Natürliche Ressourcen 1 Nicht erneuerbare Ressourcen

Vorlesungsmanuskript zur Umweltökonomik
Teil II: Natürliche Ressourcen
Georg Müller-Fürstenberger, Winter 2010
16. März 2010
Der vorliegende Text vertieft die Vorlesung Umweltökonomik, gehalten im Wintersemester
2009/2010. Er richtet sich an Studierende, die den Vorlesungssto in einer etwas stärkeren
Mathematisierung wiederholen möchten. Die Notation ist stellenweise deutlich formaler als in
der Vorlesung.
In der Ressourcenökonomik geht es um die Umwelt als Rohstoieferant. Unterschieden werden
erneuerbare und nicht-erneuerbare Ressourcen. Erneuerbare Ressourcen besitzen eine Eigendynamik, sie wachsen nach. Beispiele sind Wälder und Fischbestände. Nicht-erneuerbare Ressourcen hingegen wachsen nicht nach, jedenfalls nicht in für Menschen relevanten Zeitskalen.
Beispiele sind die fossilen Energieträger Erdöl, Erdgas und Kohle.
1
Nichterneuerbare Ressourcen
Gegeben ist ein Ressourcenbestand R. Dieser wird über einen
P Zeitraum t = 0, 1, ..., T abgebaut.
Ein Abbauprol {xt } = x0 , x1 , ..., xT ist zulässig, wenn t xt ≤ R. Dabei bezeichnet xt die in
t abgebaute Ressourcenmenge.
1.1
Hotellings Modell
Das HotellingModell (Hotelling 1931) erklärt Preisentwicklung und {xt } einer endlichen Ressource in einem marktwirtschaftlichen Umfeld.1 In der einfachsten Version gilt: R gehört einer
gewinnmaxmimierenden Firma. Sie baut die Ressource kostenfrei ab und verkauft sie auf einem Markt unter vollkommener Konkurrenz. Für die Firma ist {pt } gegeben. Die Firma kann
sich zum (konstanten) Zins r verschulden oder Kapital anlegen. Die Nachfrage hängt von pt ab,
insbesondere limxt →0 pt = ∞. Daraus folgt xt > 0 für alle t, da ansonsten der Ressourcenpreis
gegen unendlich gehen würde. Alle Wirtschaftssubjekte haben perfekte Voraussicht.
Der Unternehmensgewinn (Nettobarwert) beträgt
G=
T
X
t=0
T
X
p t xt
,
wobei
xt = R
(1 + r)t
t=0
einzuhalten ist. Um das gewinnmaximale {xt } zu charakterisieren, leiten wir nach xt ab. Zuvor
jedoch setzen wir die Ressourcenrestriktion in den Gewinn ein:
1
Marktwirtschaftliches Umfeld heiÿt: die Eigentumsrechte an einer Ressource sind verteilt und durchsetzbar,
die Ressource wird auf einem Markt gehandelt.
1
G = p0
R−
T
X
!
xt
+
T
X
t=1
t=1
p t xt
.
(1 + r)t
Daraus folgt im Optimum
∀t :
dG
1
= −p0 + pt
= 0.
dxt
(1 + r)t
Für zwei beliebige aufeinanderfolgende Zeitpunkte t und t + 1 gilt somit
p0 (1 + r)t = pt und p0 (1 + r)t+1 = pt+1 .
Dividieren wir die beiden Bedingungen durcheinander, so resultiert mit
pt+1 = (1 + r)pt
die sogenannte HotellingRegel. Sie besagt, dass der Ressourcenpreis mit dem Kapitalmarktzins r wächst.
Die HotellingRegel lässt sich intuitiv gut erfassen: Die Verzinsung der Ressource im Boden
(in situ) muss dem Kapitalmarktzins entsprechen. Für pt+1 > (1 + r)pt ist es besser, in t
keine Ressourcen zu verkaufen und zu warten. Wäre hingegen pt+1 < (1 + r)pt , so würde
das Unternehmen in t + 1 nichts anbieten. In beiden Fällen hätten wir in einer Periode kein
Angebot, was mit den Annahmen über die Nachfrageseite unvereinbar ist. (Der Preis würde
in diesem Fall gegen unendlich gehen.)
