Topologie – Vorlesungs

Topologie – Vorlesungs-Script
Prof. Richard Pink
19. Oktober 2008
Mitschrift:
Andrin Schmidt
Grafiken:
Andreas Steiger
Warnung: Wir sind sicher dass diese Notizen eine Menge Fehler enthalten. Betreten der Baustelle auf eigene Verantwortung! Falls ihr einen entdeckt, schreibt
eine Mail an [email protected], wir werden uns dann darum kümmern. Bitte erwähnt immer von welcher Version (die Id Zeile unten) ihr ausgeht.
Weitere Informationen gibts unter:
http://vmp.ethz.ch/wiki/index.php/Vorlesungsmitschriften
$Id: topologie.tex 1413/1415 2006-07-11 13:41:38 asteiger/asteiger$
i
Inhaltsverzeichnis
1 Topologische Räume
1
2 Stetige Funktionen
4
3 Metrische Räume
6
4 Basen und Subbasen
4.1 Vergleiche von Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
5 Unterräume, Summen, Produkte
11
6 Zusammenhang
13
7 Trennungseigenschaften
16
8 Abzählbarkeit und Konvergenz
17
9 Kompaktheit
20
10 Konstruktion stetiger Funktionen
23
11 Parakompaktheit und Partition der Eins
26
12 Funktionenräume
27
13 Vervollständigung metrischer Räume
30
14 Quotiententopologie
32
14.1 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
15 Simplizialkomplexe
35
16 Klassifikation kompakter Flächen
38
17 Homotopie
41
18 Fundamentalgruppe
43
18.1 Verhalten unter stetigen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 44
18.2 Verhalten unter Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
19 Gruppen mit Erzeugenden und Relationen
47
20 Berechnung von π1 (X, x0 )
49
21 Überlagerungen
51
22 Hochleben von Wegen und Homotopien
52
23 Die universelle Überlagerung
55
24 Deckbewegungen und Klassifikation von Überlagerungen
56
ii
1
(1.1)
Topologische Räume
Beispiel: Rn : U ⊂ Rn heisst offen, falls ∀x ∈ U ∃ε > 0 : ∀y ∈ Rn :
kx − yk < ε ⇒ y ∈ U
(1.2)
Definition: Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), bestehend aus einer
Menge X und einer Topologie O ⊂ 2X auf X, das heisst einer Kollektion von
Teilmengen von X, sodass gilt:
1. ∅, X ∈ O
2. Ui ∈ O ∀i ∈ I ⇒
S
Ui ∈ O
Tn
3. Ui ∈ O ∀i ∈ {1, . . . , n} ⇒ i=1 Ui ∈ O
i∈I
Eine Teilmenge U von X heisst offen genau dann, wenn U ∈ O.
(1.3)
Bemerkung: Im 3. Punkt ist es notwendig, dass die Indexmenge endlich ist.
Der Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen brauchtTim Allgemeinen
nicht offen zu sein: In R ist (a, b) offen für alle a < b ∈ R, aber a<0,b>1 (a, b) =
[0, 1] ist nicht offen.
Im 2. Punkt darf die Indexmenge hingegen beliebig sein.
(1.4)
Bemerkung: Streng formal folgt die 1. Bedingung bereits aus den anderen
beiden, da der Durchschnitt von keiner Teilmenge X und die Vereinigung von
keiner Teilmenge ∅ ist.
(1.5)
Bemerkung: Einer gegebenen Menge X kann man im Allgemeinen verschiedene Topologien O zuordnen, sodass sich auch verschiedene topologische Räume
ergeben.
(1.6)
Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum.
1. Eine Teilmenge A ⊂ X heisst abgeschlossen, falls X \ A offen ist.
2. Sei B ⊂ X eine beliebige Teilmenge und x ∈ X. B heisst Umgebung von
x, falls ∃U ∈ O, sodass x ∈ U und U ⊂ B.
3. Sei B ⊂ X eine beliebige Teilmenge. x ∈ X heisst innerer Punkt von B,
falls B eine Umgebung von x enthält. x heisst äusserer Punkt von B, falls
x ein innerer Punkt von X \ B ist. x heisst Randpunkt von B, falls x weder
ein innerer Punkt noch ein äusserer Punkt von B ist.
4. Die Menge aller inneren Punkte von B heisst Inneres oder offener Kern
von B. Notation: B ◦
5. Die Menge aller nicht äusseren Punkte von B heisst Abschluss oder abgeschlossene Hülle von B. Notation: B
6. Die Menge aller Randpunkte von B heisst Rand von B. Notation: ∂B
7. Eine Menge D ⊂ X heisst dicht in X, falls D = X.
1
(1.7)
Beispiel: X = R2 , B := {x ∈ X | x21 + x22 < 1}, O sei die gewohnte Topologie
von R.
⇒ B ◦ = B, B = {x ∈ X | x21 + x22 ≤ 1} und ∂B = {x ∈ X | x21 + x22 = 1}
∂B
B
(1.8)
Übung:
sagen:
R2 \ B
◦
Sei (X, O) ein topologischer Raum und B ⊂ X. Zeige folgende Aus-
• B = B ◦ ∪ ∂B
• B offen ⇐⇒ B = B ◦ , insbesondere ist B ◦ offen
• (X \ B)◦ = X \ B
• B abgeschlossen ⇐⇒ B = B, insbesondere ist B abgeschlossen
• U ⊂ B offen ⇒ U ⊂ B ◦ , das heisst, B ◦ ist die grösste offene Teilmenge
von B.
• A ⊂ X abgeschlossen und B ⊂ A ⇒ B ⊂ A, das heisst, B ist die kleinste
abgeschlossene Menge, die B enthält.
(1.9)
Bemerkung: Alternative (aber äquivalente) Definition eines topologischen
Raumes:
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, Ψ), wobei X eine Menge ist und Ψ ⊂ 2X
eine Kollektion von Teilmengen, sodass gilt:
1. ∅, X ∈ Ψ
2. Ai ∈ Ψ ∀i ∈ I ⇒
T
Ai ∈ Ψ
Sn
3. Ai ∈ Ψ ∀i ∈ {1, . . . , n} ⇒ i=1 ∈ Ψ
i∈I
Eine Teilmenge A ⊂ X heisst abgeschlossen, genau dann, wenn A ∈ Ψ.
(1.10)
Bemerkung: Wiederum ist es notwendig, dass im 2. Punkt die Indexmenge
endlich ist. Der Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht im
Allgemeinen
nicht offen zu sein: In R ist [a, b] abgeschlossen für alle a ≤ b ∈ R,
S
aber a>0,b<1 [a, b] = (0, 1) ist nicht abgeschlossen.
Im 3. Punkt darf die Indexmenge hingegen beliebig sein.
Wiederum ist auch der 1. Punkt streng formal eine Folge aus den anderen beiden.
(1.11)
Bemerkung: Der Begriff des topologischen Raumes kann in einer weiteren
äquivalenten Weise mittels Umgebungen definiert werden.
(1.12)
Bemerkung: Die Eigenschaften offen und abgeschlossen schliessen sich nicht
aus, das heisst, eine Teilmenge kann bezüglich einer Topologie gleichzeitig offen
und abgeschlossen sein.
Ausserdem muss eine gegebene Teilmenge nicht zwingend offen oder/und abgeschlossen sein. Die Menge (a, b] ⊂ R, a < b ∈ R beispielsweise ist weder offen
noch abgeschlossen.
2
(1.13)
Beispiel: X = Rn mit der gewohnten Topologie heisst natürliche Topologie.
(1.14)
Beispiel: X beliebig. O = 2X ist eine Topologie und heisst diskrete Topologie.
(1.15)
Beispiel: X beliebig. O = {∅, X} ist eine Topologie und heisst indiskrete
Topologie.
(1.16)
Beispiel: X beliebig. U ⊂ X offen ⇐⇒
Topologie mit dem Namen kofinite Topologie.
U = ∅, oder
X \ U endlich
definiert eine
(1.17)
Beispiel: X = R. U ⊂ R offen ⇐⇒ U = (a, ∞), a ∈ R ∪ {±∞} definiert eine
Topologie.
(1.18)
Bemerkung: Der Einfachheit halber schreibt man normalerweise für einen
topologischen Raum (X, O) lediglich X, falls klar ist, um welche Topologie es
sich handelt.
3
2
(2.1)
Stetige Funktionen
Definition: Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
1. f heisst stetig, falls das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y offen in X
ist.
2. f heisst offen, falls das Bild jeder offenen Teilmenge von X offen in Y ist.
3. f heisst abgeschlossen, falls das Bild jeder abgeschlossenen Teilmenge von
X abgeschlossen in Y ist.
X
Y
f
x
f (x)
(2.2)
Bemerkung: In den meisten Situationen ist Stetigkeit eine wesentlichere Eigenschaft für eine Funktion als Offenheit oder Abgeschlossenheit.
(2.3)
Bemerkung: Ob eine Funktion f : X → Y stetig (offen, abgeschlossen) ist,
hängt nicht nur von den Mengen X und Y ab, sondern auch von den je dazugehörigen Topologien.
(2.4)
Bemerkung: Sei f : X → Y , sodass das Urbild jeder abgeschlossenen Teilmenge von Y abgeschlossen in X ist. ⇐⇒ f ist stetig.
Beweis: f −1 (Y \ B) = X \ f −1 (B)
2
(2.5)
Bemerkung: f : X → Y stetig ⇐⇒ ∀x ∈ X, ∀V ⊂ Y Umgebung von f (x)
ist f −1 (V ) Umgebung von x.
(2.6)
Beispiel: Sei X ein diskreter topologischer Raum, Y beliebig. ⇒ Jede Abbildung f : X → Y ist stetig.
(2.7)
Beispiel: Sei Y ein indiskreter topologischer Raum, X beliebig. ⇒ Jede Abbildung f : X → Y ist stetig.
(2.8)
Beispiel: Sei Y = X derselbe topologische Raum (also auch mit derselben
Topologie). ⇒ f : X → X : x 7→ x ist stetig.
(2.9)
Bemerkung: Seien X, Y, Z topologische Räume und f : X → Y und g : Y →
Z stetig. ⇒ g ◦ f : X → Z ist stetig.
(2.10)
Definition: Sei f : X → Y eine Abbildung, sodass
∀U ⊂ X : U offen ⇐⇒ f (U ) offen
gilt. Dann heisst f Homöomorphismus.
(2.11)
Bemerkung: Sei f : X → Y . Äquivalent sind:
1. f ist Homöomorphismus.
2. f ist bijektiv, stetig und offen.
3. f ist bijektiv und stetig und die Umkehrabbildung f −1 ist stetig.
4. ∃g : Y → X, sodass f, g stetig, g ◦ f = idX und f ◦ g = idY .
4
(2.12)
Beispiel: f : R → (−1, 1) : x 7→
x
1+|x| ,
y
f −1 : y 7→
y
1−|y|
x
(2.13)
Bemerkung: Die Bedingung, dass f bijektiv und stetig ist, ist nicht hinreichend, damit f ein Homöomorphismus ist:
Sei f : R → X ⊂ R2 eine bijektive stetige Parametrisierung folgender Kurve:
f
R
X ⊂ R2
f ist bijektiv und stetig, aber f −1 ist
nicht stetig.
(2.14)
Definition: Zwei topologische Räume X, Y heissen homöomorph, falls es
einen Homöomorphismus von X nach Y gibt.
(2.15)
Bemerkung: Innere Eigenschaften von topologischen Räumen (das heisst Offenheit von Mengen und Eigenschaften, die daraus folgen) sind invariant unter
Homöomorphismen; das heisst homöomorphe topologische Räume sind in gewisser Weise gleich.
5
3
(3.1)
Metrische Räume
Definition: Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer
Menge X und einer Metrik d, dass heisst einer Abbildung d : X × X → R,
sodass gilt:
1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X
das heisst, d ist positiv definit, symmetrisch und erfüllt die Dreiecksungleichung.
p
(x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2
(3.2)
Beispiel: X = Rn , d(x, y) := kx − yk2 :=
(3.3)
Beispiel: X = Rn , d(x, y) := kx − yk∞ := max1≤i≤n |xi − yi |
(3.4)
Beispiel: X = Rn , d(x, y) := kx − yk1 := |x1 − y1 | + . . . + |xn − yn |
(3.5)
Bemerkung: Sei (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊂ X. Dann ist auch
(Y, d) ein metrischer Raum.
(3.6)
Definition: Sei (X, d) ein metrischer Raum, x ∈ X und r > 0.
Die offene Kugel um x mit Radius r ist definiert durch
B<r (x) := {y ∈ X | d(x, y) < r}
Die abgeschlossene Kugel um x mit Radius r ist definiert durch
B≤r (x) := {y ∈ X | d(x, y) ≤ r}
(3.7)
Bemerkung: Die Kugeln der vorherigen drei Beispiele haben folgende Form:
⊠
(3.8)
Bemerkung: Bezüglich einer beliebigen Topologie O muss die offene Kugel
nicht unbedingt offen und die abgeschlossene Kugel nicht unbedingt abgeschlossen sein. Ausserdem kann natürlich eine offene Kugel abgeschlossen sein und
umgekehrt.
(3.9)
Definition: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die natürliche Topologie auf X
ist definiert durch
U ⊂ X offen ⇐⇒ ∀x ∈ U ∃r > 0 : B<r (x) ⊂ U
6
(3.10)
Bemerkung: B<r ist in dieser Topologie offen und B≤r abgeschlossen.
Beweis: zu zeigen: ∀y ∈ X mit d(x, y) > r ∃r′ > 0, sodass B<r′ (y) ⊂ X \
B≤r (x)
Setze r′ := d(x, y) − r. Dann gilt:
∀z ∈ X : d(y, z) < r′ ⇒ d(x, y) > r
2
(3.11)
Bemerkung: Es gibt Mengen X, in welchen eine offene Kugel gleichzeitig
abgeschlossen sein kann bezüglich der natürlichen Topologie.
(3.12)
Bemerkung: Für eine gegebene Kugel B≤r (x) ist der Radius r im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, das heisst, es gibt unter Umständen verschiedene
Radien r, r′ , sodass B≤r = B≤r′ :
Sei beispielsweise X ⊂ Rn beschränkt und r, r′ > supx∈X kxk
(3.13)
Beispiel: X = Z, p prim. d(x, y) :=
wobei
0
p−ordp (x−y)
falls x = y
ordp (x) := max{r ≥ 0 | pr |x}
d heisst p-adische Metrik.
Behauptung: d ist eine Metrik auf Z.
Beweis: Postive Definitheit und Symmetrie sind erfüllt (trivial).
Dreiecksungleichung: Seien x, y, z ∈ Z. Zu zeigen: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Behauptung: Es gilt sogar d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}.
Seien x, y, z paarweise verschieden (andernfalls ist die Aussage trivial).
