ETWR – Teil B

ETWR – Teil B
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Stephan Schosser
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Von ein- zu mehrdimensionalen Zufallsvariablen
•  Problem:
•  Betrachtung einzelner Zufallsvariablen oft unzureichend, ..
•  ... da Zusammenhänge zwischen Variablen verloren gehen
•  Lösung:
•  Gleichzeitige Betrachtung mehrerer Zufallsvariablen
•  Beispiele:
•  Körpergröße und Gewicht einer Person
•  Konsumausgaben, Haushaltseinkommen eines Haushaltes
•  mehrere Aktienindizes (z. B. Dax, Dow Jones)
•  Augensumme und Augenprodukt beim Werfen zweier Würfel
•  Zufallsvariablen
•  Nicht nur als n Zufallsvariablen betrachtet, ...
•  ... sondern als n-dimensionale Zufallsvariable.
•  n-dimensionale Zufallsvariablen als Vektor (X1, ..., Xn) dargestellt
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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36
Stephan Schosser
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
3
36
Bivariate und Multivariate Verteilung
•  Definition (n-dimensionale Zufallsvariable)
X = (X1, X2, ..., Xn) heißt n-dimensionale Zufallsvariable und hat die folgende
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f X1,...,Xn (x1,..., xn ) = P ( X1 = x1,..., X n = xn )
•  Definition (bivariate Verteilung)
Eine bivariate Verteilung ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer zweidimensionalen Zufallsvariablen
•  Definition (multivariate Verteilung)
Ein multivariate Verteilung ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung einer drei- und mehrdimensionalen Zufallsvariablen
•  Anmerkung:
Im Folgenden nur Betrachtung zweidimensionaler Zufallsvariablen und
bivariater Verteilungen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Ziele
•  Bisher
•  Einführung und Formalisierung eindimensionaler Zufallsvariablen
•  Einführung von Lageparametern für solche Zufallsvariablen
•  Ziel des Kapitels
•  Arbeiten mit mehrdimensionalen Zufallsvariablen
•  Ziel des nächsten Kapitels
•  Lageparameter mehrdimensionaler Zufallsvariablen
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36
Stephan Schosser
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Gemeinsame Dichtefunktion
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Untersuchungsgegenstand
•  Betrachtung zweier Zufallsvariablen X und Y zu demselben Zufallsexperiment, d.h.
X:Ω→R
Y:Ω→R
•  Beispiele
•  Körpergröße und Gewicht einer Person
•  Ω: Bevölkerung (Deutschlands, Europas, ...)
•  X(ω): Körpergröße eines Einwohners ω
•  Y(ω): Gewicht eines Einwohners ω
•  Konsumausgaben, Haushaltseinkommen eines Haushaltes
•  Ω: Alle Haushalte (Deutschlands, Europas, ...)
•  X(ω): Konsumausgaben des Haushalts ω
•  Y(ω): Einkommen des Haushalts ω
•  mehrere Aktienindizes (z. B. Dax, Dow Jones)
•  Ω: Alle Aktienbündel aus je zwei Aktienindizes
•  X(ω): Wert der Aktie im ersten Aktienbündel ω
•  Y(ω): Wert der Aktie im zweiten Aktienbündel ω
WS12/13
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Definition: (Gemeinsame Verteilungsfunktion)
Für die beiden Zufallsvariablen X und Y heißt die Funktion mit
FX,Y: R2 → [0,1]
FX,Y(x,y) = P({ω|X(ω) ≤ x und Y (ω) ≤ y})
= P(X≤x,Y≤y)
die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y.
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36
Stephan Schosser
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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36
Anmerkungen
•  Intuition
Die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass sich gleichzeitig...
•  X kleiner oder gleich dem Wert x und...
•  ... Y kleiner oder gleich dem Wert y
realisieren.
