Topologie

Topologie
Vorlesungs-Skript
Prof. Dr. Horst Knörrer
Mitschrift
Roman Cattaneo
FS 2011
Committed: Friday 22nd April, 2011
20:53:07
Revision 1845
Contents
Contents
1
1
3
3
5
Grundbegriffe
1.1 Erinnerung an metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Der Begriff des topologischen Raumes . . . . . . . . . . . . . .
Anmerkung
• Diese Mitschrift wird nicht mehr weitergeführt. Wer Lust und Zeit
hat, darf sie gerne übernehmen.
• Obwohl es nur ein, zwei Wochen Vorlesungsmitschrift sind, kann es
doch sein, dass sich selbst darin noch Fehler finden.
1
Einleitung
Anwendungen der Topologie
Es gibt 2 Hauptanwendungen:
• Funktionalanalysis (Topologien auf unendlich-dimensionalen Vektorräumen)
• Algebraische Topologie (Klassifikation von Räumen bis auf Homeomorphismen). Dabei ordnet man algebraische Objekte den topologischen Räumen zu.
2
Chapter 1
Grundbegriffe
1.1
Erinnerung an metrische Räume
(Jänich 1.2)
Definition 1.1.1:
Ein metrischer Raum ist ein Paar ( X, d), wobei X ein
Menge und d (die Metrik) eine Abbildung d : X × X → R, sodass
i) d( x, y) ≥ 0
∀ x, y ∈ X
d( x, y) = 0
⇔
x=y
ii) d( x, y) = d(y, x )
iii) d( x, z) ≤ d( x, y) + d(y, z)
“Dreiecksungleichung”
Beispiel 1.1.1:
Wie aus der Analysis bekannt sind die folgenden Metriken
n
auf R alle äquivalent:
s
n
• X = Rn , d( x, y) =
∑ ( x i − y i )2
i =1
• X = Rn , d( x, y) = max | xi − yi |
i =1,··· ,n
n
• X = Rn , d( x, y) = ∑ | xi − yi |
i =1
• X=
Rn ,
1
n
p
p
d( x, y) = ∑ | xi − yi | i =1
Dies wird auch in den Übungen gezeigt werden.
Die folgenden beiden Metriken auf dem Funktionenraum sind nicht
äquivalent (Übung)
• X = {Funktionen auf [0, 1]}, d( f , g) := sup | f ( x ) − g( x )|
x ∈[0,1]
• X = C0 ([0, 1]), d( f , g) =
R1
0
| f ( x ) − g( x )| dx
3
1. Grundbegriffe
Teilmengen von metrischen Räumen sind wieder metrische Räume.
Sind ( X1 , d1 ) und ( X2 , d2 ) metrische Räume, so ist auch ( X, d) mit den
folgenden Definitionen ein metrischer Raum
X = X1 × X2
(1.1)
d(( x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 ( x1 , y1 ) + d2 ( x2 , y2 )
(1.2)
Sei ( X, d) ein metrischer Raum. V ⊂ X heisst offen,
Definition 1.1.2:
falls
∀ x ∈ V ∃ε > 0 : Kε ( x ) := {y ∈ X |d( x, y) < ε} ⊂ V
(1.3)
B ⊂ V heisst abgeschlossen, falls X \ B offen ist.
Bemerkung 1.1.1:
Viele Dinge aus der Analysis basieren nur auf
dem Konzept der offenen Mengen, so zum Beispiel
• Konvergenz von Folgen
• Stetigkeit
• Kompaktheit
Für viele grundlegende Begriffe ist also die Metrik an sich gar nicht so
wichtig, sondern nur das Konzept der offenen Mengen.
Bemerkung 1.1.2 (Erinnerung:):
Eine Folge ( xn ) konvergiert gegen
x ⇔ Für jede offene Menge V, die x enthält, ein n0 gibt, sodass ∀n ≥
n0 : x n ∈ V
Definition 1.1.3:
Zwei Metriken d, d0 auf X heissen äquivalent, wenn
ihre Systeme von offenen Mengen übereinstimmen.