Sei r := min{ordp (x − y), ordp (y − z)}
⇒ pr |(x − y), pr |(y − z) ⇒ pr |x − z
⇒ ordp (x − z) ≥ r
⇒ d(z, x) ≤ p−r = max{d(x, y), d(y, z)}
2
(3.14)
Bemerkung: Interpretation: x, y nahe ⇐⇒ x ≡ y modulo hoher Potenz von
p2
p3
p
1
p.
pn−1
Ausserdem gilt
B<p−n+1 (x) = B≤p−n+1 (x) = {y ∈ Z | y ≡ x
(mod pn )}
(3.15)
Definition: Zwei Metriken d, d′ auf X heissen äquivalent, falls ∃c, c′ > 0∀x,
y∈X :
c · d(x, y) ≤ d′ (x, y) ≤ c′ · d(x, y)
(3.16)
Lemma: Äquivalente Metriken induzieren dieselbe natürliche Topologie.
7
d
Beweis: U ⊂ X ist offen bzgl. d ⇐⇒ ∀x ∈ U ∃r > 0 : B<r
(x) ⊂ U
| {z }
bzgl d
d
d
d
′
r (x) ⊂ B
B<
<r (x) ⊂ B< r′ (x) ⇐⇒ U offen bzgl. d
c
c
2
(3.17)
Beispiel: Lp -Normen sind im Allgemeinen nicht äquivalent und induzieren
wirklich verschiedene Topologien.
(3.18)
Bemerkung: Trotzdem können auch nicht äquivelaente Metriken dieselbe Topologie induzieren.
(3.19)
Beispiel: Sei d eine Metrik auf X und d′ (x, y) :=
Es gilt:
d(x,y)
1+d(x,y) .
1. d′ ist eine Metrik, die dieselbe Topologie wie d induziert.
2. d ist genau dann äquivalent zu d, wenn X beschränkt bezüglich d ist, d.h.
sup{d(x, y) | x, y ∈ X} < ∞
Beweis:
1. i. d′ ist eine Metrik:
Positive Definitheit und Symmetrie sind erfüllt (trivial).
s+t
s
t
Dreiecksungleichung: 1+s+t
≤ 1+s
+ 1+t
, s, t ≥ 0
t
streng monoton wachsend
ii. d′ induziert dieselbe Topologie wie d, da 1+t
ist.
2. folgt sofort aus der Tatsache, dass d′ beschränkt ist.
t
2
(3.20)
Bemerkung: Seien X, Y metrische Räume. Dann ist f : X → Y stetig ⇐⇒
∀x ∈ X∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x′ ∈ X : d(x, x′ ) < δ ⇒ d(f (x), f (x′ )) < ε
Das heisst B<δ (x) ⊂ f −1 (B<ε (f (x)))
8
4
(4.1)
Basen und Subbasen
Definition: Sei (X, O) ein topologischer Raum.
(a) Eine Menge B ⊂ O heisst Basis der Topologie O, wenn jede offene Teilmenge einer
S Vereinigung von Mengen in B ist, das heisst ∀U ∈ O ∃Yi , i ∈
I : U = i∈I Yi .
(b) Eine Menge S ⊂ 2X heisst Subbasis der Topoplogie, falls die Menge aller
endlichen Durchschnitte von Mengen in S eine Basis ist.
(4.2)
Bemerkung: O ist durch B eindutig bestimmt. B ist durch S ebenfalls eindeutig bestimmt.
(4.3)
Bemerkung: Insbesondere ist jede Basis auch eine Subbasis.
(4.4)
Definition: Sei X eine Menge, O eine Topologie auf X, B eine Basis von O
und S eine Subbasis von O.
O heisst von B bzw. S erzeugte Topologie.
(4.5)
Beispiel: {B<r (x) | x ∈ X, r > 0} ist eine Basis der natürlichen Toplogie
eines metrischen Raums X.
(4.6)
Beispiel: {{x} | x ∈ X} ist eine Basis der diskreten Topologie auf X
(4.7)
Beispiel: {X \ {x} | x ∈ X} ist eine Subbasis der kofiniten Topologie. Denn:
Die Menge aller endlichen Durchschnitte von solchen ist {X \A | A ⊂ C endlich}
(4.8)
Satz:
Sei X ein Menge.
(a) Eine Menge B ⊂ 2X ist Basis einer Topologie auf X genau wenn gilt:
S
(i) X = B, und
(ii) Jeder Druchschnitt endlich vieler Mengen in B ist eine Vereinigung
von Mengen in B
(b) Jede Menge S von Teilmengen von X ist Subbasis einer Topologie auf X.
Beweis:
(a) Die Bedingungen sind notwendig und hinreichend (trivial).
(b) Da der Durchschnitt über keiner Menge gleich X ist gilt (i).
(ii) ist automatisch erfüllt.
2
(4.9)
Definition: Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Menge Bx von
Umgebungen von x heisst Umgebungsbasis von x, falls jede Umgebung von x in
eine in Bx enthält.
(4.10)
Beispiel: {B<r (x) | r > 0} in einem metrischen Raum. Dann ist A ⊂ X eine
Umgebung von x ⇐⇒ ∃A′ ∈ Bx : A′ ⊂ A.
4.1
(4.11)
Vergleiche von Topologien
Definition: Sind O, O′ Topologien auf X mit O ⊂ O′ , so heisst O gröber als
O′ und O′ feiner als O.
9
(4.12)
Bemerkung: Insbesondere ist jede Topologie O gröber und feiner als sich
selbst.
(4.13)
Bemerkung: Die diskrete Topologie ist die feinste überhaupt, die indiskrete
Topologie ist die gröbste überhaupt.
(4.14)
Bemerkung: Für zwei beliebige Topologien O, O′ braucht natürlich nicht
zwingend zu gelten, dass eine davon feiner ist als die andere, da möglicherweise
weder O ⊂ O′ noch O′ ⊂ O gilt.
(4.15)
Bemerkung: Ein häufiges Problem ist es die gröbste oder feinste Topologie
zu finden, welche bestimmte Eigenschaften erfüllt.
(4.16)
Beispiel: Für jedes S ⊂ 2X ist die gröbste Topologie, die S enthält, die von
S als Subbasis erzeugte Topologie.
(4.17)
Bemerkung: Vorheriges Beispiel ist äquivalent zu
\
O=
T
T Top. auf X, S⊂T
T
(4.18)
Bemerkung: Für jede Kollektion von Oi Topologien auf X ist
Topologie auf X.
(4.19)
S
Bemerkung: Die Vereinigung i∈I Oi von Topologien von X muss im Allgemeinen keine Topologie von X sein.
10
i∈I
Oi eine
5
(5.1)
Unterräume, Summen, Produkte
Definition: Seien Xi Mengen.
Y
Xi := {(xi )i∈I | xi ∈ Xi ∀i ∈ I}
i∈I
heisst kartesisches Produkt der Mengen Xi .
(5.2)
Satz:
Seien (Xi , Oi ) topologische Räume. Dann bilden die Mengen
Y
Y
Xi ∀J ⊂ I endlich, Ui ⊂ Xi offen
Ui ×
i∈J
i∈I\J
eine Basis einer Topologie auf
(5.3)
Q
i∈I
Xi , genannt Produkttopologie.
Q
Satz: Die Produkttopologie
ist die gröbste Topologie auf i∈I Xi , sodass alle
Q
Projektionsabbildungen i∈I Xi → Xio stetig sind ∀i0 ∈ I.
Q
Beweis: Enthalte O nur die Teilmengen Ui0 × i6=i0 Xi ∀i0 ∈ I, und seien
Ui0 ⊂ Xi0 offen ∀i0 ∈ I.
Die endlichen Durchschnitte von solchen Teilmengen sind genau die Teilmengen
der Gestalt
Y
Y
Xi
Ui ×
i∈J, J endlich
i∈I\J
2
(5.4)
Bemerkung: Es ist wesentlich, dass J ⊂ I endlich ist.
Falls J nicht endlich ist, erhält man zwar eine Topologie; diese ist aber feiner.
(5.5)
Bemerkung: Die offenen Mengen in der Produkttopologie sind Vereinigungen
offener Quader.
(5.6)
Beispiel: Die natürliche Topologie auf Rn = R × . . . × R ist die Produktto{z
}
|
n-mal
pologie bezüglich der natürlichen Topologie auf jedem Faktor.
Die offenen Kugeln bezüglich dmax (x, y) bilden eine Basis beider Topologien.
(5.7)
Beispiel:Q Sei X := {0, 1} mit der diskreten Topologie.
n
⇒ XnQ
= i=1 X ergibt die diskrete Topologie.
∞
Aber: i=1 X ist nicht diskret.
(5.8)
Definition: Sei X ein topologischer Raum und Y ⊂ X. Eine Teilmenge V ⊂ Y
heisst offen in der auf Y induzierten Topologie oder Unterraumtopologie falls
∃U ⊂ X offen, sodass V = Y ∩ U .
(5.9)
Beispiel: X = R2 , Y = R \ {0} ⊂ R2
(5.10)
Bemerkung: Y offen in X. Dann gilt:
V ⊂ Y offen in Y ⇐⇒ V offen in X.
Y abgeschlossen in X. Dann gilt:
A ⊂ Y abgeschlossen in Y ⇐⇒ A abgeschlossen in X.
(5.11)
Bemerkung: A ⊂ Y abgeschlossen ⇐⇒ ∃B ⊂ X abgeschlossen, sodass
A = Y ∩ B.
(5.12)
Bemerkung: Die Unterraumtopologie ist die gröbste Topologie auf Y , sodass
die Inklusionsabbildung Y → X stetig ist.
11
(5.13)
Beispiel: Y ⊂ Rn endlich. ⇒ Die induzierte Topologie auf Y ist die diskrete
Topologie.
(5.14)
Y
Beispiel: X = R2 , Y = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1, x 6= 1}
Behauptung: Y ∼
= (0, 2π) ⊂ R ist homöomorph.
Sei f : (0, 2π) → Y, t 7→ (cos(t), sin(t)). Es gilt:
• f ist bijektiv.
• f ist stetig.
• f −1 : z 7→
1
i
ln(z) ist stetig.
⊠
(5.15)
Notation: Seien Xi Mengen. Die disjunkte Vereinigung über Xi wird bezeichnet als
a
Xi := {(i, x) | i ∈ I, x ∈ Xi }
i∈I
Falls die Mengen Xi paarweise disjunkt sind ist dies äquivalent zur normalen
Vereinigung.
(5.16)
(5.17)
`
Definition: Sei X = i∈I Xi .
Sind Xi topologische Räume, so sind
` die offenen Teilmengen in der Summentopologie auf X genau die Mengen i∈I Ui mit Ui ⊂ Xi offen.
Bemerkung: Die Summentopologie ist die feinste Topologie auf X, sodass
die Inklusionsabbildungen Xi → X stetig sind.
(5.18)
Bemerkung: Sei Y ein topologischer Raum. f : X → Y stetig ⇐⇒ f |Xi
stetig ∀i
(5.19)
Bemerkung: Sei Z ein topologischer Raum. f : Z → Y stetig ⇐⇒ f : Z →
Y ⊂ X stetig bezüglich der induzierten Topologie.
(5.20)
Bemerkung:
Seien X1 = (R, O1 ), X2 = (R, O2 ) topologische Räume. Dann
`
ist R R eine disjunkte Vereinigung, obwohl die Mengen nicht disjunkt sind.
12
R2
6
Zusammenhang
(6.1)
Definition: Ein topologischer Raum X heisst zusammenhängend, falls er nichtleer ist und keine Vereinigung echter nichtleerer disjunkter offener Teilmengen
ist.
(6.2)
Bemerkung: X = U1 ∪ U2 , U1 , U2 offen und disjunkt.
⇒ X trägt die Summentopologie. Denn: U ⊂ X offen. ⇒ U ∩ Ui offen in
Ui ⇒ U = (U ∩ U1 ) ∪ (U ∩ U2 ) offen in der Summentopologie auf X.
V offen in X ⇐⇒ ∃Wi ⊂ X offen ⇐⇒ Vi ⊂ Ui offen ⇐⇒ V = V1 ∪ V2 offen
in der Summentopologie.
(6.3)
Bemerkung: Äquivalente Definition:
Ein topologischer Raum X heisst zusammenhängend, falls er nichtleer ist, und
∅ und X die einzigen Teilmengen von X sind, die offen und abgeschlossen sind.
(6.4)
Bemerkung: Äquivalente Definition:
Ein topologischer Raum X heisst zusammenhängend, falls er nichtleer ist, und
jede stetige Abbildung von X in einen diskreten Raum konstant ist:
f : X → D : x 7→ d ⇒ f −1 ({d}) ist offen und abgeschlossen.
(6.5)
Beispiel: X = [0, 1] ∪ (2, 3) ⊂ R ist unzusammenhängend, denn [0, 1] ⊂ X ist
offen und abgeschlossen.
(6.6)
Satz:
Jedes nichtleere Intervall I ist zusammenhängend.
Beweis: Annahme: Sei I = U1
a
`
U2 , Ui ⊂ I offen.
u2
b
u1
U1
U2
Wähle ui ∈ Ui .
⇒ u1 ≤ u ≤ u2 ⇒ u ∈ I
Falls u ∈ Ui ⇒ ∃ε > 0 : I ∩ (u − ε, u + ε) ⊂ Ui .
Setze u := sup(U1 ∩(−∞, u2 ))
1. Fall i = 1: ⇒ u < u2 ⇒ sup(U1 , (−∞, u2 )) > u Widerspruch
2. Fall i = 2: ⇒ u > u1 ⇒ sup(U1 , (−∞, u2 )) < u Widerspruch
2
(6.7)
`r
Bemerkung: Sei X = i Xi mit Xi offen und zusammenhängend. Dann
sind die Xi eindeutig bestimmt bis auf Reihenfolge, und heissen Zusammenhangskomponenten von X.
Beweis: A ⊂ X offen und abgeschlossen.
⇒ ∀i : A ∩ X
i offen und zusammenhängend in Xi .
∅
⇒ A ∩ Xi =
Xi
⇒ A = ∪i∈J Xi ; J ⊂ {1, . . . , r}
⇒ Xi sind die kleinsten nichtleeren offenen und abgeschlossenen Teilmengen
von X.
2
(6.8)
Definition: Ein Weg in X von a nach b ist eine stetige Abbildung α : [0, 1] →
X mit α(0) = a und α(1) = b.
13
(6.9)
Definition: Ein Raum X heisst wegzusammenhängend, falls er nichtleer ist
b
X
a
α
und ∀a, b ∈ X∃α, sodass α ein Weg von a nach b ist.
(6.10)
Satz:
Sei X wegzusammenhängend. ⇒ X zusammenhängend.
Beweis: Sei f : X → D stetig.
a, b ∈ X ⇒ ∃α Weg von a nach b.
⇒ f ◦ α : I → D stetig.
⇒ f ◦ α konstant.
⇒ f (a) = f (b)
⇒ f konstant.
2
(6.11)
Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht, das heisst, eine zusammenhängender
Raum braucht nicht unbedingt wegzusammenhängend zu sein.
(6.12)
Beispiel:
X = {(x, sin ln x) | x > 0} ∪ {(0, 0)} ⊂ R2
ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
x
(6.13)
Beispiel: Jede konvexe Teilmenge von Rn ist wegzusammenhängend:
Setze α(t) := a + t(b − a).
(6.14)
Bemerkung: Anwendung:
R und Rn sind nicht homöomorph für n > 1.
Beweis: R \ {a} ist nicht zusammenhängend.
Rn \ {a} ist zusammenhängend und sogar wegzusammenhängend für n > 1. 2
(6.15)
Bemerkung: Es gilt sogar, dass Rm und Rn nicht homöomorph sind für n 6=
m. Der Beweis ist hier allerdings wesentlich schwieriger.
