Mathematik für Informatiker I ¨Ubungsserie 2

TU Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Michael Stiebitz
Wintersemester 2011/12
Mathematik für Informatiker I
Übungsserie 2
Aufgabe 1 Goldener Schnitt
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere
zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Es sei a die Länge der
größeren und b die Länge der Kleineren Strecke. Man bestimme dann den Wert des
Goldenen Schnittes x = ab .
Aufgabe 2 Fibonacci-Folge
Sie sollen eine explizite Bildungsvorschrift für die Fibonacci-Folge a = (a0 , a1 , a2 , . . .)
bestimmen. Dazu betrachte man zuerst nur die Rekursionsvorschrift
an+2 = an+1 + an ∀n ∈ N ∪ {0}
(1)
ohne Anfangsbedingungen.
(a) Man bestimme alle x ∈ R, für welche die geometrische Folge a mit an = xn
für alle n ∈ N ∪ {0} die Rekursionsvorschrift (1) erfüllt.
(b) Man beweise folgende Aussage: Es seien a, b zwei geometrische Folgen der Form
an = xn und bn = y n mit x, y ∈ R. Erfüllen a und b die Rekursionsvorschrift
(1), so erfüllt auch die Folge c = αa + βb mit cn = αan + βbn = αxn + βy n die
Rekursionsvorschrift (1).
(c) Mit Hilfe der Ergebinsse von (a) und (b) bestimme man nun eine Folge a =
(a1 , a2 , . . .) die die Rekursionsvorschrift (1) und die Anfangsbedingungen a0 =
0, a1 = 1 erfüllt.
Aufgabe 3
Für die folgenden rekursiv definierten Folgen a = (an )n≥1 gebe man eine explizite
Bildungsvorschrift an:
1
(a) a1 = 1 und an+1 = 3an für n ≥ 1.
(b) a1 = 5 und an+1 = an + 7 für n ≥ 1.
(c) a1 = 1 und an+1 = (n + 1)an für n ≥ 1.
(d) a1 = 1 und an+1 = (n + 1)2 + an für n ≥ 1.
Aufgabe 4 Fermat’sche Zahlen
Es sei F = (F0 , F1 , . . .) die Folge der Fermat-Zahlen mit
n
Fn = 22 + 1.
Der französische Mathematiker Fermat (1601 - 1655) vermutete, daß alle FermatZahlen Primzahlen sind. Wie man leicht nachprüft, gilt dies für F0 , F1 , F2 und F3 .
Auch die 4te Fermat-Zahl F4 = 65537 ist eine Primzahl. Die 5te Fermat-Zahl hat den
Wert F5 = 4294967297 und Euler (1707 - 1783) zeigte, daß F5 den Teiler 641 besitzt
und somit keine Primzahl ist. Weitere Primzahlen in der Folge der Fermat-Zahlen
sind bisher auch nicht gefunden worden. Im Jahre 1990 wurde eine Faktorzerlegung
von F9 gefunden; dabei wurden 700 vernetzte PC’s und ein Supercomputer benutz,
wobei die Rechenzeit 4 Monate betrug. Man löse folgende Aufgaben.
(a) Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 sei
Pn =
n−1
Fk
k=0
das Produkt der Fermat-Zahlen F0 , F1 , . . . , Fn−1 . Man beweise durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: Pn = Fn − 2.
(b) Man zeige, daß je zwei verschiedene Fermat-Zahlen relativ prim sind.
(c) Man beweise, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
(d) Wieviele Ziffern hat F9 im Dezimalsystem?
Aufgabe 5
Für welche natürlichen Zahlen n gelten die folgenden Ungleichungen:
1) n! ≥ 3n
2) 2n ≥ 2n + 1
3) n3 ≥ 2n−1
2