Die HotellingRegel beschreibt die Preisdynamik, nicht aber p0 und {xt }. Dazu benötigen wir
die Nachfrageseite. Zum Preis pt wird x(pt ) nachgefragt (mit x0 (pt ) < 0 und pt → ∞ für
x(pt ) → 0 ). Über den gesamten Zeitraum wird somit
T
X
x(pt ) =
t=0
T
X
x(p0 (1 + r)t )
t=0
nachgefragt. Diese Nachfragemenge muss gleich dem gesamten Ressourcenangebot R sein.
Somit deniert
T
X
x(p0 (1 + r)t ) = R
t=0
implizit den Startpreis p0 . Damit ist der gesamte Preispfad charakterisiert. Lösen und einsetzen
in die Nachfragefunktion ergibt das optimale Abbauprol.
1.2
Exkurs: Hotelling mit Abbaukosten
Zwei Typen von Abbaukosten treten auf: (1) extraktionsmengenabhängige und (2)bestandsabhängige Kosten. Bestandsabhängige Kosten blenden wir aus, so dass
C = C(xt ), mit C 0 > 0, C 00 ≥ 0.
Eine gewinnmaximierende Eigentümerin der Ressource maximiert dann den Unternehmenswert
2
Abbildung 1: Das Hotelling Modell. Die Summe der nachgefragten Mengen muss R ergeben.
G=
T
X
pt xt − C(xt )
t=0
(1 + r)t
, wobei
T
X
xt ≤ R
t=0
einzuhalten ist.
Das Problem könnten wir wie oben durch Einsetzen der Restriktion in die Zielfunktion
lösen. Einsetzen kann bei komplizierteren Funktionen jedoch schwierig oder unmöglich sein.
Deshalb führen wir unten ein Verfahren zur Optimierung unter Nebenbedingungen ein, das
LagrangeVerfahren. Vorweg aber die resultierde Optimalbedingung, die sich ökonomisch gut
begründen läÿt. Sie lautet
pt+1 − C 0 (xt+1 ) = (1 + r) pt − C 0 (xt ) .
Auf der linken Seite steht der Grenzgewinn einer zusätzlich in t + 1 verkauften Ressourceneinheit. Dieser Grenzgewinn muss dem Grenzgewinn der Ressource zum Zeitpunkt t zuzüglich
der Kapitalmarktverzinsung entsprechen.
Wir leiten dieses Ergebnis nun über das LagrangeVerfahren her. Dazu werden vier Schritte
durchgeführt.
Schritt 1: Alle Restriktionen werden auf ≥ 0 gebracht. Auÿerdem muss sicher sein, dass alle
Restriktionen im Optimum mit = 0 halten. Andernfalls ist das aufwändigere KuhnTucker
Verfahren nötig. Im vorliegenden Fall erhalten wir
R−
T
X
xt ≥ 0.
t=0
Diese Bedingung wird sicher mit = 0 halten, da es nicht sinnvoll ist, einen Teil des Ressourcenbestandes nicht zu verkaufen. (Es sei denn der Preis wäre Null. Das ist aber durch Annahmen
bezüglich der Nachfrage ausgeschlossen.)
3
Schritt 2: Statt die Restriktionen aufzulösen und in die Zielfunktion einzusetzen, werden sie
einfach zur Zielfunktion (hier dem Gewinn) hinzugezählt. Dazu werden sie aber erst noch mit
einem LagrangeMultiplikator multipliziert. Die neue Funktion L heiÿt Lagrange-Funktion:
!
T
T
X
X
pt xt − C(xt )
L=
+µ R−
xt .
(1 + r)t
t=0
t=0
Schritt 3: Die LagrangeFunktion wird nach allen Variablen abgeleitet, einschliesslich der
LagrangeMultiplikatoren, und gleich Null gesetzt.
∀t :
dL
pt − C 0 (xt )
!
=
− µ = 0 und
dxt
(1 + r)t
T
X
dL
!
=R−
xt = 0.
dµ
t=0
Das resultierende Gleichungssystem kann nun ausgewertet oder gelöst werden. Die Gleichungen werden als FirstOrderConditions (FOC) bezeichnet, weil sie eine notwendige Voraussetzung für ein Optimum denieren. Zu beachten ist: die Ableitungen nach den Lagrange
Multiplikatoren sichern, dass die Restriktionen im Optimum halten.
Damit gilt für t und t + 1
pt+1 − C 0 (xt+1 )
pt − C 0 (xt )
=
µ
und
= µ.