(6.16)
Satz: Sei f : X → Y stetig, X (weg)zusammenhängend.
⇒ f (X) ist (weg)zusammenhängend.
14
`
Beweis: f (X) `
= (f (X) ∩ U1 ) (f (X) ∩ U2 ); Ui ⊂ Y offen.
⇒ X = f −1 (U1 ) f −1 (U2 ); f −1 (Ui ) ⊂ X offen.
⇒ ∃i0 : f −1 (Ui0 ) = ∅ (da X zusammenhängend)
⇒ f (X) ∩ Ui0 = ∅ ⇒ Ui0 = ∅
2
(6.17)
Satz: Sei X = ∪i∈I Xi mit Xi (weg)zusammenhängend und ∩i∈I Xi 6= ∅.
⇒ X ist (weg)zusammenhängend.
Beweis: Sei x0 ∈ ∩i∈I Xi .
1. zusammenhängend: Sei f : X → D stetig, D diskret.
⇒ ∀x ∈ X∃i : x ∈ Xi ⇒ f (x0 ) = f (x)
⇒ f konstant.
2. wegzusammenhängend: a, b ∈ X : Sei a ∈ Xi , b ∈ Xj ;
α : [0, 1] → Xi Weg von a nach x0 ; β : [0, 1] → Xj Weg von b nach x0
α(2t), 0 ≤ t ≤ 21
γ : [0, 1] → X : t 7→
β(2t − 1), 12 ≤ t ≤ 1
⇒ γ ist ein Weg von a nach b.
(6.18)
2
Satz: Sei X = X1 × X2 mit Xi nichtleer. Dann gilt:
X (weg)zusammenhängend ⇐⇒ X1 und X2 (weg)zusammenhängend.
Beweis: ”⇒”: folgt aus dem vorletzten Satz mit Xi = pri (X).
”⇐”: Sei U ⊂ X offen, abgeschlossen und nichtleer.
Sei (x1 , x2 ) ∈ U .
f : X2 → X : y2 7→ (x1 , y2 ) stetig.
⇒ f (X2 ) zusammenhängend; f (X2 ) ∩ U nichtleer, offen und abgeschlossen in
f (X2 ).
2
15
7
(7.1)
Trennungseigenschaften
Definition:
1. X heisst T1 -Raum, falls je zwei verschiedene Punkte Umgebungen besitzen, die den anderen Punkt nicht enthalten.
2. X heisst T2 -Raum oder Hausdorffraum, falls je zwei verschiedene Punkte
disjunkte Umgebungen besitzen.
3. X heisst T3 -Raum, falls jede abgeschlossene Teilmenge und jeder nicht
darin enthaltene Punkt eine disjunkte Umgebung besitzen.
4. X heisst T4 -Raum, falls je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen eine
disjunkte Umgebung besitzen.
(7.2)
Bemerkung: U heisst Umgegung einer abgeschlossenen Menge A, falls ∃V
offen: A ⊂ V ⊂ U . HIER FEHLT EIN TEIL!
(7.3)
Satz:
Ein topologischer Raum ist genau dann T2 , wenn die Diagonale
{(x, x) | x ∈ X} =: ∆ ⊂ X × X
abgeschlossen ist.
Beweis: ∆ abgeschlossen ⇐⇒ X × X \ ∆ offen
⇐⇒ ∀x, y ∈ X, x 6= y : (x, y) ∈ U ⊂ (X × X) \ ∆
⇐⇒ ∀x, y ∈ X, x 6= y : ∃U, V ⊂ X offen, x ∈ U, y ∈ V : U × V ⊂ (X × X) \ ∆
{z
}
|
⇐⇒ U∩V =∅
⇐⇒ T2
(7.4)
2
Korollar: Seien f, g : X → Y stetig und Y hausdorffsch. Dann gilt:
1. Der Differenzkern {x ∈ X | f (x) = g(x)} ist abgeschlossen.
2. Stimmen f und g auf einer dichten Teilmenge überein, dann gilt f = g.
3. Der Graph {(x, f (x) | x ∈ X} ⊂ X × Y ist abgeschlossen.
Beweis:
1. Differenzkern = (f, g)−1 (∆Y ) bzgl. (f, g) : X → Y × Y
2. D ⊂ X dicht, D ⊂ Differenzkern abgeschlossen. ⇒ Differenzkern = X ⇒
f = g.
3. Graph(f ) = Urbild von ∆Y unter der stetigen Abbildung
X × Y → Y × Y : (x, y) 7→ (f (x), y)
2
(7.5)
Bemerkung: Die drei Aussagen sind je äquivalent zu der Eigenschafft hausdorffsch des Raumes.
16
8
Abzählbarkeit und Konvergenz
(8.1)
Definition: Einge Menge X heisst abzählbar, falls eine Injektion X → N existiert ⇐⇒ endlich oder ∃ Bijektion N → X
(8.2)
Beispiel: B, Q, Q sind abzählbar, R jedoch nicht.
(8.3)
Bemerkung:
I abzählbar, ∀i ∈ I : Xi abzählbar
S
⇒ i∈I Xi ist abzählbar.
(8.4)
Definition: Ein topologischer Raum X erfüllt
• das 1. Abzählbarkeitsaxiom, falls jeder Punkt x ∈ X eine abzählbare Umgebungsbasis Bx besitzt.
D.h. ∀U ∈ Bx : U Umgebung von x, ∀U Umgebung von x∃V ∈ Bx : V ⊂
U.
• das 2. Abzählbarkeitsaxiom, falls eine X eine abzählbare Basis besitzt.
(8.5)
Definition: X heisst separabel, falls eine abzählbare, dichte Teilmenge existiert.
(8.6)
Bemerkung: 1. Axiom ⇐ 2. Axiom ⇒ separabel
Beweis:
2. ⇒ 1. Jede Basis B der Topologie ist eine Umgebungsbasis jedes Punkts.
∀U Umgebung
von x : ∃V ⊂ U , offene Umgebung
S
x ∈ V = i∈I Ui , Ui ∈ B ⇒ ∃i : x ∈ Ui ⊂ V ⊂ U
2. ⇒ sep. Zu B Basis wähle xU ∀U ∈ B \ {∅}. Dann ist {xU | U ∈ B} dicht.
2
(8.7)
Bemerkung: Jeder metrische Raum erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom, und
das 2. genau dann wenn er separabel ist.
Beweis: Zu x ∈ X ist {B< n1 (x) | n ∈ N} eine Umgebungsbasis von x. Ist
S ⊂ X abzählbar und dicht, so ist {B< n1 | s ∈ S, n > 0} eine Basis.
⊠
Es genügt, ∀x ∈ X∀ε > 0, ε < 3∃s ∈ S∃n > 0 : x ∈ B< n1 (s) ⊂ B<ε (x) zu
zeigen.
Sei s ∈ S ∩ B< ε3 (x) und n so dass
1
2ε
3
3
ε
≤ ≤
⇐⇒
≥n≥
3
n
3
ε
2ε
2
(8.8)
Beispiel: Rn erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. (Qn liegt dicht in Rn )
(8.9)
Beispiel: X überabzählbare Menge mit der kofiniten Topologie erfüllt nicht
das 1. Abzählbarkeitsaxiom, aber ist separabel.
Denn: Jede unendliche Teilmenge
ist dicht und {Ui | i ∈ I} abzählbare Menge
S
von Umgebungen von x ⇒ i∈I ( X \ Ui ) abzählbar.
| {z }
endlich
⇒ ∃y ∈ X \ (A ∪ {x})
⇒ X \ {y} ist Umgebung von x, die keines der Ui enthält.
17
(8.10)
Satz: Jeder Unterraum, jede endliche Summe, jedes endliche Produkt von
Räumen mit dem 1. oder 2. Abzählbarkeitsaxiom hat dieselbe Eigenschaft. Vorsicht: Für Separabilität und unendliche Produkte stimmt dies nicht!
(8.11)
Definition: Ein topologischer Raum heisst eine Mannigfaltigkeit der Dimension n, falls
1. X hausdorffsch
2. 2. Abzählbarkeitsaxiom
3. ∀x ∈ X∃ Umgebung U ⊂ X mit U ∼
= Rn
(8.12)
Definition: Eine Abbildung N → X : n 7→ xn heisst Folge in X.
(8.13)
Definition: x ∈ X heisst Grenzwert von (xn )n∈N falls ∀U ⊂ X Umgebung
von x∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 xn ∈ U .
(8.14)
Bemerkung: Im Allgemeinen kann eine Folge in einem beliebigen topologischen Raum mehrere Grenzwerte besitzen.
(8.15)
Beispiel: Sei X indiskret. Dann konvergiert jede Folge in X gegen jedes x ∈
X.
(8.16)
Beispiel: X kofinit ⇒ jede Folge (xn ) mit xn 6= xm , n 6= m konvergiert gegen
jeden Punkt.
(8.17)
Satz: Sei X hausdorffsch. ⇒ Eine Folge in X besitzt höchstens einen Grenzwert.
Beweis: Übung.
(8.18)
Definition: x ∈ X heisst Häufungspunkt von (xn )n∈N falls ∀U ⊂ X Umgebung von x enthält xn für unendlich viele n.
(8.19)
Satz:
X erfülle das 1. Abzählbarkeitsaxiom. Dann gilt:
1. ∀A ⊂ X gilt: A = {x ∈ X | ∃ Folge (xn ) in X mit Grenzwert x}
2. Eine Abbildung f : X → Y ist stetig genau dann, wenn für jede Folge
(xn ) in X mit Grenzwert x hat die Folge f (xn ) in Y den Grenzwert f (x).
Beweis:
1. ”⊃SSei x Grenzwert von (xn ); xn ∈ A
⇒ ∀U ⊂ X Umgebung von x: ∃n : xn ∈ U ∩ A
”⊂SSei x ∈ A; {Un } abzählbare Umgebungsbasis von x.
Wähle xn ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un ∩A
{z
}
|
Umgebung von x
∀U Umgebung von x: ∃n0 : Un0 ⊂ U . ⇒ ∀n ≥ n0 : xn ∈ U . ⇒ x Grenzwert
von (xn ).
2. ”⇒”: Übung.
”⇐”: Sei V ⊂ Y offen, x ∈ f −1 (V ).
zu zeigen: f −1 (V ) ist Umgebung von x.
Wenn nicht, dann gilt ∀ Umgebung U 6⊂ f −1 (V )
Sei xn ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un \f −1 (V )
|
{z
}
Umgebung von x
⇒ (xn ) hat Grenzwert x.
⇒ f (xn ) hat Grenzwert f (x). (mit f (xn ) ∈ Y \ V, f (x) ∈ V offen)
⇒ Widerspruch.
18
2
19
9
Kompaktheit
(9.1)
Definition:
Eine Kollektion {Ui | i ∈ I} von offenen Teilmengen von X mit
S
i∈I Ui = X heisst offene Überdeckung von X. Die abgeschlossene Überdeckung
ist analog definiert.
(9.2)
Definition: Ein topologischer Raum heisst kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
(9.3)
Bemerkung: Vorsicht: Für manche Autoren heisst der eben definierte Begriff quasikompakt, und die Bezeichnung kompakt bedeutet quasikompakt und
hausdorffsch.
(9.4)
Definition: X heisst folgenkompakt, wenn jede Folge in X eine konvergente
Teilfolge besitzt.
(9.5)
Satz: Erfüllt X das 1. Abzählbarkeitsaxiom dann gilt: X kompakt ⇒ X folgenkompakt.
(9.6)
Satz:
Erfüllt X das 1. AA, so gilt: X kompakt ⇒ X folgenkompakt
Beweis: Sei (xn ) eine Folge in X. Wenn (xn ) keinen Häufungspunkt hat, dann
gilt: ∀x ∈ X∃x ∈ Ux ⊂ X offen, die nur endlich viele Folgenglieder enthält.
Sn Dann
ist {Ux | x ∈ X} eine offene Überdeckung; also gibt es y1 , . . . yn : X = i=1 Uyi .
Aber diese endliche Vereinigung enthält nur endlich viele Folgenglieder! Widerspruch.
Sei also x ein Häufungspunkt von (xn ). Sei {Un | n ∈ N} eine Umgebungsbasis
−→
von x. Wähle die Teilfolge xni ∈ U1 ∩. . .∩Ui mit n1 < n2 < . . . ⇒ (xni ) i → ∞ x
2
(9.7)
Satz:
Sei X ein metrischer Raum: dann gilt X kompakt ⇔ folgenkompakt.
Beweis: ⇒“s.o.
”
⇐“: Sei {Ui | i ∈ I} eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung.
”
Für jedes x ∈ X wähle ix ∈ I mit einer der beiden Eigenschaften
Uj
x
Uix
1. ∃0 < r < 1 : B<r (x) ⊂ Uix , aber ∀j ∈ I : B2r (x) 6⊂ Uj
2. B<1 (x) ⊂ Uix
Konstruiere eine Folge (xn ) mit
xn+1 6∈ Uix1 ∪ . . . ∪ Uixn
|
{z
}
6=X
20
Dann gilt ∀n < m : d(xn , xm ) ≥ 1 (1. Fall) oder ∀j : B<2·d(xn ,xm ) (xn ) 6⊂ Uj
(2. Fall). Sei x Grenzwert einer konvergenten Teilfolge (xnk )∞
k=1 . O.B.d.A. tritt
immer der 2. Fall ein. Sei r > 0. Für fast alle k gilt d(xnk , x) < 5r und somit für
fast alle k < l: d(xnk , xnl ) < 2r
5 ⇒ b<2d(xnk ,xnl ) (xnk ) ⊂ B<r (x)
y
<
4r
5
xnk
x
xnl
r
Widerspruch dazu, dass ∃j : B<r (x) ⊂ Uj falls r hinreichend klein.
(9.8)
2
Satz: (Heine-Borel)
Jede abgeschlossene, beschränkte Teilmenge des Rn ist kompakt.1
Beweis: Jede Folge in X hat eine in Rn konvergente Teilfolge (Konstruktion
durch Halbierungsargument). Der Grenzwert liegt in X, weil X abgeschlossen
ist. Die Teilfolge ist also konvergent in X.
2
(9.9)
Satz:
Sei X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen, dann ist A kompakt.
S
S
=
Beweis: Sei A = i∈I A ∩ Ui für US
i offen in X. Dann ist X S
i∈I Ui ∪
n
n
(X \ A). Da X kompakt ist ∃iν : X = ν=1 Uiν ∪ (x \ A) ⇒ A = ν=1 (A ∩ Uiν ).
| {z }
offen
2
(9.10)
!
Satz:
X.
Sei X hausdorffsch und A ⊂ X kompakt; dann ist A abgeschlossen in
Beweis: Zu zeigen ist, dass X \ A Umgebung jedes x ∈ X \ A ist. ∀a ∈ A∃a ∈
Ua ⊂ X offen und ∃x ∈ Va ⊂ X offen mit Ua ∩ Va =6=. Die offene Überdeckung
{A ∩ Ua | a ∈ A} hat eine endliche Teilüberdeckung {A ∩ Uai | i = 1, . . . n} ⇒
n
\
Vai
= ∅.
