhängend sind, existiert ∀ 0 ≤ i < n ein si -si+1 -Pfad Pi in Bi
in G.
Baue diese Pfade zusammen:
P
P
s1 →1 s2 ... → sn →n s1
Das ergibt einen geschlossenen Kantenzug, der keine Kreise enthalten kann
(Proposition c)). Widerspruch!
Bemerkung: G zusammenhängend ⇒ B(G) Baum. Dann ist jedes Blatt von B(G) ein
Block (wegen Proposition e) ⇒ degB(G) (si ) ≥ 2)
7.2 Knoten- und Kantenzusammenhang
7.2.1 Definition. Sei G ein Graph, x 6= y in V (G).
(i) U ⊆ V (G) − {x, y} heißt x-y-Knotenschnitt, falls x und y in G − U in verschiedenen Komponenten liegen.
U ⊆ V (G) heißt Knotenschnitt, falls ∃ x 6= y : U ist ein x-y-Knotenschnitt.
(ii) F ⊆ E(G) heißt x-y-Kantenschnitt, falls x und y in G − F in verschiedenen
Komponenten liegen.
G − F heißt Kantenschnitt, falls ∃ x 6= y : F ist ein x-y-Kantenschnitt.
Vorlesung 15 vom 26.05.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
81
7.2.2 Bemerkung.
(i) U = {v} ist ein Knotenschnitt ⇔ v ist ein Schnittknoten
F = {e} ist Kantenschnitt ⇔ e ist eine Brücke
(ii) Sei A ⊆ V (G) mit x ∈ A, y ∈
/A
⇒ E(A, V − A) := {vw ∈ E(G) | v ∈ A, w ∈
/ A}
ist ein x-y-Kantenschnitt
7.2.3 Übungsaufgabe. Sei F ⊆ E(G) ein x-y-Kantenschnitt, der als Kantenschnitt
minimal ist, das heißt ∀e ∈ F ist F −{e} kein Kantenschnitt. Dann existiert A ⊆ V (G)
mit x ∈ A, y ∈
/ A und F = E(A, V − A)
7.2.4 Definition. Sei G ein Graph, x 6= y ∈ V (G)
(i) K(x, y) := sup{n | ∃ n paarweise Knoten-unabhängige x-y-Pfade in G}
(ii) K̂(x, y) := inf{n | ∃ x-y-Knotenschnitt U mit #U = n}
(iii) G heißt K-zusammenhängend, falls ∀ x 6= y ∈ V (G) : K(x, y) ≥ K
(iv) K(G) := inf{K(x, y) | x 6= y} heißt Zusammenhangszahl von G
(v) K0 (x, y) := sup{n | ∃ n paarweise Kanten-unabhängige x-y-Pfade in G}
(vi) K̂0 (x, y) := inf{ | ∃ x-y-Kantenschitt F mit #F = n}
(vii) G heißt K-Kanten-zusammenhängend, falls ∀ x 6= y : K0 (x, y) ≥ K
(viii) K0 (G) := inf{K0 (x, y) | x 6= y} heißt Kantenzusammenhangszahl von G
7.2.5 Beispiel.
(i)
x
y
K(x, y) = 2
(ii)
(iii)
Vorlesung 15 vom 26.05.2011
K0 (x, y) = 2
K(Pn ) = K0 (Pn ) = 1
K(Cn ) = K0 (Cn ) = 2
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82
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.6 Bemerkung.
(i) G ist zusammenhängend ⇔
Kantenzusammenhängend
G ist 1-zusammenhängend ⇔
G ist 1-
(ii) G ist k-zusammenhängend ⇔ K(G) ≥ k
G ist k-Kanten-zusammenhängend ⇔ K0 (G) ≥ k
7.1.4
(iii) Sei G zusammenhängend. G enthält keinen Schnittknoten ⇔ K(G) ≥ 2
(iv) x ∼G y ⇒ K̂(x, y) = ∞
(v) K̂(x, y) ≥ K(x, y), K̂0 (x, y) ≥ K0 (x, y)
(vi) K(x, y) ≤ K0 (x, y)
(vii) K0 (x, y) ≤ min{deg(x), deg(y)}
(viii) K(G) ≤ K0 (G) ≤ δ(G) (Minimalgrad)
Denn: angenommen, K0 (G) nimmt das Infimum bei K0 (x, y) = K0 (G) an
(vi)
⇒ K(G) ≤ K(x, y) ≤ K0 (x, y) = K0 (G)
und
(vii)
⇒ K0 (G) = K0 (x, y) ≤ min{deg(x), deg(y)}
Vorlesung 15 vom 26.05.2011
⇒ K0 (G) ≤ δ(G)
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
83
7.2.7 Satz (Menger, Kantenfassung). Sei G ein Graph und x 6= y ∈ V (G). Dann gilt
K0 (x, y) = K̂0 (x, y)
Beweis. oBdA sei G einfach.
Definiere ein Netzwerk N (x, y):
V (G) = V (D)
Behauptung:
i) K0 (x, y) = max{val(f ), f Fluss in N (x, y)}
ii) K̂0 (x, y) = min{cap(CA )|CA ∈ V (D), x ∈ A, y 6∈ A}
Damit folgt der Satz aus dem MaxFlow-MinCut Theorem.
ad (ii): Sei F ⊆ E(G) ein minimaler x-y-Kantenschnitt. Nach ÜA existiert A ⊆ V (G)
mit x ∈ A, y 6∈ A und F = E(A, V /A).
→
−
⇒ #F = #E(A, V /A) = # E (A, V /A) = cap(CA )
⇒ K̂0 (x, y) ≥ min{cap(CA )}
→
−
Sei CA = E (A, V /A) ein minimaler Schnitt in N (x, y)
→
−
⇒ cap(CA ) = # E (A, V /A) = #E(A, V /A)
⇒ cap(CA ) ≥ K̂0 (x, y) ⇒ (ii)
→
−
ad (i): Sei P = v0 ...vn ein x-y-Pfad in G. Dann ist P = v0 ...vn ein gerichteter x-y-Pfad
−
→ −→
in D. Seien P1 , .., Pm maximal viele kantenunabhängige Pfade, m = K0 (x, y).
Definiere Fluss f via
(
→
−
1 v → w ∈ Pi
f (e) =
⇒ val(f ) = m
0 sonst
⇒ max val(f ) ≥ K0 (x, y)
Sei f ein maximaler Fluss in N (x, y). oBdA sei f ganzzahlig.
Es gilt: f (e) ∈ {0, 1}
Sollte es einen orientierten Kreis geben, der überall Flusswert 1 hat, entferne
diese Werte aus dem Fluss.
Fluss f 0 mit val(f 0 ) = val(f )
Insbesondere tritt nicht auf.
oBdA enthält D keine solchen Kreise.
/ •v1 ) = 1
Falls val(f ) > 0, existiert v1 mit f ( •x
Ist v1 = y
fertig
Ist v1 6= y, so existiert wegen Flussbedingung v2 mit f ( •x
•v1 ) = 1
v0 v1 . . . vn Pfad. Wegen Endlichkeit von D gilt oBdA vn = y
gerichteter x-y-Pfad
Reduziere f entlang P um 1.
Vorlesung 16 vom 30.05.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
84
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
f 0 mit val(f 0 ) = val(f ) = 1
Falls val(f 0 ) > 0 wiederhole Vorgang
Pfad Q...
Bemerkung: P und Q sind in G kantenunabhängig, da •
auftritt.
⇒ K0 (x, y) ≥ val(f )
⇒ K0 (x, y) = max val(f )
• in N (x, y) nicht
7.2.8 Satz (Menger, 1. Knotenfassung). Seien x 6= y, x 6∼G y. Dann gilt
K(x, y) = K̂(x, y)
Beweis. oBda ist G einfach.
Konstruiere folgendes Netzwerk N (x, y):
V (D) := {x, y} ] {v − , v + |v ∈ V (G) − {x, y}}
Sei n groß, zum Beispiel n = 2 · |V (G)|. Behauptung:
(i) K(x, y) = max{val(f )|f Fluss in N (x, y)}
(ii) K̂(x, y) = min{cap(CA )|A ⊆ V (D), x ∈ A, y ∈ V − A}
→
−
ad (i): Sei P = v0 ...vn ein x-y-Pfad in G. Dann ist P = v0 ...vn gerichteter x-y-Pfad in
D. Seien nun P1 , ..., Pm maximal viele paarweise knotenunabhängige x-y-Pfade,
−
→ −→
dann sind auch P1 , .., Pm paarweise knotenunabhängig. Definiere Fluss f indem
→
−
jede Kante aus Pi den Wert 1 bekommt, sonst 0. ⇒ val(f ) = m = K(x, y)
⇒ max val(f ) ≥ K(x, y) Sei f ein maximaler Fluss in N (x, y). oBdA sei f ganzzahlig.
Sollte es orientierte Kreise mit Wert 1 geben, werden sie weggelassen
f 0 mit
0
val(f ) = val(f ) = 1
oBdA enthält N (x, y) keine solchen Kreise.
Sei val(f ) > 0. Sei v0 = x. Es existiert v1 6= x mit f ( •x
•v1 ) 6= 0
−
+
x
v1
Da v1 → v1 Kapazität 1 hat, muss f ( •
• ) = 1.
+
Sollte nun f ( •v1
•y ) 6= 0, so sei v2 = y
Pfad v0 v1 v2
v1+
−
Falls nicht, so existiert v2 6= v0 , v1 mit f ( •
•v2 ) 6= 0 usw.
Pfad xv1 ...vn−1 y = P
Reduziere Flusswert entlang P um 1
f 0 mit val(f 0 ) = val(f ) − 1 und
−
+
∀1 ≤ i ≤ n − 1 ist f ( •vi
•vi ) = 0.
0
Falls val(f ) > 0 verfahre genauso.
Pfade x = w0 ...wn = y knotenunabhängig zu P.
K(x, y) ≥ val(f ) = max val(f ) ⇒ (i)
Vorlesung 16 vom 30.05.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
85
ad (ii): Sei U ⊆ V (G) − {x, y} ein minimler x-y-Schnitt in G.
Setze A := {a ∈ V (D)|∃ ein gerichteter x-a-Pfad in D −{ •v
−
1
−
+
•v |v ∈ U }
+
⇒ CA = { •v
•v |v ∈ U }
#U = capCA ≥ min ∩
Sei A ⊆ V (D) ein Schnitt minimaler Kapazität mit x ∈ A, y 6∈ A.
Behauptung: CA ⊆ {P f eil|v ∈ V (G) − {x, y}}.
n
−
/
Angenommen •x∈A
•v ∈A
. Modifiziere A durch •x∈A
⇒ Kapazitt des Schnitts echt kleiner ⇒ Widerspruch!
+
n
/ •y ist richtungsdual, also auch nicht vorhanden.
•v
Bleibt
Modifiziere zu
Schnitt mit Kapazität ≤ cap(CA )
⇒ Behauptung
Setze nun U := {v|v − ∈ A, v + 6∈ A}
Behauptung: U ist ein x-y-Schnitt.
Ansonsten existiert ein x-y-Pfad in D − {v|v − ∈ A, v + 6∈ A}
Widerspruch zu A x-y-Schnitt in N (x, y).
K̂0 (x, y) ≤ #U = #CA = capCA ⇒ (ii)
Vorlesung 16 vom 30.05.2011
n
•v
−
∈A
1
•v
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
+
∈A
86
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.9 Satz (Sätze von Menger).
1. ∀x 6= y : K0 (x, y) = K̂0 (x, y)
2. ∀x 6= y mit x 6∼G y : K(x, y) = K̂(x, y)
Ziel: K(G) = min{K(x, y) | x 6= y} mit K̂(x, y) verstehen (mit Menger)
7.2.10 Satz (Whitney). Sei G Graph, der Knoten x0 6= y0 enthält mit x0 6∼G y0 .
⇒ K(G) = min{K(x, y) | x 6= y und x 6∼G y}
7.2.11 Folgerung. (mit Menger)
K(G) = min{K̂(x, y) | x 6= y und x 6∼G y}
Beweis des Satzes. oBdA sei G einfach. Sei u 6= v mit K(G) = K(u, v).