•  Vergleich eindimensionale vs. zweidimensionale Zufallsvariable
•  Eindimensionale Zufallsvariable
•  Wertebereichsrand
•  Zweidimensionale Zufallsvariable
•  Wertebereichsrand
lim
FX,Y (x, y) = 0
lim
FX,Y (x, y) = 1
lim FX (x) = 0
x→ −∞,y→−∞
lim FX ( x) = 1
x→ ∞,y→∞
x→ -∞
x→ ∞
•  Monotonie
FX(x) ist monoton wachsend in x
•  Monotonie
FX,Y(x, y) ist monoton wachsend in x und y
•  Im Folgenden (analog zu Kapitel 5)
•  Erst diskrete Zufallsvariablen (gem. Wahrscheinlichkeitsfunktion)...
•  ... dann stetige Zufallsvariablen (gemeinsame Dichtefunktion)
WS12/13
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Gemeinsame Dichtefunktion
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Definition: (Gemeinsam diskrete Zufallsvariablen)
Die beiden Zufallsvariablen X und Y heißen gemeinsam diskret verteilt, falls
es endlich viele oder abzählbar unendlich viele Realisationen x1, x2, ... und y1,
y2, ... gibt, so dass
P(X=xj, Y =yk) ≥ 0
mit
... ...
∑∑ P(X = x ,Y = y ) = 1
j
gilt.
k
j=1 k=1
•  Definition: (Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Für die gemeinsam diskret verteilten Zufallsvariablen X und Y heißt die
Funktion
!# P(X = x ,Y = y )
j
k
f X,Y (x, y) = "
#$
0
für x = x j und y = yk
sonst
die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X
und Y.
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Anmerkung
•  Darstellung:
Wahrscheinlichkeitsfunktion in Wahrscheinlichkeitstabelle
•  Nur für 2-dimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Zeilen: Element der 1. Zufallsvariable
•  Spalten: Element der 2. Zufallsvariable
•  Felder: Werte der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion
Y
x1
X …
xm
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y1
…
yn
P(X=x1,Y=y1)
…
P(X=x1,Y=yn)
…
…
…
P(X=xm,Y=y1)
…
P(X=xm,Y=yn)
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Beispiel
•  Münzwurf (3x wiederholt)
•  Ereignismenge Ω = {KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ}
•  Zufallsvariable X: Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y: Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
Eindimensionale Zufallsvariable
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2-dimensionale Zufallsvariable
ω∈Ω
x
y
P({ω})
KKK
0
0
1/8
P(X=0,Y=0)
1/8
KKZ
0
1
1/8
P(X=0,Y=1)
1/8
KZK
1
1
1/8
P(X=1,Y=0)
1/8
ZKK
1
0
1/8
P(X=1,Y=1)
1/4
KZZ
1
2
1/8
P(X=1,Y=2)
1/8
ZKZ
1
1
1/8
P(X=2,Y=1)
1/8
ZZK
2
1
1/8
P(X=2,Y=2)
1/8
ZZZ
2
2
1/8
P({ω})
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Beispiel II
•  Münzwurf (3x wiederholt) (forts.)
•  Zufallsvariable X:
Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y:
Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
•  Wahrscheinlichkeitstabelle
Y
X
P(X=0,Y=0)
1/8
P(X=0,Y=1)
1/8
P(X=1,Y=0)
1/8
P(X=1,Y=1)
1/4
P(X=1,Y=2)
1/8
0
1
2
P(X=2,Y=1)
1/8
0
1/8
1/8
0
P(X=2,Y=2)
1/8
1
1/8
1/4
1/8
2
0
1/8
1/8
•  Berechnung der gemeinsamen Verteilungsfunktion
•  FX,Y(1,2) = P(X ≤ 1, Y ≤ 2)
= 1/8 + 1/8 + 0 + 1/8 + 1/4 + 1/8 = 6/8 =3/4
•  FX,Y(0.5,1.3) = P(X ≤ 0.5, Y ≤ 1.3)
= 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4
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P({ω})
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Gemeinsame Dichtefunktion
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Gemeinsame Dichtefunktion
•  Definition: (Gemeinsam stetige Zufallsvariablen)
Die beiden Zufallsvariablen X und Y heißen gemeinsam stetig verteilt, falls
sich ihre gemeinsame Verteilungsfunktion FX,Y als Doppelintegral einer
Funktion fX,Y : R2 → [0, ∞[ schreiben lässt, d.h. wenn für alle (x, y) ∈ R2 gilt
FX,Y(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)
y x
=
∫∫f
X,Y
(u,v) du dv
−∞ −∞
•  Definition: (Gemeinsame Dichtefunktion)
Die Funktion fX,Y(x, y) heißt gemeinsame Dichtefunktion von X und Y.