2
A∩
i=1
| {z }
ist Umgebung von x und enthalten in X \ A
(9.11)
Korollar: Sei X hausdorffsch und kompakt. Dann ist A ⊂ X genau dann
kompakt, wenn es abgeschlossen ist.
(9.12)
Satz:
Sei X kompakt und f : X → Y stetig, dann ist f (X) kompakt.
S
S
Beweis: Falls f (X) = i∈I f (X) ∩ Vi mit Vi offen,
X = i∈I f −1 (Vi ).
Sn so −1
Es existiert eine endliche Teilüberdeckung X = ν=1 f (Viν ) ⇒ f (X) =
S
n
2
ν=1 f (X) ∩ Viν .
1 Die
Umkehrung gilt auch, ergibt sich aber leicht.
21
(9.13)
Satz:
Sei X kompakt, Y hausdorffsch und f : X → Y stetig, dann gilt
a. f ist abgeschlossen.
b. Ist f injektiv, so ist es ein Homöomorphismus auf sein Bild.
c. Ist f bijektiv, so ist es ein Homöomorphismus.
Beweis: (a) Sei A ⊂ X abgeschlossen. Mit Satz 9 ist A kompakt, mit Satz 10
ist f (A) kompakt, mit 10 ist f (A) abgeschlossen.
(b) A → f (A) bijektiv stetig und nach (a) abgeschlossen.
(c) ⇐ (b)
2
(9.14)
Satz:
Seien X und Y kompakt ⇒ X × Y kompakt.
(9.15)
Satz:
(Tychonoff): Xi kompakt ⇒
Q
i∈I
Xi kompakt. (ohne Beweis)
Beweis: Zeichnung
S
Sei X × Y = i∈I Wi mit Wi ⊂ X × Y offen. ∀x ∈ X ist {x} × Y kompakt.
∀y ∈ Y wähle i(x, y) ∈ I mit (x, y) ∈ Wi(x,y) . Wähle x ∈ Ux,y ⊂ S
X, y ∈ Vx,y ⊂ Y
offen mit Ux,y × Vx,y ⊂ Wi(x,y) . Für festes x : ∃y1 , . . . yr : Y = ρ=1 rVx,yρ . Sei
Sn
Sm
Tr
Ux := ρ=1 Ux,yρ ∋ x ⇒ UxS× Y ⊂ ρ=1 Wi(x,yρ ) . Sei X = σ=1 Uσx (X
2
kompakt). Dann ist X × Y = ρ,σ Wi(xσ ,yσ )
(9.16)
Satz:
Sei X hausdorffsch und kompakt, dann ist X T4 .
Beweis: Seien A, B ⊂ X abgeschlossen und disjunkt. A und B sind kompakt
nach Satz 9. Fixiere zuerst a ∈ A. ∀b ∈ B wähle a ∈ Ua,b ⊂ X offen und
b ∈ Va,b ⊂ X offen mit Ua,b ∩ Va,b = ∅. Halte a fest,
Sn dann bilden die Va,b eine
offene
Überdeckung
von
B,
also
∃b
,
b
:
B
⊂
1 n
i=1 Va,bi =: Va . a ∈ Ua :=
Tn
offen
⇒
U
∩
V
=
∅.
Die
U
bilden
eine
offene Überdeckung
von
U
a
a
i=1 a,bi
Tm
Sa
offen,
=:
U
offen
und
disjunkt
zu
V
:=
V
A ⇒ ∃a1 , . . . am A ⊂ m
U
j=1 aj
j=1 aj
enthält B.
2
22
10
Konstruktion stetiger Funktionen
(10.1)
Bemerkung: Grundfrage dieses Kapitels:
Sei X ein topologischer Raum, A ⊂ X ein Teilraum; f : A → R stetig.
Wann existiert eine stetige Fortsetzung X → R?
(10.2)
Bemerkung: Falls eine solche Fortsetzung existiert, so ist sie auf A eindeutig
bestimmt.
Im Folgenden sei deshalb A abgeschlossen.
(10.3)
Lemma: Urysohn:
Seien X T4 und A, B ⊂ X abgeschlossen und disjunkt. Dann existiert eine
stetige Funktion g : X → R mit g|A ≡ 0 und g|B ≡ 1.
(10.4)
Bemerkung: g ist stetige Fortsetzung der Funktion A ∪ B → R.
(10.5)
Bemerkung: T4 ist notwendig, denn dann sind
1
g −1 (( , ∞)) ⊃ B
2
1
g −1 ((−∞, )) ⊃ A
2
disjunkte Umgebungen.
X
0
A
1
4
Aσ
1
2
3
4
1
B
Beweis: Idee:
g(x) ≤ 21 , ≥ 12 ;
Entscheide, wo g(x) ≤ 43 , ≥ 34 , ≤ 41 , ≥ 34
etc.
Das heisst, iteriere die Funktionswerte.
Behauptung: ∃ Teilmengen Aσ ⊂ X für alle σ ∈ Σ := [0, 1] ∩ Z[ 21 ] mit A0 = A,
A1 = X \ B und ∀σ, σ ′ ∈ Σ mit σ < σ ′ ⇒ Aσ ⊂ A◦σ′
Konstruktion durch Induktion über Nenner:
Anfang: A0 = A ⊂ A1 = A◦1
Induktionsschritt: n ; n + 1: Sei Aσ konstruiert für alle σ = 2mn , m ∈ Z
m
m+1
′
Sei τ = 2m+1
2n+1 ; σ = 2n < τ < σ := 2n
Nach Voraussetzung gilt: Aσ ∩ (X \ A◦σ′ ) = ∅ (diese sind beide abgeschlossen
und disjunkt)
T4 ⇒ ∃Aτ Umgebung von Aσ , sodass X \ Aτ eine Umgebung von X \ A◦σ′ ist.
⇒ Aσ ⊂ A◦τ , Aτ ⊂ A◦σ′ .
⇒ Behauptung.
inf{σ ∈ Σ | x ∈ Aσ } x ∈
/B
Setze g(x) :=
1
x∈B
23
⇒ g(x) ∈ [0, 1]; g|A ≡ 0; g|B ≡ 1
Behauptung: g ist stetig.
zu zeigen: f −1 ((a, b)) ist Umgebung von jedem x ∈ f −1 ([a, b])
Ist 0 < f (x) < 1; sei a < σ < f (x) < σ ′ < b mit σ, σ ′ ∈ Σ.
′
∀y ∈ Aσ′ : g(y) ≤ σ
⇒ Aσ′ \ Aσ ⊂ g −1 ([σ, σ ] ) ⊂ g −1 ((a, b))
⇒
∀y ∈
/ Aσ : g(y) ≥ σ
Für σ < τ < f (x) < τ ′ < σ ′ ; τ, τ ′ ∈ Σ: Aσ′ \ Aσ ⊃ A◦σ′ \ Aσ ⊃ Aτ ′ \ Aτ ∋ x.
| {z }
offen
Analog falls f (x) = 0 oder 1.
2
(10.6)
Satz: Fortsetzungssatz von Tietze:
X T4 , A ⊂ X abgeschlossen.
I ⊂ R nichtleeres Intervall
f : A → I stetig
⇒ ∃ stetige Fortsetzung X → I
(10.7)
Bemerkung: I = R ; Grundfrage
(10.8)
Lemma: ∀ϕ : A → [−s, s] stetig ∃Φ : X → [− 3s , 3s ] stetig, mit ∀a ∈ A :
|Φ(a) − ϕ(a)| ≤ 2s
3
Beweis:
B := ϕ−1 ([−s, 3s ])
C := ϕ−1 [− 3s , s])
abgeschlossen in A ⇒ abgeschlossen in X und
disjunkt.
Urysohn ⇒ ∃λ : X → [0, 1] stetig mit λ|B ≡ 0, λ|C ≡ 1.
s
⇒ Φ(x) := 2s
3 λ− 3
s
⇒ Φ|B ≡ − 3 , Φ|C ≡ 3s , Φ(X) ⊂ [− 3s , 3s ]
2
Beweis:
1. I unbeschränkt ;
R
arctan/
(−π/2, π/2)
∩
∩
I
/ I′
⇒ o.B.d.A. I beschränkt.
2. Wende x 7→ ax + b an
; o.B.d.A. (−1, 1) ⊂ I ⊂ [−1, 1]
3. Falls der Satz gilt für I, sei g : X → I stetige Fortsetzung.
Dann ist g −1 (I \ I) abgeschlossene Teilmenge von X, disjunkt zu A
| {z }
endlich
Urysohn
⇒ ∃h : X → R stetig: h|A ≡ 1, h|g−1 (I\I) ≡ 0.
Ersetze h durch max{|h|, 1} ⇒ h : X → [−1, 1]
⇒ gh : X → I stetige Fortsetzung
4. Beweis für I = [−1, 1]:
Konstruktion: Finde stetige Funktion: Fn : X → R mit:
(a) ∀a ∈ A∀n ≥ 0 : |f (a) − F1 (a) − . . . − Fn (a)| ≤ ( 32 )n
(b) ∀x ∈ X∀n ≥ 1 : |Fn (x)| ≤ 13 · ( 23 )n−1
P
Dann: (b) ⇒ g(x) := ∞
n=1 Fn (x) konvergiert gleichmässig auf X.
(a) ⇒ g : X → I stetige
√ Fortsetzung.
n = 0 : |f (a)| ≤ 1.
n−1 ; n: Wende das Lemma an auf ϕ := f −F1 −. . .−Fn−1 ; s = ( 23 )n−1
und setzte √
Fn := Φ.
; (a),(b)
24
2
(10.9)
Satz: Jede kompakte Mannigfaltigkeit X ist homöomorph zu einem abgeschlossenen Teilraum eines Rn .
n
Beweis: Es genügt eine
stetige injektive Funktion f : X → R zu finden,
X kompakt
⇒ f Homöomorphismus auf f (X) abgeschlossen.
denn
Rn hausdorffsch
∼
∀x ∈ X∃Ux ⊂ X offen, x ∈ Ux , fx : Ux → Rd
Für x ∈ X sei Ax := fx−1 (B≤1 (0))
o.B.d.A.: fx (x) = 0.
Sr
X kompakt ⇒ ∃x1 , . . . , xr : X = i1 Axi
X hausdorffsch
⇒ Ax abgeschlossen in X
Ax kompakt
Tietze ⇒ ∃gi : X → Rd mit gi |Axi ≡ fxi
(Tietze kann angewendet werden, da eine Mannigfaltigkeit hausdorffsch und
kompakt, und somit T4 ist.)
min{|fxi (x)|, 1}, x ∈ Uxi
Setze hi : X → R : x 7→
1,
sonst
⇒ hi |X\A◦x ≡ 1; hi |A◦x < 1
i
i
⇒ hi stetig auf X \ Axi und auf Uxi
⇒ hi stetig.
g := (gi , hi )ri=1 : X → R(d+1)·r ist stetig und injektiv.
2
(10.10)
Bemerkung: Wir haben sogar gezeigt, dass g(X) lokal Graph einer stetigen
Funktion ist, das heisst
| )
| , hj ◦ fx−1
g(Axi ) = Γ(B≤1 (0) → Rn−d (gj ◦ fx−1
i j
i i6=j
25
11
(11.1)
Parakompaktheit und Partition der Eins
S
Bemerkung: X = i∈I Ui offene
P Überdeckung
λi ≡ 1
λi : X → [0, 1]; λi |X\Ui ≡ 0;
26
12
Funktionenräume
(12.1)
Notation: X, Y Mengen. Abb(X, Y ) := {f : X → Y }
X, Y topologische Räume. C(X, Y ) := {f : X → Y stetig}
(12.2)
Definition: Sei X eine Menge. Für jede Kollektion S ⊂ 2X von Teilmengen
von X bilden die Teilmengen
W (S, f, ε) := {g ∈ Abb(X, R) | ∀s ∈ S : |g(s) − f (s)| < ε}
für alle S ∈ S, f ∈ Abb(X, R), ε > 0 eine Subbasis der Topologie der gleichmässigen Konvergenz auf allen Mengen in S, kurz S-Konvergenz
(12.3)
Satz: Eine Folge (fn ) in Abb(X, R) konvergiert gegen f ∈ Abb(X, R) in dieser
Topologie genau dann, wenn sie auf jedem S ∈ S gleichmässig konvergiert. Das
heisst:
∀S ∈ S∀ε > 0∃n0 : ∀n ≥ n0 ∀s ∈ S : |f (s) − fn (s)| < ε
Beweis:
Konvergenz in Abb(X, R)
⇐⇒
⇐⇒
∀S, ε : ∃n0 ∀n ≥ n0 : fn ∈ W (S, f, ε)
gleichmässige Konvergenz auf S.
2
(12.4)
Bemerkung: Sind S, S ′ zwei Kollektionen von Teilmengen von X und ∀S ′ ∈
S ′ ∃S ∈ S : S ′ ⊂ S.
⇒ Topologie der S ′ -Konvergenz ist gröber als die der S-Konvergenz, da
W (S, f, ε) ⊂ W (S ′ , f, ε)
und weil jede Umgebung in S ′ eine in S enthält.
(12.5)
Beispiel:
1. S = {X} ; gleichmässige Konvergenz auf X
2. S = {{x} | x ∈ X} ; punktweise Konvergenz
(12.6)
Bem.: 2. ist gröber als 1., das heisst, gleichmässige Konvergenz ist stärker als
punktweise Konvergenz.
Q
2. ist gleich der Produkttopologie auf Abb(X, R) = x∈X R
S
Satz: Sei X ein topologischer Raum mit X = S∈S S ◦ , so ist C(X, R) abgeschlossen in Abb(X, R) bezüglich der Topologie der S-Konvergenz.
Beweis: zu zeigen: C(X, R)c ist offen.
Sei f ∈ Abb(X, R) unstetig, das heisst:
∃U ∈ R offen : f −1 (U ) nicht offen
⇐⇒ ∃x ∈ f −1 (U ) : f −1 (U ) keine Umgebung von x
⇐⇒ ∃x ∈ X∃ε > 0 : ∀V ⊂ XUmgebung von x∃v ∈ V : |f (v) − f (x)| ≥ ε
Seien x, ε mit dieser Eigenschaft, und S ∈ S eine Umgebung von x.
Behauptung: Jedes g ∈ W (S, f, 3ε ) ist unstetig.
Es gilt: ∀V Umgebung von x, ∀v ∈ V ∩ S:
f (v) − f (x)| ≤ |f (v) − g(v)| +|g(v) − g(x)| + |g(x) − f (x)|
{z
}
{z
}
|
|
< 3ε
< 3ε
27
2ε
ε
⇒ |g(v) − g(x)| ≥ |f (v) − f (x)| − ≥
|
{z
} 3
3
≥ε
⇒ g unstetig.
(12.7)
2
Bemerkung: Der Grenzwert einer inSAbb(X, R) konvergenten Folge stetiger
Funktionen ist wieder stetig, falls X = S∈S S ◦
(12.8)
Definition: S := {kompakte Teilmengen von X} ; Topologie der kompakten
Konvergenz
(12.9)
Definition: X heisst lokalkompakt, falls X hausdorffsch ist und jeder Punkt
eine kompakte Umgebung besitzt.