Das heisst, wenn eine Menge ist in der einen Metrik genau dann offen,
wenn sie in der anderen Metrik offen ist.
Beispiel 1.1.2:
0, sodass
Gibt es für jedes x ∈ X und jedes ε > 0 Zahlen δ1 , δ2 >
Kδ0 1 ( x ) ⊂ Kε ( x )
Kδ2 ( x ) ⊂ Kε0 ( x )
(1.4)
(mit K bezüglich d und K 0 bezüglich d0 ), so sind d, d0 äquivalent.
Beispiel 1.1.3:
Seit X = R2 und
q
d( x, y) = ( x1 − y1 )2 + ( x2 − y2 )2
d0 ( x, y) = max| xi − yi |
i =1,2
(1.5)
Bemerkung 1.1.3:
Als Übung werden wir zeigen, dass alle Metriken
auf Rn äquivalent, aber auf Funktionenräumen substantiell verschieden
sind.
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Monday 21st February, 2011
1.2
Der Begriff des topologischen Raumes
Der Begriff des topologischen Raumes
(Jänich 1.1)
Definition 1.2.1:
Ein topologischer Raum ist ein Paar ( X, O) bestehend
aus einer Menge X und einem System O von Teilmengen von X (die
offen genannt werden), sodass gilt
Axiom 1: Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen.
Axiom 2: Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Axiom 3: Die leere Menge ∅ und die gesamte Menge X sind offen.
Bemerkung 1.2.1:
Es gibt auch topologische Räume, die nicht von
metrischen Räumen herkommen und das ist, was wir in der Vorlesung
machen werden.
Beispiel 1.2.1 (von Topologien, die nicht von Metriken herkommen):
Triviale Topologie: auf X: O = X, ∅
1.
2. diskrete Topologie: “alle Teilmengen sind offen”
Bemerkung 1.2.2:
Ist ( X, d) ein metrischer Raum und O das System
der offenen Mengen (wie oben definiert), so ist ( X, O) ein topologischer
Raum.
Beweis 1.2.1 (der Behauptung):
• iii ) offensichtlich
• ii ) Seien O1 , · · · , On offen und x ∈ O1 ∩ · · · ∩ On . Nach Voraussetzung gibt es ε 1 , · · · , ε n sodass Kε i ( x ) ⊂ Oi ,
i = 1, · · · , n. Setze
dann ε := min ε 1 , ε n
Kε ( x ) ⊂ O1 ∩ · · · ∩ On
Bemerkung 1.2.3:
Sei X = R mit der Standardmetrik. Dann ist
\
K 1 (0) = {0}
n
{z }
n ∈N |
Definition 1.2.2:
(1.6)
offen
Sei ( X, O) ein topologischer Raum.
i) A ⊂ X heisst abgeschlossen ⇔ X ⊂ A ist offen
ii) Sei x ∈ X. Eine Teilmenge U von X heisst Umgebung von X, wenn
es eine offene Menge V gibt mit x ∈ V ⊂ U.
5
1. Grundbegriffe
iii) Sei B ⊂ X und x ∈ X.
• x heisst innerer Punkt von B, falls B eine Umgebung von x ist.
• x heisst äusserer Punkt von B, falls X ⊂ B eine Umgebung von
x ist.
• x heisst Randpunkt, falls x weder ein innerer, noch ein äussere
Punkt ist.
Definition 1.2.3:
Wir definieren
• B̊ := Menge der inneren Punkte
• B := Menge der äusseren Punkte
• ∂B := B \ B̊
Bemerkung 1.2.4:
B̊ ist offen, denn für jeden Punkt gibt eine offene
Umgebung, die ganz in U enthalten sind.
B ist abgeschlossen, weil sein Komplement offen ist.
