Diskrete Mathematik, Prüfung, mit Lösungen

Diskrete Mathematik, Prüfung, mit Lösungen
M.Gruber
12.Juli 2010, 10:30{12:00, R0.013, R1.008 (40)
1. (10 Punkte) Zahlungen
Die Zahlen, die hier betrachtet werden, seien im Zehnersystem dargestellt.
a) Wieviele der Zahlen fz 2 Z j 1000 < z < 2000g enthalten die Zier 7 nicht?
b) Wieviele der Zahlen fz 2 Z j 1000 < z < 2000g enthalten die Zier 0?
c) Wieviele der Zahlen fz 2 Z j 1000 < z < 2000g enthalten die Ziern in strikt aufsteigender
Reihenfolge? (Beispiele: 1234, 1357.)
d) Wieviele der Zahlen fz 2 Z j 1000 < z < 2000g sind gerade und enthalten die Ziern in
strikt aufsteigender Reihenfolge? (Beispiel: 1234, 1356.)
e) Wieviele der Zahlen fz 2 Z j 1000 < z < 2000g sind ungerade und enthalten die Ziern in
strikt aufsteigender Reihenfolge? (Beispiel: 1235, 1359.)
Lösung
a) 93 = 729 dieser Zahlen enthalten die Sieben nicht.
b) 999
c)
d)
8
93 = 270 dieser Zahlen enthalten eine Null.
= 56 dieser Zahlen enthalten die Ziern in strikt aufsteigender Reihenfolge.
+ 42 + 62 = 1+6+15 = 22 dieser Zahlen enthalten die Ziern in strikt aufsteigender Reihenfolge
und sind gerade.
e) 32 + 52 + 72 = 3 + 10 + 21 = 34 dieser Zahlen enthalten die Ziern in strikt aufsteigender
Reihenfolge und sind ungerade.
3
2
2
2. (10 Punkte) Lineare Rekursion
Finden Sie eine geschlossene Form fur folgende Rekursion:
f (0) = 1; f (1) = 4; f (n) = 3f (n 1) 2f (n 2) + 1:
Lösung
Es handelt sich um ein inhomogenes Problem.
Wir raten zunachst eine partikulare Losung des inhomogenen Problems. Der Ansatz (vom Typ der
Inhomogenitat) f (n) = c fuhrt zur unerfullbaren Gleichung c = 3c 2c + 1, funktioniert also nicht.
Der Ansatz f (n) = cn + d fuhrt zur Gleichung
cn + d = 3(c(n 1) + d) 2(c(n 2) + d) + 1:
Sie ist fur c = 1 und d = 0 erfullt.
1
Die charakteristische Gleichung x2 = 3x
und 2.
2 des homogenen Problems hat Losungen
3
2
21 , also 1
Die allgemeine Losung lautet f (n) = c1 1n + c2 2n n.
Die Randwerte f (0) = c1 + c2 = 1; f (1) = c1 + 2c2 1 = 4 werden fur c1 = 3 und c2 = 4 erfullt.
Die Losung lautet somit: f (n) = 3 + 4 2n
n.
3. (10 Punkte) Kleiner Fermat, modulares Inverses
a) Fur welche A; B 2 Z11 ist die Gleichung
4x11 5x10 6x 8 = Ax B
in Z11 erfullt?
b) Wie lautet die Losung der Gleichung 10x = 2 in Z19 ?
Lösung
a) Nach dem Kleinen Fermatschen Satz ist x10 = 1 und x11 = x, also ist
4x11 5x10 6x 8 = 4x 5 6x 8 = 10x 2:
Losung: A = 10; B = 2.
b) Man darf kurzen (Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen von 2), also ist die Gleichung
5x = 1 in Z19 zu losen. x ist das multiplikative Inverse von 5. Losung: x = 4, denn 5 4 = 1 in Z19 .
4. (10 Punkte) Chinesischer Restsatz, Eulersches Phi
a) Z36 und Z4 Z9 sind isomorph.
Welchem Element in Z36 entspricht (1; 8) 2 Z4 Z9 ?
b) Wieviele Elemente hat Z36 (d.h. welchen Wert hat '(36))?
Lösung
a) (1; 8) = (1; 1) (0; 7) $ 1 16 = 17.
b) '(36) = 36 (1 1=2)(1 1=3) = 12.