Fall 1: u 6∼G v ⇒ Behauptung
Fall 2: u ∼G v. Ziel: Finde z 6= u und z 6∼G v mit K(u, v) = K(u, z)
Sei e = uv. Setze H := G − e. Dann gilt: u 6∼H v.
Nach Menger gilt:
Fall 1.
KH (u, v) = K̂H (u, v)
Dann gilt:
i) Jede maximal große Familie knoten-unabhängiger u-v-Pfade in G muss den
Pfad uv beinhalten.
ii) Durch den Pfad uv kann man jede Familie Knoten-unabhängiger u-v-Pfade
in H zu einer um 1 größeren Familie in G ergänzen. Daraus folgt:
(i)
KG (u, v) ≤ KH (u, v) + 1
und
(ii)
KH (u, v) + 1 ≤ KG (u, v)
Also:
KG (u, v) = KH (u, v) + 1
Sei nun X ein u-v-Schnitt in H mit:
|X| = K̂H (u, v) = KH (u, v)
⇒ K(G) = KG (u, v)
= KH (u, v) + 1
= |x| + 1
Vorlesung 17 vom 06.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
87
Fall A:
x = V (G) − {u, v}
⇒ K(G) = |V (G)| − 1
⇒ δ(G) ≥ |V (G)| − 1
G einfach
⇒
G = Kn
Widerspruch zur Voraussetzung: x0 6∼ y0
Fall B: ∃z ∈ V (G) − (X ∪ {u, v})
oBdA liege z nicht in der u-Komponente von H − X. (z kann nicht in der
u- und der v-Komponente liegen).
⇒ z 6∼G u
Behauptung: X ∪ {v} ist ein u-z-Knotenschnitt in G.
Denn: Ein u-z-Pfad in G − (X ∪ {v}) wäre auch ein u-z-Pfad in H − X.
Widerspruch!
Also:
K̂G (u, z) ≤ |X ∪ {v}|
= |X| + 1 = K(u, v)
Menger für u 6∼G z:
KG (u, z) = K̂G (u, z) ≤ KG (u, v) = K(G)
⇒ K(G) = KG (u, z) ⇒ Behauptung
7.2.12 Definition. G Graph, A, B ⊆ V (G)
i) Ein Pfad P heißt A-B-Pfad, falls der Startknoten in A und der Endknoten in B
liegt, ansonsten aber P zu A und B disjunkt ist.
ii) X ⊆ V heißt A-B-separierend, falls für jeden A-B-Pfad P gilt: V (P ) ∩ X 6= ∅.
Vorlesung 17 vom 06.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
88
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.13 Bemerkung. Bemerkung:
i) X = A ∪ B ist A-B-separierend
ii) für A = {x}, B = {y} und X ⊆ V − {x, y} gilt:
X ist A-B-separierend ⇔ X ist trennend, das heißt, X ist x-y-Knotenschnitt
7.2.14 Satz (Menger, 2. Knotenfassung). G Graph, A, B ⊆ V (G). Dann gilt:
min{#X | X ⊆ V (G) ist A-B-separierend}
= max{n | ∃ n paarweise disjunkte A-B-Pfade in G}
Beweis. Füge zu G zwei neue Knoten x, y hinzu (oBdA x, y 6∈ V (G)) mit Kanten:
xa ∀a ∈ A
by ∀b ∈ B
Graph H
G
X
Y
A
B
Es gilt:
i) Jeder x-y-Pfad Q in H enthält einen A-B-Pfad.
ii) xP y und xP 0 y sind in H Knoten-unabhängig
⇔ P und P 0 sind in G disjunkt
KH (x, y) = max{n | ∃ n P -disjunkte A-B-Pfade in G}
iii) X ⊆ V (G) ist A-B-separierend ⇔ X ⊆ V (H) − {x, y} ist x-y-Knotenschnitt
⇒ K̂H (x, y) = min{#X | X ⊆ V (G) ist A-B-separierend}
⇒ fertig mit Menger 1. Knotenfassung
Vorlesung 17 vom 06.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
89
Anwendung von Menger: Matchings in bipartiten Graphen
7.2.15 Definition. G Graph.
i) M ⊆ E(G) heißt Matching, falls für e 6= e0 aus M gilt: e ∩ e0 = ∅
ii) M ⊆ E(G) sei Matching. v ∈ V (G) heißt duch M saturiert, falls e ∈ M existiert
mit v ∈ e (e ist eindeutig)
iii) M ⊆ E(G) Matching heißt perfekt, falls alle Knoten aus V (G) durch M saturiert
sind.
iv) m(G) := max{n | ∃ Matching M mit #M = n}
7.2.16 Beobachtung.
i) M Matching
|V (G)|
2
|V (G)|
⇒ m(G) ≤
2
⇒ #M ≤
ii) M perfekt ⇔ #M =
existieren kann.
|V (G)|
2
⇒ |V (G)| muss gerade sein, damit perfektes Matching
7.2.17 Beispiel. Matching:
7.2.18 Definition. G Graph
i) S ⊆ V (G) heißt Träger, falls: ∀e ∈ E(G) ∃v ∈ S mit v ∈ e
ii) s(G) := min{#S | S ⊆ V (G) Träger}
Bemerkung:
S = V (G) ist Träger ⇒ s(G) ≤ |V (G)|
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Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
90
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.19 Beispiel. Träger:
7.2.20 Lemma. G Graph, S Träger, M Matching ⇒ #M ≤ #S
7.2.21 Folgerung. m(G) ≤ s(G)
Warnung: Das ist i.A. strikt: m(K3 ) = 1, s(K3 ) = 2
Beweis des Lemmas. Jede Kante e ∈ M ist mit mindestens einem S-Knoten inzident,
da S Träger. Da M Matching, sind für e 6= e0 solche Knoten verschieden.
7.2.22 Satz (Koenig). Sei G bipartit. Dann gilt: m(G) = s(G)
Beweis. Sei V (G) = A ] B Bipartition mit A und B unabhängig. Dann gilt:
i) disjunkte A-B-Pfade (haben Länge 1) entsprechen einem Matching
ii) S ⊆ V (G) ist Träger ⇔ S ist A-B-separierend. ⇒ fertig mit Menger, 2. Knotenfassung
7.2.23 Satz (Heiratssatz (Hall)). Sei G bipartit mit Bipartition V (G) = A ] B. Dann
sind äquivalent:
i) G enthält Matching M , das A vollständig saturiert (falls |A| = |B| perfektes
Matching)
ii) ∀ S ⊆ A gilt: |N (S)| ≥ |S| wobei N (S) = {b ∈ B | ∃a ∈ S mit a ∼G b}
Beweis. (i) ⇒ (ii):
Sei M ⊆ E(G) Matching, das A saturiert.
⇒ ∀a ∈ A ∃ba ∈ B mit aba ∈ M .
Da M Matching, ist für a 6= a0 auch ba 6= ba0 ⇒ |S| ≤ |N (S)|, weil a 7→ ba injektiv.
(ii) ⇒ (i)
Idee: König anwenden. Braucht: m(G) ≥ #A (dann saturiert ein maximales Matching
Vorlesung 17 vom 06.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
91
ganz A)
Falls #A = #B und M mit #M ≥ #A = #B, so saturiert M auch B und M ist
perfekt.
Zeige: s(G) ≥ #A. Dann fertig mit König.
Sei S = SA ] SB minimaler Träger mit SA ⊆ A, SB ⊆ B.
Behauptung: #S ≥ #A
Da S Träger, existieren keine Kanten zwischen A − SA und B − SB
(∗)
⇒ N (A − SA ) ⊆ SB
(∗)
#S = #SA + #SB ≥ #SA + #N (A − SA )
ii)
≥ #SA + #(A − SA ) = #A
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Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
92
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
Bemerkung: PÜ 8 und 9 sind hochgradig klausurrelevant!!!
7.2.1 Nachträge und das Fan-Lemma
7.2.24 Korollar (Korollar zu Whitney). Sei G ein Graph. Äquivalent sind:
(i) G ist n-zusammenhängend (K(G) ≥ n)
(ii) n ≤ |V (G)| − 1 und @ Schnitt der Größe ≤ n − 1
Beweis. oBdA G einfach. Sei G nicht vollständig.
Whitney+Menger:
K(G) = min{K̂(x, y) | x 6= y und x 6∼G y}
(i) ⇒ (ii)
δ(G) ≥ K(G) ≥ n
⇒ |V (G)| ≥ n − 1
∀x 6= y und x 6∼G y: K̂(x, y) ≥ K(G) ≥ n
⇒ @ Schnitt der Größe ≤ n − 1
(ii) ⇒ (i) Es gilt: K̂(x, y) ≥ ∀x, y
⇒ K(G) ≥ n
Sei G = Km . Da K(Km ) = m − 1 ist K(Km ) ≥ n ⇔ m − 1 ≥ n
+ im Km existiert überhaupt kein Schnitt.
7.2.25 Lemma (Lemma 1). G Graph, A, B ⊆ V (G)
H := (V (G) ] {x, y}, E(G) ∪ {xa | a ∈ A} ∪ {by | b ∈ B}
⇒ KH (x, y) = max{n | ∃n paarweise disjunkte A-B-Pfade}
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7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
93
7.2.26 Lemma (Lemma 2). Sei G n-zusammenhängend und v1 , ..., vm ∈ V (G) mit
m ≥ n.
Sei
H := (V (G) ] {y}, E(G) ∪ {yvi | i = 1, ..., m})
⇒ H ist n-zusammenhängend
Beweis. Verwende das Korollar zu Whitney:
|V (H) − 1| ≥ m ≥ n
Zeige: ∀S ⊆ V (H) mit #S = n − 1 ist H − S zusammenhängend ⇒ K(H) ≥ n Fall 1:
y∈S
⇒ H − S = G − (S − {y}) zusammenhängend, da G n-zusammenhängend und #(S −
{y}) = n − 2
Fall 2: y 6∈ S
⇒ G − S zusammenhängend, da G n-zusammenhängend und
degH (y) = m ≥ n
⇒ ∃ z ∼H y mit z 6∈ S.
Proposition: Sei G n-zusammenhängend, A, B ⊆ V (G) mit #A ≥ n, #B ≥ n. Dann
existieren in G n paarweise disjunkte A-B-Pfade.
Beweis. Nach vorigem Lemma 2 ist der Graph H (wie im Lemma 1) n-zusammenhängend
⇒ K(H) ≥ n
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KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
Nach Lemma 1 gilt:
max{m | ∃m paarweise disjunkte A-B-Pfade }
= KH (x, y) ≥ K(H) ≥ n
7.2.27 Lemma (Fan-Lemma). Sei G n-zusammenhängend, x ∈ V (G) und
Y ⊆ V (G) − {x} mit #Y ≥ n. Dann existiert ein n-Fan in G von x nach Y , das heißt
eine Familie P1 , ..., Pn von x-Y -Pfaden mit: ∀i 6= j : V (Pi ) ∩ V (Pj ) = {x}
Y = {y1 , ..., ym }
Beweis: Übungsaufgabe
7.2.28 Satz (Dirac). Sei n ≥ 2 und sei G n-zusammenhängend, S ⊆ V (G) mit #S = n.
Dann existiert ein Kreis C ⊆ G mit S ⊆ V (C)
Vorlesung 18 vom 09.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
95
Beweis. Induktion nach n.
n = 2: Sei S = {x, y} KG (x, y) ≥ K(G) ≥ 2
⇒ ∃ P, Q Knoten-unabhängige x-y-Pfade in G.
C ⊆ G mit S ⊆ V (G)
n ≥ 3: Sei x ∈ S und setze T := S − {x}.
G n-zusammenhängend ⇒ G (n − 1)-zusammenhängend.
Nach IV existiert Kreis C ⊆ G mit T ⊆ V (C). Falls x ∈ V (C) fertig.
Falls #V (C) ≥ n:
Nach dem Fan-Lemma existiert ein n-Fan von x nach V (C).
T unterteilt C in n − 1 Segmente.
Der n-Fan hat n verschiedene Endpunkte auf C
⇒ mindestens 2 sind im gleichen Segment.
