Aufgaben Industrieökonomik II

Industrieökonomik II –
Übungsaufgaben
Professur Managerial Economics, TU Dresden
3. Februar 2015
Inhaltsverzeichnis
A 1. Übung – Oligopole: Weitere Strategien im Wettbewerb
A.1 Aufgabe 1: Hotelling Modell . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Lösung 1 a) lineare Transportkosten . . . . . . . .
A.1.2 Allgemeine Lösung für t = 1 : . . . . . . . . . . .
A.1.3 Lösung 1 b) quadratische Transportkosten . . . .
A.2 Aufgabe 2: Salop Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Lösung 2 a) Anzahl der Produktarten . . . . . . .
A.2.2 Lösung 2 b) optimale Anbieterzahl . . . . . . . .
B 2. Übung – Vertikale Produktdifferezierung
B.1 Aufgabe 3: Vertikale Produktdifferenzierung . . . . . .
B.1.1 Lösung 3 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Lösung 3 b) Mengen & Gewinne . . . . . . . . .
B.1.3 Lösung 3 c) Maximale Qualitätsdifferenzierung .
B.2 Aufgabe 4: Werbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Lösung 4 a) Werbung als strategische Variable .
B.2.2 Lösung 4 b) & c) Werbeformen und Signale . .
B.2.3 Lösung 4 d1) & d2) Wahl der Werbestrategie .
B.2.4 Lösung 4 d2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.5 Lösung 4 d3) Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . .
1
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3
3
5
5
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14
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16
16
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20
21
21
21
22
24
C 3. Übung – Werbung
C.1 Aufgabe 5: Informative Werbung . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Lösung 5 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.2 Lösung 5 b) Variante I – GG-Annahme, einfache Herleitung
C.1.3 Lösung 5 b) Variante II – auch Preise als Variablen,
kompliziertere Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.4 Lösung 5 c) Vgl. mit Hotelling Modell . . . . . . . . . .
C.2 Aufgabe 6: Suggestive Werbung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Lösung 6 optimale Werbeintensität . . . . . . . . . . . .
25
25
25
26
28
30
31
31
D 4. Übung – Kooperation & Kartelle
D.1 Aufgabe 7: Implizite Kooperation . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.1 Lösung 7 Kollusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.2 Lösung 7 a) kritischer Diskontfaktor und Zinssatz . . .
D.1.3 Lösung 7 b) Mindestdauer des Spiels bei endlichen Zeithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Aufgabe 8: Kartelle I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.1 Lösung 8 a) Stabilität des Kartells . . . . . . . . . . .
D.2.2 Lösung 8 b) Einflussgrößen auf die Kartellstabilität . .
D.2.3 Lösung 8 c) interne/externe Stabilität . . . . . . . . . .
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. 33
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34
35
35
36
36
E 5. Übung
E.1 Aufgabe 9: Kartelle II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.1.1 Lösung 9) Kartell mit unterschiedlichen Kosten . . . .
E.2 Aufgabe 10: Erfahrungsgüter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.1 Lösung 10 a) Nτ Nachfragefunktion für Erstkäufer . . .
E.2.2 Lösung 10 b) Preis und Menge nach Produkteinführung
(nicht modifizierte PAF): . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.3 Lösung 10 c) zweiter Anbieter tritt in Markt ein . . . .
E.2.4 Lösung 10 d) Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . .
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38
38
38
42
42
2
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. 43
. 46
A 1. Übung – Oligopole: Weitere Strategien im
Wettbewerb
A.1 Aufgabe 1: Hotelling Modell
Unterstellen Sie einen Transportkostensatz von t = 1, Grenzkosten von c = 0
sowie eine auf 1 normierte Geschmacksstrecke.
a) Welche Preise und Positionen stellen sich im Optimum ein, wenn lineare
Transportkosten angenommen werden?
b) Welcher Gleichgewichtspreis stellt sich bei quadratischen Transportkosten
ein?
Vorbemerkung zur Lösung
Einordnung der Produktdifferenzierung
Bisher:
• identische Produkte in Modellen homogener Oligopole
• unterschiedliche Produkte in Modellen heterogener Oligopole oder bei
monopolistischer Konkurrenz
• Produktdifferenzierung (PD) war stets exogen vorgegeben
• PD war in den Modellen dadurch nur sichtbar, dass die Konsumenten
unterschiedliche Präferenzen hatten (→ negativ geneigte Preisabsatzfunktion (PAF))
Jetzt:
• PD endogen, also durch das Modell erklärt
• Unternehmen entscheiden selbst, welche Produktvariante sie anbieten
• allerdings findet PD nur hinsichtlich eines Parameters statt, z. B. Farbe,
Gewicht, n Unternehmen → n Produktvarianten
3
Modelle der Produktdifferenzierung
Horizontale PD:
• Produkte gleicher Qualität, aber unterschiedlicher Präferenzen der Käufer
• Harold Hotelling (1929). „Stability in Competition“. In: Economic Journal
39 (153), 41–57. JSTOR: 2224214
• Steven C. Salop (1979). „Monopolistic Competition with Outside
Goods“. In: The Bell Journal of Economics 10 (1), 141–156. JSTOR:
3003323
Vertikale PD:
• Produkte unterschiedlicher Qualität um Präferenzen und Zahlungsbreitschaften der Kunden zu bedienen
• z. B. Deutsche Bahn, 1. & 2. Klasse
Lösung der Modelle der Produktdifferenzierung
zweistufige Rückwärtsinduktion (Technik aus der Spieltheorie), zuerst n. Stufe,
dann n − 1. Stufe, . . .
1. Stufe: Grad der Produktdifferenzierung bestimmen,
Welche Produktvariante bietet das Unternehmen auf einer „Geschmacksstraße“ an?
Und wie wirkt sich dies auf die 2. Stufe aus?
2. Stufe: Preiswettbewerb,
Wie hoch ist der gewinnmaximale Preis?
Zum Hotelling Straßen-Modell
wesentliches Merkmal: Produktvarianten sind auf einer „Geschmacksstrecke“
verteilt, d. h. jeder Punkt auf der Strecke entspricht einer Produktvariante/Anbieter, die Nachfrager entscheiden, welchen Geschmack sie präferieren
Befindet sich der präferierte Punkt/Geschmack nicht an demselben Ort wie
der NAchfrager fallen für den Nachfrager Aufwendungen in Form von Transportkosten an, dies entspricht einer Nutzeneinbuße
4
Modellannahmen (vgl. Wied-Nebbeling, 2009, S. 174)
•
•
•
•
Geschmacksstraße normiert auf Länge 1
n = 2 Anbieter mit je einer Produktvariante
Gleichverteilung der Nachfrager über die Geschmacksstraße
Nachfrage ist völlig preisunelastisch (Nachfrager wollen genau das Produkt
oder den Geschmack)
• Nutzenmaximierung durch Aufwandsminimierung, alle Aufwände in Transportkostensatz t enthalten ⇒ Transportkosten = t · D, wobei D Distanz,
⇒ Transportkosten steigen mit t, D
• Kostenfunktionen: ki = cxi , GK = 0
0
a
D
b
x1
1
x2
Abbildung 1: Geschmacksstraße nach Hotelling. a, b bezeichnen beliebige
Orte, an denen sich zwei Anbieter ansiedeln. D bezeichne die Position des
indifferenten Konsumenten. xi sei die Nachfrage, die Anbieter i generiert.
A.1.1 Lösung 1 a) lineare Transportkosten
Zusatzannahmen in dieser Aufgabe:
• t = 1, c = 0
• lineare Kostenfunktion
• 2 Anbieter an den beliebigen Positionen a und b mit 0 ≤ a ≤ b ≤ 1
A.1.2 Allgemeine Lösung für t = 1 :
Situation: indifferenter Konsument muss zwischen a und b sein, da alle links von
a bei Anbieter 1 und alle rechts von b bei Anbieter 2 kaufen,
Siehe S. 185 Abb.
V.A.1
Gleichsetzen der Kostenfunktionen zweier Nachfrager mit unterschiedlichen
Präferenzen für t = 1
Kosten bei Anbieter 1 = Kosten bei Anbieter 2
p1 + t(D − a) = p2 + t(b − D)
(1)
p1 + D − a = p2 + b − D
(2)
5
Wo befindet sich der indifferente Konsument? Wie groß ist D?
=⇒ umstellen von Gleichung 2 nach D
p1 + D − a = p2 + b − D
| + D| − p1 | + a| : 2
p2 − p1 + b + a
= x1
D=
2
(3)
Indifferenter Konsument befindet sich an Position D. Auf Anbieter 1 entfallen
alle Nachfrager zwischen 0 und D und auf Anbieter 2 alle Nachfrager zwischen
D und 1.