Bemerkung 1.2.5:
O ist offen ⇔ O = O̊
A ist abgeschlossen ⇔ A = A
1.3
Unterräume, Summen, Produkte
Definition 1.3.1 (Teilraum):
Sei ( X, O) ein topologischer Raum und
Y ⊂ X irgendeine Teilmenge von X.
O|Y := {U ∩ Y |U ∈ O}
(1.7)
ist definiert als Teilraumtopologie auf Y.
Wir prüfen die Axiome nach:
Axiom 1: Sei (Uλ0 )λ∈Λ ein System von Mengen in O|Y . Für jedes λ gib es
Uλ ∈ O mit Uλ0 = Uλ ∩ Y
[
λ∈Λ
Uλ0 =
[
(Uλ ∩ Y )
[
=(
Uλ ) ∩Y
λ∈Λ
|
{z
}
offen in X
6
(1.8)
λ∈Λ
(1.9)
Monday 28th February, 2011
Basen und Subbasen
Axiom 2: analog zu 1.
Axiom 3: Ø = Y ∩ Ø, Y = Y ∩ X
Definition 1.3.2 (Summe, disjunkte Vereinigung):
Mengen, so sei
X + Y = X ∪˙ Y = X × {0} ∩ Y × {1}
Sind X, Y irgendwelche
(1.10)
Sind O1 , O2 Topologien auf X, Y, so ist
O = {V1 ∪˙ V2 |V1 ⊂ O1 , V2 ⊂ O2 }
(1.11)
eine Topologie auf X + Y.
Definition 1.3.3:
Seien X, Y topologische Räume.
Das Produkt X × Y wird folgendermassen mit der Produkttopologie versehen:
• W ⊂ X × Y heisst offen, wenn es für jedes ( x, y) ∈ W Umgebungen U von x in X und V von y in Y gibt, sodass U × V ⊂ W.
1.4
Basen und Subbasen
Sei ( X, O) ein topologischer Raum.
Definition 1.4.1:
1) B ⊂ O heisst Basis der Topologie, falls jede offene
Menge die Vereinigung von B ist.
2) Σ ⊂ O heisst Subbasis, falls jede offene Menge die Vereinigung endlicher
Durchschnitte von Mengen in Σ ist.
Beispiel 1.4.1:
• {U × V |U offen in Y } ist eine Basis der Produkttopologie auf X × Y.
• Menge der offenen Kugeln in Rn mit rationlen Radien und Mittelpunkten mit rationalen Koordinaten ist eine Basis der Topologie, (die abzählbar (!) ist).
Bemerkung 1.4.1:
Ist Σ irgendein System von Teilmengen, so gibt es
eine (eindeutige) Topologie, die Σ als Subbasis hat. (Dies ist die gröbste
Topologie, die alle Elemente von Σ enthält.)
Die aller gröbste Topologie ist also die triviale Topologie und die feinste
Topologie ist dann die diskrete Topologie.
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1. Grundbegriffe
1.5
Stetige Abbildungen
Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
Definition 1.5.1:
f heisst stetig, falls für jede offene Menge U ⊂ Y
das Urbild f −1 (U ) offen in X ist.
f heisst Homöomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f , als auch f −1
stetig sind.
Bemerkung 1.5.1:
Eines der Ziele der Topologie ist es, Räume bis auf
Homöomorphie zu klassifizieren. Für Topologen sind daher homöomorphe Räume im wesentlichen gleich.
Bemerkung 1.5.2:
Hintereinanderschaltungen stetiger Abbildungen
sind stetig. (Dies müssen wir nun - im Kontext allgemeiner topologischer Räume - beweisen.)
f
g
Sei X −
→Y−
→ Z. Und sei U ⊂ Z.
Dann ist ( g ◦ f )−1 (U ) = f −1 ( g−1 (U )).
Bemerkung 1.5.3:
mengen sind stetig.
Einschränkungen stetiger Abbildungen mit Teil-
Bemerkung 1.5.4:
Ist f : X → Y und hat jedes x ∈ X eine Umgebung U ( x ) sodass f |U (x) stetig ist, so ist f überhaupt stetig.