Kreis, der T und x beinhaltet (siehe
Bild)
Falls #V (C) = n − 1:
Fan-Lemma gibt (n − 1)-Fan von x nach V (C)
⇒ Endkoten sind genau V (C) = T
Bild fast genauso wie beim anderen Fall
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KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.2 Die rekursive Struktur 3-zusammenhängender Graphen
7.2.29 Lemma (Lemma 1). Sei G 2-zusammenhängend und S = {x, y} ein Knotenschnitt in G sowie C eine Komponente von G − {x, y}. Setze T := G[V (C) ∪ {x, y}] ∪
{{x, y}}
Dann ist T 2-zusammenhängend.
Beweis. T ist zusammenhängend: Da S minimaler Schnitt sind nach ÜA 9.2 sowohl x
als auch y zu C benachbart.
Es gilt: |V (T )| − 1 ≥ 3 − 1 = 2.
Zeige: T hat keinen Schnittknoten (⇒ T ist 2-zusammenhängend)
Sei v ∈ V (T ) Schnittknoten, der a 6= b aus V (T ) trennt.
⇒
x ∼T y oBdA ist a 6= x, y ⇒ a ∈ V (C). Weiterhin ist v 6= x, y ⇒ v ∈ V (C).
Da G 2-zusammenhängend, ist G-v zusammenhängend.
Also existiert a-b-Pfad in G − v.
Dieser kann nicht ganz in G[V (C) ∪ {x, y}] = T − {{x, y}} liegen.
Vorlesung 18 vom 09.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
97
⇒ P sieht oBdA so aus:
v0 ... vi ... vj ... vn
|{z}
|{z} |{z} |{z}
=a
=x
=y
=b
mit vi ... vj in einer von C verschiedenen Komponente C 0
|{z} |{z}
=x
=y
7.2.30 Lemma. Sei G 3-zusammenhängend mit |V (G)| ≥ 5. Dann existiert eine Kante
e ∈ E(G), so dass Ge 3-zusammenhängend ist.
Erinnerung: e = vw
Vorlesung 18 vom 09.06.2011
Ge := (G − e)v ≈ w
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98
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
Bemerkung: Falls e = vv, ist Ge = G − e.
⇒ ist e Schleife und G 3-zusammenhängend, so ist auch Ge = G−e 3-zusammenhängend.
Bemerkung: K4 ist der kleinste 3-zusammenhängende einfache Graph.
Beweis. oBdA sei G einfach. Es gilt: |V (Ge)| − 1 ≥ 4 − 1 = 3.
Angenommen, ∀e ∈ E(G) gilt: K(Ge) ≤ 2, also K(Ge) = 2 (K(Ge) ≥ 2)
Behauptung: ∀x ∼G y existiert z, so dass {x, y, z} ein Schnitt in G ist.
Dann: Sei e = xy. K(Ge) = 2. Sei {v, z} Schnitt in Ge.
oBdA ist z 6= ve . G − z ist 2-zusammenhängend, aber (G − z)e = Ge − z.
A 10.2
Hat Schnittknoten w ⇒ w = ve
⇒ G − {x, y, z} = (Ge − z) − ve ist unzusammenhägend ⇒ Behauptung
Wähle x ∼G y und z so, dass es in G − {x, y, z} eine Komponente F maximaler Größe
gibt.
Betrachte: G − z ist 2-zusammenhängend, {x, y} ist (minimaler) Schnitt.
⇒x∼G y H := (G − z)[V (F ) ∪ {x, y}] ist nach Lemma 1 2-zusammenhängend.
{x, y, z} ist minimaler Schnitt
⇒ ∃ eine weitere Komponente mit Knoten u so, dass u ∼ z.
⇒Beh. ∃v mit {u, z, v} ist Schnitt in G.
⇒H ist 2-zshgd. H − v ist zusammenhängend ⇒ H − v liegt in G − {u, z, v}-Komponente
⇒ diese ist größer als F ⇒ Widerspruch!
Vorlesung 18 vom 09.06.2011
7.2. KNOTEN- UND KANTENZUSAMMENHANG
99
7.2.31 Lemma (Lemma 2). Sei G 3-zusammenhängend und |V (G)| ≥ 5
⇒ ∃ e ∈ E(G) so, dass G/e 3-zusammenhängend ist.
7.2.32 Lemma (Lemma 3). Sei G ein Graph mit e = xy ∈ E(G) so, dass
G/e 3-zusammenhängend ist. Falls degG (x) ≥ 3 und degG (y) ≥ 3, so ist G 3zusammenhängend.
Beweis. oBdA sei x 6= y. Nach Voraussetzung haben x und y in G − {x, y} jeweils
mindestens 2 Nachbarn. Weiterhin ist G − {x, y} = G/e − {ve } 2-zusammenhängend,
da G/e 3-zusammenhängend ist.
⇒ G−e ist 2-zusammenhängend. (Lemma 2,7.4) Weiterhin ist G/e 3-zusammenhängend.
Seien a 6= b aus V (G).
Fall1: a = x und b = y
Da G − e 2-zusammenhängend ist, existieren 2 Knoten-unabhängige a-b-Pfade in
G − e. Mit P = |{z}
ab hat man 3. ⇒ KG (a, b) ≥ 3
e
Fall 2: {a, b} =
6 {x, y}
In G/e existieren 3 Knoten-unabhängige a-b-Pfade. Höchstens einer verwendet
ve . Dieser kann zu einem a-b-Pfad in G geliftet werden. ⇒ KG (a, b) ≥ 3
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
100
KAPITEL 7. ZUSAMMENHANG
7.2.33 Satz. Sei G ein Graph. Dann sind äquivalent:
(i) G ist 3-zusammenhängend
(ii) Es gibt eine Sequenz von Graphen G0 , . . . , Gk so, dass
a) G0 = K4 , GK = G
b) ∀ 0 ≤ i < k ∃ e = xy ∈ E(Gi+1 ) mit Gi = Gi+1 /e, degGi+1 (x) ≥
3 und degGi+1 (y) ≥ 3
Beweis.
• (i) ⇒ (ii): Sei oBdA G einfach: Schleifen werden durch G/e entfernt
und 3 ≤ K(G) ≤ δ(G). Lemma 2 liefert nun so eine Sequenz, die mit K4 endet,
da K4 der kleinste 3-zusammenhängende einfach Graph ist.
• (ii) ⇒ (i): Da K(K4 ) = 3, ist G0 3-zusammenhängend. Mit Lemma 3 folgt:
Gi 3-zusammenhängend ⇒ Gi+1 3-zusammenhängend.
⇒ Gk = G 3-zusammenhängend
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
101
8 Färbungen
Erinnerung:
G einfach
ÜA2.1
⇒ χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Geht mit Greedy-Algorithmus:
Sei v1 , . . . , vn eine Auflistung der Knoten von G. Farben: {1, . . . , ∆(G) + 1}
1. Färbe v1 mit 1.
2. Seien v1 , . . . , vi schon gefärbt. Färbe vi+1 mit der kleinsten Farbe, die nicht schon
an einem vi+1 -Nachbarn unter den v1 , . . . , vi vorkommt. (degG (vi+1 ) ≤ ∆(G),
also reichen die Farben aus)
8.0.1 Beispiel.
χ(Kn ) = n = ∆(Kn ) +1
| {z }
n−1
χ(C2n+1 ) = 3 = ∆(C2n+1 ) +1
| {z }
2
8.0.2 Satz (Brooks). Sei G ein einfacher zusammenhängender Graph, der nicht vollständig ist und keinen Kreis ungerader Länge enthält.
⇒ χ(G) ≤ ∆(G)
Beweis. Da G zusammenhängend ist, gilt K(G) ≥ 1.
• Fall K(G) ≥ 3: Behauptung: Es gibt a, b, c ∈ V (G) (alle verschieden) mit:
a G b, a ∼G c, b ∼G c
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
102
KAPITEL 8. FÄRBUNGEN
Denn: Da G nicht vollständig ist, existieren a =
6 a0 mit a G a0 . Sei P = acb · · · a0
0
ein a-a -Pfad minimaler Länge. ⇒ a, b, c erfüllen die Behauptung.
Da G 3-zusammenhängend ist, ist G − {a, b} zusammenhängend. Finde einen
Spannbaum von G − {a, b} mit Wurzel C (z.B. mit Tiefensuche) Sei c = v1 , . . . , vn
die zugehörige Knotenauflistung von G − {a, b}.
Es gilt: Jedes vi mit i ≥ 2 hat unter den v1 , . . . , vi−1 mindestens einen Nachbarn.
l
Färbe zuerst a und b beide mit der gleichen Farbe. (geht, da a G b). Färbe dann
vn , . . . , v1 = c durch den Greedy-Algorithmus 2. (mit vn startend) in G.
Behauptung: Dabei reichen ∆(G) Farben aus.
Denn: Für vi mit i ≥ 2 ok wegen l. Für v1 = C auch, da die C-Nachbarn a und
b schon gleich gefärbt.
• Fall K(G) = 2: Induktion nach |V (G)| mit Hilfe von Fall 1 und 2.
Vor.
oBdA sei ∆(G) ≥ 3: Mit ∆(G) = 2 = K(G) muss G ein Kreis sein ⇒ gerade
Länge ⇒ χ(G) ≤ 2 − ∆(G)
Falls ∆(G) ≤ 1:
•
•
•
nicht zugelassen. Sei S = {a, b} ein minimaler Kantenschnitt sowie C1 , . . . , Cr
die Komponenten von G − {a, b}. Setze
Ti := G[V (Ci ) ∪ {a, b}] ∪ {{a, b}}
Nach Lemma 1, 7,5 ist Ti 2-zusammenhängend, also K(Ti ) ≥ 2.
Idee: Färbe (mit I.V. Fall 1 und Fall 2) die Ti so, dass a in allen Ti die gleiche Farbe
hat und so, dass b in allen Ti die gleiche Farbe hat. Baue dann die Färbungen zu
einer G-Färbung zusammen.
Falls Ti Kreis ungerader Länge: χ(Ti ) = 3 ≤ ∆(G)
Falls Ti = Kn vollständig.
Falls n ≤ ∆(G) ⇒ χ(Ti ) = n ≤ ∆(G)
Falls n = ∆(G) + 1 ← vermeide diesen Fall!
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
103
Ansonsten: wenge I.V. auf Ti an.
Angenommen, ein Ti ist K∆(G)+1 : Da S = {a, b} minimaler Knotenschnitt, sind
a und b zu allen Komponenten Cj benachbart. (ÜA 9.2)
Cj ist einzige von Ci verschiedene Komponente. Es gilt: a0 6= b0 . Sonst wäre
a0 = b0 Schnittknoten: Widerspruch zu K(G) = 2.
a und b sind in G nicht benachbart. Nimm {a, b0 } als Knotenschnitt. Die Komponenten von G − {a, b} sind:
C10 = G[V (Ci ) ∪ {b}]
C20 = G[V (Cj ) ∩ {b0 }]
T10 = G[V (C10 ) ∪ {a, b0 }] ∪ {{a, b0 }}
ist kein K∆(G)+1 , da a T10 b.
T20 = G[V (C20 ) ∪ {a, b0 }] ∪ {{a, b0 }}
ist auch kein K∆(G)+1 , da degT20 (a) = 2 < ∆(G) ⇒ OK Fall 2.
Fall 3: K(G) = 1. Induktion nach |V (G)| (mit Fall 1,2,3)
Sei a Schnittknoten ⇒ a ist separierend. Sei G1 , G2 Separierung.
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
104
KAPITEL 8. FÄRBUNGEN
Idee: Färbe G1 und G2 mit ∆(G) Farben, wobei a jeweils die gleiche Farbe
bekommt
∆(G)-Färbung von G.
Falls ein Gi ein Kreis ungerader Länge ist ⇒ degG (a) ≥ 3 ⇒ ∆(G) ≥ 3 = χ(Gi )
OK
Falls Gi ein Kn ⇒ n ≤ ∆(G), da a auch in Gj (j 6= i) mindestens einen Nachbarn
hat. OK
Ansonsten: G1 , G2 nicht Kn oder C2n+1 und zusammenhängend ⇒ fertig mit I.V.
Fall 1,2,3
Vorlesung 19 vom 16.06.2011
105
9 Planarität
Ziel: Graphen überschneidungsfrei in die Ebene (R2 ) einbetten. Hier: nur einfach
Graphen.