(1 + r)t
(1 + r)t+1
Zusammengefasst folgt die HotellingRegel
pt+1 − C 0 (xt+1 ) = (1 + r) pt − C 0 (xt ) .
In Worten: der Grenzgewinn einer Ressourceneinheit muss sich mit der Zinsrate entwickeln.
Aus
∀t :
pt − C 0 (xt )
=µ
(1 + r)t
folgt, dass der Gegenwartswert des Grenzgewinns einer Ressourceneinheit für alle t gleich sein
muss. Für das µ ergibt sich daraus eine interessante Interpretation: sei x∗t das gewinnmaximierende Abbauprol. Dann ist
!
T
T
X
X
pt x∗t − C(x∗t )
∗
L=
+µ R−
xt
(1 + r)t
t=0
t=0
der maximale Gewinn. Leiten wir diesen nach R ab um zu sehen, wie eine zusätzlich Ressourceneinheit den Gewinn verändern würde, und gehen dabei gleichzeitig davon aus, dass sich
das optimale Abbauprol {x∗t } nicht verändert, dann
dL
= µ.
dR
Der LagrangeMultiplikator gibt also an, wie sich der Unternehmenswert ändert, wenn eine zusätzliche Ressourceneinheit zur Verfügung stellt. Dies wäre auch der maximale Betrag,
4
den das Unternehmen für das Recht, eine zusätzlich Ressourceneinheit abbauen zu können,
bezahlen würde. Mit anderen Worten ist µ der Preis für eine Einheit der Ressource in-situ.
BackStopTechnologien verhindern, dass der Ressourcenpreis über eine obere Schwelle
hinweg anwächst. Backstop Technologien für Erdöl sind die regenerativen Energieträger.
1.3
Die Dasgupa-Heal-Stiglitz Modellwelt
Das HotellingModell ist ein Partialmodell. Deshalb bleiben viele Fragen oen: (1) Die Ressourcen
Preisdynamik wird an den Zinssatz gekoppelt. Damit wird die Ressourcenpreisprognose letztlich zu einer Zinsprognose. (2) Steigende Ressourcenpreise vergröÿern das Einkommen von
Ressourcenbesitzern und führen damit letztlich wieder zu mehr Nachfrage. Bei nur sehr schwachen Substitutionseekten würde der nachfragedämpfende Impuls im Aggregat deshalb sehr
mild ausfallen. (3) Wie ist die HotellingRegel gesamtwirtschaftlich zu bewerten? Insbesondere
ist hier zu fragen, ob sie mit der Vorstellung einer nachhaltigen Wirtschaft vereinbar ist.
1.3.1 Nachhaltigkeit
Nachhaltigkeit (sustainability) bezieht sich auf die Wohlfahrt zukünftiger Generationen.
Eine Entwicklung ist nachhaltig, wenn nachfolgende Generationen das gleiche oder ein höheres
Wohlfahrtsniveau als die gegenwärtige Generation erreichen können. In der Ökonomik wird
üblicherweise angenommen, dass Wohlfahrt im Konsum von Gütern realisiert wird. Angenommen ct sei der Konsum der Generation t. Generation t bewertet dies mit u(ct ). Dann bedeutet
Nachhaltigkeit ∀t : u(ct ) ≥ u(c0 ). Damit aber würde die gegenwärtige Generation zur Referenz.
Alternativ könnte auch von jeder Generation gefordert werden ∀t : u(ct+1 ) ≥ u(ct ). Jedenfalls
würde ein konstanter Konsumpfad (ct = c) der Vorstellung von Nachhaltigkeit entsprechen.
1.3.2 Ressourcenverteilung als Cake-Eating
CakeEating Modelle untersuchen die Verteilung eines gegebenen Bestandes (an Konsumgüter
oder einer Ressource) auf mehrere Personen. In unserem Kontext ist R der Kuchen, xt die der
Generation t zukommende Ressourcenmenge. Eine nachhaltige Verteilung der Ressource ist
mit xt = R/(T + 1) gegeben.
Angenommen, eine übergeordnete Institution, der wohlwollende Diktator, verteilt die Ressource. Welchem Optimierungskalkül soll er folgen? Dazu formulieren wir die Entscheidung
als Optimierung unter Nebenbedingungen. Maximiert wird eine Wohlfahrtsfunktion
X
δ t u(ct ) mit xt = ct und
t
X
xt = R.
t
Die Ressource kann also direkt konsumiert werden (xt = ct ), der Faktor δ t > 0 gewichtet den
Nutzen der Generation t. Für δ = 1 werden alle Generationen gleich gewichtet, für δ < 1 wird
das Gewicht immer kleiner.