(12.10)
Bemerkung: Äquivalent dazu ist: X ist hausdorffsch, und jede Umgebung
enthält eine kompakte Umgebung.
(12.11)
Bemerkung: Jede Mannigfaltigkeit ist lokalkompakt.
(12.12)
S
Bemerkung: X lokalkompakt. ⇒ X = S∈S S ◦
⇒ Der Satz gilt für kompakte Konvergenz und es gilt:
Eine Folge in Abb(X, R) konvergiert in kompakter Konvergenz genau dann,
wenn sie lokal gleichmässig konvergent ist.
(12.13)
Beispiel: X = R. fn (x) := nx konvergiert gegen f (x) ≡ 0.
Die Konvergenz ist lokal gleichmässig, aber nicht gleichmässig.
(12.14)
1, x = 0
.
0, sonst
Die Konvergenz ist punktweise, aber nicht lokal gleichässig.
Beispiel: fn (x) :=
1
1+nx2
konvergiert gegen f (x) =
(12.15)
Bemerkung: C(X, R) ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen in der Topologie der punktweisen Konvergenz.
(12.16)
Definition: Seien X, Y topologische Räume. Die Teilmengen W (K, V ) :=
{f ∈ C(X, Y ) | f (K) ⊂ V } für K ⊂ X kompakt und V ⊂ Y offen bilden
eine Subbasis der der kompakt-offenen Topologie.
(12.17)
Satz: Die von der Topologie der kompakten Konvergenz von Abb(X, R) auf
C(X, R) induzierte Topologie ist die kompakt-offene Topologie.
Beweis:
(12.18)
Querenburg 14.13
2
Satz: Seien X, Y, Z topologische Räume, f : Z → X × Y eine Abbildung und
g : Z → Abb(X, Y ) mit g(z)(x) = f (z, x). Es gilt:
(a) f stetig ⇒ g induziert eine stetige Abbildung Z → C(X, Y ) mit der
kompakt-offenen Topologie.
(b) X lokalkompakt ⇒ Umkehrung
28
Beweis:
f
(a) ∀z ∈ Z : X ֒→ Z × X : x 7→ (z, x) → Y
; g(Z) ⊂ C(X, Y )
g stetig ⇐ ∀K, V : g −1 (W (K, V )) offen
Sei z ∈ W (K, V ). Dann gilt: g({z} × K) ⊂ V .
⇒ f (z, K) ⊂ V
f stetig ⇒ f −1 (V ) offen und {z} × K} ⊂ f −1 (V )
⇒ ∀x ∈ K ∃Wx ⊂ Z, Ux ⊂ X offen mit (z, x) ∈ Wx × Ux ⊂ f −1 (V )
Sr
K kompakt
xi
⇒
K⊂
Tr i=1 Uxi fürSgeeignete
r
)
⊂
f −1 (V )
)
×
(
U
⇒z×
K
⊂
(
W
x
x
i
i
i=1
i=1
Tr
⇒ g( i=1 Wxi ⊂ W (K, V )
(b) Sei g : Z → C(X, Y ) stetig.
zu zeigen: ∀V ⊂ Y offen: f −1 offen.
Sei (z, x) ∈ f −1 (V ).
g(z) stetig ⇒ ∃ Umgebung K von x : f (z, K) ⊂ V .
oBdA K kompakt (da X lokalkompakt).
g stetig ⇒ W := g −1 (W (K, V )) offen
⇒ g(W ) ⊂ W (K, V )
⇒ f (W × K) ⊂ V
⊂ f −1 (V )
⇒
W
× K}
| {z
Umgebung von (z,x)
(12.19)
2
Korollar: Ist X lokalkompakt, so ist die kompaktoffene Topologie O die eindeutige gröbste Topologie auf C(X, Y ), sodass die Auswertungsabbildung: e :
C(X, Y ) × X → Y : f (x, y) 7→ f (x) stetig ist.
Beweis: Wende den Satz auf Z := C(X, Y ) mit einer beliebigen Topologie an:
e : Z × X → Y stetig ⇐⇒ id : Z →
C(X, Y )
stetig
| {z }
kompaktoffene Topologie
⇐⇒ O feiner als die kompaktoffene Topologie.
29
2
13
Vervollständigung metrischer Räume
(13.1)
Bemerkung: R ist die Vervollständigung von Q, das heisst, R enthält zusätzlich die Grenzwerte von Folgen in Q.
(13.2)
Definition: Sei (X, d) ein metrischer Raum.
Eine Folge (xn )n∈N heisst Cauchy-Folge, falls ∀ε > 0∃n0 : ∀n, m ≥ n0 ⇒
d(xn , xm ) < ε
(13.3)
Definition: (X, d) heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge einen Grenzwert
besitzt.
(13.4)
Bemerkung: Der Grenzwert ist in einem vollständigen Raum immer eindeutig.
(13.5)
Lemma: X vollständig, A ⊂ X. Es gilt: A vollständig ⇐⇒ A abgeschlossen.
Beweis: Übung.
(13.6)
Bemerkung:
(Xi , di ) vollständig.
Q
⇒ X := ri=1 Xi mit d := max{di } ist vollständig.
(13.7)
Beispiel: R, Rn , [a, b] ⊂ R mit der natürlichen Topologie sind vollständig.
(13.8)
Bemerkung: (a, b) ⊂ R ist nicht vollständig mit der natürlichen Topologie.
(a, b) ist aber homöomorph zu R. Das bedeutet, dass der Begriff vollständig kein
rein topologischer Begriff ist.
(13.9)
Bemerkung: Vollständigkeit hängt erheblich von der Wahl der Metrik d ab.
(13.10)
(13.11)
b mit X ⊂ X,
b X×X = d
b d)
b d|
Definition: Ein vollständiger metrischer Raum (X,
b
und X ⊂ X dicht heisst Vervollständigung von (X, d).
(13.12)
Definition: Zwei Cauchy-Folgen (xn ), (yn ) heissen äquivalent, falls
Satz: Jeder metrische Raum (X, d) besitzt eine bis auf eindeutige Isometrie
b
eingeutige Vervollständigung X ֒→ X.
lim d(xn , yn ) = 0
n→∞
(13.13)
Bemerkung: Dies ist eine Äquivalenzrelation.
b irgendeine Vervollständigung von (X, d).
b d)
Beweis: Sei (X,
b dicht ⇒ Jedes x
b ist Grenzwert einer Folge (xn )n∈N in X.
X⊂X
b∈X
⇒ (xn ) Cauchy-Folge
b
Ist (yn ) eine Cauchy-Folge in X mit Grenzwert yb ∈ X.
b x, yb) = lim d(x
b n , yn ) = lim d(xn , yn )
⇒ d(b
n→∞
n→∞
Insbesondere gilt x
b = yb ⇐⇒ limn→∞ d(xn , yn ) = 0, das heisst, die Folgen sind
äquivalent.
b
; Bijektion Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in X ↔ X
⇒ Eindeutigkeit:
b := {Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in X}
Konstruktion: X
b : x 7→ [(x, x, . . .)]
i : X ֒→ X
b n , yn )
Definiere db := limn→∞ d(x
zeige:
30
(a) db ist eine wohldefinierte Metrik.
(b) i ist wohldefiniert, injektiv, db ◦ (xi ) = d
b:x
(c) i(X) dicht in X
b = [(xn )] ⇒ x
b = limn→∞ i(xn )
b ist vollständig.
b d)
(d) (X,
(13.14)
(13.15)
b
Sei (b
xn ) eine Cauchy-Folge in X.
x
bn = [(xnm )m ] Cauchy-Folge in X.
b xn , i(xn,m )) < 2−n
Für jedes n wähle mn mit d(b
n
⇒ (xn,mn ) ist eine Cauchy-Folge in X.
Deren Äquivalenzklasse x
b ist Grenzwert von (b
xn )
2
Bemerkung: Jeder vollständige metrische Raum ist gleich seiner Vervollständigung.
Definition: Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen f : X → Y heisst
gleichmässig stetig, falls
∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x, x′ ∈ X : dX (x, x′ ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x′ )) < ε
(13.16)
(13.17)
(13.18)
(13.19)
(13.20)
Satz: Jede gleichmässig stetige Abbildung f : X → Y besitzt eine stetige
Fortsetzung f : X → Yb , und diese ist wieder gleichmässig stetig.
Beweis: Setze fb(limn→∞ xn ) := limn→∞ f (xn ) für jede Cauchy-Folge (xn ) in
X. fb ist wohldefiniert, da f (xn ) wieder Cauchy-Folge.
Gleichmässigkeit von fb: Übung.
2
b × Yb
\
Bemerkung: X
×Y =X
b∼
Beispiel: X = Qn ⇒ X
= Rn
Beispiel: X = Z, p prim, d(x, y) :=
b = Zp Ring der p-adischen Zahlen.
⇒X
0,
x=y
p−ordp (x,y) , x =
6 y
Satz:
∞
Y
i=0
{0, 1, . . . , p − 1} → Zp : (ai ) 7→
∞
X
i=0
ai pi := limn→∞
n
X
ai p i
i=0
| {z }
Cauchy-Folge
ist ein Homöomorphismus; a = · · · a3 a2 a1 a0 Mit ”gewohnter” schriftlicher Addition, Multiplikation.
Beweis: Übung.
(13.21)
Beispiel: Für p ≥ 1 sei Lp (Rn ) der Raum der Funktionen f auf Rn mit
R
1
kf kp := ( Rn |f |p dx) p < ∞.
C0∞ (Rn ) Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem
Träger.
(13.22)
Satz: Lp (Rn ) ist vollständig und C0∞ (Rn ) liegt dicht in Lp (Rn ).
(ohne Beweis)
(13.23)
Korollar: Lp ist die Vervollständigung von C0∞ bezüglich k.kp .
31
14
Quotiententopologie
(14.1)
Bemerkung: Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum
X.
Sei X ∼ := X/∼ die Menge der Äquivalenzklassen.
Gesucht ist die feinste Topologie auf X ∼ , sodass die kanonische Projektion π :
X → X ∼ stetig ist.
(14.2)
Definition: Eine Teilmenge U ∼ ⊂ X ∼ sei offen in der Quotiententopologie,
falls π −1 (U ∼ ) offen in X ist.
(14.3)
Bemerkung: Das ist die feinste Topologie auf X ∼ , sodass π stetig ist.
(14.4)
Bemerkung: Eine Abbildung f : X ∼ → Y für einen weiteren topologischen
Raum Y ist stetig genau dann, wenn f ◦ π : X → Y stetig ist.
Beweis: V ⊂ Y offen ;
f −1 (V ) offen ⇐⇒ π −1 (f −1 (V )) offen
2
(14.5)
Bemerkung: Äquivalente Definition:
A∼ ⊂ X ∼ ist abgeschlossen in der Quotiententopologie, falls π −1 (A∼ ) abgeschlossen in X ist.
(14.6)
Bemerkung: X kompakt ⇒ X ∼ kompakt.
(14.7)
Bemerkung: Vorsicht: Trennungseigenschaften können verlorengehen.
z.B.: X ∼ T1 ⇐⇒ jede einelementige Teilmenge ist abgeschlossen in X ∼ ⇐⇒
jede Äquivalenzklasse in X ist abgeschlossen.
(14.8)
Beispiel: X = R, x ∼ y ⇐⇒ x = y oder x, y ∈ Q
(14.9)
Beispiel: X = Rn , x ∼ y ⇐⇒ ∃λ ∈ R⋆ : y = λx
Äquivalenzklassen: {0}, R⋆x (x 6= 0)
14.1
Spezialfälle
Zusammenschlagen eines Teilraums zu einem Punkt:
x ∼ y ⇐⇒ x = y oder x, y ∈ X0
Sei ∅ 6= X0 ⊂ X,
(14.10)
Beispiel: B n := {x ∈ Rn | |x| ≤ 1}, S n−1 := ∂B n = {x ∈ Rn | |x| = 1}
; Quotient S n
via der Abbildung: B n /S n−1 → S n , [x] 7→ (2(1−|x|)·x,2|x|−1)
2|x|2 −2x+1
(14.11)
Notation: X/X0 := X/∼
(14.12)
Beispiel: Kegel über X:
X × [0, 1] ⊃ X × {1}
CX := X/X0
⊠
32
Anheften ∅ 6= X0 ⊂ X
ϕ : X0 → Y stetig.
Äquivalenzrelation auf X + Y erzeugt von x ∼ ϕ(x0 )∀x0 ∈ X0 .
Quotient X ∪ϕ Y

/X
X0
ϕ
Y
X \ X0
(14.13)
Satz:
`
i
j
/ X ∪ϕ Y
(i,j)
Y → X ∪ϕ Y bijektiv
1. j ist eine Einbettung, das heisst ein Homöomorphismus auf sein Bild.
2. Ist X0 ⊂ X offen, dann ist j eine offene Einbettung und i|X\X0 ist eine
abgeschlossene Einbettung.
3. Ist X0 ⊂ X abgeschlossen, so ist j eine abgeschlossene Einbettung und
i|X\X0 eine offene Einbettung.
Beweis:
1. Übung
2. j ist injektiv und stetig.
Sei X0 ⊂ X offen, V ⊂ Y offen
(
V = j −1 (j(V )) offen in Y
⇒
i−1 (j(V )) = ϕ−1 (V ) offen in X0
X0 offen
⇒
offen in X
⇒ j(V ) offen in X ∪ϕ Y
Insbesondere ist j(Y ) offen
3. analog zu 2., mit abgeschlossen anstatt offen
2
(14.14)
Beispiel: Typischer Fall:
∼
X ⊃ X0 → Y0 ⊂ Y homöomorph
⇒ X∪ϕ enthält X und Y als Teilräume.
(14.15)
Satz: Sei Z ein topologischer Raum, Z = Z1 ∪ Z2 mit Z1 , Z2 offen oder Z1 , Z2
abgeschlossen.
ϕ
Z1 ⊃ Z1 ∩ Z2 ֒→ Z2
κ
⇒ Z1 ∪ϕ Z2 → Z ist Homöomorphismus.
Beweis: Bijektivitẗ und Stetigkeit trivial
Seien Zi ⊂ Z offen. Dann gilt: W ⊂ Z offen ⇐⇒ ∀i : W ∩ Zi offen in Zi
⇐⇒ π −1 (W ) offen in Z1 + Z2
⇐⇒ κ−1 (W ) offen
analog für Zi abgeschlossen.
2
(14.16)
Bemerkung: In diesem Fall ist f : Z → Y stetig ⇐⇒ f |Z1 und f |Z2 stetig.
(14.17)
Beispiel: Sei X eine kompakte Mannigfaltigkeit ⇒ X =
und homöomorph zu Rn
33
Sr
i=1
Ui mit Ui offen
(14.18)
Beispiel: S n = (S n \ {x}) ∪ (S n \ {y}
x
Rn ⊃ Rn \ {0} → Rn \ {0} ⊂ Rn : x 7→ |x|
2
(14.19)
Beispiel: Rn ⊃ Rn \ {0} → Rn \ {0} ⊂ Rn : x 7→ x
Das Resultat ist Rn mit ”verdoppeltem” Nullpunkt (der Raum ist nicht T1 ).
(14.20)
Satz: X ⊃ X0 → Y0 ⊂ Y beide abgeschlossen.