9.1 Topologische Grundlagen
9.1.1 Definition.
C
(i) Eine Kurve C im R2 ist eine stetige Abbildung [0, 1] → R2
(ii) Eine Kurve C heißt Jordan-Bogen, falls C : [0, 1] → R2 injektiv ist.
(iii) Eine Kurve C heißt geschlossen, falls C(0) = C(1), das heißt
[0, 1]
C
∼
[0, 1]/0 ∼ 1
/ R2
O
C
/ S1
(iv) Eine Kurve C : S 1 → R2 heißt Jordan-Kurve, falls C geschlossen und injektiv
ist.
9.1.2 Bemerkung. Jordan-Bogen und -Kurve müssen nicht differenzierbar sein.
9.1.3 Satz (Jordanscher Kurvensatz). Sei C in R2 eine Jordan-Kurve. Dann hat
R2 \C zwei (Weg-)Zusammenhangskomponenten: eine beschränkte („innen“) und eine
unbeschränkte („außen“).
Zusammenhang:
X = U ] V,
U, V offen
⇒ X = U oder X = V
Weg-Zusammenhang: x, y ∈ X heißen weg-zusammenhängend, falls w : [0, 1] → X
existiert mit w(0) = x, w(1) = y.
9.1.4 Satz. Sei C ein Jordan-Bogen. ⇒ R2 \C ist (weg-)zusammenhängend.
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
106
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.1.5 Satz. Sei C eine Jordan.Kurve, P ∈ C, Q ∈ R2 \C. Dann existiert ein JordanBogen C 0 mit C 0 ∩ C = {P } und C 0 (0) = P , C 0 (1) = Q.
Bemerkung: Satz 9.1.5 folgt auf dem Satz von Jordan-Schönflies
Folgerungen:
1. Sei C eine Jordan-Kurve, P 6= Q ∈ C. Dann kann man P und Q mit Jordan-Bogen
C 0 verbinden, so, dass
(i) C 0 ∩ C = {P, Q}
(ii) C 0 ((0, 1)) ist komplett in einer Komponente von R2 \C enthalten.
Denn: Sei R Punkt einer Zusammenhangskomponente von R2 \C. Verbinde
mit Satz 9.1.5 R mit P und Q.
Weiterhin: C 0 unterteilt die Komponente, in der R liegt, in 2 neue Komponenten
K1 , K2 . (Jordanscher Kurvensatz)
2. Sei die Situation wie in 1. gegeben. Dann gibt es 3 Komponenten. Die Entfernung
von C 0 ((0, 1)) führt dazu, dass K1 und K2 zu einer Komponente werden.
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
9.2. KARTEN, EINBETTUNGEN, FLÄCHEN
107
9.2 Karten, Einbettungen, Flächen
9.2.1 Definition. Eine Karte K = (V, B) ist:
V ⊆ R2 endliche Punktmenge, B Menge von Jordan-Bögen so, dass
(i) ∀ b ∈ B :
b ∩ V = {b(0), b(1)}
(ii) ∀ b 6= b0 ∈ B gilt:
und
{b(0), b(1)} =
6 {b0 (0), b0 (1)}
b((0, 1)) ∩ b0 ((0, 1)) = ∅
9.2.2 Bemerkung. U = (V, B) Karte ⇒ b(0), b(1) ∈ V ∀ b ∈ B
9.2.3 Beispiel. Karte: G(K) = K3
v1
K
b1
b3
v2
v3
b2
keine Karte:
b
a
9.2.4 Definition.
(i) Sei K = (V, B) eine Karte. Der assoziierte Graph G(K) ist wie folgt definiert:
V (G(K)) := V
v ∼G(K) w :⇔ ∃ b ∈ B mit {b(0), b(1)} = {v, w}
(ii) Ein Graph G heißt planar, falls eine Karte K existiert mit G ∼
= G(K). Eine
solche Karte heißt Einbettung von G.
Achtung: Einbettungen sind nicht eindeutig.
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
108
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.2.5 Beispiel.
K1
K2
G(K1 ) ∼
= G(K2 ) aber K1 K2
9.2.6 Definition. Sei K eine
T Karte. Eine Fläche f ist eine (Weg-) Zusammenhangskomponente von R2 − (V − b∈B b). Der Rand ∂f ist der topologische Rand, das heißt:
◦
∂f = f − f
Konsequenzen aus den topologischen Grundlagen:
(i) Sei f eine Fläche ⇒ ∂f besteht aus Knoten und Bögen von K
(ii) K hat ≥ 2 Flächen ⇔ G(K) enthält einen Kreis.
Folgerung: K hat genau eine Fläche ⇔ G(K) ist ein Wald.
(iii) Eine Kante e liegt auf dem Rand von mindestens einer und höchstens zwei Flächen:
• 2, falls e aus einem Kreis liegt
• 1, falls e nicht auf einem Kreis liegt
ÜA
Folgerung: e ist eine Brücke ⇔ e liegt auf keinem Kreis ⇔ e berandet nur eine
Fläche.
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
9.2. KARTEN, EINBETTUNGEN, FLÄCHEN
109
Satz 9.1.5
In K − e werden f1 und f2 zu einer
(iv) Falls e 2 Flächen berandet: f1 ef2
Fläche.
⇒
9.2.7 Definition. Sei K eine Karte, f eine Fläche.
deg(f ) := Anzahl der Kanten, die f beranden, wobei Brücken doppelt zählen.
9.2.8 Beispiel.
3
3
6
5
7
4
K1
K2
⇒ K1 K2
9.2.9 Lemma (Handshaking). Sei K eine Karte, F (K) = {Flächen von K}
X
deg(f ) = 2|B|
f ∈F (K)
9.2.10 Satz (Eulersche Formel). Sei K eine Karte, F = F (K) die Flächen und sei
G(K) zusammenhängend.
⇒ |V | − |B| + |F | = 2
Beweis. Induktion über |F |
Induktionsanfang: |F | = 1 ⇒ G(K) ist ein Baum.
⇒ |B| = |V | − 1
Induktionsschritt: |F | ≥ 2 ⇒ G(K) enthält einen Kreis. Sei e eine Kreiskante. ⇒ e
berandet 2 Flächen f1 6= f2 ⇒ in K − e werden f1 und f2 zu einer Fläche.
I.V.
⇒ |V (K − e)| − |B(K − e)| + |F (K − e)| = 2
| {z } | {z } | {z }
|V |
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
(|B|−1)
(|F |−1)
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
110
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.2.11 Definition.
(i) Eine Karte K heißt Triangulierung, falls
∀ f ∈ F (K) : deg(f ) = 3 (⇔ ∂f = K3 )
(ii) K heißt maximal, falls
K = (V, B) ⊆ (V, B 0 ) ⇒ B = B 0
| {z }
Karte
9.2.12 Übungsaufgabe. Sei K eine Karte mit |V | ≥ 3. Dann gilt:
K ist maximal ⇔ K ist eine Triangulierung.
9.2.13 Beispiel.
K ist nicht maximal.
9.2.14 Bemerkung.
(i) K ist maximal ⇒ K ist zusammenhängend
(ii) Jede Karte K ist in einer maximalen Karte enthalten
(iii)
3 · |F |
K Triang.
=
X
H−S
deg(f ) = 2 · |B|
f ∈F
Euler: |V | − |B| + |F | = 2
⇒ |B| = 3 · |V | − 6
9.2.15 Korollar.
(i) Sei K eine Karte mit ≥ 3 Knoten ⇒ |B| ≤ 3 · |V | − 6
(ii) K ist dreiecksfrei (K3 * G(K)) ⇒ |B| ≤ 2 · |V | − 4
Beweis.
1. Übung 9.2.12 + Bemerkung 9.2.14 (ii) + (iii)
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
9.2. KARTEN, EINBETTUNGEN, FLÄCHEN
111
H−S
2. K dreiecksfrei ⇒ deg(f ) ≥ 4 ⇒ 4|F | ≥ 2|B|
Mit Euler folgt: |B| ≤ 2 · |V | − 4
9.2.16 Korollar. G planar ⇒ ∃ v ∈ V (G) mit deg(v) ≤ 5
Beweis. Angenommen, es gilt deg(v) ≥ 6 ∀ v ∈ V (G). Sei K eine Einbettung von G.
|V |≥3
⇒ |B| ≤ 3|V | − 6. Mit dem Handshaking Lemma:
6|V | ≤ 2|B|
⇒ |B| ≤ 3|V |
Widerspruch!
9.2.17 Korollar. K5 und K3,3 sind nicht planar.
Beweis.
• K5 :
|E(K5 )| =
5
= 10
2
9.2.15
3 · 5 − 6 = 9 ⇒ K5 ist nicht planar
• K3,3 :
|E(K3,3 )| = 9
2·6−4=8
K3,3 ist dreiecksfrei
Vorlesung 20 vom 20.06.2011
9.2.15
⇒ K3,3 ist nicht planar.
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
112
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.2.18 Bemerkung. Sei K eine Karte. Dann gibt es genau eine unbeschränkte Fläche,
die Außenfläche.
9.2.19 Beispiel.
f3 ist die Außenfläche.
9.2.20 Lemma. Sei G planar und f eine Fläche einer Einbettung. Dann existiert eine
Einbettung, deren Außenfläche die gleiche Flächenberandung wie f hat.
Beweis: Stereographische Projektion. Skizze:
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
9.2. KARTEN, EINBETTUNGEN, FLÄCHEN
113
Q ∈ R2 als x-y-Ebene, g Gerade durch N und Q.
{φ−1 (P ) = g ∩ S 2 }
Schritt 1: Sei K eine Einbettung von G, f eine Fläche. Transportiere K auf S 2 − N
mit φ−1 .
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
114
KAPITEL 9. PLANARITÄT
Schritt 2: Sei z im Innern von f ⊆ R2 . Rotiere S 2 so, dass φ−1 (z) der Nordpol wird.
K 0 auf S 2 .
Schritt 3: Transportiere K 0 mit φ zu R2 zurück ⇒ Behauptung.
Frage: Wann gilt: K Karte und ∀ f Fläche ist ∂f ein Kreis?
ÜA: K Karte mit G(K) separierbar ⇒ ∃ f mit ∂f kein Kreis.
9.2.21 Satz. Sei K eine Karte und sei G(K) unseparierbar (⇔ 2-zusammenhängend)
und G(K) 6= K1 , K2 . Dann gilt: ∀ f ist ∂f ein Kreis in G(K).
A 12.4: Sei G unseparierbar, G 6= K1 .K2 . Dann existiert eine Ohrenzerlegung, das
heißt
G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gk = G
Kreis mit: alle Gi unseparierbar, Gi+1 = Gi ∪ Pi mit Pi Ohr von Gi in Gi+1 , das heißt:
Pi ist ein V (Gi )-V (Gi )-Pfad und E(Pi ) ∩ E(Pi ) = ∅
Beweis. Sei G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gk = G eine Ohrenzerlegung. G0 ist ein Kreis, also gibt
es genau zwei Flächen f2 und f1 , deren Rand G0 ist. X
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
9.2. KARTEN, EINBETTUNGEN, FLÄCHEN
115
Also erfüllt G0 die Behauptung. Angenommen, Gi erfüllt die Behauptung. Zeige: Gi+1
erfüllt die Behauptung.
Das Ohr Pi liegt ganz in einer Fläche von Gi , oBdA in der Außenfläche f . Da Gi die
Behauptung erfüllt, ist ∂f ein Kreis.
Pi unterteilt f in 2 Flächen von Gi+1 : f1 , f2 . Nach Bild sind ∂f1 und ∂f2 Kreise. Alle
anderen Gi+1 -Flächen sind auch Kreise (?)
9.2.22 Korollar. Sei G ein planarer einfacher 3-zusammenhängender Graph. Dann
gilt: für alle v ∈ V (G) liegen alle v-Nachbarn auf einem gemeinsamen Kreis.
Beweis. Sei K eine Einbettung von G. G − v hat K − v als Einbettung.
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
116
KAPITEL 9. PLANARITÄT
Da G 3-zusammenhängend ist, ist G − v 2-zusammenhängend, also unseparierbar.
Satz
⇒ ∀ (K − v)-Flächen f ist ∂f ein Kreis in G − v. Sei f die Fläche von K − v, die v
beinhaltet.