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Anmerkungen
•  Bei Berechnungen mit gemeinsamen stetigen Zufallsvariablen Differentialund Integralrechnung mit Funktionen mehrerer Veränderlicher nötig
(partielles Differenzieren, Doppelintegrale)
•  Bei partieller Differenzierbarkeit gilt folgender Zusammenhang zwischen
gemeinsamer Dichte- und Verteilungsfunktion:
∂2
f X,Y (x, y) =
FX,Y (x, y)
∂x∂y
•  Die gemeinsame Dichtefunktion fX,Y(x,y) von (X,Y) ist nie negativ
f X,Y (x, y) ≥ 0
für alle (x, y) ∈ R 2
•  Das Volumen unter der gemeinsamen
Dichtefunktion ist 1, d.h.
∞ ∞
∫∫f
X,Y
(x, y) dx dy = 1
-∞ -∞
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle lassen sich wie folgt ermitteln
P(x ≤ X ≤ x , y ≤ Y ≤ y ) = ∫ ∫ f (x, y)dx dy
y2 x2
1
2
1
2
X,Y
y1 x1
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel
•  Gemeinsame Gleichverteilung
•  Dichtefunktion
"$ 1
f X,Y (x, y) = #
$% 0
für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
sonst
•  Es gilt
• 
f X,Y (x, y) ≥ 0
für alle (x, y) ∈ R 2
1 1
∞ ∞
•  −∞∫ −∞∫
f X,Y (x, y) dx dy =
∫
1
∫ 1 dx dy =
0 0
1
1
∫ [ x ]0 dy
0
1
= ∫ 1 dy = [ y ]0 = 1
0
WS12/13
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Gemeinsame Dichtefunktion
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Motivation
•  Münzwurf (3x wiederholt) (forts.)
•  Zufallsvariable X: Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y: Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
•  Wahrscheinlichkeitstabelle
Y
X
0
1
2
0
1/8
1/8
0
1
1/8
1/4
1/8
2
0
1/8
1/8
•  Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für X = 2?
•  Offene Frage
Wenn gemeinsame Verteilungsfunktion FX,Y gegeben, ...
... lassen sich dann die Verteilungsfunktionen FX bzw. FY ableiten?
•  Im Folgenden: Beantwortung der Frage mit „Ja“
FX bzw. FY heißen „Randverteilung“
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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20
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Randverteilung
•  Definition: (Randverteilung)
Für die Randverteilungsfunktionen FX bzw. FY der (stetigen oder diskreten)
Zufallsvariablen (X, Y) gilt
FX (x) = lim FX,Y (x, y) = P(X ≤ x,Y ∈ R)
y→∞
FY (y) = lim FX,Y (x, y) = P(X ∈ R,Y ≤ y)
x→∞
•  Definition: (Randwahrscheinlichkeiten)
Für die Randwahrscheinlichkeiten fX(xj) bzw. fY(yj) einer gemeinsam verteilten
diskreten Zufallsvariablen (X, Y)
gilt
...