X, Y seien Ti i = 1, . . . , 4. ⇒ X ∪ϕ Y ist ebenfalls Ti .
∼
=
Beweis: T2 :
x∈X
i(X \ X0 ) ∋ i(x)
beide offen.
y∈Y
j(Y \ Y0 ) ∋ j(y)
etc.
(14.21)
2
Beispiel: S n =(abgeschlossene Nordhalbkugel) ∪ (abgeschlossene Südhalbkugel.:
Sn = Bn ∪ Bn
id
B n ⊃ S n−1 → S n−1 ⊂ B n
34
15
(15.1)
Simplizialkomplexe
Definition: Sei V ein Vektorraum und seien v0 , v1 , . . . , vq ∈ V Punkte, sodass
die Dimension dim span (v0 , v1 , . . . , vq ) = q
Dann heisst die Teilmenge
σ := {λ0 v0 + . . . + λq vq | λi ∈ R+ , λ0 + . . . + λq = 1}
q=0
q=1
q=2
ein Simplex der Dimension q, oder q-Simplex.
(15.2)
Bemerkung: q und {v0 , . . . , vq } sind durch σ eindeutig bestimmt.
(15.3)
Definition: Jeder von einer nichtleeren Teilmenge von {v0 , . . . , vq } aufgespannte Simplex τ heisst Seite von σ.
Notation: τ ≺ σ
(15.4)
Bemerkung: σ, τ beliebige Simplizes.
τ ≺ σ ⇐⇒ Eckenmenge von τ ⊂ Eckenmenge von σ
(15.5)
Satz: Jedes Polyeder lässt sich in endlich viele Simplizes zerlegen.
Beweis: Übung
(15.6)
Definition: Ein (endlicher) Simplizialkomplex ist eine (endliche) Menge K
von Simplizes in V mit den Eigenschaften
1. ∀σ ∈ K∀τ ≺ σ : τ ∈ K
2. ∀σ, τ ∈ K : σ ∩ τ 6= ∅ ⇒ σ ∩ τ ≺ σ, σ ∩ τ ≺ τ
(15.7)
Definition: |K| :=
(15.8)
Beispiel:
S
σ∈K
σ heisst K unterliegender topologischer Raum
1. Ein Simplex σ zusammen mit allen seinen Seiten.
⇒ |K| = σ ≃ B q
2. Die Seiten eines Simplex’ σ, aber ohne den Simplex selbst.
⇒ |K| ≃ S q−1
3. Dasselbe für ein Polynom anstelle eines Simplex’.
35
q=3
(15.9)
Definition: Sei X ein topologischer Raum.
1. Ein Paar aus einem Simplizialkomplex K und einem Homöomorphismus
ϕ : X → |K| heisst Triangulierung von X.
2. X heisst triangulierbar, falls eine Triangulierung von X existiert.
(15.10)
Bemerkung: Dann lässt sich X durch sukzessives Anheften von Simplizes
konstruieren.
(15.11)
Beispiel: S n , B n
(15.12)
Bemerkung: Seien X, Y triangulierbar.
⇒ X + Y, X × Y sind triangulierbar.
Beweis:
X = |K|
Y = |L|
⇒
Zerlege nun σ × τ simplizial.
X +Y =S
|K| ∪ |L|, falls |K ∩ L| = ∅
X × Y = σ∈K, τ ∈L σ × τ
2
(15.13)
Verklebung des Torus’
Beispiel:
Eine mögliche Triangulierung der Verklebung
(15.14)
Zitat: Unsere graphischen Möglichkeiten sind leider, dem gegenüber was mathematisch existiert, beschränkt.
(15.15)
Satz: Jede zusammenhängende kompakte 1-Mannigfaltigkeit ist homöomorph
zu S 1 .
36
Beweis: Erinnerung X hausdorffsch und jeder Punkt x besitzt Umgebung Ux
∼
mit ϕS
x : Ux → R
Sr
Sr
∼
X = x∈X Ux , X kompakt ⇒ X = i=1 Uxi =: i=1 Ui , ϕ : Ui → R
X kompakt
⇒
X 6= ∅ ⇒ r ≥ 1.
Wäre U1 ∩ Ui = ∅ i = 2, ...r, dann wäre Ui abgeschlossen in X ⇒ U1 kompakt.
Aber U1 ∼
= R. Widerspruch.
⇒ ∃2 ≤ i ≤ r : U1 ∩ Ui 6= ∅.
o.B.d.A. i = 2.
Sei V eine Zusammenhangskomponente von U1 ∩ U2 .
offen
ϕi (U1 ∩ U2 ) ⊂ R
2
HIER FEHLT EIN TEIL!
(15.16)
Satz:
Jede kompakte Mannigfaltigkeit der Dimension d ≤ 3 ist triangulierbar.
Beweis: Grundsätzlich benötigt der Beweis algebraische Topologie.
Mit der Einschränkung, dass jeder d − 1-Simplex Seite von genau 2 d-Simplexen
ist, kann man den Beweis hier führen:
d = 1:
d = 2: Rado (1923)
d = 3: Moise
2
(15.17)
Bemerkung: Für d = 4 existieren Gegenbeispiele (Siebenmann).
(15.18)
Satz:
R.
Jede zusammenhängende 1-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu S 1 oder
Beweis: Falls nicht kompakt:
(15.19)
2
Satz: Jede kompakte Mannigfaltigkeit ist die Summe endlich vieler zusammenhängender kompakten Mannigfaltigkeiten.
37
16
(16.1)
Klassifikation kompakter Flächen
Bemerkung: siehe Tom Dieck: Topologie: S. 70-75
(16.2)
Definition: Eine Fläche ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 2.
(16.3)
Bemerkung:
1. Sei X eine zusammenhängende kompakte Fläche. Nach Rado gilt: X ist
triangulierbar.
Sei X ∼
= |K| für einen Simplizialkomplex K, wobei an jedem 1-Simplex
(Kante) genau 2 2-Simlizes zusammenstossen.
2. X kann (bis auf Homöomorphie) erhalten werden aus einem 2n-Eck durch
paarweises Verkleben von Kanten.
Wähle für jedes Kantenpaar ein Symbol a, b, c, . . .
Benenne jede Kante a, a−1 , . . .
a
b
z
z
−1
X ist insgesamt charakterisiert durch das Wort ab · · · a b · · · zz
Beachte: Dabei ist jedes Wort möglich! Das heisst, jeder derartigen Folge
entspricht eine Fläche.
b
a−1
3. Das so erhaltene Wort kann allerdings sehr kompliziert sein; im Folgenden
soll es also normiert werden.
i. Eliminiere benachbarte verklebte Kanten uu−1 oder u−1 u, falls die
a
−1
u
u
Fläche mindestens 4 Kanten besitzt.
ii. X lässt sich durch ein Wort beschreiben, bei welchem alle Ecken miteinander identifiziert werden:
Sonst wähle eine Kante, deren Endpunkte P, Q nicht identifiziert wer-
38
a±1
P
a
b
R
c
R
Q
Q
R
a−1 P
P
c
b
Q
den.
Bei
dieser Konstruktion ist die Anzahl der Eckpunkte P um 1 gesunken.
Der Vorgang lässt sich wiederholen, bis es nur noch eine Ecke P gibt.
⇒ Der Fall von i. trifft ein. ⇒ Die Anzahl Kanten ist um 1 gesunken.
Widerspruch.
(16.4)
aa−1
∼ S2
aa
Beispiel: 2 Kanten:
Zitat: Was hier passiert ist eigentlich wie bei einem Falafel: Sie nehmen so ein halbes Fladenbrot, und klappen
das so zusammen. Und was sie bekommen ist homöomorph zu S 2 .
Zitat: Was ich hier bekomme, könnte ich nie als Falafel aufbewahren, weil ich
hier eine nicht orientierbare Fläche bekomme.
(16.5)
Satz: Jede kompakte zusammenhängende Fläche X kann beschrieben werden
durch eines der Wörter
a) aa−1
−1 −1
−1 −2
b) a1 b1 a1−1 b−1
1 a 2 b 2 a 2 b 2 . . . ag b g a g b g
c) a1 a1 a2 a2 . . . ag ag
g≥1
(a)
(b)
g≥1
∼ S2
a
a
b
b−1
A
a−1
b−1
A
(16.6)
Definition: Die Zahl g heisst Geschlecht von X.
39
(16.7)
Bemerkung: Es gibt zwischen diesen Darstellungen keine Homöomorphismen. Insbesondere sind zu einem gegebenen X die Darstellung und das g eindeutig gegeben.
Der Beweis dazu übersteigt allerdings die bisherigen Mittel.
40
17
Homotopie
(17.1)
Bemerkung: Im Folgenden geht es um Deformationen von Abbildungen.
(17.2)
Bemerkung: Im Folgenden ist I := [0, 1].
(17.3)
Definition: Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen. Eine Homotopie von f
nach g ist eine stetige Abbildung h : X × I → Y mit h(x, 0) = f (x), h(x, 1) =
g(x)∀x ∈ X.
f heisst homotop zu g, falls eine Homotopie von f nach g existiert.
(17.4)
Notation: f ≃h g, oder f ≃ g.
(17.5)
f
X
Beispiel: Ein Weg in X:
(17.6)
f
g
Beispiel: Deformation von Wegen:
(17.7)
Bemerkung: Alternative Definition: Sei A ⊂ X und f |A = g|A .
h : X × I → Y heisst Homotopie relativ A, falls
h(a, t) = f (a) = g(a)∀a ∈ A, ∀t ∈ I
(17.8)
Beispiel: X = I, A = {0, 1}:
Deformation von Wegen mit festgehaltenen Anfangs- und Endpunkt
(17.9)
Satz:
≃ relativ A ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis:
1. f ≃ f mit h(x, t) = f (x)
2. f ≃h g ⇒ g ≃ f mit (x, t) 7→ h(x, 1 − t)
3. f1 ≃h1 f2 ≃h2 f3 ⇒ f1 ≃ f3 mit
h1 (x, 2t)
0 ≤ t ≤ 21
(x, t) 7→
h2 (x, 2t − 1) 21 ≤ t ≤ 1
2
41
(17.10)
Beispiel: Y ⊂ Rn konvex.
⇒ Je zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y sind homotop:
h(x, t) := f (x) + t · (g(x) − f (x))
(17.11)
Definition: X heisst zusammenziehbar, falls X 6= ∅ und id X : X → X
homotop zu einer kompakten Abbildung ist.
(17.12)
Beispiel: X ⊂ Rn nichtleer, konvex ⇒ X zusammenziehbar
(17.13)
Beispiel: S n ist nicht zusammenziehbar:
n = 0 trivial
n = 1 später
n ≥ 2 übersteigt die Mittel dieser Vorlesung
(17.14)
Definition: Die Äquivalenzklasse von f unter Homotopie relativ A heisst die
Homotopieklasse relativ A von f .
(17.15)
Notation: [f ]
(17.16)
Satz:
g
f
X
mit f ≃ f ′ und g ≃ g ′
⇒ g ◦ f ≃ g′ ◦ f ′
→
f′
→
Y
→
g′
→
Z
Beweis: l(x, t) := k(h(x, t), t)
(17.17)
2
Korollar: [g] ◦ [f ] := [g ◦ f ] ist wohldefiniert und
([h] ◦ [g]) ◦ [f ] = [h] ◦ ([g] ◦ [f ])
; Die topologischen Räume mit den Homotopieklassen von stetigen Abbildungen bilden eine Kategorie.
(17.18)
Definition: Eine Homotopieäquivalenz ist eine stetige Abbildung f : X → Y ,
für die es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt, sodass g ◦ f ≃ id X und
f ◦ g ≃ id Y .
g heisst Homotopieinverses zu f .
(17.19)
Beispiel: X zusammenziehbar ⇐⇒ X homotopieäquivalent zu {s}:
f : {s} → X stetig ⇐⇒ X 6= ∅; f beliebig.
∃!g : X → {s} und g ist stetig.
(17.20)
Beispiel: S n ֒→ Rn+1 \ {0}
i
p : Rn+1 → S n : x 7→
x
|x|
⇒ p ◦ i = id S n , id Rn+1 ≃h i ◦ p mit h(x, t) =
(17.21)
Beispiel: S n und Rn+1 sind nicht homotopieäquivalent.
42
x
|x|t
18
(18.1)
Fundamentalgruppe
Definition: Sei σ : I → X ein Weg von a nach b und τ : I → X ein Weg von
X
b
σ
a
c
τ
b nach c.
Dann heisst
σ(2t),
0 ≤ t ≤ 21
σ ∗ τ : I → X : t 7→
τ (2t − 1), 12 < t ≤ 1
der aus σ und τ zusammengesetzte Weg und
σ −1 : I → X : t 7→ σ(1 − t)
der zu σ entgegengesetzte Weg.
(18.2)
Bemerkung: Im Folgenden betrachten wir ausschliesslich Homotopieklassen
von Wegen relativ {0, 1}
(18.3)
Satz:
(18.4)
Notation: [σ] ∗ [τ ] := [σ ∗ τ ]
(18.5)
Satz: Seien ρ, σ, τ Wege, die in dieser Reihenfolge zusammensetzbar sind und
seien ε, ε′ konstante Wege.
Dann gilt:
Die Homotopieklasse [σ ∗ τ ] relativ {0, 1} hängt nur von [σ] und [τ ] ab.
1. [ρ] ∗ ([σ] ∗ [τ ]) = ([ρ] ∗ [σ]) ∗ [τ ]
2. [σ] ∗ [ε] = [σ] = [ε′ ] ∗ [σ]
3. [σ] ∗ [σ −1 ] = [ε]
(18.6)
Bemerkung: Vorsicht: Es gilt nicht ρ ∗ (σ ∗ τ ) = (ρ ∗ σ) ∗ τ etc., das heisst, die
Aussagen gelten nur für die Homotopieklassen, bzw. es gilt ρ∗ (σ ∗ τ ) ≃ (ρ∗ σ)∗ τ
Beweis:
ρ
σ
1
2
τ
3
4
0
t′
(1)
I
1
4
ρ
1
2
σ
τ
h:I ×I → X
h const auf |
1
I
1.
σ
′
z.B. h(t, t ) =
ρ
2.
43
ρ(2(1 + t′ )t)
etc.
(1)
σ
σ −1
σ
3.
ε
ε
2
(18.7)
Definition: Sei G ⊂ X und m : G × G → X assoziativ mit Neutralelement.
Dann heisst (G, m) Grupoid.
(18.8)
Definition: Ein Weg von x0 nach x0 heisst Schleife an x0 oder geschlossener
Weg.
/ I \ {0, 1}
I
vv
vv ∼
=
v
v
{vvv
/ S1
X
(18.9)
Definition: Die Menge [σ] für alle Schleifen σ an x0 ∈ X heisst Fundamentalgruppe von X zum Basispunkt x0 .
(18.10)
Notation: π1 (X, x0 )
(18.11)
Satz: Jeder Weg α : I → X von x0 nach x1 induziert einen Gruppenisomorphismus
(α)∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ) : [σ] 7→ [α−1 ] ∗ [σ] ∗ [α]
Beweis:
1. wohldefiniert: trivial
2. Homomorphismus:
[σ] ∗ [τ ] = [σ ∗ τ ] 7→ [α−1 ] ∗ [σ ∗ τ ] ∗ [α] = ([α−1 ∗ [σ] ∗ [α]) ∗ ([α−1 ] ∗ [τ ] ∗ [α])
3. Umkehrabbildung: (α−1 )∗ : [ρ] 7→ [α] ∗ [ρ] ∗ [α−1 ] ist Homomorphismus.
2
(18.12)
Bemerkung: Der Isomorphismus hängt im Allgemeinen wirklich von α ab.
