§ 8. Die Primfaktorzerlegung

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 8. Die Primfaktorzerlegung
(8.1) SATZ: Eindeutige Primfaktorzerlegung
a) Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich als ein Produkt von Primzahlen darstellen.
b) Die Darstellung von n als Produkt von Primzahlen ist eindeutig bis auf die
Reihenfolge der Faktoren.
(8.2) BEM: a) In (8.1a) darf ein Produkt auch aus einem einzigen Faktor bestehen! Dies
ist genau dann der Fall, wenn n selbst eine Primzahl ist.
b) Die Eindeutigkeit bedeutet, dass in einer Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen
die Primzahlen selbst und ihre Vielfachheiten (d.h. die Häufigkeiten ihres Vorkommens als
Faktoren) eindeutig bestimmt sind. Wegen der Kommutativität der Multiplikation ist aber die
Reihenfolge der Primfaktoren nicht eindeutig.
c) Man sagt auch, dass eine natürliche Zahl n ≥ 2 eine Primfaktorzerlegung (abgekürzt:
PFZ) besitzt, die bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.
d) Der Satz (8.1) wird häufig auch der Haupt– oder Fundamentalsatz der elementaren
Zahlentheorie genannt. Ein erster vollständiger Beweis ist in dem Buch ”Disquisitiones arithmeticae” von Carl Friedrich Gauß aus dem Jahre 1801 zu finden.
(8.3) FOLGERUNG: Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich auf genau eine Weise darstellen
in der Form
(⋆)
n = pk11 · pk22 · . . . · pkr r
mit r ∈
N, p
i
∈ IP und ki ∈
N für alle i = 1, 2, . . . , r und
p1 < p2 < . . . < pr .
(⋆) heißt die kanonische PFZ von n . Der Exponent ki gibt die Vielfachheit an, mit der
die Primzahl pi in der PFZ von n vorkommt.
(8.4) DEF: Für n ∈
N bezeichne
von n .
(8.5) BEM: a) Besitzt n ∈
TIP (n) := T + (n) ∩ IP die Menge aller Primteiler
N die kanonische PFZ
n = pk11 · pk22 · . . . · pkr r , so gilt
TIP (n) = {p1 , p2 , . . . , pr } .
b) In manchen Fällen ist es günstiger, auch den Exponenten 0 in der PFZ einer Zahl zuzulassen:
25 = 20 · 52 · 70
Dies ist aber nicht mehr die kanonische PFZ von 25 , da 2 6 | 25 und 7 6 | 25 .
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Berechnung der PFZ
Problem: Wie lässt sich die PFZ einer natürlichen Zahl n ≥ 2 bestimmen ?
(8.6) BEM: Ist n keine Primzahl und ist k ein echter positiver Teiler von n mit n = k · l ,
so gilt k < n und l < n , und man kann versuchen, Teiler von k bzw. l zu finden. Setzt man
dieses Verfahren fort, so erhält man schließlich die PFZ von n . Dieses ist ein eher heuristisches
Verfahren.
Beispiel: n = 5 400 = 54 · 100 = (33 · 2) · (22 · 52 ) = 23 · 33 · 52
Systematisch erhält man die PFZ mit der
(8.7) Methode der sukzessiven Divisionen
Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. (p1 , p2 , . . . , pr ) sei die Folge der Primzahlen in aufsteigender
√
Reihenfolge, die ≤ ⌊ n⌋ sind. Teile n der Reihe nach durch die Zahlen p1 , p2 , p3 , . . . .
Ist pk die erste Primzahl, die n teilt, so bestimme den größten Exponenten l mit der Eigenschaft, dass plk ein Teiler von n ist (l ist also die Vielfachheit von pk in der PFZ von n). Es
gilt dann
n = plk · n1 mit ggT(pk , n1 ) = 1 ,
und der Faktor n1 wird von keiner der Primzahlen p1 , p2 , . . . , pk geteilt. Verfahre jetzt mit
n1 entsprechend, wobei mit der Primzahl pk+1 begonnen wird. Setze das Verfahren fort, bis
der Faktor 1 geworden ist (dies muss auf jeden Fall eintreten). Auf diese Weise erhält man die
kanonische PFZ von n .
Findet man in der Folge (p1 , p2 , . . . , pr ) keinen Primteiler von n , so ist n nach (7.15) oder
(7.16) selbst eine Primzahl.
Diese Methode ist günstig, wenn n kleine Teiler besitzt, wird aber sehr aufwändig, wenn n
√
√
Teiler bei ⌊ n⌋ besitzt oder sogar prim ist. Um Teiler in der Nähe von ⌊ n⌋ zu finden, kann
man u.U. günstiger das folgende Verfahren von Fermat anwenden:
(8.8) Das Verfahren von Fermat:
Sei n ≥ 3 eine ungerade natürliche Zahl.