Unter der Bertrand-Annahme: Preis des anderen Anbieters als gegeben, ergeben
sich die Nachfragefunktionen, x1 für Anbieter 1:
x1 (p1 , p2 , a, b) = D =
p2 − p1 + b + a
2
(4)
Die Nachfragefunktion x2 für Anbieter 2 ergibt sich somit als alle diejenigen
Nachfrager zwischen D und 1 =⇒ 1 − D:
x2 (p1 , p2 , a, b) = 1 − D =
2 p2 − p1 + b + a
2 + p1 − p2 − b − a
−
=
2
2
2
(5)
1. Schritt – Gewinnmaximierung
Gewinnfunktion des Anbieters 1 sei G1 , diese ableiten nach dem gewinnmaximalen Preis
G1 = x1 · p1 =
p2 − p1 + a + b
· p1
2
(6)
∂G1 !
=0
| Bedingung 1. Ordnung
∂p1
∂G1
p2 − 2p1 + a + b !
=
=0
∂p1
2
p2 − 2p1 + a + b = 0
| Umstellen nach p∗1
p2 + a + b
,→ p∗1 =
2
| + 2p1
|:2
(7)
Der gewinnmaximale Preis in Abhängigkeit vom Preis des anderen Anbieters
entspricht der Reaktionsfunktion
p∗1 =
p2 + a + b
= R1 (p2 )
2
6
(8)
Gewinnfunktion des Anbieters 2 sei G2 , diese ableiten nach dem gewinnmaximalen Preis
G2 = x2 · p2 =
2 + p 1 − p2 − b − a
· p2
2
(9)
∂G2 !
=0
| Bedingung 1. Ordnung
∂p2
p1 − 2p2 − b − a + 2 !
∂G2
=
=0
∂p2
2
p1 − 2p2 − b − a + 2 = 0
| Umstellen nach p∗2
2 + p1 − a − b
,→ p∗2 =
2
| + 2p2
|:2
p∗2 ist wieder zugleich auch die Reaktionsfunktion R2 (p1 ) des Anbieter 2 auf
die Preissetzung des Anbieters 1
,→ p∗2 =
2 + p1 − a − b
=R
ˆ 2 (p1 )
2
(10)
2. Schritt – Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen
Was sind die Gleichgewichtspreise pGG ? =⇒ stellen sich gerade im Schnittpunkt
der beiden (linearen) Reaktionsfunktionen ein!
R1 (p2 ) = R2 (p1 )
p2 + a + b
2 + p1 − a − b
=
2
2
p 2 + a + b = 2 + p1 − a − b
p2 + 2(a + b − 1) = p1
|·2
|+a+b−2
|+a+b
Einsetzen von R1 (p2 ) in R2 (p1 ) (oder umgekehrt)
R1 in R2
2 − a − b + p2 +a+b
4 − 2a − 2b + p2 + a + b
2
=
=
2
4
4 − a − b + p2
4 − a − b p2
p2
p2 =
=
+
|−
4
4
4
4
3
4−a−b
4
p2 =
|·
4
4
3
4
−
a
−
b
pGG
=
(11)
2
3
| p2 = R2 (p1 ) =
7
= R1 (p2 )
Einsetzen in pGG
1
p2 + a + b
=
2
2+a+b
=
3
pGG
=
1
4−a−b
3
+a+b
4 − a − b + 3a + 3b
4 + 2a + 2b
=
=
2
6
6
(12)
D. h. die gewinnmaximalen Preise sind abhängig von den Standorten, welche die Anbieter einnehmen, daher ist nun das Positionsgleichgewicht gesucht
3. Schritt – Bestimmung der optimalen Position
GG
GG GG
Ziel: Die Gewinnfunktionen G1 (xGG
1 , p1 ) und G2 (x2 , p2 ) sollen im Gleichgewicht nur noch von den Standorten a und b abhängen, also
GG
GG GG
G1 (xGG
1 , p1 ); G2 (x2 , p2 ) =⇒ G1 (a, b); G2 (a, b),
dazu einsetzen der gewinnmaximalen Preise pGG
1/2 aus den Gleichungen 12
GG
und 11 und der optimalen Nachfragen x1/2 aus Gleichungen 4 und 5 in
xGG
1
GG
GG
G1 (xGG
· pGG
1 , p1 ) = x1
1 ;
xGG
=
1
=
=
=
GG
G1 (xGG
1 , p1 ) =
=
pGG
=
1
2+a+b
;
3
pGG
− pGG
+a+b
2
1
2
4−a−b
( 3 ) − ( 2+a+b
) + 33 b + 33 a
3
2
4 − a − b − 2 − a − b + 3b + 3a
6
2+a+b
6
2+a+b 2+a+b
·
=
6
3
(2 + a + b)2
18
G1 (·) hängt nur noch von den Standorten ab.
8
pGG
=
2
4−a−b
3
(13)
(14)
(15)
GG
Nun äquivalent für G2 (xGG
2 , p2 ) mithilfe von Gleichung 5:
GG
GG
G2 (xGG
· pGG
2 , p2 ) = x2
2 ;
=
xGG
2
=
=
=
GG
G2 (xGG
2 , p2 ) =
=
pGG
=
1
2+a+b
;
3
2 + p1 − p2 − b − a
2
2+a+b
3
2
+
− 4−a−b
− 33 b − 33 a
3
3
3
2
6 + 2 + a + b − 4 + a + b − 3b − 3a
6
(4 − a − b)
6
4−a−b 4−a−b
·
=
6
3
(4 − a − b)2
18
pGG
=
2
4−a−b
3
(16)
(17)
(18)
Auch G2 (·) hängt nun nur noch von den Standorten ab.
E Gleichung 18 fehlerhaft in Wied-Nebbeling (2009, S. 186) (unklar warum
b∗ = 4 − a wieder richtig ist?).
Optimale Standorte Anbieter 1 (2) optimiert nun seinen Standort a(b), am gewinnmaximalen Standort muss der Grenzgewinn = 0 sein . . .
2+a+b
∂G1
=
∂a
9
2 + a + b = 0 =⇒
a+b−4
∂G2
=
∂b
9
a + b − 4 = 0 =⇒
=0
!
(19)
a∗ = −2 − b
(20)
=0
!
(21)
b∗ = 4 − a
(22)
Diskussion der Lösung: Da 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 ist a∗ = −2 − b nicht zulässig,
1
da es außerhalb der Strecke liegt, aber ∂G
> 0, daher führt ein höheres a zu
∂a
höherem Gewinn (Anreiz zur Bewegung nach rechts).
Da 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 ist b∗ = 4 − a ebenfalls nicht zulässig, da es außerhalb der
2
Strecke liegt, aber ∂G
< 0, daher führt ein niedrigeres b zu höherem Gewinn
∂b
(Anreiz zur Bewegung nach links).
Es streben daher beide in die Mitte bzw. es bildet sich ein Gleichgewicht bei
a = b =⇒ keine Produktdifferenzierung (identisches Gut), dadurch gilt die
9
Bertrand-Annahme im homogenen Oligopol der gegebenen Konkurrenzpreise
nicht mehr (Wied-Nebbeling, 2009, S. 150), die den GG-Preisen zugrundeliegt
,→ im Ergebnis entsteht eine instabile Lösung (bei linearen Transportkosten),
da beide wieder einen Anreiz haben sich im Preis zu unterbieten und sich somit
wieder nach außen bewegen können.
A.1.3 Lösung 1 b) quadratische Transportkosten
allgemein:
p1 + t(D − a)2 = p2 + t(b − D)2
p1 + (D − a)2 = p2 + (b − D)2
| für t = 1
| nach D umstellen! | − p1 − (b − D)2
=
p2 − p1 = (D − a)2 − (b − D)2 = D2 − 2Da + a2 − b2 + 2Db − D2
= a2 − b2 + 2D(b − a)
| − a2 + b 2
| : (2(b − a)
p 2 − p 1 + b 2 − a2
p2 − p1 + (b − a)(b + a)
=
2(b − a)
2(b − a)
p2 − p1
a+b
=
+
≡ x1
2(b − a)
2
D=
p 2 − p1
a+b
+
| auf Hauptnenner erweitern, vereinfachen
2(b − a)
2
p1 − p2
2−a−b
= ... =
+
≡ x2
2(b − a)
2
1−D =1−
1. Schritt – Gewinnmaximierung Berechnen der Gewinne der Anbieter, beachten Sie Wied-Nebbeling (2009, S. 187, Fußnote 17)
!
p2 − p1
a+b
G1 = x1 · p1 =
+
· p1
2(b − a)
2
∂G1
p2 − 2p1 a + b !
=
+
=0
∂p1
2(b − a)
2
!
,→ p2 − 2p1 + (b + a)(b − a) = 0
−→
p∗1
p 2 + b 2 − a2
=
≡ R1 (p2 )
2
10
!
p1 − p2
2−a−b
G2 = x2 · p2 =
+
· p2
2(b − a)
2
∂G2
p1 − 2p2 2 − a − b !
