U.84 Ist S ≡ x 1 + x2 + ··· + x n die Summe positiver reeller Zahlen xi

U.84 Ist S ≡ x1 + x2 + · · · + xn die Summe positiver reeller Zahlen xi , i = 1, 2, . . . , n,
dann gilt
(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · (1 + xn ) ≤ 1 + S +
(APMO, 1989 )
Sn
S2 S3
+
+···+
.
2!
3!
n!
U.84 Beweis: Nach der AM-GM-Ungleichung ist
1
(1 + x1 ) + (1 + x2 ) + · · · + (1 + xn )
n+S
=
,
[(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · (1 + xn )] n ≤
n
n
µ
¶
S n
.
(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · (1 + xn ) ≤ 1 +
n
Für die Potenz auf der rechten Seite können wir nach dem binomischen Satz schreiben:
¶
µ
n(n − 1) S 2 n(n − 1)(n − 2) S 3
S n
=1+S+
· 2 +
· 3
1+
n
2!
n
3!
n
n(n − 1) · · · (n − n + 1) S n
· n
n!
n
µ
¶ 2
¶µ
¶
µ
1 S
2 S3
1
=1+S+1 1−
1−
+1 1−
n 2!
n
n 3!
¶ µ
¶ n
µ
n−1 S
1
+ ··· +1 1 −
··· 1 −
n
n
n!
+ ··· +
≤1+S+
S2 S3
Sn
+
+ ··· +
2!
3!
n!
mit Gleichheit nur für n = 1. ¤