Aufgabe 1 (4+4+4=12 Punkte) Lösung

Aufgabe 1
(4+4+4=12 Punkte)
(a) Bestimmen Sie Primfaktorzerlegungen der Zahlen:
a = 120,
b = 225
und c = 315
(b) Bestimmen Sie ggT(a, b, c) und kgV(a, b, c).
(c) Erstellen Sie ein Teilerdiagramm von einer der drei Zahlen a, b, c.
Hinweis: Der Aufwand für die Erstellung des Teilerdiagramms ist bei den einzelnen Zahlen
recht unterschiedlich.
Lösung:
(a) a = 23 · 31 · 51 ,
b = 32 · 52 ,
c = 32 · 51 · 71
(b) ggT(a, b, c) = 20 · 31 · 51 · 70 = 15,
kgV(a, b, c) = 23 · 32 · 52 · 71 = 12600
(c) Am einfachsten ist das Teilerdiagramm von b:
32 · 52 = b
HH
H
H
31 · 52 = 75
H
HH
H
30 · 52 = 25
H
32 · 51 = 45
H
HH
H
31 · 51 = 15
HH
H
H
32 · 50 = 9
HH
H
30 · 51 = 5
31 · 50 = 3
HH
H
H
30 · 50 = 1
Hier noch die Teilerdiagramme von a und c:
23 · 31 · 51 = a
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
23 · 30 · 51 = 40
Q
Q
23 · 31 · 50 = 24
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
3
0
0
22 · 31 · 51 = 60
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
22 · 30 · 51 = 20
Q
Q
2 ·3 ·5 =8
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
22 · 31 · 50 = 12
21 · 31 · 51 = 30
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
22 · 30 · 50 = 4
Q
Q
21 · 30 · 51 = 10
Q
Q
21 · 31 · 50 = 6
20 · 31 · 51 = 15
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
21 · 30 · 50 = 2
Q
Q
20 · 30 · 51 = 5
Q
20 · 31 · 50 = 3
Q
Q
Q
Q
20 · 30 · 50 = 1
32 · 51 · 71 = c
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
32 · 50 · 71 = 63
Q
Q
32 · 51 · 70 = 45
31 · 51 · 71 = 105
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
32 · 50 · 70 = 9
Q
Q
31 · 50 · 71 = 21
31 · 51 · 70 = 15
30 · 51 · 71 = 35
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
31 · 50 · 70 = 3
Q
Q
Q
30 · 50 · 71 = 7
30 · 51 · 70 = 5
Q
Q
Q
Q
30 · 50 · 70 = 1
Aufgabe 2
(4+4=8 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für alle a, b, u, v ∈ Z gilt:
a|u ∧ b|v
⇒
(a · b) | (u · v)
(b) Es existiert eine Zahl n ∈ N mit 120 | 10n .
Lösung:
(a) Die Aussage ist wahr.
Beweis:
a | u ∧ b | v ⇒ ∃x ∈ Z : u = x · a
∧
∃y ∈ Z : v = y · b
⇒ u · v = (x · a) · (y · b) = (x · y ) · (a · b)
|{z}
∈Z
⇒ (a · b) | (u · v)
(b) Die Aussage ist falsch.
Beweis: Angenommen, es gäbe ein n ∈ N mit 120 | 10n . Wegen 3 | 120, wäre dann
auch 3 | 10n (Transitivität der Teilbarkeitsrelation). Da aber 3 ∈ P ist, müsste 3 dann
in der PFZ von 10n vorkommen. Dies wäre nur möglich, wenn 3 in der PFZ von 10
vorkäme, was nicht der Fall ist, denn diese ist 10 = 2 · 5.
Aufgabe 3
(5+5=10 Punkte)
Begründen Sie kurz Ihre Antworten.
(a) Mit dem Sieb des Erathostenes sollen alle Primzahlen zwischen 1, . . . , 300 ermittelt werden. Es wurden bereits alle Vielfachen der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 gestrichen
(natürlich mit Ausnahme dieser Zahlen selbst). Bestimmen Sie alle Zahlen, die jetzt
noch gestrichen werden müssen.
(b) Bestimmen Sie alle Zahlen aus 1, . . . , 300, die genau 9 positive Teiler haben.
Lösung:
(a)
• Die nächste Primzahl, deren Vielfachen zu streichen sind, ist die 13. Dabei müssen
nur noch die Vielfachen von 13 gestrichen werden, die von der Form 13 · p mit
p ∈ P und p ≥ 13 sind. Also:
132 = 169
13 · 17 = 221
13 · 19 = 247,
13 · 23 = 299
• Ebenso werden nun die Zahlen der Form 17 · p mit p ∈ P und p ≥ 17 gestrichen,
dies ist nur die Zahl 172 = 289.
• Wegen 192 > 300 ist nun keine weitere Zahl mehr zu streichen.
Die zu streichenden Zahlen sind:
169, 221, 247, 299, 289.