=
+
=0
∂p2
2(b − a)
2
,→ p1 − 2p2 + (2 − a − b)(b − a) = 0
−→ p∗2 =
p 1 + a2 − b 2
+ b − a ≡ R2 (p1 )
2
2. Schritt – Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen
2
2
p1 +a −b
+
p 2 + b 2 − a2
2
p1 =
=
2
4p1 = p1 − a2 + b2 + 2(b − a)
b2 − a2 + 2(b − a)
3
a2 − b2 + 4(b − a)
−→ p2 =
3
−→ p1 =
11
2b
2
− 2a
+
2
2
2b2
2
−
2a2
2
A.2 Aufgabe 2: Salop Modell
Unternehmen produzieren mit einer Kostenfunktion von Ki = xi + 3. Unterstellen Sie einen Transportkostensatz von t = 12.
a) Wie viele verschiedene Produktarten werden angeboten?
b) Welche Produktvielfalt wäre sozial optimal?
A.2.1 Lösung 2 a) Anzahl der Produktarten
Die Frage nach der Anzahl der Produktarten ist eigentlich eine Frage nach der
Anzahl der Unternehmen, die in den Markt simultan eintreten. Lösung solcher
Fragen nach der Arbeit von Salop (1979).
S. 279, Abb. VII.3
Modellannahmen
•
•
•
•
•
Geschmacksstraße ist jetzt ein Kreis vom Umfang 1
Ansiedlung von Anbietern (entspricht Produktausprägungen) auf Kreis
Präferenzen gleichmäßig über den Kreis verteilt
pro Unternehmen eine Produktvariante
identische Kostenfunktionen Ki = c·xi +S, mit Fixkosten S bei Markteintritt, hier S = 3 und Grenzkosten c = 1
• Bertrand-Annahme
• Transportkostensatz t, hier t = 12
1
n
1
n
Ai
Ai−1
Ai+1
pi
pi−1 = p
pi+1 = p
Abbildung 2: Geschmacksstraße/-ring nach Salop. Ai sei die Postion des Anbieters i, pi sei der Preis des Anbieters Ai .
12
Lösungsvorgehen
1. Schritt: Markteintritt simultan
2. Schritt: Preiswettbewerb
indifferente Konsument:
pi + t · D
t·D
2·t·D
D
1
−D
= pj + t ·
n
t
= pj − pi + − tD
n
t
= pj − p i +
n
pj − pi + nt
=
2t
|umstellen nach D
| − pi
| + tD
| : (2t)
Anbieter Ai besitzt nun jeweils einen Nachbar links und einen rechts −→ Ai
hat 2 Nachbarn −→ xi = 2D
xi = 2D =
pj − pi +
t
t
n
Nachfrage ist umso größer, je
•
•
•
•
höher der Konkurrenzpreis pj
geringer der eigene Preis pi
größer die Nutzeneinbuße t
geringer die Anbieterzahl n
ist.
1. Schritt – Gewinnmaximierung
Grenzkosten ci sind für alle gleich ⇒ ci = c
Gi = (pi − c) · xi − S
pj − pi + nt
− S → max!
t
pj − 2pi + nt
∂Gi
c !
=
+ =0
∂pi
t
t
t
2pi − pj = c +
n
= (pi − c) ·
13
im Gleichgewicht bei Bertrand-Wettbewerb gilt: pi = pj = p∗
2p − p = pB = c +
t
n
Werte einsetzen
12
+1
n
t
12
1
= n = n =
t
12
n
pB =
,→ xi =
pj − pi +
t
t
n
(23)
(24)
(25)
Gleichverteilung der Nachfrage auf die Anbieter, Zahl der Anbieter steigt bis
Gi = 0 (Bertrand), dann keine Marktzutritte mehr. Wann ist Gi = 0 bei
simultanen Markteintritt?
Gi = (p − c)
·xi − S
1
· −S
n
1
· −S
n
= (p − c)
t
+c−c
=
n
t
Gi = 2 − S = 0
n
s
|umstellen nach n
s
t
12
=
=2
S
3
t
12
p= ∗ +c=
+1=7
n
3
1
1
xi = ∗ =
n
2
n∗ =
A.2.2 Lösung 2 b) optimale Anbieterzahl
Ist die ermittelte Anbieterzahl n∗ = 2 optimal? Dafür müssen die sozialen Kosten
bzgl. n minimiert werden und dann mit n∗ verglichen werden
Ksoz =
n
· S}
| {z
+
Markteintrittskosten des Unternehmens
t
4n
|{z}
Transportkosten bei Gleichverteilung *
* Transportkosten bei Gleichverteilung auf dem Kreis ist die Distanz zwischen
zwei Konkurrenten n1 , die Hälfte der Nachfrager kauft bei dem näheren Anbieter
1
⇒ 2n
. Durchschnittlich haben die Konsumenten auf diesem Segment die halbe
14
Strecke an Kosten aufzuwenden ⇒
Ksoz = n · S +
1
2·2n
=
1
·
t
,
4n
|{z}
fällt für jeden Anbieter als Nutzeneinbuße an
t
→ min!
4n
∂Ksoz
t !
=S− 2 =0
|nach n umstellen
∂n
4n
t
S= 2
| · n2 | : S
4n
t
√
|
n2 =
4S
s s
s
s
s
t
1 t
1 t
1 12
nopt =
=
=
=
= 1 6= n∗ = 2 > nopt
4s
4 s
2 s
2 3
Bei Minimierung der sozialen Kosten treten die Hälfte der Firmen als bei
freiem Markteintritt ein. Die Anzahl der Produktvarianten ist bei simultanem
Markteintritt nicht wohlfahrtsoptimal.
15
B 2. Übung – Vertikale Produktdifferezierung
B.1 Aufgabe 3: Vertikale Produktdifferenzierung
Auf einem Markt werden zwei Güter (1,2) mit unterschiedlichen Qualitäten s1
und s2 angeboten, wobei gilt: s2 > s1 . Beide Qualitäten können mit identischen
Grenzkosten von 0 GE hergestellt werden. Der Basisnutzen uo betrage 1. Die
Qualitätsstrecke sei auf 1 normiert.
a) Welche Preise und Qualitäten stellen sich im Gleichgewicht ein?
b) Welche Mengen werden nachgefragt und welche Gewinne erzielt?
c) Warum bieten die Anbieter unterschiedliche Qualitäten?
B.1.1 Lösung 3 a)
Modell ähnlich wie Hotelling nur diesmal vertikal, die Geschmacksstraße
wird zur Qualitätsstraße (QS)
1
Modellannahmen
• 2 Anbieter,
• auf 1 normierte Qualitätsstraße,
• Vorlieben sind gleichmäßig auf
der QS verteilt,
• 1 ME pro 1 ZE
• identische Kostenfunktion ki =
c · xi
• Qualität des Anbieters 1 s1 < s2
Qualität des Anbieters 2
Qj
0
Seien Qj die präferierte Qualität, si die tatsächlich angebotene Qualität und pi
der zu zahlende Preis, dann gilt
Produktnutzen
Uj =
+
u0
|{z}
z }| {
Qj · si
−pi ,
Grundnutzen aus Besitz
denn ein Kauf erfolgt gdw. der Nutzen aus dem Kauf mind. dem Kaufpreis
entspricht, u0 ≥ pi
16
Lösungsvorgehen
1. Schritt: Grad der Qualitätsdifferenzierung (Anbieter wählen ihre Qualität)
2. Schritt: Preiswettbewerb (Anbieter legen ihre Preise fest)
2. Stufe – Preiswettbewerb Wo sitzt der indifferente Konsument?
To-Do: Nachfragefunktion der Anbieter bestimmen, Nachfragegrenze dort, wo
sich der indifferente Konsument befindet
Sei Q die Distanz vom Nullpunkt
u0 + Q · s1 − p1 = u0 + Q · s2 − p2
| auflösen nach Q
u0 + Q · s1
| | + p2 | − Q1 s1
− p1 = u0 + Q · s2 − p2
Q(s2 − s1 ) = p2 − p1
p2 − p 1
∆p
Q=
= x1 (∆p, ∆s)
=
s2 − s1
∆s
∆p
∆s − ∆p
1−Q=1−
=
= x2 (∆p, ∆s)
∆s
∆s
1. Schritt – Lösung des Preiswettbewerbs durch Gewinnmaximierung
Für Anbieter 2
Für Anbieter 1
G1 (p1 , x1 ) = x1 · p1 =
∆s − p2 + p1
· p2
∆s
∂G2
∆s − 2p2 + p1 !
=
=0
∂p2
∆s
p2 − p1
· p1
∆s
G2 (p1 , x1 ) = x2 · p2 =
∂G1
p2 − 2p1 !
=
=0
∂p1
∆s
p2 − 2p1 = 0
p2
p1 =
= R1 (p2 )
2
∆s − 2p2 + p1 = 0
∆s + p1
= R2 (p1 )
p2 =
2
2. Schritt – Schnittpunkt der Reaktionsfuktionen
p2
= p1
2
∆s + p1
R2 (p1 ) =
2
R1 (p2 ) =
17
(26)
(27)
Nun Gleichung 26 in 27 einsetzen
R2
p2
p1 =
2
∆s +
= R2 (p2 ) =
2
p2
∆s +
= 2p2
2
2
p∗2 = ∆s
3
p2
2
= p2
|−
p2
2
|
2
3
Gleichung 26 ergibt sich nun zu
R1 (p2 ) =
p∗1
p∗2
1
=
= ∆s
2
3
Preise sind berechnet, nun die Qualitäten bestimmen!