5. (10 Punkte) RSA, winzig-klein
Der Modulus sei N = 46, der Verschlusselungsexponent e = 9. (Das Paar (N; e) ist oentlich.)
Welchen Wert hat der Entschlusselungsexponent d? (d ist geheim.)
Lösung
N = 2 23. '(N ) = 22. [ 10 ] =
0
1
1
4
0
1
1 2
2
[ 22
9 ] ) 1 = ( 2) 22 + 5 9 ) d = 5.
6. (10 Punkte) Erzeugendenfunktion
P
Wie lautet die Erzeugendenfunktion Gf (x) = n f (n)xn zu f , wenn
f (0) = 1; f (1) = 4 und f (n) = 3f (n 1) 2f (n 2) + 1
ist (dasselbe f wie in Aufgabe (2))?
Lösung
2
f (n) = 3f (n 1) 2f (n 2) + 1 beinhaltet auch die Anfangsbedingungen fur n = 0 und n = 1, wenn
man sich an die Konvention f ( 1) = f ( 2) = : : : = 0 halt.
Also ist
X
n
f (n)xn = 3xf (n 1)xn
X
f (n)xn = 3x f (n 1)xn
1
1
2x2 f (n
2x2
X
2)xn
2
+ xn ;
f (n 2)xn 2 +
X
xn ;
n
n
n
2
1
Gf (x) = 3xGf (x) 2x Gf (x) + 1 x ;
Gf (x) = (1 x)(1 13x+2x2 ) :
(Mathematica: Gf (x) = 1 + 4x + 11x2 + 26x3 + 57x4 + 120x5 + 247x6 + 502x7 + O x8 ):
7. (10 Punkte)
Sei
Repertoire-Methode
R0 = ; Rn = Rn 1 + + ( 1)n :
Rn lasst sich in der Form
Rn = A(n) + B (n) + C (n)
darstellen. Wie lauten A(n); B (n); C (n)?
Tipp: Man bilde ein Repertoire aus den F
allen Rn = 1, Rn = n und Rn = ( 1)n .
Lösung
Rn = 1 impliziert = 1 und = = 0. Folglich ist A(n) = 1.
Rn = n impliziert = 0, = 1 und = 0. Folglich ist B (n) = n.
Rn = ( 1)n impliziert = 1, = 0 und = 2. Folglich ist C (n) = (( 1)n 1)=2.
n
Rn = + n + ( 1)2 1 .
8. (10 Punkte) Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien K1 ; K2 ; K3 Kinder verschiedenen Alters. Jedes Kind sei gleich wahrscheinlich Madchen
oder Junge. Das Geschlecht jedes Kindes sei unabhangig vom Geschlecht der beiden anderen
Kinder.
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der Kinder Madchen sind, wenn von
den jungeren beiden Kindern mindestens eines ein Madchen ist?
Lösung
Betrachte die Zufallsvariablen Ki mit moglichen Werten 0 und 1. Ki = 1 bedeute \Madchen", Ki = 0
bedeute \Junge". K1 sei das jungste, K2 das mittlere, K3 das alteste Kind.
Gefragt ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit P (K1 + K2 + K3 2 j K1 + K2 1).
Man zeichnet am besten einen Wahrscheinlichkeitsbaum und stellt fest:
P (K1 + K2 1) = 43 ,
P (K1 + K2 + K3 2 ^ K1 + K2 1) = 12 .
P (K1 + K2 + K3 2 ^ K1 + K2 1)=P (K1 + K2 1) = 32 .
3
9. (10 Punkte) Erwartungswert
Sie haben zwei Wurfel, einen fairen und einen unfairen.
Beim unfairen Wurfel ist die Wahrscheinlichkeit fur eine Sechs 13 .
Sie werfen beide Wurfel gleichzeitig so oft, bis beide Wurfel eine Sechs zeigen.
Wie oft mussen Sie im Mittel werfen?
Lösung
Seien Xi und Yi die Wurfelergebnisse beim i-ten Versuch.
Sei I = minfi j Xi = Yi = 6g.
EI =
X
i<1
0
=
X
i<1
0
X
i P (I = i)
P (I > i)
Y
P (Xj 6= 6 _ Yj 6= 6)
i<1 1ji
X
=
(1 P (Xi = Yi = 6))i
0i<1
X
=
(1 13 16 )i
0i<1
X
=
( 17
)i
18
0i<1
= 1 171 =18
=18:
=
0
4