(18.13)
Bemerkung: π1 (X, x0 ) ist nur dann wirklich sinnvoll, wenn X wegzusammenhängend ist.
(18.14)
Definition: X heisst einfach zusammenhängend, falls X wegzusammenhängend ist und π1 (X, x0 ) = 1∀x0 ∈ X.
18.1
(18.15)
Verhalten unter stetigen Abbildungen
Satz: Sei f : X → Y stetig mit f (x0 ) = y0 .
Dann ist f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) : [σ] 7→ [f ◦ σ] ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.
44
Beweis: Vorwiegend trivial.
Homomorphismus: f ◦ (σ ∗ τ ) = (f ◦ σ) ∗ (f ◦ τ )
(18.16)
Satz:
2
Seien f : X → Y und g : Y → Z wie im vorherigen Satz.
f∗
/ π1 (Y, y0 )
π1 (X, x0 )
MMM
MMM≡
M g∗
(g◦f )∗ MMM
& π1 (Z, z0 )
⇒ (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗
(18.17)
(18.18)
Bemerkung: Ausserdem gilt: (id X )∗ = id π1 (X,x0 )
18.2
Verhalten unter Homotopie
Satz:
Sei h eine Homotopie von f nach g : X → Y . Sei α(t) = h(x0 , t).
f (x0 )
x0
α
g(x0 )
X
Y
Dann gilt: g∗ = α∗ ◦ f∗ :
π1 (X, x0 )
NNN
pp
NNNf∗
p
p
p
NNN
p
pp
NN'
p
p
wp
≡
π1 (Y, g(x0 )) m
π1 (Y, f (x0 ))
g∗
α∗
g◦σ
1
α
α
t
Beweis: Zu [σ] ∈ π1 (X, x0 ) betrachte h◦(σ×id ) : |{z}
I × |{z}
I →Y.
∋s
∋t
0
f ◦σ
s
zu zeigen: [g ◦ σ] = [α−1 ] ∗ [f ◦ σ] ∗ [α]
⇐⇒ g ◦ σ ≃relativ {0,1} α−1 ∗ (f ◦ σ) ∗ α
Wähle eine stetige Deformation von I → I 2 : g ◦ σ in α−1 ◦ f ◦ g ◦ α und setze
ihn zusammen mit h ◦ (σ ∗ id ).
2
(18.19)
Korollar: f : X → Y Homotopieäquivalenz
⇒ f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) ist ein Isomorphismus.
Beweis: g : Y → X Homotopieinverses. Das heisst:
g ◦ f ≃h id ⇒ here is a very small part missing
f ◦ g ≃ id
f∗
/ π1 (Y, y0 )
π1 (X, x0 )
MMM
q
q
MMM
qqq
M
q
q
g
α∗ MMM
xqqq ∗
&
π1 (X, x1 )
45
1
Y
y = f (x0 )
x1 = g(y0 ) = (g ◦ f )(x0 )
α(t) = h(0, t) Weg in X von x0 nach x1 .
g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f )∗ = α∗ ◦ (id X )∗ = α∗ Isomorphismus.
f∗ ◦ g∗ Isomorphismus (analog).
⇒ f∗ Isomorphismus.
2
(18.20)
Bemerkung: Das heisst, die Fundamentalgruppe ist invariant unter Homotopie.
(18.21)
Bemerkung: X zusammenziehbar ⇒ X einfach zusammenhängend.
Die Umkehrung gilt aber nicht: S n , n ≥ 2 ist einfach zusammenhängend, aber
nicht zusammenziehbar.
46
19
Gruppen mit Erzeugenden und Relationen
(19.1)
Zitat: Ich habe kürzlich im Supermarkt eine Frau gesehen, der hat man so
richtig angesehen, wie angestrengt sie nachgedacht hat. Zwar vielleicht nicht
über so interessante Dinge wie wir...
Die habe ich dann angesprochen, und gesagt: “Den Blick wünsche ich mir in
den Gesichtern meiner Studenten.”
(19.2)
Bemerkung: Seien a1 , . . . , an paarweise verschiedene Symbole. Sei Fn die
−1
Menge aller endlichen Wörter über dem Alphabet {a1 , . . . , an , a−1
1 , . . . , an } oh−1
−1
ne Teilwort ai ai oder ai ai .
Definiere m : Fn ×Fn → Fn durch zusammensetzen und reduzieren in der Mitte.
(19.3)
Satz:
(19.4)
Bemerkung:
m definiert eine wohldefinierte Gruppenstruktur auf Fn .
1. Wohldefiniertheit, Abgeschlossenheit: trivial
2. Neutralelement: ∅ (das leere Wort)
3. Assoziativität:
(19.5)
Notation: Fn heisst die von a1 , . . . , an erzeugte freie Gruppe oder die freie
Gruppe über {a1 , . . . , an }.
(19.6)
Beispiel:
1. F0 = 1
2. F1 ∼
=Z
3. n ≥ 2 ⇒ Fn nicht kommutativ: a1 a2 6= a2 a1
(19.7)
Bemerkung: Universelle Eigenschaft von freien Gruppen: Für jede Gruppe
G und Elemente b1 , . . . , bn ∈ G existiert genau ein Homomorphimsus Fn → G
mit ai 7→ bi .
(19.8)
Definition: Ein kommutatives Diagramm von Gruppen und Homomorphismen
Ψ2
/ G1
G12
Ψ1
G2
ϕ1
≡
ϕ2
/G
η1
η
η2
,H
heisst Pushout-Diagramm, falls gilt: Für jede zwei Homomorphismen ηi : Gi →
H sodass η1 ◦ ψ2 = η2 ◦ ψ1 ∃! Homomorphismus η : G → H mit ∀η ◦ ϕi = ηi
G heisst auch der Pushout von G1 und G2 über G12 ; G = G1 ∗G12 G2 .
∗G12 heisst auch amalgiertes Produkt.
(19.9)
Bemerkung: G mit ϕ1 , ϕ2 ist dadurch bis auf eindeutige Isomorphie bestimmt.
(19.10)
Bemerkung: Die Existenz des Pushouts wird hier nicht gezeigt.
Die Konstruktion ist im Allgemeinen sehr hässlich.
(19.11)
Bemerkung: G ist das Erzeugnis von G1 und G2 .
47
(19.12)
Bemerkung: Spezialfälle:
1. G12 = 1: ; “freies Produkt” G1 ∗ G2
Beispiel: Fn ∗ Fm ∼
= Fn+m
2. G2 = 1: ; G ∼
= G1 /N , wobei N der kleinste Normalteiler sei, der G2
enthält.
bi 7→fi
Insbesondere: Fm
→
Fn
|{z}
|{z}
hb1 ,...,bm i
ha1 ,...,an i
⇒ Fn ∗Fm 1 = Fn /N = ha1 , . . . , an | f1 = . . . = fm = 1i
n
Beispiel: ha
Guppe
Ordnung n.
= 1i zyklische
Beispiel: a, b | aba−1 b−1 = 1 ∼
=Z⊕
Z
Beispiel: a, b | a2 = b2 = (ab)n = 1 ∼
= Dn
48
20
(20.1)
(20.2)
(20.3)
Berechnung von π1 (X, x0)
Satz: Sei S1 = {z ∈ C∗ | |z| = 1}
Dann gilt: π1 (S 1 , 1) ∼
b
= Z vermöge I → S 1 : [σ] = [t 7→ e2πint ]=n
Beweis: später
Bemerkung: n heisst die Windungszahl oder Umlaufzahl von σ.
Satz: Seifert – von Kampen:
Sei X = U1 ∪ U2 mit Ui offen und U1 , U2 , X, U1 ∩ U2 wegzusammenhängend.
Sei x0 ∈ U1 ∩ U2 . Dann ist
π1 (U1 ∩ U2 , x0 )
/ π1 (U1 , x0 )
π1 (U2 , x0 )
/ π1 (X, x0 )
ein Pushout.
U2
U1
Beweis:
(20.4)
Satz:
U1 ∩ U2
x0
X = U1 ∪ U2
Tom Dieck: I, §7
2
Sei Xn ein Bouquet von n Kopien von S 1 , das heisst
Xn = (S 1 + . . . + S 1 ) /∼
{z
}
|
( verklebe je 1 Punkt jeder S 1 )
n
Sei x0 ∈ Xn . Dann gilt:
π1 (Xn , x0 ) ≃ Fn
Beweis: n = 0, n = 1 trivial
Sei xi 6= x0 in der i-ten Schleife.
U1 := X \ {xn }
U2 := X \ {x1 , . . . , xn−1 }
U1 ∩ U2 = X \ {x1 , . . . , xn }
Xn−1 ֒→ U1
S 1 = X1 ֒→ U2
{x0 } ֒→ U1 ∩ U2
sind Homotopieäquivalenzen.
1∼
= π1 ({x0 }, x0 )
/ π1 (Xn−1 , x0 ) ∼
= Fn−1
F1 ∼
= π1 (S 1 , x0 )
/ π1 (Xn , x0 )
⇒ π1 (Xn , x0 ) ≃ F1 ∗ Fn−1 ≃ Fn
(20.5)
2
Bemerkung: Erinnerung: Jede zusammenhängende kompakte Fläche lässt
sich beschreiben durch
1. aa−1
−1
−1 −1
2. a1 b1 a−1
1 b 1 · · · ag b g ag b g
3. a1 a1 · · · ag ag
g≥1
g≥1
49
(20.6)
Die Fundamentalgruppe in diesen Fällen ist
Satz:
1. 1
2. a1 , b1 , . . . , ag , bg | a1 b1 a1−1 b1−1 · · · = 1
3. ha1 , b1 , . . . , ag | a1 a1 · · · ag ag = 1i
(20.7)
Korollar: Der maximale abelsche Quotient ist dann jeweils
1. 0
2. Z2g
3. Zg /Z·(2, . . . 2) ≃ Zg−1 ⊕ Z/2Z
| {z }
g
(20.8)
Korollar: Die Flächen in diesen Fällen sind paarweise nicht homöomorph.
Beweis:
1. Falls X ≃ S 2 ⇒ trivial.
x0
a1
x0
α
x0
x0
x1
a−1
1
G
y0
x0
Sonst gilt X ≃ P/∼ , wobei P ein Polygon mit 2n Ecken ist.
Seien U1 := X \ {y0 }, U2 = P ◦
⇒ U1 ∩ U2 = P ◦ \ {y0 }
Sei x1 ∈ U1 ∩ U2 .
U2 konvex ⇒ π1 (U2 , x1 ) = 1
Sei S1 ֒→ U1 ∩ U2 ein Kreis um y0 .
Das ist eine Homotopieäquivalenz.
∼
⇒ π1 (U1 ∩ U2 , x1 ) ← π1 (S1 , x1 ) ≃ Z
֒→ U1 ist Homotopieäquivalenz.
∂P/∼
| {z }
Buquet von n S 1
⇒ π1 (U1 , x1 ) ≃α π1 (U1 , x0 ) ≃ π1 (∂P/∼ , x0 ) ≃ Fn
F1 = π1 (U1 ∩ U2 , x1 )
/ π1 (U1 , x1 ) = Fn
1 = π1 (U2 , x1 )
/ π1 (X, x0 )
[σ] erzeugt π1 (U1 ∩ U2 , x1 ).
Sein Bild in π1 (∂P/∼ , x0 ) ist die Klasse des Wegs, welcher einmal ∂P
durchläuft.
Sein Bild in Fn ist daher genau das Verklebewort.
2
50
x0
21
Überlagerungen
(21.1)
Bemerkung: Seien im Folgenden alle Räume lokal wegzusammenhängend,
das heisst jede Umgebung jedes Punktes enthält eine wegzusammenhängende
Umgebung des Punktes.
(21.2)
Definition: Eine (unverzweigte) Überlagerung von X ist eine stetige surjektive
Abbildung π : Y → X, sodass jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U ⊂ X
besitzt, mit
=
π −1 (U ) ⊂
U × DK ∼
Y
O
KK
KKK
π
K
pr1 KK
KK %
∈
⊂
x
U
X
für einen diskreten Raum D. Die U × {d} für d ∈ D heissen Blätter der
Überdeckung.
(21.3)
Bemerkung: D kann endlich oder unendlich sein.
(21.4)
Beispiel: Y = X × D →1 X
(21.5)
Beispiel: C∗ ≃ S 1 → S 1 : z 7→ z n , mit 1 ≤ n < ∞
(21.6)
Beispiel: n = ∞: R → S 1 : t 7→ e2πit
(21.7)
Satz: Sei π : Y → X eine Überlagerung und X wegzusammenhängend. Es gilt:
Jede Wegzusammenhangskomponente (das heisst maximale wegzusammenhängende Teilmenge) Y ′ von Y ist offen und abgeschlossen in Y und π|Y ′ ist eine
Überdeckung von X.
pr
Beweis: Sei DU wie oben, wegzusammenhängend.
′
′
Y ′ wegzusammenhängend ⇒ Y ′ ∩ π −1 (U ) = U × DU
für ein DU
⊂ DU .
′
′
Denn: Ist (u, d) ∈ Y , dann ist (U, {d}) ∪ Y wegzusammenhängend.
⇒ U × {d} ⊂ Y ′
⇒ Y ′ ∩ π −1 (U ) ist offen und abgeschlossen in π −1 (U )
⇒ Y ′ offen und abgeschlossenin Y .
′
DU
6= ∅ ⇒ π(Y ′ ) ⊃ U
⇒ π(Y ′ ) ∩ U offen und abgeschlossen in U .
DU = ∅ ⇒ π(Y ′ ) ∩ U = ∅
⇒ π(Y ′ ) offen und abgeschlossen in X.
X
⇒ π(Y ′ ) = ∅ oder |{z}
|{z}
i
ii
i. ⇒ Widerspruch.
ii. ⇒ πY ′ surjektiv.
(21.8)
2
Bemerkung: U1 ∩ U2 6= ∅ ⇒
(U1 ∩ U2 ) × DU1 ≃ π −1 (U1 ∩ U2 ) ≃ (U1 ∩ U2 ) × DU2
⇒ ∃DU1 ≃ DU2 Bijektion.
Folge: Die Blätterzahl |DU | ist unabhängig von U , falls X wegzusammenhängend.
Diese Zahl heisst auch Grad der Überlagerung
51
22
Hochleben von Wegen und Homotopien
Sei π : Y → X : y0 7→ x1 eine Überlagerung mit Basispunkten.
(22.1)
Satz: Für jeden Weg σ : I → X mit Anfangspunkt x0 existiert genau ein Weg
σ
e : I → Y mit π ◦ σ
e = σ und Anfangspunkt y0 .
Beweis: Eindeutigkeit:
Seien σ
e, σ
e′ : J → Y stetig für 0 ∈ J ⊂ I Intervall stetig mit σ
e(0) = σ
e(0) = y0 .