3. Schritt – Bestimmung der Qualitäten p∗1 , p∗2 einsetzen in Nachfragefunktionen
2
∆s − 31 ∆s
∆p∗
= 3
∆s
∆s
∗
∆s − 23 ∆s + 13 ∆s
∆s − ∆p
=
x2 =
∆s
∆s
x1 =
=
1
3
=
2
3
Nachfragemengen sind unabhängig vom Qualitätsunterschied ∆s
B.1.2 Lösung 3 b) Mengen & Gewinne
Lösung der 1. Stufe = Qualitätssuche
p∗1/2 , x1/2 in G1 (s1 , s2 ) und G2 (s1 , s2 ) einsetzen (ohne Kosten)
1
3
2
G2 (s1 , s2 ) = x2 · p2 =
3
G1 (s1 , s2 ) = x1 · p1 =
1
· ∆s =
3
2
· ∆s =
3
1
∆s
9
4
∆s
9
Im nächsten Schritt ableiten der Gewinnfunktionen Gi nach si und null set-
18
zen
∂G1
1
=− <0
∂s1
9
∂G2
4
= >0
∂s2
9
⇒ Gewinn steigt mit sinkender Qualität ⇒ s∗1 = 0
⇒ Gewinn steigt mit steigender Qualität ⇒ s∗2 = 1
B.1.3 Lösung 3 c) Maximale Qualitätsdifferenzierung
• Randlösungen werden angestrebt mit maximaler vertikaler Differenzierung
• ist auch aus dem Grund sinnvoll, da der Preis umso größer ist, desto
größer ∆s ist, aber die Mengen nicht von ∆s abhängen
• Gewinn des Anbieters der höheren Qualität ist größer
• es besteht ein Anreiz zur PD, da es bei gleichen Qualitäten zu einem
Bertrand-Wettbewerb mit einem homogenen Gut kommen würde, der
Nullgewinne liefert, daher akzeptiert auch der Anbieter schlechter Qualität und geringerer Gewinne die Situation, da geringere Gewinne ggü.
Nullgewinnen präferiert werden
19
B.2 Aufgabe 4: Werbung
a) Wann kann Werbung als strategische Variable sinnvoll sein?
b) Welche Arten von Werbung können unterschieden werden und welche
Funktion haben diese?
c) Wieso kann Produktwerbung als Indikator für die gute Qualität eines
Gutes bzw. einer Dienstleistung betrachtet werden?
d) Wahl der Werbestrategie:
d1) Tragen Sie in Anlehnung an die Vorlesung die Gewinne für zwei
Firmen 1 und 2, die im Werbewettbewerb zueinander stehen, in
die nachfolgende Tabelle ein. S steht für suggestive und I für informative Werbung. Gehen Sie davon aus, dass suggestive Werbung
nur auf die Gruppe von Neukunden N und informative Werbung
nur auf die Kundengruppe f1 E bzw. (1 − f1 )E wirkt. f1 ist der Anteil der erfahrenen Kunden, die das Produkt der Firma 1 bevorzugen.
Werbestrategie (Firma 1, Firma 2)
Gewinn S , S
S,I
I,S
I,I
G1
G2
d2) Leiten Sie jeweils die notwendige und hinreichende Bedingung her,
die erfüllt sein müssen, damit beide Firmen suggestive bzw. informative Werbung wählen. Geben Sie eine kurze ökonomische Begründung
für diese Bedingungen.
d3) Welche Werbestrategie wählen die beiden Firmen wenn gilt: N=800,
E=500 und f1 =0,4. Wie ändert sich das Ergebnis für f1 =0,1?
20
B.2.1 Lösung 4 a) Werbung als strategische Variable
Werbung ist strategisch sinnvoll bei
• unvollständig informierten Kunden
• Existenz objektiver, aber nicht allgemein bekannter Produktunterschiede
• in monopolistischer Konkurrenz nicht sinnvoll wegen des Trittbrettfahrertums
• im Monopol kann Werbung sinnvoll sein,
>
– um den Bekanntheitsgrad zu steigern (Grenzgewinn ist positiv ∂G
∂x
0) ⇒ Gewinnung neuer Nachfrageschichten
– Präferenzen zu formen
B.2.2 Lösung 4 b) & c) Werbeformen und Signale
informative Werbung
• Erhöhung der Markttransparenz (Verfügbarkeiten, Preise, Qualitäten, )
• Minimierung der Suchkosten
• wohlfahrtssteigern gdw. Werbekosten < Suchkosten
suggestive Werbung
• Erhöhung der Kauf- und Zahlungsbereitschaft durch Beeinflussung der
Präferenzen (Imagetransfer, Markenwirkung)
• Werbung als Qualitätssignal (Werbeertrag > Werbekosten, weil das Produkt so gut ist)
• Gewinnung neuer uninformierter Nachfrageschichten
• eher wohlfahrtsmindern, da Manipulation der Präferenzen
,→ dann stellt sich für die Unternehmen die Frage nach der optimalen Wahl
der Werbestrategie
B.2.3 Lösung 4 d1) & d2) Wahl der Werbestrategie
Modellannahmen
• 2 Anbieter
• N Anzahl der Neukunden
• E Anzahl Erfahrener Kunden
21
• f1 Anteil an E, der Produkt 1 präferiert
• f2 Anteil an E, der Produkt 2 präferiert (f2 = 1 − f1 )
Spieler 1
Zeilenspieler
Spieler 2 / Spaltenspieler
S
I
S
I
N
2
N
2
Spieler 2 / Spaltenspieler
S
I
f2 E
S
N
N
f1 E
f2 E
I
f1 E
N
2
N
2
(1 − f1 )E
N
(1 − f1 )E
N
f1 E
f1 E
B.2.4 Lösung 4 d2)
Wann wählen beide Anbieter S? Anbieter 1 wählt S, wenn
N
> f1 · E
2
|
{z
}
oder N > f1 · E
(28)
stärkere Forderung
⇒ f1 <
N
2E
(29)
Anbieter 2 wählt S, wenn
N
> f2 · E = (1 − f1 )E oder N > f2 · E
|2
{z
}
(30)
stärkere Forderung
⇒ f1 > 1 −
N
2E
(31)
⇓
Anbieter 2: ⇒ f1 > 1 −
⇓
N
2E
N
N
< f1 <
2E
2E
N
N
notwendige Bedingung =⇒1 −
<
2E
2E
2N
N
1<
=
⇒E<N
2E
E
Anbieter 1: ⇒ f1 <
hinreichende Bedingung =⇒1 −
N
2E
(32)
|+
N
2E
(33)
(34)
E < N bedeutet, es gibt überwiegend Neukunden
N
Vgl. Wied-Nebbeling, 2009, Abb. V.5, S. 201, wenn f1 < − 2E
, dann bevorzugen nur wenige Altkunden Produkt 1, daher wählt Anbieter 2 die informative
22
Werbestrategie um N von seinem Produkt zu informieren/überzeugen
S, I
S, S
I, S
f1
E<N
0
1−
N
2E
1
N
2E
N
Für f1 > 2E
sollte sich Anbieter 1 besser den erfahrenen Kunden zuwenden(,
die er mit der Werbestrategie I erreicht) als mit hohem Aufwand nur wenige
Neukunden zu erreichen
Wann wählen beide Anbieter I? Anbieter 1 wählt I, wenn
N
< f1 · E oder
2
N < f1 · E
|
{z
(35)
}
stärkere Forderung
⇒ f1 >
N
E
(36)
Anbieter 2 wählt I, wenn
N
< f2 · E oder N < f2 · E = (1 − f1 )E
|
{z
}
2
(37)
stärkere Forderung
N
N < (1 − f1 )E =⇒ f1 < 1 −
E
(38)
⇓
⇓
N
< f1
E
N
N
hinreichende Bedingung =⇒ < f1 < 1 −
E
E
N
N
notwendige Bedingung =⇒ < 1 −
E
E
2N
< 1 ⇒ 2N < E
E
Anbieter 1: ⇒
Anbieter 2: ⇒ f1 < 1 −
(39)
|+
N
E
(40)
(41)
2N < E bedeutet, es gibt zweimal mehr erfahrene Kunden
S, I
I, I
I, S
f1
2N < E
0
N
E
1−
23
N
E
N
E
1
Vgl. Wied-Nebbeling, 2009, Abb. V.6, S. 207, sobald f1 < N
stellt sich
E
Anbieter 1 mit Konzentration auf Neukunden (Strategie S) besser, da dessen
Produkt 1 bei erfahrenen Kunden wenig beliebt ist
B.2.5 Lösung 4 d3) Zahlenbeispiel
geg.: E = 500, N = 800, f1 = 0,4 und E = 500 < 800 = N ergibt sich
Folgendes:
1−
800
N
800
N
=1−
= 0,2 < f1 = 0,4 <
=
= 0,8
2E
1000
2E
1000
(42)
,→ für f1 = 0,4 wählen beide die Strategie S
geg.: alles wie oben, nur f1 = 0,1: im Fall (I, I) müsste 2N < E erfüllt sein,
aber
2 · 800 6< 500
ist nicht erfüllt.