...
f X (x j ) ≡ P(X = x j ) = ∑ P(X = x j ,Y = yk ) = ∑ f X,Y (x j , yk )
k=1
...
k=1
...
fY (yk ) ≡ P(Y = yk ) = ∑ P(X = x j ,Y = yk ) = ∑ f X,Y (x j , yk )
•  Definition: (Randdichten)
j=1
j=1
Für die Randdichten fX(xj) bzw. fY(yj) einer gemeinsam verteilten stetigen
Zufallsvariablen (X, Y) gilt
∞
fY (y) =
∫f
-∞
WS12/13
∞
X,Y
(x, y) dx
f X (x) =
∫f
X,Y
-∞
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(x, y) dy
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21
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable
•  Münzwurf (3x wiederholt) (forts.)
•  Zufallsvariable X:
Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y:
Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
•  Wahrscheinlichkeitstabelle
Y
X
0
1
2
0
1/8
1/8
0
1
1/8
1/4
1/8
1/4 = P ( X = 0)
1/2 = P ( X = 1)
2
0
1/8
1/8
1/4 = P ( X = 2 )
1/4
1/2
1/4
= P (Y = 0 ) = P (Y = 1) = P (Y = 2 )
•  Randwahrscheinlichkeiten lassen sich über Zeilen- bzw. Spaltensummen der
Wahrscheinlichkeitstabellen ermitteln
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Stetige Zufallsvariable
•  Gleichverteilung
•  Dichtefunktion
"$ 1
f X,Y (x, y) = #
$% 0
•  Es gilt
∫f
-∞
sonst
1
∞
f X (x) =
für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
1
X,Y (x, y) dy = ∫ 1 dy = [ y ] 0 = 1
0
für 0 ≤ x ≤ 1 (0 sonst)
fY (y) =
∞
1
∫
f X,Y (x, y) dx = ∫ 1 dx = [ x ]0 = 1
-∞
1
0
für 0 ≤ y ≤ 1 (0 sonst)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Randverteilung vs. gemeinsame Verteilung
•  Münzwurf (3x wiederholt) (forts.)
•  Zufallsvariable X: Anzahl Z bei den ersten beiden Würfen
•  Zufallsvariable Y: Anzahl Z bei den letzten beiden Würfen
•  Hinweis:
Randverteilungen bestimmen nicht gemeinsame Verteilung
Y
X
0
1
2
0
1/16
1/8
1/16
1/4
1
1/8
1/4
1/8
1/2
2
1/16
1/8
1/16
1/4
1/4
1/2
1/4
•  Achtung:
Aus Randverteilung lässt sich gemeinsame Verteilung nicht ableiten!
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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24
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion
•  Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Gemeinsame Dichtefunktion
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Motivation
•  Intuition
Randverteilungen einer gemeinsamen Verteilung definiert den Begriff der
’Stochastischen Unabhängigkeit’ von Zufallsvariablen
•  Satz (aus Kapitel 4)
Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, so gilt:
P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
•  Übertragen auf Zufallsvariablen
P(X=x, Y=y) = P(X=x) ⋅ P(Y=y)
Y
X
Y
0
1
2
0
1/8
1/8
0
1/4
1
1/8
1/4
1/8
1/2
2
0
1/8
1/8
1/4
X
0
1
2
0
1/16
1/8
1/16
1/4
1
1/8
1/4
1/8
1/2
2
1/16
1/8
1/16
1/4
1/4 1/2 1/4
abhängig
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
1/4
1/2
1/4
unabhängig
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Stochastische Unabhängigkeit
•  Definition (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen)
Die Zufallsvariablen X und Y heißen (stochastisch) unabhängig, falls ihre
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskreter Fall) bzw. ihre
gemeinsame Dichtefunktion (stetiger Fall) dem Produkt der
Randwahrscheinlichkeiten bzw. Randdichten entspricht, d.h. falls
fX,Y(x,y) = fX(x) · fY(y) für alle x,y ∈ R
•  Definition: (Stochastische Unabhängigkeit)
Die Zufallsvariablen X und Y sind genau dann stochastisch unabhängig, falls
sich ihre gemeinsame Verteilungsfunktion als Produkt der
Randverteilungsfunktionen darstellen lässt, d.h. falls
FX,Y(x,y) = FX(x) · FY(y) für alle x,y ∈ R
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable I
•  Urnenexperiment
•  Urne mit 10 Kugeln
•  4 Kugeln 10g und die anderen Kugeln 20g
•  2 Kugeln mit Zurücklegen ziehen
•  Ereignisse
•  X: Gewicht der ersten gezogenen Kugel
•  Y: Gewicht der zweiten gezogenen Kugel
•  Randverteilung
•  P(X = 10) = 0,4; P(X = 20) = 0,6
•  P(Y = 10) = 0,4; P(Y = 20) = 0,6
•  Unabhängigkeit
•  Da mit Zurücklegen gezogen, sind X und Y unabhängig
•  Es gilt P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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28
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable II
•  Urnenexperiment (forts.)