Alle v-Nachbarn liegen in ∂f ← Kreis.
9.3 Unterteilungen und Minoren
9.3.1 Definition. (i) Sei G ein Graph. Eine Kantenunterteilung ist ein Graph
G0 , der wie folgt entsteht:
Sei xy = e ∈ E(G)
G0 := (V (G) ] {z}, (E(G) − e) ] {xz, yz})
(ii) Eine Unterteilung von G ist ein Graph G0 , der durch eine Sequenz von Kantenunterteilungen aus G entsteht.
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
9.3. UNTERTEILUNGEN UND MINOREN
9.3.2
Beispiel.
Ein
Graph
G
und
117
eine
Unterteilung
G0
von
G:
9.3.3 Lemma. Sei G0 eine Unterteilung von G. Dann gilt: G planar ⇔ G0 planar.
9.3.4 Korollar. Sei G ein Graph, der eine Unterteilung von K5 oder K3,3 enthält, so
ist G nicht planar.
0
0
Beweis. K50 ⊆ G oder K3,3
⊆ G und G planar ⇒ K50 oderK3,3
planar
K3,3 planar. Widerspruch!
Lemma
⇒
K5 oder
9.3.5 Beispiel. Graph G:
K50 ⊆ G ⇒ G ist nicht planar.
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
118
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.3.6 Satz (Kuratowski). Sei G ein eifacher Graph. Dann gilt: G ist planar ⇔ G
enthält keine Unterteilung von K5 oder K3,3 .
Beweis. „⇒“Korollar
„⇐“später.
PÜ 10 ist eine gute Übung für die Klausur! =)
9.3.7 Definition. Sei G ein Graph. Ein Minor von G ist ein Graph F , der aus G
durch eine Sequenz von Knotenauslöschungen, Kantenauslöschungen und Kantenkontraktionen hervorgeht. (Bis auf Isomorphie!)
Schreibe:
F 4G
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
9.3. UNTERTEILUNGEN UND MINOREN
9.3.8 Bemerkung.
119
(i)
F ⊆G⇒F 4G
(Knoten- und Kantenauslöschung)
(ii) Sei G0 eine Kantenunterteilung von G an e = xy ∈ E(G) ⇒ G 4 G0 .
(iii)
F 4 H, H 4 G ⇒ F 4 G
9.3.9 Lemma. Seien G, F Graphen. G enthalte eine Unterteilung F 0 von F .
⇒F 4G
Beweis.
(i)
F0 ⊆ G ⇒ F0 4 G
weiterhin mit (ii): F 4 F 0 .
(iii)
⇒ F 4G
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
120
KAPITEL 9. PLANARITÄT
ÜA:
F 4 G, ∆(F ) ≤ 3 ⇒ Genthält eine Unterteilung F 0 von F
9.3.10 Lemma. F 4 G, G planar ⇒ F planar.
Beweis. Es reicht zu zeigen: G planar ⇒ G/e planar.
G(K) ∼
= G, K
9.3.11 Satz (Wagner). Sei G einfach. Dann gilt:
G planar ⇔ K5 64 G und K3,3 64 G
Beweis. „⇒“voriges Lemma
„⇐“später
Ziel: Wagner ⇔ Kuratowski
Dafür: K5 4 G oder K3,3 4 G ⇔ G enthält eine Unterteilung von K5 oder K3,3 .
„⇐“Schon gekannt:
F0 ⊆ G ⇒ F 4 G
„⇒“
1. K3,3 4 G ⇒ G enthält eine Unterteilung von K3,3 . (Vorlesung)
2. K5 4 G ⇒ G enthält eine Unterteilung von K5 oder von K3,3 . (Übung)
9.3.12 Lemma. Seien G, F Graphen. Dann sind äquivalent:
1. F 4 G
2. ∃ V0 , . . . Vk ⊆ V (G) mit
Uk
(i) V (G) = i=0 Vi
(ii) G[V1 ], . . . , G[Vk ] sind zusammenhängend.
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
9.3. UNTERTEILUNGEN UND MINOREN
121
9.3.13 Beispiel. Graph G, H 4 G, F 4 G:
Petersen-Graph:
Vorlesung 21 vom 27.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
122
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.3.14 Lemma. Seien G und F Graphen. Dann sind äquivalent:
1. F ist Minor von G, also F 4 G.
2. Es existieren V0 , . . . , Vk ⊆ V mit:
U
a) V = i=0 VI
b) G[V1 ], . . . , G[Vk ] zusammenhängend
c) F ⊂ H, F spannend, mit
H := (G − V0 )/G[Vi ] ∼ Vi − Schleifen an Vi
Beweis. “2 => 1”:
G − v0 : Knotenlöschung
i = 1, . . . , k : G[vi ] ∼ vi
durch Knotenkontraktion:
Ti ⊆ G[vi ] Spannbaum.
Kontrahiere sukzessive Blätter.
F ⊆ H: Kantenlöschung
⇒F 4G
“1 => 2”:
oBdA entsteht F aus G wie folgt:
erst Knotenlöschung
F1 = G − V0 ⊆ G
dann Kantenkonstruktion
F2
dann Knotenlöschung
F ⊆ F2 spannend.
erst Knotenlöschung
F − 1 = G − V0 ⊆ G
dann Kan Sei E 0 ⊆ E(F1 ) die Menge der zu kontrahierenden Kanten, sowie G0 der
durch E 0 induzierte Teilgraph:
Kanten: E 0 , Knoten: Endknoten der E 0 -Kanten.
⇒ F2 = F1 /G[Vi ] ∼ vi -Schleifen an vi
ÜA: K5 4 G ⇒ G enthält eine Unterteilung von K3,3
Beweis. Sei H ⊆ G minimal so, dass K3,3 4 H.
Behauptung: H ist eine Unterteilung von K3,3 .
Mit vorigem Lemma:
V (H) = V1 ] . . . ] V6
(V0 = ∅, da sonst H − V0 kleiner wäre mit K3,3 4 H − V0 )
Da H minimal, sind H[V1 ], . . . , H[V6 ] minimal zusammenhängend, also Bäume.
Bild von H:
Vorlesung 22 vom 30.06.2011
9.3. UNTERTEILUNGEN UND MINOREN
123
V1
V2
V3
V4
V5
V6
Da H minimal, gibt es zwischen den v1 , v2 , v3 v4 , v5 , v6 keine Kanten und jeweils
zwischen v1 , v4 , v1 , v5 , v1 , v6 usw. genau eine.
Betrachte H[Vi ] und die 3 Verbindungskanten e − 1, e2 , e3 .
Vi
v3
w3
v2
v1
w2
w1
Ti := H[Vi ] ∪ {e1 , e2 , e3 } ∪ {w1 , w2 , w3 }
ÜA
Behauptung: Ti ist ein Baum mit genau 3 Blättern. ( ⇔ Ti ist eine Unterteilung von
K1,3 )
Dann: Ti
⇒ H ist Unterteilung von K3,3
Beweis, dass Ti ein Baum mit genau 3 Blättern ist. Ti Baum okay, da H[Vi ] ein Baum.
Fall 1: v1 = v2 = v3 . Wegen der Minimalität von H ist dann Vi = {v1 } und Ti = K1,3 .
Fall 2: v1 = v2 6= v3 . Wegen der Minimalität von H ist H[Vi ] ein Pfad mit Endknoten
v1 und v3 .
Baum mit genau 3 Blättern.
Fall 3: v1 , v2 , v3 paarweise verschieden. Wegen der Minimalität von H ist H[Vi ] ein
Baum mit genau 3 Blättern: v1 , v2 , v3 , also erfüllt Ti die Behauptung.
Ziel: für Wagner fehlt: G einfach mit K5 64 G und K3,3 64 G ⇒ G planar.
Vorlesung 22 vom 30.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
124
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.4 Brückenköpfe
9.4.1 Definition. H ( G. Partitioniere E(G) − E(H) wie folgt:
(i) Sei C eine Komponente von G − H. Bilde E(G[C]) ∪ E(C, V (H))
(ii) e = xy ∈ E(G) − E(H) mit x, y ∈ V (H), betrachte {e} einzeln
Sei F ⊆ E(G) − E(H) eine der obigen Partitionen. Der durch F induzierte Teilgraph
B := ({v ∈ V (G) | v inzident zu einer F -Kante, F )
heißt Brückenkopf von H in G.
9.4.2 Bemerkung.
(i) B 6= B 0 Brückenköpfe von H in G
⇒ V (B) ∩ V (B 0 ) ⊆ V (H)
(ii) B Brückenkopf von H in G, v, w ∈ V (B). Dann existiert ein v-w-Pfad P in B
mit:
V (P ) ∩ V (H) ⊆ {vw}
9.4.3 Definition. H ( G, B, B 0 Brückenköpfe von H in G.
(i) Die Knoten aus V (B) ∩ V (H) heißen anheftende Knoten von B an H. Alle
anderen B-K-Knoten heißen innere Knoten.
(ii) B heißt trivial, falls er keine inneren Knoten hat, also vom Typ (ii) ist.
(iii) B heißt k-Brückenkopf , falls B genau k anheftende Knoten hat.
(iv) B und B 0 heißen äquivalent, falls sie die gleichen anheftenden Knoten haben.
(B1 und B2 sind äquivalent)
9.4.4 Bemerkung. G zusammenhängend ⇒ jedes B hat mindestens einen anheftenden Knoten.
G unseparierbar ⇒ jedes B hat mindestens zwei anheftende Knoten.
Von nun an: H = C ( G, C Kreis.
Sie B ein Brückenkopf von C in G mit anheftenden Knoten v1 , . . . , vk . Dann partitionieren diese C in k Kanten-disjunkte Pfade, die Segmente von C bezüglich B.
Vorlesung 22 vom 30.06.2011
9.4. BRÜCKENKÖPFE
125
9.4.5 Definition. C ( G, C ein Kreis, B, B 0 Brückenköpfe von C in G.
(i) B und B 0 vermeiden einander, falls alle anheftenden Knoten von B in nur
einem Segment von C bezüglich B 0 liegen. Ansonsten überlappen B und B 0 .
(B3 und B4 überlappen. B1 und B2 auch. B2 und B3 vermeiden einander.)
(ii) B und B 0 sind schief , falls es 4 verschiedene anheftende Knoten u, v von B, u0 , v 0
von B 0 gibt so, dass sie in der Reihenfolge u, u0 , v, v 0 auf C liegen. (B3 und B4
sind schief, B1 und B2 sind nicht schief)
9.4.6 Satz. C ( G, C Kreis, B, B 0 Brückenköpfe von C in G. Dann gilt: B und B 0
überlappen ⇒
(i) B und B 0 sind schief
oder
(ii) B und B 0 sind äquivalente 3-Brückenköpfe
Beweis. De B und B 0 überlappen, haben sie je mindestens zwei anheftende Knoten.
Fall 1: B oder B 0 ist 2-Brückenkopf, oBdA B.
Behauptung: B und B 0 sind schief: v, w anheftende Knoten von B x, y sind anheftende
Knoten von B 0 wegen Überlappung.
Fall 2: B und B 0 haben jeweils mindestens 3 anheftende Knoten.
Fall 2a: B und B 0 sind nicht äquivalent.
⇒ ∃ anheftender Knoten u0 von B 0 , der zwischen zwei aufeinanderfolgenden anheftenden
Knoten u, v von B liegt. Wegen des Überlappens existiert ein anheftender Knoten v 0
von B 0 , der nicht im u-v-Segment liegt.
⇒ B und B 0 sind schief.
Fall 2b: B und B 0 sind äquivalente k-Brückenköpfe (k ≥ 3). Falls k = 3 → (ii), falls
Bem.
k ≥ 4 ⇒ B und B 0 sind schief.
Vorlesung 22 vom 30.06.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
126
KAPITEL 9. PLANARITÄT
Erinnerung.
9.4.7 Satz (Satz 1). C ( G, C ein Kreis, B, B 0 Brückenköpfe, die überlappen. Dann
gilt:
(i) B und B 0 sind schief
oder
(ii) B und B 0 sind äquivalente 3-Brückenköpfe
9.4.8 Satz (Satz 2). K Karte, C ( G(K), C Kreis, B, B 0 Brückenköpfe, die bezüglich
C ⊆ R2 beide „innen“oder beide „außen“liegen, dann vermeiden B und B 0 einander.