Die für (S, S) notwendige Bedingung war erfüllt (siehe Gleichung 42), hinreichende Bedingung (, dass der jeweilige Anteil fi an E, der Produkt i präferiert)
0,2 < f1 < 0,8 nicht erfüllt für f1 = 0,1, daher wird Anbieter 1 zu Strategie S abweichen =⇒ (S, I) (Vgl. Wied-Nebbeling, 2009, Abb. V.5, S.
201)
24
C 3. Übung – Werbung
C.1 Aufgabe 5: Informative Werbung
a) Wie lauten die Annahmen über das Nachfrageverhalten auf einem Markt
mit unvollständiger Information, wie sie im Modell der Vorlesung unterstellt wurden?
Betrachten Sie einen Dyopolmarkt bei unvollständiger Information mit
zwei Unternehmen mit identischen Kostenfunktionen Ki = ci · xi , wobei
ci =0 ist. Beide Unternehmen werben informativ. Der Werbeaufwand
lässt sich beschreiben mit der Funktion Ai = 12 afi2 , wobei fi mit i = 1,2
die Menge der informierten Nachfrager angibt, welche das Produkt des
Anbieters i nachfragen. Nehmen Sie an, der Werbekostensatz sei a = 2
und der Transportkostensatz sei t = 4.
b) Wie hoch ist der optimale Werbeaufwand der Unternehmen? Welche
Preise, Mengen und Gewinne stellen sich im Gleichgewicht ein?
c) Wie wirkt sich der Einsatz informativer Werbung auf die Preise der
Unternehmen aus, im Vergleich zum Hotelling Modell mit linearen Transportkosten und unter vollkommener Information?
C.1.1 Lösung 5 a)
• Ausgangspunkt ist das Hotelling Modell
• Nachfrage einer ME pro ZE
• Kunden kaufen dasjenige Produkt, das sie kennen (unabhängig von den
Transportkosten),
• kennen sie beide Produkte, dann minimieren sie ihre Kosten k
k = Preis + Transportkosten = p + t
4 Nachfragegruppen
1.
2.
3.
4.
(5.)
Kunden,
Kunden,
Kunden,
Kunden,
Kunden,
die
die
die
die
die
nur Produkt 1 kennen
nur Produkt 2 kennen
beide Produkte kennen
keines der Produkte kennen
gar nichts kaufen
25
f1 (1 − f2 )
f2 (1 − f1 )
f1 · f2
(1 − f1 )(1 − f2 )
,→ es kommt zur Konkurrenz um Nachfragegruppe 3.
• Betrachtung eines Anbieters ausreichend, da symmetrische Gewinnstruktur
• simultanes Festlegen der Mengen fi und Preise pi
1 !
1 !
• gesucht sind die gewinnmaximierenden f1∗ , p∗1 , so dass ∂G
= 0 und ∂G
=0
∂p∗
∂f ∗
1
1
C.1.2 Lösung 5 b) Variante I – GG-Annahme, einfache Herleitung
1. vereinfachte Nachfragefunktion Im Hotelling Modell mit linearen Trans1 +t
portkosten und vollständig informierten Kunden x1 = p2 −p
, jetzt sind die
2t
Kunden nicht vollständig informiert und es herrscht Konkurrenz um die nichtinformierten Kunden, daher wird die Nachfrage x1 hier kleiner sein
x = Stammkunden
x1 = f1 · (1 − f2 )
+Konkurrenzanteil
(43)
p2 − p1 + t
2t
|
{z
}
+f1 · f2 ·
(44)
Nachfrage bei informierten Kunden aus Hotelling
x2 = f2 · (1 − f1 )
+f1 · f2 ·
p1 − p2 + t
2t
(45)
vereinfachende Annahme: Weiterhin wird zur Vereinfachung eine GG-Annahme
benutzt, p1 = p2 = t, die Gleichgewichtspreise wie im Hotelling Modell unterstellt, stimmen überein und entsprechen dem Transportkostensatz, bei Grenzkosten c = 0 liefert dies p = t, damit vereinfachen sich die Nachfragefunktionen
44 und 45 zu
f1 · f2
2
f1 · f2
x2 = f2 · (1 − f1 ) +
2
x1 = f1 · (1 − f2 ) +
(46)
(47)
2. Gewinnfunktion in der Gewinnfunktion tauchen die Preise nun nicht
mehr als unabhängige Variable auf, G(p1 , p2 , t, f1 , f2 , a) =⇒ G(t, f1 , f2 , a),
daher muss nur noch nach dem Anteil an informierten Kunden optimiert
26
werden
!
f2
∂G1
!
= 1 − f2 +
t − a · f1 = 0
∂f1
2
!
f2
1−
t = a · f1
2
f1 =
1−
f2
2
t
a
=
(2 − f2 )t
= R1 (f2 )
2a
da symmetrische Betrachtung
R2 (f1 ) =
(2 − f1 )t
= f2
2a
optimaler Anteil an Kunden, die über das eigene Produkt informiert sind, in
Abhängigkeit des gegebenen Anteils der Kunden, die über das Fremdprodukt
informiert sind
3. GG im Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen Da symmetrische Betrachtung vorgenommen wurde mit p1 = p2 , müssen auch die Anteile f1 und f2 im
GG gleich groß sein f1 = f2 = f ∗
f1 = R1 (f2 ) = R2 (f1 ) = f2 = f ∗
f∗ =
(2 − f ∗ )t
(2 − f ∗ )t
=
2a
2a
∗
2af = (2 − f ∗ )t
2af ∗ + f t = f (2a + t) = (2 − f )t = 2t − f t
2t
f∗ =
2a + t
| · 2a
| + ft
| : (2a + t)
Nehmen wir nun zusätzlich an, dass alle Kunden erreicht werden sollen, also
2t
f ∗ = 1, dann 1 = 2a+t
⇒ 2a + t = 2t ⇔ 2a = t ⇒ a = 2t der Werbekostensatz darf also höchstens halb so groß wie der Preis/Transportkostensatz
sein
27
C.1.3 Lösung 5 b) Variante II – auch Preise als Variablen,
kompliziertere Herleitung
1. Gewinnfunktion mit Preisen als Variablen
x1 = f1 · (1 − f2 ) + f1 · f2 ·
p2 − p1 + t
2t
p2 − p1 + t
af 2
G1 = x1 · p1 − A(f1 ) = f1 · (1 − f2 ) + f1 · f2
p1 − 1
2t
2
|
{z
}
x1
2. Gewinnfunktion ableiten
∂G1
p2 − 2p1 + t !
= f1 · (1 − f2 ) + f1 · f2
=0
∂p1
2t
p2 − 2p1 + t
| : f1
0 = f1 · (1 − f2 ) + f1 · f2
2t
p2 − 2p1 + t
0 = (1 − f2 ) + f2
| : Hauptnenner bilden
2t
0 = 2t(1 − f2 ) + f2 (p2 − 2p1 + t) = 2t−2tf
+ f2 p2 − 2f2 p1 +f
2t
:::::2
::::
0 = 2t − tf2 + f2 p2 − 2f2 p1
2f2 p1 = 2t − tf2 + f2 p2
| + 2f2 p1
| : 2f2
2t
f2 (p2 − t)
t
p2 − t
2t − tf2 + f2 p2
[lt. MK]
=
+
=
+
2f2
2f2
2f2
f2
2
p2 + t t(1 − f2 )
p∗1 =
+
lt. Wied-Nebbeling (2009, S. 194)
2
f2
p1 =
beachten Sie Wied-Nebbeling (2009, S. 194, Fußnote 29)
Die beiden Lösungen sind äquivalent
Lösung MK = Lösung Wied-Nebbeling
p2 − t
t
p2 + t t(1 − f2 )
+
=
+
f2
2
2
f2
2t
f 2 p2 − f 2 t
f2 (p2 + t) 2t(1 − f2 )
+
=
+
2f2
2f2
2f2
2f2
f2 p2 +f
2 t + 2t−2tf
::::
:::::2
2t + f2 p2 − f2 t
=
2f2
2f2
2t + f2 p2 − f2 t
f2 p2 + 2t − tf2
=
2f2
2f2
28
| Hauptnenner bilden
E vgl. S. 194
Ableiten nach dem Kundenanteil
p2 − p1 + t
∂G1
!
= p1 (1 − f2 ) + f2
− af1 = 0
∂f1
2t
p 2 − p1 + t
af1 = p1 1 − f2 + f2
2t
p1
p 2 − p1 + t
∗
f1 =
1 − f2 + f2
a
2t
3. symmetrische GG-Annahme p1 = p2 = pB und f1 = f2 = f ∗
pB =
pB + t t(1 − f ∗ )
f ∗ pB + f ∗ t + 2t − 2tf ∗
+
=
2
f∗
2f ∗
∗
∗
2f ∗ pB = f ∗ pB + f:::
t + 2t − 2tf
= f ∗ pB − f ∗ t + 2t
::::
f ∗ pB = 2t − f ∗ t = t(2 − f )
pB =
| · 2f
| − f ∗ pB
| : f∗
t(2 − f ∗ )
f∗
4. Einsetzen und f ∗ ermitteln
pB
f∗
pB
f∗
pB pB f ∗
pB f ∗
1 − f∗ +
=
1−
=
−
|+
a
2
a
2
a
2a
2a
p
a
p
=⇒ 2af ∗ + pB f ∗ = f ∗ (2a + pB ) = 2pB | : (2a + pB )
a
2pB
2a + pB
!