Die dazugehörige Lagrange lautet
L=
X
δ t u(ct ) + µ(R −
t
X
t
Als Optimalbedingung erhalten wir
∀t : δ t u0 (ct ) = µ.
5
xt ).
Daraus folgt
δ
u0 (ct+1 )
= 1.
u0 (ct )
Für δ = 1 folgt eine nachhaltige Verteilung. Dieser Diskontfaktor ist eine Schlüsselgröÿe in
intertemporalen Optimalitätskalkülen. Im Stern Report beispielsweise wurde ihm in der Diskussion sehr viel Raum gegeben.
1.3.3 Die HotellingRegel im Dasgupta-Heal Modell
Das Dasgupta-Heal Modell baut auf dem Cake-Eating Ansatz auf. Auch hier wird eine Wohlfahrtsfunktion unter Restriktionen maximiert. Die Wohlfahrtsfunktion übernehmen wir von
oben, ebenso die Ressourcenbeschränkung. Zusätzlich hinzu kommt eine Produktionsfunktion
f , die Ressourcen und Kapital zum Output zusammenfügt. Dieser Output wird konsumiert
oder investiert. Wenn sich der Kapitalstock nicht abschreibt, folgt als Restriktion
∀t : f (kt , xt ) − ct − (kt+1 − kt ) = 0.
Die Lagrange sieht dann etwas komplizierter aus, nämlich
!
L=
X
t
δ u(ct ) +
t
X
λt (f (kt , xt ) − ct − kt+1 + kt ) + µ R −
t
X
xt
t
Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung erhalten wir durch Ableiten der Lagrange nach
ct , xt und kt :
∀t :
∀t :
dL
!
= δu0 (ct ) − λt = 0,
dct
∀t :
dL
!
= λt fx0 (kt , xt ) = µ,
dxt
dL
!
= λt fk0 (kt , xt ) + 1 − λt−1 = 0.
dkt
Die dritte Bedingung stellen wir um zu
fk0 (kt , xt ) + 1 =
λt−1
,
λt
weil sich daraus eine Interpretation ergibt: auf der linken Seite steht der zusätzliche Output
einer zusätzliche Einheit Kapital plus eins. Da wir eine Einheit Output brauchen um eine
Einheit Kapital bereitzustellen, ist der Netto-Eekt dieser Investition und damit die reale
Verzinsung mit fk0 gegeben. Bezeichne r diese Verzinsung, so erhalten wir
1 + rt =
λt−1
.
λt
Aus der zweiten Optimalbedingung folgt
λt−1 fx0 (kt−1 , xt−1 )
= 1.
λt fx0 (kt , xt )
6
Das Grenzprodukt der Ressource fx0 ist der Ressourcenpreis, somit
λt−1 pt−1
= 1.
λt pt
Daraus wiederum folgt mit
(1 + rt )pt−1
= 1,
pt
die bereits bekannte HotellingRegel. Damit können wir festhalten, dass die HotellingRegel
mit einer gesamtwirtschaftlich optimalen Verwendung der Ressource vereinbar ist.
Kommen wir nun zur zentralen Frage: Unter welcher Bedingung entwickelt sich eine Ökonomie
nachhaltig? Die Antwort darauf gibt die HartwickRegel.
1.3.4 HartwickRegel
Diese Regel besagt, dass der Ertrag aus der Ressource vollständig investiert werden muss.
Dann ist konstanter Konsum über die Zeit (sogar für T → ∞) möglich. Um diese Regel zu
beweisen, überführen wir die HotellingRegel zunächst in ihre zeitstetige Version:
ṗ = rp,
d.h. der Ressourcenpreis verändert sich mit der Zinsrate. Zur Vereinfachung der Notation
lassen wir t als Index weg; der Punkt über einer Variablen signalisiert ihre Ableitung nach der
Zeit. Setzen wir für die Preise die jeweiligen Grenzprodukte ein, so erhalten wir
f˙x0 = fk0 fx0 .
(1)
Die Verwendungsrestriktion des Outputs schreiben wir als
k̇ = f (k, x) − c.
(2)
Diese Gleichung leiten wir nochmal nach der Zeit ab:
k̈ = fk0 k̇ + fx0 ẋ − ċ.