C
B
B’
Beweis. oBdA seien B und B 0 „innen“. Angenommen, B und B 0 überlappen. Nach
Satz 1 tritt einer der folgenden Fälle ein:
Fall (i): B und B 0 sind schief.
u0
C
u
w
v
v0
Sei P ein u-v-Pfad in B und P 0 u0 -v 0 -Pfad in B 0 , die bis auf Start- und Endknoten zu
C disjunkt sind.
Nach dem Jordanschen Kurvensatz existiert ein Knoten w ∈ B ∩ B 0 − C Widerspruch!
Alternativ:
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
9.4. BRÜCKENKÖPFE
127
u0
u
z
v
v0
H := C ∪ P ∪ P 0 planar
Wähle z außerhalb von C. Verbinde z mit u, u0 , v, v 0 . K := H ] z planar, Unterteilung
von K5 ⇒ K5 planar. Widerspruch!
Fall (ii): B und B 0 äquivalente 3-Brückenköpfe. S = {v1 , v2 , v3 } anheftende Knoten
A11.3
⇒ ∃ (v, S)-Fan F in B, wobei v interner Knoten von B.
Beobachtung: F − S, F 0 − S liegen ganz im Inneren von C.
v1
C
z
f1
v
v0
v2
f3
f2
v3
zwei der Linien müssen noch gesquiggeled werden
v 0 liege oBdA in f3 . Nach dem Jordanschen Kurvensatz schneider der v 0 -1 -Pfad von F 0
gerade F − S. Widerspruch!
Alternativ: H := F ∪ F 0 planar.
Füge z außerhalb von C hinzu. K := H ] z planar + verbinde z mit v1 , v2 , v3 .
K ist Unterteilung vom K3,3 ⇒ K3,3 planar. Widerspruch!
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
128
KAPITEL 9. PLANARITÄT
9.5 Der Beweis des Satzes von Wagner nach Thomason
9.5.1 Behauptung. Sei G einfach mit K5 64 G und K3,3 64. Dann ist G planar.
9.5.2 Lemma. Sei G einfach, K(G) = 1 mit Separierung G1 , G2 und separierendem
Knoten v. Dann gilt:
G ist planar ⇔ G1 und G2 sind planar.
Beweis.
• „⇒“ G1 , G2 ⊆ G X
• „⇐“ Es existieren Einbettungen von G1 und G2 , bei denen v an der Außenfläche
liegt:
⇒ Einbettung von G
9.5.3 Lemma. Sei K(G) = 2 und S = {x, y} ein Schnitt sowie C1 , . . . , Cr Komponenten von G − S.
Betrachte:
Ti := G[Ci ∪ {x, y}] ∪ {{x, y}}
Dann gilt:
(i) Ti 4 G
(ii) G ist planar ⇔ alle Ti sind planar
Beweis.
(i) Da S ein Minimalschnitt ist, existiert eine Komponente Cj mit j 6= i und ein
x-y-Pfad P in G[Cj ∪ {x, y}]
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
9.5. DER BEWEIS DES SATZES VON WAGNER NACH THOMASON
129
⇒ G[Ci ∪ {x, y}] ∪ P ⊆ G ⇒ Ti 4 G
|
{z
}
Unterteilung von Ti
(ii) „⇒“ Lemma: H 4 G, G planar ⇒ H planar
„⇐“ Es existieren Einbettungen der Ti , bei denen e = xy an der Außenfläche liegt:
Nach Lemma 9.5.2 und Lemma 9.5.3 reicht es, für Wagner den folgenden Satz zu
beweisen:
9.5.4 Satz. Sei G einfach mit K(G) ≥ 3 (3-zusammenhängend) und K5 64 G und
K3,3 64 G. Dann ist G planar.
Beweis. Induktion nach |V (G)|. Falls |V (G)| ≤ 4 ⇒ G ⊆ K4 planar. X
Falls |V (G)| ≥ 5:
Lemma 7.2.30 (Thomason):
∃ e = xy ∈ E(G), x 6= y so, dass G/e 3-zusammenhängend ist. Es gilt:
|V (G/e)| = |V (G)| − 1
V or.
G/e 4 G ⇒ K5 64 G/e und K3,3 64 G/e
Nach I.V. ist G/e planar.
Sei K eine Einbettung. Nach Korollar 9.2.22 existiert eine Fläche von K − ve so, dass
∂f =: C ein Kreis ist, der alle ve -Nachbarn enthält.
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
130
KAPITEL 9. PLANARITÄT
Beachte: K − ve ist auch eine Einbettung von G − {x, y}
Betrachte nun bezüglich C ( G − e die Brückenköpfe Bx , By : Bx enthält x, By enthält
y.
Beobachtung: Bx hat nur einen inneren Knoten: x und die anheftenden Knoten sind
genau die x-Nachbarn in G − e.
Analog By
Behauptung: Bx und By vermeiden einander.
Dann:
⇒ Einbettung von G.
Angenommen, Bx und By überlappen. Nach Satz 9.4.6 gilt einer der folgenden beiden
Fälle:
• Fall 1: Bx und By sind schief.
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
9.6. EIN EINBETTUNGSALGORITHMUS
131
C ist eine Unterteilung von K3,3 in G Widerspruch, da K3,3 64 G.
• Fall 2: Bx und By sind äquivalente 3-Brückenköpfe:
⇒ G enthält eine Unterteilung vom K5 . Widerspruch, da K5 64 G
9.6 Ein Einbettungsalgorithmus
Wegen Lemma 9.5.2 und Lemma 9.5.3 reicht es, einen Algorithmus anzugeben, der
3-zusammenhängende einfache Graphen als Input nimmt und als Output: G nicht
planar oder Einbettung von G.
Input: G einfach mit K(G) ≥ 3
• Schritt 1: Falls |V (G)| ≤ 4 fertig
Ansonsten: Nach dem Thomason-Lemma 7.2.30 existiert eine Sequenz G =
Gk , . . . , G1 = K4 mit:
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
132
KAPITEL 9. PLANARITÄT
(i) ∃ e ∈ E(Gi+1 ) mit Gi+1 /e = Gi
(ii) alle Gi sind 3-zusammenhängend
Frage: Wie findet man für G 3-zusammenhängend ein e mit G/e 3-zusammenhängend?
1. Gehe alle Kanten e = xy, x 6= y durch und teste das Folgende:
Gehe alle z ∈ V (G) − {x, y} durch und prüfe, ob {x, y, z} ein Schnitt von G ist.
Falls kein solches z existiert ⇒ G/e 3-zusammenhängend.
Im Beweis des Thomason-Lemmas
G 3-zusammenhängend, G/e nicht 3-zusammenhängend ⇒ ∃ z ∈ V (G) − {x, y}
mit {x, y, z} ist Schnitt von G.
• Schritt 2: G = Gk , . . . , G1 = K4 gegeben.
Bette K4 ein. Gi = Gi+1 /e.
Falls Gi schon eingebettet mit Karte Ki :
Finde Fläche f von K − ve so, dass ∂f Kreis, der alle ve -Nachbarn beinhaltet.
Bilde Bx , By bezüglich ∂f ⊆ Gi+1 − e.
Falls Bx und By überlappen (⇒ K5 4 Gi+1 oder K3,3 4 Gi+1 )
STOP. Output: G nicht planar und Gi+1 4 G
Falls Bx und By einander vermeiden ⇒ bette ein wie im Beweis des vorherigen
Satzes
Einbettung von Gi+1
Falls: Gi+1 = G
STOP G planar.
Vorlesung 23 vom 04.07.2011
9.6. EIN EINBETTUNGSALGORITHMUS
133
9.7 Der 5-Farbensatz
9.7.1 Satz (5-Farbensatz). Sei G planar. Dann gilt:
χ(G) ≤ 5
Beweis. Induktion nach |V (G)|
Nach Korollar aus der Euler-Formel existiert ein v ∈ V (G) mit deg(v) ≤ 5. Nach I.V.
gilt χ(G − v) ≤ 5.
Sei f : V (G) − v → {1, 2, 3, 4, 5} eine 5-Färbung.
Idee: Setze f auf v fort.
• Fall 1: deg(v) ≤ 4
⇒ eine Farbe ist für v übrig (denn die Nachbarn können nicht alle 5 Farben
verbraucht haben).
• Fall 2. deg(v) = 5.
Seien v1 , . . . , v5 die v-Nachbarn. Falls zwei der v1 , . . . , v5 gleich gefärbt sein sollten,
wäre eine Farbe für v übrig.
Angenommen, f färbt die v1 , . . . , v5 verschieden, oBdA f (vi ) = i.
Idee: Ändere f ab zu f 0 so, dass in f 0 zwei v1 , . . . , v5 gleich gefärbt werden.
Situation:
P
v2
w
v1
v
v3
Q
v5
v4
Betrachte Kempe-Ketten:
Für i 6= j mit i, j ∈ {1, . . . , 5} sei Gi,j ⊆ G der durch die Farbklassen f −1 (i) und
f −1 (j) induzierte Teilgraph.
Betrachte G1,3 : v1 , v3 ∈ G1,3
Falls v1 und v3 in zwei verschiedenen Komponenten von G1,3 liegen, tausche die
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
134
KAPITEL 9. PLANARITÄT
Farben 1 und 3 in der Komponente von v1 .
f 0 mit f 0 (v1 ) = 3 = f 0 (v3 ) = f (v2 )
fertig
Falls v1 und v3 in G1,3 in der gleichen Komponente von G1,3 liegen, existiert ein
v1 -v3 -Pfad P in G1,3 , das heißt, alle P -Knoten sind mit 1 oder 3 gefärbt.
Betrachte nun G2,4 3 v2 , v4
Behauptung: v2 und v4 liegen in verschiedenen G2,4 -Komponenten
fertig (wie
oben).
Angenommen, v2 und v4 liegen in der gleichen G2,4 -Komponente, dann existiert
ein v2 -v4 -Pfad Q in G2,4 (alle Q-Knoten sind mit 2 oder 4 gefärbt).
Nach dem Jordanschen Knotensatz existiert w ∈ P ∩ Q. Widerspruch!
9.8 Bemerkungen zum 4-Farbensatz
9.8.1 Satz (Appel, Haken, IBM 360, 1976). Sei G planar, dann gilt
χ(G) ≤ 4
Grundlegende Beweisidee:
1. Betrachte nur maximale Karten
Karten = Triangulierungen.
2. Betrachte eine Liste unvermeidbarer Figuren, das heißt, eine Liste von Karten so,
dass jede Triangulierung mindestens eine Karte der Liste als Teilkarte enthält.
9.8.2 Beispiel.



























,
,



























3. Für jede Listen-Figur: Setze alle möglichen 4-Färbungen der Ränder mit KempeKetten-Argumenten (wie im 5-Farbensatz) auf das Innere fort.
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
9.8. BEMERKUNGEN ZUM 4-FARBENSATZ
135
Problem: 3. klappt nicht mit obiger Beispielliste.
Frage: Wie zeigt man die Unvermeidbarkeit einer gegebenen Liste?
thode von Heesch.
Entladungsme-
9.8.3 Satz (Wenicke, 1906). Die folgende Liste ist in jeder Triangulierung unvermeidbar:










a
a
b
b


















,
,
,


























Beweis.
Behauptung: Sei K eine Triangulierung ⇒ ∃ v mit deg(v) = 3, 4, ∃ {a, b} ∈ E(G(K))
mit deg(a) = 5 = deg(b) oder deg(a) = 5 und deg(b) = 6.
Aus der Behauptung folgt der Satz.
Sei K eine Triangulierung, die keine Figur der Liste enthält. Lade die K-Knoten wie
folgt auf: l(v) = G − deg(v).
Nach Annahme gilt: l(v) ≤ 1 ∀ v ∈ V (G).