∗
f =
pB f ∗
=
2a
2af ∗ + pB f ∗
=
2a
f∗ +
f∗ =
!
29
3. Schritt – f in p einsetzen
p=
2p
)
2a+p
2p
2a+p
t(2 −
2p2
2p
= t(2 −
)
2a + p
2a + p
2p2 = 4ta + 2pt − 2pt
√
p = 2ta
,→p(a = 2; t = 4) = 4
1
(a = t)
2
2·4
=1
2·2+4
1
,→ x1 = = x2
2
,→ G1 = 2 − 1 = 1 = G2
,→ f =
C.1.4 Lösung 5 c) Vgl. mit Hotelling Modell
p∗ = t
hier: p∗ =
√
2ta, wenn
√
2ta > t
2a > t
1
a> t
2
d. h. Preis durch informative Werbung größer (für a <
a = 2t bleibt Preis gleich)
30
1
2
gilt umgekehrtes, für
C.2 Aufgabe 6: Suggestive Werbung
Unterstellen Sie eine Marktnachfrage der Form
x=
a 1
1
− p+ A
b
b
2
mit a = 17 und b = 4. Die Produktion erfolgt zu konstanten Grenzkosten
gemäß der Kostenfunktion KP = c · x mit c = 2. Die Werbekosten können mit
KW = A2 angenommen werden.
Bestimmen Sie die optimale Werbeintensität suggestiver Werbung im Monopol.
Welche Preis-Mengen-Kombination wird im Optimum angeboten?
C.2.1 Lösung 6 optimale Werbeintensität
Werbeintensität =
Werbeausgaben
KW
=
Werbeerlös
E
gesucht:
1. die optimale Werbeintensität im Monopol
2. optimale Preis-Mengen-Kombination
1. Schritt – x, KP , KW in G einsetzen
G = Erlös − Gesamtkosten = x · p − KP − KW
a 1
1
17 1
1
− p+ A
x= − p+ A=
b
b 2
4
4 2
17 p
17 1
1
KP = c · x = 2
− p+ A =
− +A
4
4
2
2
2
2
KW = A
17 1
1
17 p
G = x · p − KP − KW =
− p+ A p−
− + A − A2
4
4
2
2
2
17 1
1
17 p
=
− p+ A p−
+ − A − A2
4
4
2
2
2
17
1 2 1
17 p
= p − p + Ap −
+ − A − A2
4
4
2
2
2
31
2. Schritt - Ableitung nach den Aktionsparametern p und A
∂G
17 p A 1 !
=
− + + =0
∂p
4
2
2
2
17
19
p∗ =
+A+1=
+A
2
2
∂G
p
!
= − 1 − 2A = 0
∂A
2
1
p
A∗ = −
4 2
Einsetzen von A∗ in p∗
19 p 1
18 p
p
p
4
+ − =
+ =9+
|−
|·
2
4 2
2
4
4
4
3
4
= 9 · = 12
3
p 1
12 1
1
∗
⇒A = − =
− =3− =
| einsetzen in x
4 2
4
2
2
17 12 5
17 − 12 + 5
10
5
x∗ =
−
+ =
=
=
4
4
4
4
4
2
p∗ =
optimale Werbeintensität
A∗ 2
KW
= ∗ ∗ =
E
x ·p
2
5
2
5
2
· 12
=
5
24
Optimal sind 21% des Erlöses in Werbung zu investieren.
32
D 4. Übung – Kooperation & Kartelle
D.1 Aufgabe 7: Implizite Kooperation
Auf einem Dyopolmarkt kann ein Unternehmen einen Monopolgewinn von
1
1
C
GM
i = 8 , einen Cournotgewinn von Gi = 9 oder einen Gewinn bei Verrat von
9
GVi = 64
erzielen.
a) Ermitteln Sie den Zinssatz r (bei angenommener unendlicher Spieldauer)
bis zu dem sich die Kooperation lohnt. Leiten Sie vorher die allgemeine
Form zur Berechnung des kritischen Diskontfaktors δ ∗ bei Mengenstrategie
her.
b) Nehmen Sie nun an, dass auf eine Diskontierung zukünftiger Gewinne
verzichtet wird. Bestimmen Sie die Mindestdauer des Spiels, die für die
Kooperation notwendig ist, wenn von einer endlichen Spieldauer mit
unbekanntem Ende ausgegangen wird. GM
ˆ K
i =G
i
D.1.1 Lösung 7 Kollusion
Kooperationsgewinn morgen ≥ Gewinn aus Verrat + unendl. Rente Cournotgew.
δ
GKoop
i
≥ GVerrat
+
GC
|nach δ auflösen
i
1−δ
1−δ i
V
C
V
V
C
GK
i ≥ Gi (1 − δ) + δGi = Gi − δGi + δGi
V
C
V
C
V
GK
i − Gi ≥ δGi − δGi = δ(Gi − Gi )
δ≤
V
GK
i − Gi
oder δ ≤
V
GC
i − Gi
| − GVi
V
| : (GC
i − Gi )
GVi − GK
i
GVi − GC
i
|
|(1 − δ)
{z
= δ∗
}
<1, da GV >GK >GC
Je höher der Zinssatz (je niedriger der Diskontsatz), umso
• geringer schätzen sie zukünftige Gewinne
• unwahrscheinlicher ist eine tacit collusion
Je höher der kritische Diksontfaktor, umso unwahrscheinlicher ist Kooperation.
33
D.1.2 Lösung 7 a) kritischer Diskontfaktor und Zinssatz
geg.: Duopolmarkt
K
GM
i = Gi =
1
8
1
9
9
GVi =
64
GC
i =
ges.: r, δ ∗ bei Mengenstrategie
Lsg.:
9
−
GVi − GK
i
64
=
9
V
C
Gi − Gi
−
64
9
δ∗ ≥
17
9
1 − 17
1−δ
=
r=
=
9
δ
17
δ∗ =
1
8
1
9
=
1
64
81−64
64·9
=
9
17
(48)
(49)
17−9
17
9
17
=
8 17
8
=
17 9
9
(50)
Liegt der Zinssatz, mit dem die Unternehmen künftige Gewinne diskontieren,
unter ca. 88,9%, dann lohnt sich die Kooperation.
D.1.3 Lösung 7 b) Mindestdauer des Spiels bei endlichen Zeithorizont
ges.: tmin
Lsg.:
Mengenspiel:
Preisspiel:
≥ GVi + (t − 1)GC
t · GKoop
i
i
Koop
V
B
t · Gi
≥ Gi + (t − 1)Gi
⇐⇒
t∗ >
GVi − GC,B
i
=
K
Gi − GC,B
i
9
− 19
64
1
− 91
8
=
81−64
64·9
9−8
72
=
17
64·9
1
72
=
17 · 72
17 · 8 ·
9
17
(51)
=
=
64 · 9 · 1
8 ·
8 ·9
8
Ab einer Spieldauer von mehr als zwei Runden lohnt sich Kooperation.
GVi − GB
i
t > K
=
Gi − GB
i
B
34
9
−0
64
1
−0
8
=
9
8
(52)
D.2 Aufgabe 8: Kartelle I
Betrachten Sie ein Kartell mit m identischen Unternehmen, deren Grenzkosten
auf 0 normiert sind. Die Unternehmen sehen sich einer linearen Preisabsatzfunktion der Form p = a − x gegenüber. Gehen Sie davon aus, dass das Kartell
nach Außen hin als Stackelbergführer akzeptiert wird.
a) Bis zu welcher Anzahl von Kartellmitgliedern besteht kein Anreiz für ein
Unternehmen, die Außenseiterposition einzunehmen?
b) Nennen Sie weitere Einflussgrößen, die positiv auf die Stabilität von
Kartellen wirken.
c) Was versteht man unter interner und externer Kartellstabilität?
D.2.1 Lösung 8 a) Stabilität des Kartells
geg.: m identische Anbieter, GKi = 0, p = a − x
ges.: m∗
a
2
Lsg.: Kartell als Stackelbergführer ⇒ xStackelberg = xS =
⇒ p(xs ) =
a
2
1. Schritt – Berechnung des Gewinns eines Kartellmitgliedes
GKartell =
1 aa
a2
1 2
pxS =
=
m
m22
4m
2. Schritt – Berechnung des Gewinns des Außenseiters GU
Folger auftritt
halbe Kartellmenge
xU =
xS
a
=
2
4
Gesamtnachfrage
xg =
a a
3
+ = a
2 4
4
3
a
⇒ p(xU ) = a − xg = a − a =
4
4
35
der als Stackelberg-
Gewinn des Außenseiters
GU = p(xU )xU =
aa
a2
=
44
16
3. Schritt – Bestimmung der kritischen Anbieterzahl Stabilitätsbedingung
Kartellgewinn ≥ Außenseitergewinn
a2
a2
≥
4m
16
4m ≤ 16
|()−1 | · a2
|:4
m≤4
Das Kartell ist für m ≤ 4 Mitglieder stabil. Bei mehr als 4 Kartellmitgliedern
besteht ein Anreiz die Außenseiterposition einzunehmen.