•  Urne mit 10 Kugeln
•  4 Kugeln 10g und die anderen Kugeln 20g
•  2 Kugeln mit Zurücklegen ziehen
•  Gemeinsame Verteilung
•  P(X=10, Y=10) = P(X=10) · P(Y=10) = 0,4 · 0,4 = 0,16
•  P(X=10, Y=20) = P(X=10) · P(Y=20) = 0,4 · 0,6 = 0,24
•  P(X=20, Y=10) = P(X=20) · P(Y=10) = 0,6 · 0,4 = 0,24
•  P(X=20, Y=20) = P(X=20) · P(Y=20) = 0,6 · 0,6 = 0,36
•  Matrixdarstellung
Y
X
WS12/13
10
20
10
0,16
0,24
0,40
20
0,24
0,36
0,60
0,40
0,60
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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29
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable III
•  Urnenexperiment 2
•  Urne 1: 10 Kugeln, 2 Kugeln 10g und 8 Kugeln 20g
•  Urne 2: 10 Kugeln, 4 Kugeln 10g und 6 Kugeln 20g
•  Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen
•  Ereignisse
•  X: Gewicht der ersten gezogenen Kugel
•  Y: Gewicht der zweiten gezogenen Kugel
•  Randverteilung
•  P(X = 10) = 0,2; P(X = 20) = 0,8
•  P(Y = 10) = 0,4; P(Y = 20) = 0,6
•  Unabhängigkeit
•  Da aus jeder Urne eine Kugel gezogen, sind X und Y unabhängig
•  Es gilt P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y)
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30
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Diskrete Zufallsvariable IV
•  Urnenexperiment 2 (forts.)
•  Urne 1: 10 Kugeln, 2 Kugeln 10g und 8 Kugeln 20g
•  Urne 2: 10 Kugeln, 4 Kugeln 10g und 6 Kugeln 20g
•  Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen
•  Gemeinsame Verteilung
•  P(X=10, Y=10) = P(X=10) · P(Y=10) = 0,2 · 0,4 = 0,08
•  P(X=10, Y=20) = P(X=10) · P(Y=20) = 0,2 · 0,6 = 0,12
•  P(X=20, Y=10) = P(X=20) · P(Y=10) = 0,8 · 0,4 = 0,32
•  P(X=20, Y=20) = P(X=20) · P(Y=20) = 0,8 · 0,6 = 0,48
•  Matrixdarstellung
Y
X
WS12/13
10
20
10
0,08
0,12
0,20
20
0,32
0,48
0,80
0,40
0,60
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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31
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel – Stetige Zufallsvariable
•  Abstraktes Beispiel (forts.)