(b) Die Zahlen x ∈ N mit genau 9 positiven Teilern, haben eine der folgenden Primfaktorzerlegungen:
• x = p8 In 1, . . . , 300 ist dies nur die Zahl 28 = 256.
• x = p2 · q 2 mit p 6= q In 1, . . . , 300 sind dies nur die Zahlen:
22 · 32 = 36,
Die gesuchten Zahlen sind:
22 · 52 = 100,
22 · 72 = 196,
256, 36, 100, 196, 225
32 · 52 = 225
Aufgabe 4
(4+2+6=12 Punkte)
(a) Bestimmen Sie ggT(1477, 217).
Hinweis: Das Finden der Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen ist recht aufwändig. Daher
ist es sinnvoller den Euklidischen Algorithmus zu benutzen.
(b) Begründen Sie, dass eine der folgenden beiden Diophantischen Gleichungen in Z × Z
lösbar ist (welche?), und die andere nicht:
1477 · x + 217 · y = 20
1477 · x + 217 · y = 21
(c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung aus (b), die Lösungen hat.
Lösung:
(a) Euklidischer Algorithmus:
(1) 1477 = 6 · 217 + 175
(2) 217 = 1 · 175 + 42
(3) 175 = 4 · 42 + 7
(42 = 6 · 7)
Folglich ist ggT(1477, 217) = 7.
(b) Wegen ggT(1477, 217) = 7 - 20 ist die erste der beiden Gleichungen nicht lösbar.
Wegen ggT(1477, 217) = 7 | 21 ist die zweite der beiden Gleichungen lösbar.
(c) Wir betrachten also die Gleichung 1477 · x + 217 · y = 21 .
• Zunächst bestimmen wir eine Lösung der Gleichung mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus (Fortsetzung von (a)):
7
(3)
=
(2)
=
=
(1)
=
=
Also:
175 − 4 · 42
175 − 4 · (217 − 1 · 175)
5 · 175 − 4 · 217
5 · (1477 − 6 · 217) − 4 · 217
5 · 1477 − 34 · 217
7 = 1477 · 5 + 217 · (−34)
·3
=⇒
21 = 1477 · 15 + 217 · (−102)
Somit ist (x0 , y0 ) = (15, −102) eine Lösung der Gleichung.
• Nach der Vorlesung ergibt sich nun die Lösungsmenge als:
217
1477
L=
15 + t ·
, −102 − t ·
; t ∈ Z = {(15 + 31 · t, −102 − 211 · t) ; t ∈ Z}
7
7
Aufgabe 5
(8 Punkte)
Lösen Sie die folgende Kongruenz:
6 · x + 14 ≡ 6 mod 20
Beschreiben Sie die Lösungen mit einer oder mehreren vollständig aufgelösten Kongruenzen zum Modul 20.
Lösung:
6x + 14 ≡ 6 mod 20
−14
⇐⇒
:2
⇐⇒
6x ≡ −8 mod 20
3x ≡ −4 mod
20
ggT(2, 20)
| {z }
=10
·7, (∗)
⇐⇒
21x≡x, −28≡2
21x ≡ −28 mod 10
⇐⇒
x ≡ 2 mod 10
⇐⇒
∃u ∈ {0, 1} mit: x ≡ 2 + u · 10 mod 20
⇐⇒
x ≡ 2 mod 20 ∨ x ≡ 12 mod 20
Zur Erläuterung von (∗): Man kann die Kongruenz vereinfachen, indem man mit einer
Zahl u ∈ Z multipliziert, für die u · 3 ≡ 1 mod 10 ist. Offenbar ist u = 7 eine solche Zahl,
denn es ist 7 · 3 = 21 ≡ 1 mod 10. Weiterhin ist zu beachten, dass die Multiplikation mit
7 wegen ggT(7, 10) = 1 in der Tat auch eine Äquivalenzumformung ist.
Aufgabe 6
(2+(4+4)=10 Punkte)
(a) Bestimmen Sie ϕ(16).
(b) Gegeben sei eine Zahl a ∈ N. Welchen Rest hat a8 bei Divison durch 16, wenn
(i) a ungerade ist?
(ii) a gerade ist?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Hinweis: Verwenden Sie in einem der beiden Fälle das Ergebnis aus (a) und den Satz von Euler.
Lösung:
(a) ϕ(16) = ϕ 24 = 24 − 23 = 16 − 8 = 8.
(b) Es ist 16 = 24 .
(i) Falls a ungerade ist, ist ggT(a, 16) = 1. Daher ist dann nach dem Satz von Euler
(a)
a8 = aϕ(16) ≡ 1 mod 16
Folglich hat a8 dann Rest 1 bei Divivion durch 16.
(ii) Falls a gerade ist, gilt 2 | a. Folglich gilt 16 = 24 | a4 und wegen a4 | a8 folgt 16 | a8 .
Somit hat a8 dann Rest 0 bei Division durch 16.