D.2.2 Lösung 8 b) Einflussgrößen auf die Kartellstabilität
auf die Kartellstabilität wirkt sich positiv aus:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
kleine Anbieterzahl
ähnliche Kostenstruktur (einfache Preisbestimmung)
gemeinsame Zielsetzung
geringe Umsetzungskosten
gute, glaubhafte Bestrafungsmechanismen für Abtrünnige
abgestimmte Investitionspolitik
geringe Aufdeckungswahrscheinlichkeit
geringe Strafen im Vergleich zum erwarteten Gewinn
stabile Nachfrage
gute Marktübersicht
hohe Markteintritts- und -austrittsschranken
homogene Produkte
D.2.3 Lösung 8 c) interne/externe Stabilität
interne Stabilität: kein Mitglied hat einen Anreiz auszutreten
36
externe Stabilität: kein Mitglied hat einen Anreiz einzutreten
37
E 5. Übung
E.1 Aufgabe 9: Kartelle II
Auf einem Markt agieren zwei Anbieter (i = 1,2) mit unterschiedlichen Kostenfunktionen. Anbieter 1 produziert mit Kosten von K1 = 12 x21 , Anbieter
2 mit den Kosten K2 = x22 . Die inverse Marktnachfragefunktion kann mit
p = 100 − 21 (x1 + x2 ) angenommen werden. Die Preisabsatzfunktionen der
Anbieter lauten pi = 100 − xi .
Zeigen Sie, mit welchem Preis sich eine Kartellbildung für eines der beiden Unternehmen lohnt. Wie könnte dieses Unternehmen seinen Wettbewerber zur Bildung eines Kartells überreden? Unterstellen Sie ggf. Preisführerschaft.
E.1.1 Lösung 9) Kartell mit unterschiedlichen Kosten
Vgl. Wied-Nebbeling (2009, S. 232): bei deutlichen Kostenunterschieden
ist die Realisierung eines Kollektivmonopols/Kartells komplizierter, denn es
müssen Produktionsquoten vereinbart werden, die nicht der Höhe der bisherigen
Marktanteile entsprechen
=⇒ Bildung eines Preiskartells mit unterschiedlichen Kosten der Anbieter
geg.:
x21
2
K2 = x22
K1 =
GK1 = x1
GK2 = 2x2
Anbieter 2 hat höhere Kosten
inverse Marktnachfragefunktion P = 100 −
x1 +x2
2
PAF des Anbieters i : pi = 100 − xi bei gleich hohen Preisen teilen sich die
Anbieter die Nachfrage ,→ GE1 = 100 − 2x1
38
Fall 1 – Anbieter 1 oder 2 setzt gewinnmaximalen Preis ist Preisführerschaft1 schon ein Kartell? Vgl. Wied-Nebbeling (2009, S. 240) ist eine
Preisführerschaft explizit organisiert, ist sie natürlich ein Kartell, ist die Preisführerschaft allerdings nur implizit durch die Dominanz einer kostengünstigeren
Firma etabliert, dann liegt kein Kartell vor
Anbieter 1 setzt Preis
GE1 = GK1
100 − 2x1 = x1
| + 2x1
3x1 = 100
x1 = 100
= x2
3
100
p1 = 100−x1 = 100− 3 = 200
= p2
3
2
( 100
)
000
K1 = 32 = 109·2
= 1018000 = 5 000
9
100 200
5 000
G1 = x1 p1 − K1 = 3 3 − 9 =
20 000−5 000
= 15 9000 = 5 000
9
3
2
G1 = 1 666 3
Anbieter 2 erhält
K2 = x22 = 10 9000
200
G2 = x2 p2 − K2 = 100
− 10 9000 =
3 3
20 000−10 000
= 10 9000 ≈ 1 111
9
Anbieter 2 setzt Preis
GE2 = GK2
100 − 2x2 = 2x2
| + 2x2
4x2 = 100
100
= x1
x2 = 4 = 25
p2 = 100 − x2 = 100 − 25 = 75 = p1
K2 = x22 = 252 = 625
G2 = x2 p2 − K2 = 25 · 75 − 625 =
1875 − 625 = 1250
G2 = 1250
Anbieter 1 erhält
2
x2
K1 = 21 = 252 = 625
2
=
G1 = x1 p1 − K1 = 25 · 75 − 625
2
1 875·2−625
3 750−625
3 125
=
= 2 = 1562,5
2
2
⇒ kostengünstiger produzierende Firma 1 wird Preisführer und produziert eine
höhere Quote
Fall 2 – Gemeinsame Gewinnmaximierung Anbieter 1 überzeugt Anbieter
2 von Kartellbildung, da Anbieter 1 sich damit noch besser stellen könnte als
als „reiner“ Preisführer
,→ Anbieter 1 muss dann aber Anbieter 2 überreden weniger als die halbe
Quote zu produzieren
1
Zur Preisführerschaft: „Wird die Preisführerschaft akzeptiert, teilen sich die beiden Firmen
den Markt.“ (Wied-Nebbeling (2009, S. 242, 2.3.2))
39
Gewinngesamt = Gg (x1 , x2 ) = p(x1 + x2 ) − K1 (x1 ) − K2 (x2 )
x 1 + x2
x2
= 100 −
(x1 + x2 ) − 1 − x22
2
2
x1 (x1 + x2 ) x2 (x1 + x2 ) x21
= 100x1 + 100x2 −
−
−
− x22
2
2
2
x2 + x1 x2 x22 + x1 x2 x21
−
−
− x22
= 100x1 + 100x2 − 1
2
2
2
x 2 x2
x1 x2 x21 2
= 100x1 + 100x2 − 1 − 2 − 2
− −x2
2 2
2 ::::
2
::::
3
= 100x1 + 100x2 − x21 − x22 − x1 x2
2
,→ ermitteln der gewinnmaximalen Mengen durch partielles Ableiten
gewinnmax. Preis Anbieter 1
∂Gg
!
= 100 − 2x1 − x2 = 0
∂x1
x2 = 100 − 2x1
(53)
| einsetzen in . . .
(54)
gewinnmax. Preis Anbieter 2
∂Gg
!
= 100 − 3x2 − x1 = 0
∂x2
(55)
0 = 100 − 3(100 − 2x1 ) − x1
(56)
0 = 100 − 300 + 6x1 − x1 = −200 + 5x1
|umstellen nach x1
200
x1 =
= 40
5
x2 = 100 − 2x1 = 100 − 2 · 40 = 20
40 + 20
x1 + x2
p = 100 −
= 100 −
100 − 30 = 70
2
2
(57)
(58)
(59)
(60)
Gewinne der Anbieter ohne Gewinnausgleich
402
= 2800 − 800 = 2000
2
G2 = x2 p2 − K2 = 20 · 70 − 202 = 1400 − 400 = 1000
G1 = x1 p1 − K1 = 40 · 70 −
(61)
(62)
(63)
,→ das Kartellergebnis stellt Anbieter 2 schlechter als wenn er Anbieter 1 als
Preisführer akzeptieren würde GK
2 = 1000 < G2 = 1111 bzw. 1250
• Anbieter 2 hat per se keinen Anreiz zur Kartellbildung
40
2
• Anbieter 1 hat einen Anreiz, da GK
1 = 2000 > 1666 3 = G1 , d. h. Übergewinn von 333 13
,→ Anbieter 1 bietet Gewinntransfer in Höhe von mind. 250 GE an, dann ist
Anbieter 2 mindestens indifferent zum Fall der eigenen Preisführerschaft
• damit würde Anbieter 2 allerdings auch den größeren Anteil des Übergewinns erhalten . . .
41
E.2 Aufgabe 10: Erfahrungsgüter
Betrachten Sie einen Markt mit Erfahrungsgütern. Die inverse Nachfragefunktion nach dem Erstkauf lautet: p = a − x. Die Grenzkosten seien mit GK = c
konstant.
a) Bestimmen Sie die um den Risiko-Kosten-Faktor modifizierte inverse
Nachfragefunktion Nτ für Erstkäufer. Was sagt diese aus?
b) Ermitteln Sie die Menge und den Preis des Erstanbieters nach Produkteinführung, wenn unterstellt wird, dass das Produkt den erhofften Nutzen
bringt. Wie hoch ist der Einführungspreis?
c) Nun tritt ein zweiter Anbieter in den Markt ein. Welcher Nachfrage sieht
er sich gegenüber? Vergleichen Sie seine Nachfragesituation mit der des
Erstanbieters.
d) Gehen Sie von folgenden gegebenen Parametern aus: a = 125, c = 25,
τ = 0,6. Ziehen Sie die oben genannten Schritte noch einmal rechnerisch
nach.
