Zahlentheorie

Proseminar Winter 2015/16
Zahlentheorie
Dienstag 14-16 in E2.304
Wir lesen Teile des Buches Einführung in die algebraische Zahlentheorie von
Alexander Schmidt, das in der Bibliothek elektronisch verfügbar ist.
Bitte kommen Sie spätestens eine Woche vor Ihrem Vortrag mit einer handschriftlichen Ausarbeitung zur Vorbesprechung.
1. Teilbarkeit und Primzahlen. Größter gemeinsamer Teiler, Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen, Sätze von Euklid und Euler. Eventuell Fermatzahlen und Mersennessche Primzahlen.
Literatur: Schmidt §1.1-1.2, ergänzend [MSP] §1.
2. Kongruenzen. Der Ring Z/nZ und der chinesische Restsatz, die Gruppe (Z/nZ)∗ der invertierbare Restklassen (in [Sch] heißen diese “prime Restklassen”), Primzahlen mit vorgegebener Restklasse modulo 3 und 4. Eventuell Teilbarkeitskriterien.
Literatur: [Sch] §1.3 bis Kor. 1.3.12 und §1.5, ergänzend [MSP] §4 und §5.
3. Die Eulersche ϕ-Funktion. Die Eulersche ϕ-Funktion, der Satz von
Wilson, der Satz von Euler (in [Sch] als “Kleiner Satz von Fermat” bezeichnet). Anwendung: Das RSA Verfahren, [MSP] Seite 29.
Literatur: [Sch] §1.3 ab Definition 1.3.13 und §1.4, ergänzend [MSP] §5.
4. Primitivwurzeln. Polynomkongruenzen, Satz über die Existenz von
Primitivwurzeln. Anwendung: Diffie-Hellmann-Protokoll, [MSP] Seite 28.
Literatur: [Sch] §1.5 und §1.7, ergänzend [MSP] §7.
5. Quadratische Reste. Quadratische Reste, Formulierung des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ein Beispiel wie [MSP] Seite 54.
Literatur: [Sch] §2.1 und §2.2 bis Theorem 2.2.3, Ergänzend [MSP] §8.
6. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. Beweis des QRG und Anwendungen soweit möglich (mindestens [Sch] Satz 2.3.2 und 2.3.4).
Literatur: [Sch] §2.2 und §2.3.
7. Quadratsummen I. Darstellbarkeit von Primzahlen als Summe zweier
Qudratzahlen und verwandte Fragen. Wenn nötig sollte bei Theorem 2.4.4
gekürzt werden.
Literatur: [Sch] §2.4, ergänzend [MSP] §9.
8. Diophantische Gleichungen I. Hindernisse für die Lösung diophantischer Gleichungen, lineare Gleichungssysteme. Zusatz: Die Zahlen e1 , . . . , er
in [Sch], Lemma 3.2.2 sind eindeutig durch die Matrix A = (aij ) bestimmt.
Literatur: [Sch] §3.1 und §3.2.
9. Diophantische Gleichungen II. Der Satz von Chevalley-Warning, das
Newton-Verfahren bezüglich einer Primzahl.
Literatur: [Sch] §3.3 und §3.4.
10. Die Gleichung von Lindt und Reichardt. Eine unlösbare Diophantische Gleichung ohne lokale Hindernisse.
Literatur: [Sch] §3.5.
11. Teilbarkeitstheorie. Faktorielle und euklidische Ringe. Beispiel:√Der
Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] ist euklidisch. Beispiel: Der Ring Z[ −5]
ist nicht faktoriell.
Literatur: [Sch] §4.1-4.2 und Anfang von §4.3, ergänzend [MSP] §2.
12. Primzerlegung Gaußscher Zahlen und deren Anwendung auf Quadratsummen und Pythagoräische Tripel (notfalls bei letzteren kürzen).
[Sch] §4.3-4.5, ergänzend [MSP] §2 und §9.
Literatur
[MSP] S. Müller-Stach und J. Piontkowski, Elementare und algebraische
Zahlentheorie, 2. Auflage, Viehweg + Teubner, 2011
[Sch]
A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Springer,
2007