¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2012

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2012-2013
Übungsblatt 4
12. November 2012
Aufgabe 10 (4 Punkte): Sei
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
mit
P((i, j)) = 1/36
der Wahrscheinlichkeitsraum (Laplaceraum), der das Zufallsexperiment des
zweimaligen Würfelns mit einem fairen Würfel beschreibt.
X((i, j)) = i + j
sei die Zufallsvariable, die die Summe der Augenzahlen beider Würfe angibt.
Berechnen Sie mit R
A
Erwartungswert und
B
Varianz
von X.
Lösung:
A
Zunächst berechne man die 36 Werte der Zufallsvariable X auf Ω. Diese
Werte werden mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert
(hier alle = 1/36) und aufsummiert.
>
>
>
+
+
>
X <- numeric(36)
k <- 0
for(i in 1:6)
for(j in 1:6)
X[k <- k+1] <- i+j
X
[1]
[23]
2 3
9 10
4
6
5
7
6
8
7 3 4
9 10 11
5
7
6
8
7 8 4 5
9 10 11 12
6
7
8
9
> E <- sum(1/36*X)
> E
[1] 7
Die Lösung mit der Doppelschleife ist nicht sehr elegant, aber hoffentlich
einfach zu verstehen.
B
Man berechne zunächst E(X 2 ) und dann mit der Formel
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2
die Varianz.
> E2 <- sum(1/36*X^2)
> VAR <- E2 - E^2
> VAR
[1] 5.833333
Aufgabe 11 (4 Punkte): Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit
Parameter λ > 0. Berechnen Sie
A
Erwartungswert und
B
Varianz
von X.
Hinweis: Benutzen Sie die Normierungsbedingung
∞
X
e−λ
k=0
λk
=1
k!
der Poissonverteilung. Beachten Sie, dass k/k! = 1/(k − 1)! und k(k − 1)/k! =
1/(k − 2)! für k > 0 bzw. k > 1 gelten. Für die Berechnung der Varianz ist die
Formel
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2
hilfreich. Berechnen Sie aber zunächst
E(X 2 ) − E(X).
Lösung:
5
6
7
8
A
E(X) =
=
=
∞
X
k=0
∞
X
k=1
∞
X
ke−λ
λk
k!
ke−λ
λk
k!
e−λ
k=1
∞
X
= λ
k=1
∞
X
= λ
λk
(k − 1)!
e−λ
λk−1
(k − 1)!
λk
=λ
(k)!
{z
}
e−λ
|k=0
=1 Normierung!
B
Berechne zunächst E(X 2 ) − E(X).
2
E(X ) − E(X) =
=
∞
X
k=0
∞
X
2 −λ λ
k e
k
k!
−
∞
X
k=0
k(k − 1)e−λ
λk
k!
k(k − 1)e−λ
λk
k!
k=0
=
∞
X
k=2
=
∞
X
e−λ
k=2
2
= λ
= λ2
∞
X
|k=0
λk
k!
λk
(k − 2)!
e−λ
k=2
∞
X
ke−λ
λk−2
(k − 2)!
λk
k!
{z }
e−λ
=1 Normierung!
2
= λ
Mit E(X) = λ folgt daraus E(X 2 ) = λ2 + λ und schließlich
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = λ2 + λ − λ2 = λ.
Aufgabe 12 (4 Punkte): In einem Schwimmbad gebe es n = 150 Garderobenschränke. Paul besucht jede Woche einmal das Schwimmbad und wählt
dabei zufällig einen der n = 150 Schränke aus. Wie oft muss Paul schwimmen
gehen, damit er jeden Schrank mindestens einmal benutzt hat?
Genauer: Sei Z die Anzahl der Besuche des Schwimmbades, die Paul braucht,
bis er jeden Schrank mindestens einmal benutzt hat. Gefragt ist nach dem
Erwartungswert von Z.
Machen Sie folgende idealisierende Annahmen:
A
Bei jedem Besuch wird jeder Schrank mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
ausgewählt (Laplaceannahme).
B
Die Wahl des Garderobenschranks ist bei jedem Besuch unabhängig von
allen anderen Auswahlen.
Hinweis: Gehen Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Punkte durch:
A
Paul habe schon k der n Schränke mindestens einmal benutzt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nun diesmal einen noch nie
gewählten Schrank nimmt?
B
Seien schon k (k = 0, . . . , n − 1) Schränke mindestens einmal von Paul
benutzt worden, und sei Zk die Anzahl der Besuche bis wieder ein noch
nie benutzter Schrank von Paul ausgewählt wird.
Wie ist die Zufallsvariable Zk verteilt? Was ist ihr Erwartungswert?
C
Wie kann Z durch die Z0 , Z1 , . . . , Zn−1 dargestellt werden?
D
Benutzen Sie, dass der Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariable 1/p ist. p ist dabei die Wahrscheinlichkeit für einen “Treffer“.
E
Berechnen Sie mit R die für die Lösung benötigte harmonische Reihe
P
n
1
k=1 k .
Lösung: Da n − k von k Schränken von Paul noch nie benutzt wurden, sind
die Zk geometrisch verteilt mit Trefferwahrscheinlichkeiten (n − k)/n (k =
0, . . . , n − 1.
Der Erwartungswert E(Zk ) von Zk ist dann laut Skript n/(n − k).
Offensichtlich gilt
Z = Z0 + · · · + Zn−1
und damit
n−1
X
1 1
1
E(Z) = E(Z0 ) + · · · + E(Zn−1 ) =
n/(n − k) = n 1 + + + · · · +
.
2
3
n
k=0
Mit R ergibt das
> n <- 150
> n*sum(1/(1:n))
[1] 838.6771
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 18.11.2012 direkt an
Ihre(n) Tutor(in):
[email protected] (Franziska Metge).
[email protected] (Stina Richter)
[email protected] (Ivo Parchero)