Gesamtladung: K Triangulierung ⇒ |E| = 3 · |V | − 6
l(K) :=
X
H−S
l(v) = 6 · |V | − 2 · |E| = 12
v∈V
Entladungsregel: Sei v ein Knoten mit deg(v) = 5. Nach Annahme haben alle vNachbarn Grad ≥ 7. Verteile l(v) = 1 auf die 5 Nachbarn zu je 15
neue Ladung l0
(verfahre so mit jedem Grad-5-Knoten).
Es gilt: l0 (K) = l(K) = 12
v mit deg(v) = 5, 6 ⇒ l0 (v) = 0
v mit deg(v) ≥ 7:
Behauptung: v hat höchstens b deg(v)
2 c Nachbarn vom Grad 5.
Denn: Nach Annahme können 2 Grad-5-Knoten nicht benachbart sein. K Triangulierung.
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
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136
KAPITEL 9. PLANARITÄT
1 deg(v)
b
c + l(v)
5
2
deg(v)≥7
deg(v)
≤
+ 6 − deg(v)
<
0
10
X
⇒ 12 = l0 (K) =
l0 (v) ≤ 0
⇒ l0 (v) ≤
v,deg(v)≥5
9.8.4 Bemerkung.
(i) Die Liste tut es auch nicht.
(ii) Appel + Haken: 1825 Figuren
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
137
10 Das chromatische Polynom
10.0.1 Definition. Sei G ein Graph, r ≥ 0. Sei
C(G, r) := #r-Färbungen von G = #Morphismen(G, Kr )
10.0.2 Beispiel.
(i)
C(En , r) = rn
(ii)
r≥n
C(Kn , r) = r · (r − 1) · (r − 2) · · · · · (r − n + 1)
Beobachtung: In (i) und (ii) stehen Polynome.
10.0.3 Bemerkung.
(i) C(G, r) > 0 ⇔ G ist r-färbbar
(ii) Enthält G eine Schleife, so ist C(G, r) = 0 ∀ r ≥ 0
10.0.4 Satz (Deletion-Contraction-Principle). Sei G ein Graph, e = xy ∈ E(G) mit
x 6= y. Dann gilt:
C(G, r) = C(G − e, r) − C(G/e, r)
Beweis. Zeige:
C(G − e, r) = C(G, r) + C(G/e, r)
Die r-Färbungen von G − e bilden zwei disjunkte Klassen:
1. f ∈ Morphismen (G − e, Kr ) mit f (x) 6= f (y) =
b r-Färbungen von G
2. f ∈ Morphismen (G − e, Kr ) mit f (x) = f (y) =
b r-Färbungen von G/e
10.0.5 Satz. Sei G ein einfacher Graph. Dann existiert ein normiertes Polynom
P (G, x) ∈ Z[x] vom Grad |V (G)| und alternierenden Vorzeichen so, dass:
∀ r ≥ 0 : P (G, r) = C(G, r)
Insbesondere ist P (G, 0) = 0, also hat P (G, x) konstanten Term 0.
P (G, x) heißt chromatisches Polynom von G.
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
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138
KAPITEL 10. DAS CHROMATISCHE POLYNOM
Weiterhin gilt ∀ e ∈ E(G):
P (G, x) = P (G − e, x) − P (G/e, x)
(10.1)
Bemerkung: Die Forderung P (G, r) = C(G, r) ∀ r ≥ 0 legt das Polynom P (G, x)
eindeutig fest. (d.h. 10.1 folgt aus Satz 10.0.4.)
Beweis. Induktion nach |E(G)|
|E(G)| = 0: G = En , P (En , x) = xm X
|E(G)| ≥ 1: Sei e ∈ E(G). Dann haben G − e und G/e je eine Kante weniger als G.
Nach I.V. existieren P (G − e, x) und P (G/e, x) so, dass
∀ r ≥ 0 : P (G − e, r) = C(G − e, r) und
P (G/e, r) = C(G/e, r)
Weiterhin existieren a1 , . . . , an−1 , b1 , . . . , bn−1 ∈ N, n = |V (G)| mit:
P (G − e, x) =
n−1
X
((−1)n−i ai · xi ) + xn
i=1
P (G/e, x) =
n−1
X
(−1)n−i bi · xi
i=1
Setze:
P (G, x) := P (G − e, x) − P (G/e, x)
Nach Proposition gilt ∀ r ≥ 0:
P (G, r) = C(G, r)
Weiterhin:
P (G, x) =
n−1
X
((−1)n−i (ai + bi )xi ) + xn
i=1
10.0.6 Lemma. Sei G einfach. Der Koeffizient von x|r|−1 in P (G, x) ist dann −|E(G)|.
Beweis. Induktion nach |E(G)|:
|E(G)| = 0 ⇒ G = En und P (En , x) = xn X
|E(G)| ≥ 1: Sei e ∈ E(G), dann wissen wir:
P (G, x) = P (G − e, x) − P (G/e, x)
n = |V (G)|
P (G, x)
Satz+I.V.
=
(xn − (|E(G)| − 1) · xn−1 + . . .) − (xn−1 − . . .)
= xn − (|E| − 1 + 1) ·xn−1 + . . .
|
{z
}
=|E(G)|
10.0.7 Präsenzübungsaufgabe. x4 − 3x3 + 3x2 ist kein chromatisches Polynom.
Vorlesung 24 vom 07.07.2011
139
10.0.8 Beispiel.
(i)
P (En , x) = xn
(ii)
P (Kn , x) = x · (x − 1) · . . . · (x − n + 1)
Rechenregeln:
(i)
P (G + H, x) = P (G, x) + P (H, x)
(ii)
Kn ⊆ G, Kn ⊆ H
⇒ P (G +Kn H, x) · P (Kn , x) = P (G, x) · P (H, x)
G
H
K2
(iii)
→
P (G ∗ K1 , x) = x · P (G, x − 1)
G
K1
Beweis.
(i) Prüfe: ∀ r ≥ 0 gilt:
P (G + H, r) = P (G, r) · P (H, r)
⇔ C(G + H, r) = C(G, r) · C(H, r)
Stimmmt, da G und H unabhängig voneinander gefärbt werden.
(ii) Prüfe:
∀ r ≥ 0 : C(Kn , r) · C(G +Kn H, r) = C(G, r) · C(H, r)
Beachte: G und H können in G +Kn H nicht unabhängig werden, da G ∩ H = Kn .
Färbe erst Kn , dann den Rest von G und H:
G-Möglichkeiten · H-Möglichkeiten/Kn -Möglichkeiten
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
140
KAPITEL 10. DAS CHROMATISCHE POLYNOM
(iii) Prüfe:
∀ r ≥ 0 : C(G ∗ K1 , r) = r · C(G, r − 1)
Färbe erst den K1 -Knoten v mit Farbe 1, . . . , r. Dann bleiben für G die Farben
{1, . . . , r}-(v-Farbe).
10.0.9 Satz. Sei G ein einfacher Graph, n = |V (G)|.
1. G ist ein Baum ⇒ P (G, x) = x · (x − 1)n−1
2. G ist zusammenhängend und P (G, x) = x · (x − 1)n−1 ⇒ G ist ein Baum.
Beweis.
1. Induktion nach |E(G)|:
|E(G)| = 0 ⇒ G = K1 und P (K1 , x) = x X
|E(G)| ≥ 1: Da G ein Baum ist, existiert mindestens ein Blatt v mit vw = e ∈
E(G).
(i)
⇒ G − e = (G − v) + K1 ⇒ P (G − e, x) = P (G − v, x) · x
Weiterhin ist G/e ∼
= G − v. Also:
10.1
P (G, x) = P (G − e, x) − P (G/e, x)
= x · P (G − v, x) − P (G − v, x)
= (x − 1) · P (G − v, x)
I.V.
= (x − 1) · x · (x − 1)n−2
= x · (x − 1)n−1
2. Sei G zusammenhängend und P (G, x) = x · (x − 1)n−1 .
Behauptung: G hat genau n − 1 Kanten. Dann ist G ein Baum.
Wir wissen:
−|E(G)| = xn−1 − Koeffizient von P (G, x)
Also:
−|E(G)| = xn−1 − Koeffizient von x · (x − 1)n−1
= xn−2 − Koeffizient von(x − 1)n−1
n−1
X n − 1 · xi · (−1)n−1−i
=
i
i=0
n−1
=−
= −(n − 1)
1
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
141
10.0.10 Lemma. Sei n ≥ 3. Dann gilt:
P (Cn , x) = (x − 1)n + (−1)n · (x − 1)
Dann gilt für
G
P (G, x) =
P (C4 , x)2
= ...
P (K2 , x)
Beweis. Induktion nach n:
n = 3 : C3 = K3
⇒ P (C3 , x) = x(x − 1) · (x − 2)
= (x − 1)(x2 − 2x)
= (x − 1) · ((x − 1)2 − 1)
= (x − 1)3 + (−1)3 · (x − 1)
n≥4:
Sei e ∈ E(Cn )
⇒ Cn /e ∼
= Cn−1
Cn − e ∼
= Pn−1
Also:
P (Cn , x) = P (Cn − e, x) − P (Cn /e, x)
= P (Pn−1 , x) − P (Cn−1 , x)
= x · (x − 1)n−1 − [(x − 1)n−1 + (−1)n−1 · (x − 1)]
= (x − 1) · (x − 1)n−1 +(−1)n · (x − 1) (nach Satz 10.0.9 und I.V.)
{z
}
|
=(x−1)n
10.0.11 Definition.
−
→
(i) Ein Digraph D heißt azyklisch, falls D keinen gerichteten Kreis Cn (n ≥ 1)
enthält.
(ii) Sei G ein Graph und O eine Orientierung. Dann heißt O azyklisch, falls der
Digraph GO azyklisch ist.
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
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142
KAPITEL 10. DAS CHROMATISCHE POLYNOM
10.0.12 Satz (Stanley, 1973). Sei G ein einfacher Graph. Dann gilt mit n = |V (G)|:
(−1)n P (G, −1) = # azyklischer Orientierungen von G =: a(G)
Für den Beweis:
Idee: Induktion nach |E(G)|:
|E(G)| = 0 ⇒ G = En
P (G, x) = xn
(−1)n P (G, −1) = (−1)n (−1)n = 1
a(En ) = 1
|E(G)| ≥ 1:
Idee: Man bräuchte eine Deletion-Contraction-Formel für a(G):
e ist keine Schleife ⇒ a(G) = a(G − e) + a(G/e)
(10.2)
Problem: (10.2) stimmt mit der bisherigen Definition von G/e nicht.
Betrachte
•w
G
→
G/e
•z
•ve
→
G/e
•z
•ve
e
•z
•v
Besser:
•w
G
e
•z
•v
Hier stimmt (10.2)
10.0.13 Definition. Ein Multigraph ist ein Tripel (V, E, φ), wobei V die Knotenmenge, E die Kantenmenge und
V
V
φ:E→
∪
1
2
die Inzidenzfunktion ist.
(φ(e) = {v, w} für •v
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
e
/ •w )
143
10.0.14 Beispiel.
10.0.15 Bemerkung. Sei G ein Multigraph. Betrachte den Graphen G0 = (V, φ(E)).
Es gilt:
(i) G planar ⇔ G0 planar ⇔ G0 -Schleifen planar
(ii)
C(G, r) = C(G0 , r) ⇒ P (G, x) = P (G0 , x)
(iii) K ≤ |V (G)| − 1. Dann gilt:
G ist K-zusammenhängend ⇔ G0 ist K-zusammenhängend.
10.0.16 Definition. Sei G ein Multigraph, e = {v, w} ∈ E(G). Die Kontraktion G/e
ist definiert als:
V (G/e) := V (G)/v ≈ w : v und w werden identifiziert
E(G/e) := E(G) − e
Die Inzidenzfunktion ist die Komposition:
V (G)
V (G)/v ≈ w
V (G)/v ≈ w
φ|(E(G)−e) V (G)
E(G) − e
−→
∪
− ··· ∪
1
2
1
2
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
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144
KAPITEL 10. DAS CHROMATISCHE POLYNOM
10.0.17 Beispiel.
10.0.18 Bemerkung. Sei G ein Graph, e ∈ E(G). Dann ist G/e „alt“=(G/e „neu“)’
G0 Graph. (G Multigraph).