E.2.1 Lösung 10 a) Nτ Nachfragefunktion für Erstkäufer
GK = c und p = a − x inverse Nachfrage nach Erstkauf
pτ = (a − x)(1 − τ ) = Nτ
= a(1 − τ ) − x(1 − τ ) = p1
für Risikokostenfaktor 0 < τ < 1
Zahlungsbereitschaft berücksichtigt das Risiko bzw. die Kosten, falls das Produkt nicht den erhofften Nutzen stiftet, daher eine nach innen gedrehte Nachfragekurve Nτ
E.2.2 Lösung 10 b) Preis und Menge nach Produkteinführung (nicht
modifizierte PAF):
1. Schritt – Preis nach Produkteinführung
xM
1 =
a−c
(vgl. Monopol Wied-Nebbeling, 2009, S. 53 ff.)
2
M
,→ pM
1 = a − x1 = a −
a−c
2a − a + c
a+c
=
=
2
2
2
42
2. Schritt – Einführungspreis auf modifizierter P AF = Nτ , d. h. einsetzen
von xM
1 in Nτ :
Nτ = pτ = (a − xM
1 ) · (1 − τ )
a−c
= a−
·(1 − τ )
|
{z 2 }
pM
1
M
= pM
1 · (1 − τ ) < p1
→ Einführungspreis ist um (1 − τ ) niedriger als Monopolpreis
E.2.3 Lösung 10 c) zweiter Anbieter tritt in Markt ein
zweiter Anbieter sucht sich zwei Gruppen gegenüber:
(I) Erfahrene (x < xM
1 ) =⇒ x2,I
(II) Unerfahrene (x ≥ xM
1 ) =⇒ x2,II
Um den Verlauf der P AF2 zu bestimmen, muss nun die genau nachgefragte
Menge x2,ges = x2,I + x2,II des Erfahrungsguts des Anbieters 2 ermittelt werden.
Diese Nachfragemenge ergibt sich aus Wied-Nebbeling (2009, Abb. VII.6, S.
287). Darin kennzeichnen x2,I und x2,II jeweils die Schnittpunkte der beiden
unteren Nachfragekurven mit der Grenzkostenkurve. Liegt der Preis über den
Grenzkosten, lohnt es sich für den Anbieter 2 und er stellt mit seinem Markteintritt daher auf diese Nachfragemenge ab, die über der Grenzkostenkurve liegen.
Beide Teilmengen addiert, ergeben x2,ges , was dann vom Ursprung abgetragen,
genau denjenigen x-Wert beschreibt, bei dem der Schnittpunkt der P AF2 mit
der Grenzkostenkurve GK liegt.
Wie in der Vorlesung besprochen, sind alle Grafiken für einen Spezialfall
gezeichnet, dass die Konsumentenrente gerade dem Ordinatenabschnitt der
modifizierten Nachfragefunktion Nτ (0) entspricht:
N (0) − pM
1 = Nτ (0) − 0 = Nτ (0).
Für diesen Fall ist die Ermittlung der Gesamtnachfrage des 2. Anbieters x2,ges
vergleichsweise einfach.
43
Nachfragefunktion der Gruppe (I)
1. Schritt Bestimmung der Konsumentenrente als Differenz aus Zahlungsbereitschaft der Erfahrenen und des Preise KRI = ZB−P reis
M
KRI = N (x)−pM
1 = (a−x)−p1 = a−x−
a+c
2a − 2x − a + c
a−c
=
=
−x
2
2
2
Konsumentenrente pro abgesetzter ME für erfahrene Kunden x < xM
1
2. Schritt Bestimmung der Differenz Nτ und KRI und umstellen nach
x2,I
a−c
= Nτ − KRI = (a − x)(1 − τ ) −
−x
2
a c
= a: − x − τ a + τ x− + + x
2 2
:::
p2,I
a c
a − 2aτ + c + 2τ x
+ − τa + τx =
=
2 2
2
a(1 − 2τ ) + c 2 τ x
+
=
2
2
a−c
a(1 − 2τ ) + c
+τ x2,I
für x2,I < xM
=
1 =
|{z}
2
2
{z
}
|
=
Anstieg
Absolutglied
erfahrene Käufer der 1. ME erzielt höchste KR, Käufer der letzten ME bei xM
1
ist null, diese Funktion hat allerdings einen positiven Anstieg, gesucht ist aber
eine Nachfragekurve mit negativem Anstieg.
a(1 − 2τ ) + c
+ τ x2,I
2
. . . ? some magic appears . . . ? E vgl. S. 292
a+c
p2,I =
(1 − τ ) − τ x2,I
| umstellen nach x2,I
2
a+c
p2,I =
(1 − τ ) − τ x2,I
| + τ x2,I | − p2,I
2
(a + c)(1 − τ ) p2,I
x2,I =
−
2τ
τ
(64)
p2,I =
44
(65)
(66)
|:τ
(67)
(68)
Nachfragefunktion der Gruppe (II)
p2,II = pM
1 (1 − τ ) −x(1 − τ )
|
{z
pτ
a+c
=
(1 − τ ) − x(1 − τ )
| umstellen nach x2,II
2
a+c
=
(1 − τ ) − x2,II (1 − τ ) | + x2,II (1 − τ ) | − p2,II
2
p
a+c
−
=
2
1−τ
p2,II
x2,II
x > xM
1 untere Teil d. PAF Nτ
}
| : (1 − τ )
Gesamtnachfrage berechnen
(a + c)(1 − τ ) p (a + c)
p
− +
−
2τ
τ
2
1−τ
p(1 − τ ) + pτ
a+c 1−τ
+1 −
=
2
τ
(1 − τ )τ
(
−pτ
−τ+ τ
p(
a + c 1
((+(pτ
−
=
2
τ
(1 − τ )τ
p
a+c
−
=
inverse P AF2
2τ
τ (1 − τ )
x2,g = x2,I + x2,II =
x2,g
2. Schritt inverse P AF2 nach p umstellen
a+c
p
−
|τ (1 − τ )
2τ
τ (1 − τ )
(a + c)τ (1 − τ )
x2,g τ (1 − τ ) =
−p
| + p | − x2,g τ (1 − τ )
2τ
(a + c)(1 − τ )
− τ (1 − τ )x2,g ≡ P AF2
p2 =
2
x2,g =
(69)
(70)
(71)
3. Schritt – Vergleich der Nachfragesitutation Nτ & P AF2 bzgl. Ordinatenabschnitt
siehe Grafik VII.6
Nτ =
a
(1−τ) − x(1
−
τ)
z}|{
>
a+c
2
2a > a + c
a>
a+c
(1−τ) − xτ (1 − τ ) = P AF2
2
(72)
|·2
(73)
|−a
(74)
(75)
a>c
45
,→ P AF2 liegt noch unter der modifizierten (risikoadjustierten) P AF (Nτ )
Ausgangslage für zweiten ist eindeutig schlechter
E.2.4 Lösung 10 d) Zahlenbeispiel
a = 125, c = 25, τ =
3
5
,→
p = a − x = 125 − x
a) Nτ = (a − x)(1 − τ ) = (125 − x) 1 −
50 − 25 x = pτ
3
5
= (125 − x) 25 = 125 25 − 25 x =
b)
a+c
125 + 25
=
= 75
2
2
125 − 25
a−c
=
= 50
=
2
2
pM
1 =
(76)
xM
1
(77)
2
M
pE
1 = (a − x1 )(1 − τ ) = 50 − 50 = 30
5
c) Nachfrage für zweiten Anbieter
Gruppe (I)
1. Schritt: KRI = a−c
− x = 50 − x
2
2. Schritt: pτ − KRI = 50 − 25 x − (50 − x) = 53 x
aus dem Koordinatenursprung
3
3
3. Schritt: p2,I = pE
1 − 5 x = 30 − 5 x
Gruppe (II)
2
p2,II = pE
1 − x(1 − τ ) = 30 − x
5
für x ≥ 50 unterer Teil in Nτ
5
,→ x2,II = 75 − p
2
Spiegelung nach oben, Ordinatenabschnitt bei p1,e =30
46
(für x < 50)
(78)
Für die Gesamtnachfrage xges inverse Nachfragefunktion der Gruppen
nach x auflösen und addieren
3
p2,I = 30 − x =⇒ x = 50 −
5
2
p2,II = 30 − x =⇒ x = 75 −
5
5
p
3
5
p
2
(79)
(80)
1. Schritt Gesamtnachfrage:
x2,g = x2,I + x2,II
5
25
5
= 50 − p + 75 − p = 125 − p
3
2
6
2. Schritt umstellen nach p
25
p
6
25
p| − xges
6
6
6
125 · 6
− x = 30 − x = P AF2
p=
25
25
25
x2,ges = 125 −
|+
3. Schritt Vergleich pτ mit p2 bzgl. Ordinatenabschnitt:
6
2
pτ = 50 − x > 30 − x = p2
5
25
50 > 30
Erstanbieter hat deutlichen Vorteil, siehe auch Abbildung VII.A.1
und VII.A.2
47