Beweis 1.5.1:
Sei V ⊂ Y offen. Für jedes x ∈ X sei U 0 ( x ) ⊂ U ( x )
eine offene Umgebung von x.
Da f |U (x) stetig ist, ist auch f |U 0 (x) stetig. Deswegen ist ∀ x ∈ X
f −1 (V ) ∩ U 0 ( x ) offen
(1.12)
und daraus folgt nun
f −1 ( V ) =
[
f −1 (V ) ∩ U 0 ( x ) ist offen in X.
(1.13)
x∈X
1.6
Zusammenhang
Definition 1.6.1:
Ein topologischer Raum heisst zusammenhängend,
falls er sich nicht als disjunkte Vereinigung zweier nicht leerer offener
Teilmengen schreiben lässt.
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Monday 28th February, 2011
Beispiel 1.6.1:
menhängend.
Zusammenhang
Intervalle in R (mit Standardtopologie) sind zusam-
Beweis 1.6.1:
(vgl auch Analysis II).
Sei I ein Intervall. Annahme:
I = A∪˙ B
A, B offen, nicht leer
(1.14)
Sei a ∈ A, b ∈ B und o.B.d.A. a < b
s := inf { x ∈ B| a < x }
(1.15)
Die Menge ist nicht leer, weil b ∈ B und nach unten beschränkt (durch
a).
b ≤ s ≥ a, also liegt s ∈ I, aber s 6∈ B, denn wäre s ∈ B, so wäre s > a.
Und damit, da B offen ist, gibt es ε > 0, so dass
s−ε ∈ B
und
s−ε > 0
(1.16)
Daraus folgt nun, dass s in dem Fall nicht das Infimum wäre.
s 6∈ A: Denn wäre s ∈ A, so gäbe es ein ε > 0, sodass
[s, s + ε) ⊂ A ⇒ s + ε/2 < x
∀ x ∈ B mit x > a
(1.17)
Somit haben wir einen Widerspruch, weil s 6∈ A und s 6∈ B. Also ist
I = A ∪ B.
Bemerkung 1.6.1:
Intervalle sind also die Archetypen der zusammenhängenden Räume. Es ist aber
[0, 1] × (2, 3)
(1.18)
nicht zusammenhängend.
Definition 1.6.2:
Ein topologischer Raum X heisst wegzusammenhängend,
falls es für alle x1 , x2 ∈ X eine stetige Abbildung
α : [0, 1] → X
Bemerkung 1.6.2:
α(0) = x1 und α(1) = x2
mit
(1.19)
Wegzusammenhang ⇒ Zusammenhang.
Beweis 1.6.2:
Sei X wegzusammenhängend.
Annahme: Es gibt A, B ⊂ X, die offen und nicht leer sind, sodass X =
A∪˙ B.
Sei a ∈ A, b ∈ B. Dann gibt es eine stetige Abbildung
α : [0, 1] → X
mit
α(0) = a und α(1) = b
(1.20)
9
1. Grundbegriffe
Dann sind α−1 ( A) und α−1 ( B) nicht leere offene Teilmengen von [0, 1],
weil aber
α−1 ( A) ∩ α−1 ( B) = ∅ und α−1 ( A) ∪ α−1 ( B) = [0, 1]
(1.21)
haben wir einen Widerspruch zum Zusammenhang von [0, 1] gefunden.
Bemerkung 1.6.3:
Bilder (weg)zusammenhängeder Räume unter stetigen Abbildung sind wieder (weg)zusammenhänged.
1.7
Das Hausdorffsche Trennungsaxiom
Definition 1.7.1:
Ein topologischer Raum heisst Hausdorffsch, falls es
für alle x, y ∈ X Umgebungen U ( x ) und V (y) gibt und U ( x ) ∩ V (y) =
∅.
Beispiel 1.7.1:
• Ist d eine Metrik auf X und die Topologie die
Topologie der Metrik, so ist X Hausdorffsch. (Alle metrischen
Räume sind Hausdorffsch.)