Behauptung: σ
e=σ
e′
Wenn nicht, sei t := inf{t′ ∈ J | σ
e(t′ ) 6= σ
e′ (t′ )}
x := σ(t′ ) ⇒ ∃ε > 0, J ′ = (t′ − ε, t′ + ε) ∩ J : σ(J ′ ) ⊂ Ux .
J ′ zusammenhängend ⇒ σ
e(J ′ ) und σ
e′ (J ′ ) liegen in je einem Blatt.
e′ (t′ − 2ε )
σ
e(t′ − 2ε ) = σ
⇒ dasselbe Blatt Ux × {d}
|
eJ ′ ⇒ Widerspruch.
Da π : Ux × {d} → Ux bijektiv, folgt σ
e |J ′ = σ
Existenz: Sei σ
e eine Liftung auf J = [0, t)
π
Sei x := σ(t). Für gegebenes ε > 0 ist σ
e((t − ε, t)) ⊂ Ux × {d} für ein d ∈ D →
Ux ⊃ σ((t − ε, t + ε) ∩ I) ein Homöomorphismus.
Setze σ
e auf [0, t + ε) ∩ I fort mit σ
e((t − ε, t + ε) ∩ I)) ⊂ Ux × {d}.
Sei S := {t ∈ I | ∃e
σ auf [0, t)}
S 6= ∅
2
(22.2)
Satz: Seien A ⊂ Z weitere Räume, f : Z → Y stetig und h : Z × I → X eine
Homotopie relativ A ausgehend von π ◦ f .
Dann ∃! Homotopie relativ A e
h : Z × I → Y ausgehend von f mit π ◦ e
h = h.
⊠
Beweis: Für jedes z ∈ Z soll I → Y : t 7→ e
h(z, t) ein Weg sein, der t 7→ h(z, t)
liftet mit Anfangspunkt f (z).
Eine solche Liftung existiert eindeutig nach dem vorherigen Satz.
e
h ist eindeutig; definiere es dadurch.
zu zeigen:
1. Dieses e
h ist stetig.
2. e
h(a, t) = f (a)∀a ∈ A.
Zu 2.: Nach Voraussetzung ist h(a, t) = π ◦ f (a)∀a ∈ A.
⇒ der konstante Weg t 7→ f (a) liftet den Weg t 7→ h(a, t).
Daraus folgt 2. nach Eindeutigkeit im vorherigen Satz. Zu 1.: Wenn nicht, sei
z ∈ Z und t := inf{t′ ∈ I | e
h unstetig in (z, t′ )}
x := h(z, t)
⊠
Seien z ∈ V ⊂ Z, t ∈ J ⊂ I Umgebungen und J zusammenhängend.
e
h(z, t) ∈ Ux × {d}
Lokal existiert eine Liftung nach Ux × {d} stetig. Widerspruch.
(22.3)
2
Satz: Die Konstruktion vom vorletzten Satz induziert eine wohldefinierte Abbildung
[σ] 7→ [e
σ]
auf Homotopieklassen relativ {0, 1}.
52
(22.4)
Beweis: Sei Z := I, A := {0, 1};
sei h : I × I → X eine Homotopie relativ {0, 1} von σ nach τ : I → X.
Nach vorherigem Satz mit f ∼
e folgt e
h Homotopie relativ {0, 1} von σ
e nach
=σ
einem Weg τe mit π ◦ τe = τ und Anfangspunkt y0 .
2
Korollar: Der Endpunkt von σ
e hängt nur von [σ] und y0 ab.
(22.5)
Notation: y0 ∗ [σ]
(22.6)
Bemerkung:
(y0 ∗ [σ]) ∗ [τ ] = y0 ∗ ([σ] ∗ [τ ])
τ
σ
X
τ
σ
(22.7)
Bemerkung: Spezialfall: Ist σ ein geschlossener Weg an x0 , dann ist π(y0 ∗
[σ]) = x0 .
Dies induziert eine Operation von π1 (X, x0 ) von rechts auf der Faser π −1 (x0 ).
Diese heisst Monodromie-Operation.
(22.8)
Satz:
Y wegzusammenhängend ⇒ Operation transitiv.
Beweis: Für y0 , y1 ∈ π −1 (x0 ) wähle Weg σ
e in Y von y0 nach y1 .
Dann ist π ◦ σ
e Schleife an x0 = πy0 = π(y1 ) und
y0 ∗ [π ◦ σ
e] = Endpunkt von σ
e = y1
(22.9)
2
Satz: π∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 ) ist ein Isomorphismus auf den Stabilisator
von y0 .
Beweis: Injektivität:
[e
σ ] 7→ [π ◦ σ
e ] 7→ [e
σ]
(22.10)
[σ] ∈ Bild ⇐⇒ Endpunkt von σ
e gleich y0 ⇐⇒ [e
σ ] ∈ π1 (Y, y0 )
2
Korollar: Y wegzusammenhängend
⇒ Bijektion
π1 (Y, y0 )\π1 (X, x0 ) → π −1 (x0 ) : π1 (Y, y0 ) · [σ] 7→ y0 ∗ [σ]
(22.11)
∼
Bemerkung: Spezialfall: Ist Y wegzusammenhängend und π∗ : π1 (Y, y0 ) →
π1 (X, x0 ) ein Isomorphismus, so ist π ein Homöomorphismus.
53
(22.12)
Bemerkung: Y wegzusammenhängend und X einfachzusammenhängend. ⇒
π ist Homöomorphismus.
54
23
(23.1)
(23.2)
Die universelle Überlagerung
e → X mit
Definition: Sei X wegzusammenhängend. Eine Überlagerung π : X
e
X einfachzusammenhängend heisst universelle Überlagerung von X.
e ist wegzusammenhängend und die MonodromieBemerkung: Äquivalent: X
Operation Fixpunktfrei.
(23.3)
Beispiel: R zusammenziehbar ⇒ einfachzusammenhängend.
R → S 1 , t 7→ e2πit Überlagerung
⇒ Dies ist eine universelle Überlagerung.
bijektiv
⇒ π1 (S 1 , 1) → π −1 (1) = Z ist ein Gruppen-Isomorphismus.
(23.4)
e → X eine universelle Überlagerung und x
Satz: Sei π : X
f0 ∈ π −1 (x0 ). Dann
ist die folgende Abbildung bijektiv:
Homotopiek̈lassen relativ {0, 1} von Wegen
e : [σ] 7→ x
→X
f0 ∗ [σ]
in X mit Anfangspunkt x0
e Weg σ
e
Beweis: ∀e
x ∈ X∃
e von x
f0 nach x
e in X.
Übung: X einfachzusammenhängend ⇐⇒ ∀x, x′ ∈ X∃! Homotopieklasse relativ {0, 1} von Wegen von x nach x′ .
⇒x
e=x
f0 ∗ [π ◦ σ
e ] ⇒ surjektiv.
e x
Ist τe ein weiterer solcher Weg, dann ist [e
σ ∗ τe−1 ] = [ε] in π1 (X,
f0 ),
−1
⇒ [e
σ ] = [e
σ ] ∗ [ε] = [e
σ ] ∗ [e
τ ] ∗ [e
τ ] = [ε] ∗ [e
τ ] = [e
τ ].
⇒ injektiv.
2
(23.5)
e
Bemerkung: Ansatz zur Konstruktion von X:
π −1 (U )
e
X
π
X
(23.6)
e als linke Seite.
Definiere X
Setze π : X → X : [σ] 7→ Endpunkt von σ.
e mit einer geeigneten Topologie (siehe Jänich).
Versehe X
Satz: Universelle Eigenschaft:
e → X eine universelle Überlagerung und π ′ : Y → X eine ÜberlageSei π : X
rung.
Seien x
f0 ∈ π −1 (x0 ), y0 ∈ π ′−1 (x0 ).
e → Y mit f (f
Dann ∃! stetige Abbildung f : X
x0 ) = y0 und π ′ ◦ f = π.
∃!
X
Y
x0
y0
π
(23.7)
⊃
U × Du
s
s
s
s
s
s
ss
sy ss
U
∼
=
x0
X
Bemerkung: Beweisidee:
e ∋x
auf Y ∋ y0 ∗ [σ] ab.
Bilde X
f0 ∗
[σ]
|{z}
∈π1 (X,x0 )
Noch zu zeigen: Diese Abbildung ist stetig. (siehe Jänich)
(23.8)
e π, f
Korollar: (X,
x0 ) ist bis auf eindeutige Isomorphie bestimmt.
55
24
(24.1)
Deckbewegungen und Klassifikation von Überlagerungen
Definition: Die Deckbewegungsgruppe einer Überlagerung π : Y → X ist die
Gruppe Aut X (Y ) aller Homöomorphismen f : Y → Y mit π ◦ f = π.
π −1
⊂
x
∈
f
/Y
}
}
}}
π
}} π
}~ }
x
Y
(24.2)
Beispiel: S 1 → S 1 : z 7→ z n
⇒ Aut X = {ζ ∈ C∗ | ζ n = 1}
(24.3)
Beispiel: R → S 1 , t 7→ e2πit
⇒ Aut X = Z als Gruppe von Translationen von R.
(24.4)
Satz:
e → X die universelle Überlagerung und x
Sei X
f0 ∈ π −1 (x0 ).
e operiert frei und transitiv auf π −1 (x0 ).
1. Aut X (X)
e → π1 (X, x0 ) : f 7→ [σ], falls f (f
2. Durch Aut X (X)
x0 ) = x
f0 ∗ [σ] ist ein
Gruppenisomorphismus definiert.
Beweis:
X
x0
∃!
y0
Y
π
x0
X
1. folgt direkt aus der universellen Eigenschaft
√
2. Bijektion
f ↔ [σ]
g ↔ [τ ]
g◦f (f
x0 ) = g(f (f
x0 )) = g(f
x0 ∗[σ]) = g(f
x0 )∗[σ] = (f
x0 ∗[τ ])∗[σ] = x
f0 ∗([τ ]∗[σ])
2
(24.5)
Bemerkung: Konstruktion anderer Überlagerungen:
e ist H \X → X : H x
1. Für jede Untergruppe H ⊂ Aut X (X)
e 7→ π(e
x) wieder
eine Überlagerung.
e
e ⊃ π −1 (U ) ∼
Denn: auf kleinem U ⊂ X ist X
= U × Aut X (X)
= U × DU ∼
−1
∼
e
e
(U ) = U × (H \Aut X (X))
H \X ⊃H \π
e X
e∼
Spezialfall: Aut X (X)\
=X
2. Sei ω : Y → X : y0 7→ x0 eine weitere Überlagerung.
Dann ∃!f stetig, sodass:
f
X̃ x̃B0 7→y0 / Y
BB ≡
BB ω
π BB
B! f ist selbst eine Überlagerung.
′
Denn U × DU = π −1 (U ) = f −1 (ω −1 (U )) = f −1 (U × DU
)
⇒ f −1 (U × {d}) = U × E für E ⊂ DU .
e einfach zusammenhängend ist, ist X → Y universelle ÜberlageWeil X
rung.
e ⊃ Aut Y (X)
e ∼
⇒ Aut X (X)
= π1 (Y, y0 )
56
e X
e und
e erhalten wir Y → X zurück via Y ∼
3. Aus Aut Y (X)
= Aut Y (X)\
Y ∋ y0 = [x0 ].
4. Aus
e erhalten wir H zurück via H = Aut e (X)
e
H\X
H \X
e gilt
5. Für Untergruppen H, H ′ ⊂ Aut X (X)
H ⊂ H ′ ⇐⇒ ∃ Faktorisierung
stetig
H \ X̃H x̃ 7→H x̃/ H, \X̃
0
II0
II
II
II
I$ X
Y
f
y0
y0′
Y′
π
x0
X
∃f stetig
Für
′
π1 (Y , y0 ) in π1 (X, x0 ).
⇐⇒
e =N
6. Aut X (H\X)
e (H)/H
Aut X (X)
Denn:
Bild von π1 (Y, y0 ) ⊂ Bild von
∃f˜
X̃
H \ X̃
EE
EE
EE
EE
"
f
≡
X
/ X̃
/ H \ X̃
yy
yy
y
y
y| y
e
⇒ fe ∈ Aut X (X).
e
e : feH x
f induziert f ⇐⇒ ∀e
x∈X
e = H fex
e.
e
⇐⇒ f ∈ NAut X (X)
e (H).
Hauptresultat:

ω

Überlagerungen Y → X


bijektiv
Untergruppen von
mit Basispunkt y0 7→ x0
→
π1 (X, x0 )

modulo Isomorphie von


(Y, y0 , ω)
e
H 7→ H\X
π1 (Y, y0 ) ← p Y
H ⊂ H ′ ⇐⇒ ∃Y → Y ′
Aut X (Y ) ∼
= Nπ1 (X,x0 ) (π1 (Y, y0 ))/π1 (Y,y0 ) .
Bemerkung: Erinnert an G = Gal(L/K ) etc.
57







Index
Hausdorffraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
homöomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
q-Simplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Homöomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 homotop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
äquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Homotopieäquivalenz . . . . . . . . . . . . . . 42
A
Homotopieinverses . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
abgeschlossen (Funktion) . . . . . . . . . . . 4 Homotopieklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
abgeschlossen (Menge) . . . . . . . . . . . . . . 1
I
abgeschlossene Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . 1
abgeschlossene Kugel . . . . . . . . . . . . . . . 6 induzierten Topologie . . . . . . . . . . . . . . 11
Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 innerer Punkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
abzählbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Inneres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Abzählbarkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . 17
2. Abzählbarkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . 17 K
amalgiertes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 47
äquivalent (Metrik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 11
äusserer Punkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B
kompakt-offenen Topologie. . . . . . . . .28
Symbols
Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 L
Blätter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
lokalkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
C
M
Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Deckbewegungsgruppe . . . . . . . . . . . . . 56 metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
dicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Monodromie-Operation . . . . . . . . . . . . 53
disjunkte Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . 12
O
E
offen (Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
einfach zusammenhängend . . . . . . . . . 44 offen (Menge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
entgegengesetzte Weg . . . . . . . . . . . . . . 43 offene Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
erzeugte Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 offener Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
D
F
P
Feinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
folgenkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . 44
p-adische Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Pushout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Pushout-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Q
G
Geschlecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
geschlossener Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
gleichmässig stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Grad der Überlagerung . . . . . . . . . . . . 51
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Grupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
H
quasikompakt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Quotiententopologie . . . . . . . . . . . . . . . 32
R
Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
S
Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 S-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
58
Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Seite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Simplizialkomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Subbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Summentopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
T
T1 -Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
T2 -Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
T3 -Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
T4 -Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
diskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
indiskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
kofinite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
natürliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 6
Topologie der gleichmässigen Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Topologie der kompakten Konvergenz
28
topologischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
triangulierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Triangulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
U
Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Umgebungsbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
universelle Überlagerung . . . . . . . . . . . 55
unterliegender topologischer Raum . 35
Unterraumtopologie . . . . . . . . . . . . . . . 11
V
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
vollständig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
W
Weg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
wegzusammenhängend . . . . . . . . . . . . . 14
Windungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Z
zusammengesetzte Weg . . . . . . . . . . . . 43
zusammenhängend . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Zusammenhangskomponenten . . . . . . 13
zusammenziehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
59