(3)
Wir wollen nun ċ = 0 zeigen, falls die HartwickRegel angewandt wird. Dann nämlich ist der
Konsum über die Zeit konstant und damit auch der Nutzen.
Die HartwickRegel lautet
k̇ = xfx0 .
(4)
k̈ = ẋfx0 + xf˙x0
(5)
k̈ = ẋfx0 + xfk0 fx0 .
(6)
Wir leiten diese nochmal nach t ab:
und erseten f˙x0 durch (1):
Wir stellen den zweiten Term auf der rechten Seite um,
7
k̈ = ẋfx0 + xfx0 fk0 ,
(7)
k̈ = ẋfx0 + k̇fk0 .
(8)
um (4) einzusetzen:
Direkter Vergleích von (8) mit (3) ergibt ċ = 0, q.e.d.
2
Erneuerbare Ressourcen
Viele natürliche Ressourcen regenerieren sich von selbst. Beispielsweise wachsen Wälder nach,
Fischbestände vergröÿern sich, Schadstoe werden abgebaut. Für diese Ressourcen läÿt sich
die strengere Version des Nachhaltigkeitskonzeptes anwenden, die strong sustainability. Starke
Nachhaltigkeit fordert, dass der Bestand einer natürlichen Ressource über die Zeit konstant
ist. Demzufolge darf nur die jeweils nachgewachsene Menge entnommen werden.
2.1
Grundlegende Konzepte
Der Ressourcenbestand zum Zeitpunkt t sei Vt , die natürliche Veränderung F (Vt ). Damit
ergibt sich folgendes natürliches Wachstum: Vt+1 = Vt + F (Vt ), gezeigt in Abbildung 2.
Abbildung 2: Wachstumsdynamik einer regenerativen Ressource
8
Das ökologische Gleichgewicht ist für F (Vt ) = 0 erreicht. In einem bioökonomischen Gleichgewicht wird die nachgewachsene Menge entnommen, d.h. xt = F (Vt ). Die maximale nachhaltige
Ertragsmenge (maximum sustainable yield) ist beim Bestand V M mit F 0 (VtM ) = 0 gegeben.
2.2
Gewinnmaximierende Nutzung
Sei pt der Ressourcenpreis, es entstehen keine Abbaukosten. Dann folgt ein gewinnmaximierendes Unternehmen unter vollkommener Konkurrenz der HotellingRegel für regenerative
Ressourcen
pt−1 (1 + r) = pt (1 + F 0 (Vt ))
(9)
Auf der linken Seite steht der aktuelle Ertrag aus dem Verkauf einer Ressourceneinheit in t−1,
angelegt zu r am Kapitalmarkt. Rechts stehen die Opportunitätskosten: wird die Ressource
erst in t verkauft, so beträgt der Erlös pt (1 + F 0 (Vt )). Die natürliche Verzinsung (biologische
Verzinsung F 0 ) zuzüglich der Verzinsung durch den Preisanstieg muss der Kaitalmarktverzinsung entsprechen.
2.3
Gesellschaftlich optimale Nutzung
Für die gesellschaftliche Beurteilung der Ressourcennutzung ist ein Wohlfahrtskriterium erforderlich. Wir benutzen einen utilitaristischen Ansatz, bei dem die Nutzen der einzelnen Generationen (-ie. Zeitpunkte) diskontiert und aufsummiert werden. Damit stellt sich für einen
wohlwollenden Diktator das Problem
max
x
X
δ t u(ct ), mit Vt+1 = Vt + F (Vt ) − xt .
(10)
t
Dieses Problem ist dem der Gewinnmaximierung sehr ähnlich. Wir ersetzen lediglich die Gewinnfunktion durch eine Wohlfahrtsfunktion. Die Optimalbedingungen können über Lagrange
hergeleitet werden, hier genügt aber eine intuitive Begründung. Das Prol {xt } ist optimal,
wenn
u0 (xt−1 ) = δu0 (xt )(1 + F 0 (Vt )).
(11)
Auf der linken Seite steht der entgangene Nutzen, wenn in t − 1 auf den Konsum einer Ressourceneinheit verzichtet wird. Rechts steht der zusätzliche Nutzen in t, wobei jetzt nicht nur
die Ressourceneinheit, sondern auch die biologische Verzinsung konsumiert werden kann. Dieser Nutzengewinn wird durch die Diskontierung mit δ vergleichbar mit den Nutzenverzicht in
t − 1.
9