• | X | ≥ 2 mit der trivialen Topologie auf X ist nicht Hausdorffsch.
Definition 1.7.2:
Sei X irgendein topologischer Raum und ( xn ) eine
Folge in x.
x heisst Grenzwert der Folge, falls für jede Umgebung U von x ∃n0 ∈ N :
∀n ≥ n0 gilt: xn ∈ U.
Bemerkung 1.7.1:
Falls X Hausdorffsch, so ist der Grenzwert (falls
er existiert) eindeutig.
1.8
Kompaktheit
Definition 1.8.1:
Ein topologischer Raum X heisst kompakt, wenn jede
offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.
S
D.h. Sind (Uλ )λ∈Λ ein System offener Mengen mit X = ˙ Uλ , so gibt
λ∈Λ
es λ1 , λ2 , · · · , λn mit
X = Uλ1 ∪ Uλ2 ∪ · · · ∪ Uλn
(1.22)
Bemerkung 1.8.1:
Die kompakten Teilräume von Rn sind gerade die
abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen (Satz von Heine-Borel).
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Monday 28th February, 2011
Beispiel 1.8.1:
Kompaktheit
X = (0, 1) ist nicht kompakt, weil X =
S
n ∈N
1
1
n, 1 − n
Definition 1.8.2:
Ein topologischer Raum heisst folgenkompakt, falls
jede Folge eine Teilfolge mit einem Grenzwert hat.
Satz 1.8.1:
Kompaktheit impliziert Folgenkompaktheit.
Für metrische Räume gilt auch die
Bemerkung 1.8.2 (zum Satz):
Rückrichtung.
Beweis 1.8.1 (des Satzes):
Satz 1.8.2:
Y kompakt.
vgl. Jänich oder als Übung.
Sind X, Y kompakte Räume, so ist auch das Produkt X ×
Beweis 1.8.2:
Sei (W )λ∈Λ eine offene Überdeckung von X × Y. (Der
Beweis geht über mehrere Schritte.)
(A) Wähle für alle ( x, y) ∈ X × Y ein λ( x, y) mit ( x, y) ∈ Wλ(x,y) .
Nach der Definition der Produkttopologie können wir offene Umgebungen
U ( x, y) von x
und
V ( x, y) von y
(1.23)
mit U ( x, y) × V ( x, y) ⊂ (W )λ∈Λ .
(B) Für ein festes x ist (V ( x, y))y∈Y eine offene Überdeckung von Y.
Und enthält somit also eine endlich Teilüberdeckung
V ( x, y1 ( x )), · · · , V ( x, yn(x) ( x ))
(1.24)
Wir definieren nun
U ( x ) := U ( x, y1 ( x )) ∩ · · · ∩ U ( x, yn(x) ( x ))
(1.25)
was eine offene Umgebung von x in X ist.
Betrachten wir nun U ( x ) × Y
U ( x ) × Y ⊂ U ( x, y1 ( x )) × V ( x, y1 ( x )) ∪ · · · ∪ U ( x, yn(x) ( x )) × V ( x, yn(x) ( x ))
(1.26)
⊂ Wλ1 (x,y1 (x)) ∪ · · · ∪ Wλn(x) (x,yn(x) (x))
(1.27)
11
1. Grundbegriffe
(C) (U ( x )) x∈X ist offene Überdeckung von X, enthält also eine endliche
Teilüberdeckung U ( x1 ), · · · , U ( xn ).
⇒ X × Y ⊂ U ( x1 ) × Y ∪ U ( x2 ) × Y ∪ · · · ∪ U ( x n ) × Y
⊂
( xi )
n n[
[
Wλ j ( xi , y j ( xi ))
(1.28)
(1.29)
i =1 j =1
Satz 1.8.3:
Bilder kompakter Räume unter stetigen Abbildungen sind
wieder kompakt.
Diese Mitschrift wird nicht mehr weiter geführt.
Wer Lust hat, darf sie gerne übernehmen.
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