•  Dichtefunktion
"$ 1
f X,Y (x, y) = #
$% 0
für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
sonst
•  Die Randdichtefunktion fX(x) und fY(y) sind univariate Gleichverteilungen
•  Es gilt also
"1 für 0 ≤ x ≤ 1
f X (x) = #
$0 sonst
"1 für 0 ≤ y ≤ 1
fY (y) = #
$0 sonst
•  Offensichtlich gilt
⎧1 für 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
f X ( x) ⋅ fY ( y ) = ⎨
⎩0 sonst
Die Zufallsvariablen X und Y sind somit unabhängig
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
32
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Wahrscheinlichkeitstabelle
•  Randverteilung
•  Unabhängigkeit
•  Funktionen von Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
33
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Funktionen von Zufallsvariablen
•  Definition: (Funktionen von Zufallsvariablen)
Sind X und Y diskrete Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=x, Y=y) und g: D ⊂ R2 → R eine Funktion. Dann
gilt für die Zufallsvariable V=g(X,Y):
P(V = v) =
∑
P(X = x,Y = y)
{( x,y)|g( x,y)=v}
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Beispiel I
•  Urnenexperiment 2 (forts.)
•  Urne 1: 10 Kugeln, 2 Kugeln 10g und 8 Kugeln 20g
•  Urne 2: 10 Kugeln, 4 Kugeln 10g und 6 Kugeln 20g
•  Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen
•  Ereignisse
•  X: Gewicht der ersten gezogenen Kugel
•  Y: Gewicht der zweiten gezogenen Kugel
•  Randverteilung
•  P(X = 10) = 0,2; P(X = 20) = 0,8
•  P(Y = 10) = 0,4; P(Y = 20) = 0,6
Y
X
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10
20
10
0,08
0,12
0,20
20
0,32
0,48
0,80
0,40
0,60
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Beispiel II
•  Urnenexperiment 2 (forts.)
•  Urne 1: 10 Kugeln,
2 Kugeln 10g und 8 Kugeln 20g
•  Urne 2: 10 Kugeln,
4 Kugeln 10g und 6 Kugeln 20g
•  Aus jeder Urne wird
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Mehrdimensionale Zufallsvariablen
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Y
X
10
20
10
0,08
0,12
0,20
20
0,32
0,48
0,80
0,40
0,60
eine Kugel gezogen
•  Neues Ereignis: V = X + Y
•  Wahrscheinlichkeitsverteilung
•  P(V = 20) = P(X = 10, Y=10) = 0,08
•  P(V = 30) = P(X = 10, Y=20) + P(X = 20, Y=10) = 0,44
•  P(Y = 40) = P(X = 20, Y=20) = 0,48
•  Neues Ereignis: W = X ·∙ Y
•  Wahrscheinlichkeitsverteilung
•  P(V = 100) = P(X = 10, Y=10) = 0,08
•  P(V = 200) = P(X = 10, Y=20) + P(X = 20, Y=10) = 0,44
•  P(Y = 400) = P(X = 20, Y=20) = 0,48
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
36
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
36
Mehrdimensionale Zufallsvariablen - Übersicht
•  Gemeinsame Verteilungsfunktion •  Randverteilung
•  FX,Y(x,y) = P(X≤x,Y≤y)
F (x) = lim F (x, y) = P(X ≤ x,Y ∈ R)
•  Es gilt
F (y) = lim F (x, y) = P(X ∈ R,Y ≤ y)
X
Y
• 
x→ −∞,y→−∞
• 
x→ ∞,y→∞
lim
lim
FX,Y (x, y) = 0
FX,Y (x, y) = 1
•  FX,Y(x, y) ist monoton wachsend
y→∞
x→∞
fX,Y(x,y) = fX(x) · fY(y) für alle x,y ∈ R
FX,Y(x,y) = FX(x) · FY(y) für alle x,y ∈ R
•  Gemeinsame Wahrs.fkt.
f X,Y (x, y) = P(X = x j ,Y = yk )
•  Gemeinsame Dichtefunktion
2
WS12/13
X,Y
•  Unabhängigkeit
in x und y
f X,Y (x, y) =
X,Y
∂
FX,Y (x, y)
∂x∂y
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