√
Setze x := ⌊ n⌋
Teste, ob x2 − n Quadrat einer natürlichen Zahl y
Wenn ja, gilt n = x2 − y 2 = (x + y) · (x − y) , und es ist ein Teiler von n gefunden.
√
Wenn nein, setze das Verfahren mit x := ⌊ n⌋ + 1 fort, usw.
Brich das Verfahren ab, wenn x2 − n eine Qudratzahl ist.
Ist n = 2k + 1 (k ∈
N) , so bricht das Verfahren spätestens bei x = k + 1 ab.
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Beispiel: Finde einen Teiler von n = 200 819 :
x2 − n
x
√
⌊ n⌋ = 448
Quadratzahl
Grund
N
−115
nein
−115 6∈
√
⌊ n⌋ + 1 = 449
782
nein
272 = 729 und
√
⌊ n⌋ + 2 = 450
1 681
0
282 = 784
1 681 = 412
ja
Mit y := 41 gilt also x2 − n = y 2 , und damit
n = x2 − y 2 = (x + y) · (x − y) = (450 + 41) · (450 − 41) = 491 · 409
Da 409 und 491 Primzahlen sind (was natürlich noch getestet werden müsste), hat man sogar
schon die PFZ von n gefunden, insbesondere ist n keine Primzahl.
Die positiven Teiler einer natürlichen Zahl
Beispiel: Die positiven Teiler von 72 = 23 · 32
k
l
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2k · 3 l
20 · 3 0
21 · 3 0
22 · 3 0
23 · 3 0
20 · 3 1
21 · 3 1
22 · 3 1
23 · 3 1
20 · 3 2
21 · 3 2
22 · 3 2
23 · 3 2
t
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
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(8.9) SATZ: Besitzt die natürliche Zahl n ∈
N eine Darstellung der Form
n = pk11 · pk22 · . . . · pks s
mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , p2 , . . . , ps und Exponenten ki ≥ 0, so sind für
folgende Aussagen äquivalent:
t∈
N
a) t | n
b) Es gibt Zahlen li ∈
N
0
mit 0 ≤ li ≤ ki für alle i = 1, 2, . . . , s und
t = pl11 · pl22 · . . . · plss
In Definition (1.15) wurde τ (n) als Anzahl der positiven Teiler von n ∈
(8.10) FOLGERUNG: a) Für p ∈ IP und k ∈
N definiert.
N gilt
T + (pk ) = { pl | 0 ≤ l ≤ k } = { 1, p, p2 , p2 , . . . , pk } und τ (pk ) = k + 1 .
b) Besitzt die natürliche Zahl n ∈
N eine Darstellung der Form
n = pk11 · pk22 · . . . · pks s
mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , p2 , . . . , ps und Exponenten ki ≥ 0, so gilt
T + (n) = { pl11 · pl22 · . . . · plss | li ∈
N
0
mit 0 ≤ li ≤ ki für alle i = 1, 2, . . . , s }
und
τ (n) = (k1 + 1) · (k2 + 1) · . . . · (ks + 1) .
(8.11) BEM: Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl n hängt nicht von der Größe
dieser Zahl ab, sondern nur von der Anzahl und der Häufigkeit der Primteiler. So haben z.B.
die Zahlen
72 = 23 · 32
und 1 048 929 872 381 = 1013 · 10092 (13 Stellen)
gleichviel positive Teiler, nämlich 12 .
(8.12) SATZ: Für die Teilerfunktion τ :
a) τ (1) = 1
b) τ (pk ) = k + 1 für alle p ∈ IP, k ∈
N −→ N , n 7→ τ (n) ,
gilt:
N
c) Für teilerfremde natürliche Zahlen m und n gilt
(Diese Bedingung bedeutet, dass τ multiplikativ ist.)
τ (m · n) = τ (m) · τ (n) .
BEM: Durch die drei Eigenschaften aus (8.12) ist die Teilerfunktion τ vollständig bestimmt.
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Berechnungsmethode für ggT und kgV
N . Dann gibt es paarweise verschiedene Primzahlen p , p , . . . , p
und Zahlen k , k , . . . , k , l , l , . . . , l ∈ N mit folgenden Eigenschaften:
(8.13) SATZ: Seien m, n ∈
1
2
t
1
a) m = pk11 · pk22 · . . . · pkt t
1
2
t
n = pl11 · pl22 · . . . · pltt
,
min(k1 ,l1 )
· p2
max(k1 ,l1 )
· p2
b) ggT(m, n) = p1
c) kgV(m, n) = p1
0
min(k2 ,l2 )
max(k2 ,l2 )
min(kt ,lt )
· . . . · pt
max(kt ,lt )
· . . . · pt
2
t