10.0.19 Bemerkung. Es gilt auch für Multigraphen G:
P (G, x) = P (G − e, x) − P (G/e, x)
|{z}
neu
10.0.20 Definition.
(i) Ein Multidigraph ist ein Tripel D = (V, E, φ) mit Inzidenzfunktion φ:
φ:E →V ×V
(ii) G = (V, E, φ) sei ein Multigraph. Eine Orientierung O ist eine Faktorisierung von
φ der folgenden Art:
(v, w)
_
V; × V
O
E
φ
/
V
1
∪
V
2
{v, w}
GO = (V, E, O) zugeordneter Multidigraph.
(iii) Sei G ein Muldigraph
a(G) := # azyklischer Orientierungen von G
Vorlesung 25 vom 11.07.2011
145
10.0.21 Beispiel (Anwendungen des Satzes von Stanley).
(i) Sei T ein Baum mit n Knoten
P (T, x) = x · (x − 1)n−1
(−1)n · P (T, −1) = (−1)n · (−1)n · (−1) · (−2)n−1
= 2n−1 = a(T )
(ii) Cn :
P (Cn , x) = (x − 1)n + (−1)n · (x − 1)
(−1) · P (Cn , −1) = (−1)n · [(−2)n + (−1)n · (−2)]
n
= 2n − 2 = a(Cn )
(iii) Kn :
P (Kn , x) = x · (x − 1) · . . . · (x − n + 1)
(−1) · P (Kn , −1) = (−1)n · (−1) · (−1 − 1) · . . . · (−1 − n + 1)
| {z }
|
{z
}
n
=−2
=−n
= n! = a(Kn )
10.0.22 Behauptung. Sei G ein Multigraph, e ∈ E(G). Dann gilt:


G enthält Schleife
0
a(G) = 2 · a(G/e)
e ist eine Brücke


a(G − e) + a(G/e) e ist weder Brücke noch Schleife
Weiterhin gilt: e ist eine Brücke ⇒ a(G/e) = a(G − e)
G:
G/e :
•
e
•
•e
Beweis.
1. Sollte G eine Schleife e enthalten, so gibt jede Orientierung
z
−
→
e
O: •
= C1
einen Kreis in GO ⇒ keine G-Orientierung ist azyklisch
⇒ a(G) = 0
2. e ist eine Brücke (⇔ e liegt auf keinem Kreis)
azyklische G-Orientierung =
b azyklische G/e-Orientierung + beliebige Orientierung
Vorlesung 26 vom 14.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
146
KAPITEL 10. DAS CHROMATISCHE POLYNOM
von e
⇒ a(G/e) = a(G − e) und a(G) = 2 · a(G/e)
3. e = uv mit u 6= v ist weder Schleife noch Brücke (e liegt auf einem Kreis der
Länge ≥ 2)
Sei O eine azyklische Orientierung von G. Dann schränkt O sich auf azyklische
(G − e)-Orientierungen ein.
(Ziel: a(G) = a(G − e) + a(G/e))
Die azyklischen (G − e)-Orientierungen zerfallen in 2 disjunkte Typen:
a) azyklische (G − e)-Orientierungen, in denen kein gerichteter u → v oder v → uPfad existiert
=
b azyklische G/e-Orientierungen
Jede solche (G−e)-Orientierung ist eine Einschränkung von genau 2 azyklischen
G-Orientierungen, denn e ist beliebig orientierbar.
b) azyklische (G − e)-Orientierungen, in denen ein gerichteter u → v oder v → uPfad existiert (u → v und v → u kann nicht auftreten, da a azyklisch ist.)
Diese sind Einschränkungen von genau einer azyklischen G-Orientierung: Sollte
ein u → v-Pfad existieren, so muss e als (u, v) orientiert werden.
#Typ b) = a(G − e) − a(G/e)
| {z }
Typ(a)
Also:
a(G) = 2 ·
a(G/e)
| {z }
Typ a) von G−e
+ a(G − e) − a(G/e)
|
{z
}
Typ b) von G−e
= a(G − e) + a(G/e)
Beweis des Satzes 10.0.12 von Stanley. Sei G einfach.
Falls |E(G)| = 0: X
Vorlesung 26 vom 14.07.2011
147
Sei |E(G)| ≥ 1 und sei e keine Schleife.
P (G, x) = P (G − e, x) − P (G/e, x)
und
a(G) = a(G − e) + a(G/e)
nach IV:
(−1)n · P (G − e, −1) = a(G − e)
(−1)n−1 · P (G/e, −1) = a(G/e)
einsetzen und fertig!
Vorlesung 26 vom 14.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
149
11 Klausurvorbereitung
11.1 Wiederholung (Wichtige Themen)
Kapitel 1.3: Grade, regulär, Handshaking-Lemma, ∆(G), δ(G)
Kapitel 1.5:
• Pfade und Kreise
1. Lemma: G einfach, δ(G) ≥ K ⇒
(i) In G existiert ein Pfad der Länge ≥ K
(ii) für K ≥ 2 ⇒ ∃ Kreis der Länge > K + 1
• Zusammenhang: Komponenten, Komplemente, G einfach → G
• diam(G), g(G):
g(G) ≤ 2 · diam(G) + 1
2 Bäume:
Definition: G ein Baum: zusammenhängend und kreisfrei
2.1 Charakterisierungssaatz
2.2 rekursive Struktur: aus K1 durch iteriertes Anheften von Blättern
2.3 Blätterzahl
2.5 Spannbäume, Tiefen- und Breitensuche (Algorithmen anwenden können)
3 Konstruktionen: K3 × C4 , K3 C4 , K1 ∗ C4
3.2 Line-Graphen L(G): Charakterisierung über Cliquen
4 Euler- und Hamilton-...
4.1 Satz, der charakterisiert, wann ein Graph einen Euler-Pfad oder -Zykel enthält
4.2 Positiv-Kriterien, wann ein Graph einen Hamilton-Kreis enthält.
6 Netzwerke und Flüsse
Wert, Kapazität eines Schnittes
• augmentierende Pfade
• MaxFlow-MinCut-Theorem
• Maximierungs-Algorithmus
7 Zusammenhang
7.1 Brücken, Schnittknoten, Separierungen, Blöcke, Blockgraph (Wald)
7.2 n-zusammenhängend, n-Kanten-zusammenhängend
K(G), K0 (G) : K(G) ≤ K0 (G) ≤ δ(G)
Vorlesung 26 vom 14.07.2011
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
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KAPITEL 11. KLAUSURVORBEREITUNG
Sätze von Menger und Whitney.
Koroller::
K(G) ≥ n ⇔ n ≤ |V (G)| − 1
7.3 Matchings in bipartiten Graphen: Heiratsssatz von Hall
7.5 rekursive Struktur 3-zusammenhängender Graphen
G = Gk , . . . , G1 = K4 : Gi = Gi+1 /e, Gi 3 − -zusammenhängend
9 Planarität
9.2 Flächen-Handshaking, Euler-Formel
G planar mit |V (G)| ≥ 3 ⇒ |E(G)| ≤ 3 · |V (G)| − 6
G dreiecks-frei ⇒ |E(G)| ≤ ·|V (G)| − 4
K5 und K3,3 nicht planar
G planar⇒ ∃ v mit deg(v) ≤ 5
9.3 Unterteilungen und Minoren
• F 0 ⊆ G, F 0 Unterteilung von F ⇒ F 4 G
0
• K3,3 4 G ⇒ K3,3
⊆G
0
• K5 4 G ⇒ K50 ⊆ G oder K3,3
⊆G
• Sätze von Kuratowski und Wagner
9.6 Einbettungsalgorithmus
Input: G 3-zusammenhängend
G = Gk , . . . , G1 = K4 rekursive Struktur 3-zusammenhängender Graphen
G: eingebettet
Gi+1 /e = Gi e = xy, x 6= y
Brückenköpfe Bx , By
Bx und By überlappen sich nicht.
Färbungen (1.2)
• χ(G)
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
8. Brooks: G zusammenhängend und G 6= Kn , C2n+1 algorithmisch ⇒ χ(G) ≤
∆(G)
• χ0 (g) = χ(C(G)) (3.2)
χ0 (G) ≥ ∆(G)
(Satz (unbewiesen): ∆(G) ≤ χ0 (G) ≤ ∆(G) + 1)
• G planar: 6,5,4-Farbensatz: (9.7,9.8)
G planar ⇒ χ(G) ≤ 6, 5, 4
• chromatisches Polynom: P (G, r) = #r-Färbungen von G
Eigenschaften, Rechenregeln → Ausrechnen für Beispiele
Vorlesung 26 vom 14.07.2011
Index
151
Index
äquivalent, 124
überlappen, 125
adjazent, 5
amalgamierte Summe, 36
anheftende, 124
assoziierter Graph, 57
Außenfläche, 112
azyklisch, 141
Baum, 23
benachbart, 5
Blatt, 13
Block, 76
Blockgraph, 79
Boxprodukt, 37, 59
Brücke, 73
Breitensuchbaum, 31
Brückenkopf, 124
k-Brückenkopf, 124
Cayley-Graph, 57
chromatische Zahl, 12
chromatischer Index, 39
chromatisches Polynom, 137
Clique, 41
Cn , 6
Digraph, 53
Morphismus, 56
Richtungsdual, 53
Durchmesser, 21
Durchschnitt, 35
Ecke, 5
Einbettung, 107
einfach, 5
einfacher Weg, 19
gerichteter, 56
endlich, 5
Erzeugendensystem, 60
Euler-Pfad, 47
gerichteter, 56
Euler-Weg, 47
Euler-Zykel, 47
gerichteter, 56
Fan-Lemma, 94
Fläche, 108
Fluss, 63
maximal, 64
Wert, 64
zulässiger, 63
geschlossen, 18, 105
geschlossener Weg
gerichteter, 56
Graph, 5
Graphmetrik, 20
Hamilton
-Kreis
gerichteter, 56
-Pfad
gerichteter, 56
Hamilton-Kreis, 48
Hamilton-Pfad, 48
Heiratssatz, 90
induziert, 15
innere, 124
inzident, 13
isoliert, 13
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr
152
Isomorphismus, 9
Jordan-Bogen, 105
Jordan-Kurve, 105
Kante, 5
Kanten-unabhängig, 74
Kantenfärbung, 39
Kantenschnitt, 80
minimal, 81
Kantenunterteilung, 116
Kantenzug, 18
gerichteter, 56
Kantenzusammenhangszahl, 81
Kapazität, 67
Karte, 107
maximal, 110
Kn , 6
Kn,m , 36
Knoten, 5
Knoten-unabhängig, 74
Knotenschnitt, 80
König, 90
Kreis, 6, 19
gerichteter, 56
Kurve, 105
Line-Graph, 39
Index
gerichteter, 56
planar, 107
Pn , 6
Produkt, 37, 59
Quotientengraph, 35
Rand, 108
regulär, 13
Retrakt, 17
schief, 125
Schleife, 5
Schnitt, 67
Schnittknoten, 73
Segmente, 124
Separierung, 74
Spannbaum, 29
spannend, 15
spannender Wald, 29
Stern(n), 31
Summe, 35
symmetrische Gruppe, 10
Taillenweite, 21
Teilgraph, 15
Tiefensuchbaum, 31
Triangulierung, 110
trivial, 124
maximal kreisfrei, 24
Maximalgrad, 14
minimal zusammenhängend, 24
Minimalgrad, 14
Minor, 118
Morphismus, 6
Multigraph, 142
Vereinigung, 35
vermeiden einander, 125
vollständiger Graph, 6
vollständiges Produkt, 36
n-Färbung, 11
Nachbarschaft, 14
Nachbarschaftsrelation, 5
Netzwerk, 63
Wald, 23
Weg, 19
weg-zusammenhängend, 105
Wurzelbaum, 28
Ohrenzerlegung, 114
Orientierung, 54
Zerlegung, 74
zusammenhängend, 20
zusammenhangend
zusammenhängend
Pfad, 6, 19
Unterteilung, 116
Index
153
strikt, 56
zusammenhängend, 57
Zusammenhangskomponente, 20
Zusammenhangszahl, 81
Stand: 15. Februar 2013, 13:42 Uhr