Blatt 4 - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik
Dr. Florian Berchtold
Übungen zur Geometrie — Blatt 4
Abgabe bis Dienstag(!), 13.6.2017
Aufgabe 4.1 Es sei ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Höhenschnittpunkt H.
Weiter sei ge die Eulergerade und K(MN , r) der Neunpunktekreis von ABC. Man zeige,
dass MN ∈ ge gilt und MN gerade der Mittelpunkt der Strecke U H ist.
Aufgabe 4.2
1. Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit ^ACB = π2 . Man zeige:
sin(^BAC) =
|BC|
,
|AB|
cos(^BAC) =
|AC|
|BC|
und tan(^BAC) =
.
|AB|
|AC|
2. Es sei ABC ein Dreieck mit Umkreis K(U ; r). Weiter seien a := |BC| und α :=
^BAC. Man zeige
a
.
2r =
sin(α)
Aufgabe 4.3 Es sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck (jeder Innenwinkel ist kleiner π2 ) mit
Höhenschnittpunkt H. Weiter sei Hc der Höhenfußpunkt der Höhe durch den Punkt C.
Man zeige:
tan(^BAC) + tan(^CBA)
|CH|
=
.
|HHC |
tan(^ACB)
Aufgabe 4.4 Es sei ABC ein Dreieck derart, dass jeder Innenwinkel kleiner als 2π
sei. Die
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0
0
0
0
Punkte A , B und C seien außerhalb des Dreiecks ABC so gewählt, dass AC B, BA0 C
und CB 0 A gleichseitige Dreiecke sind. Man zeige:
a) Die Umkreise der Dreiecke AC 0 B, BA0 C und CB 0 A schneiden sich in einem Punkt F
mit ^AF B = ^BF C = ^CF A = 2π
.
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b) Es gilt F = AA0 ∩ BB 0 ∩ CC 0 .
c) Für jeden weiteren Punkt F 0 gilt
|AF | + |BF | + |CF | ≤ |AF 0 | + |BF 0 | + |CF 0 |.
Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik
Dr. Florian Berchtold
Übungen zur Geometrie — Blatt 4
Abgabe bis Dienstag(!), 13.6.2017
Aufgabe 4.1 Es sei ABC ein Dreieck mit Umkreismittelpunkt U und Höhenschnittpunkt H.
Weiter sei ge die Eulergerade und K(MN , r) der Neunpunktekreis von ABC. Man zeige,
dass MN ∈ ge gilt und MN gerade der Mittelpunkt der Strecke U H ist.
Aufgabe 4.2
1. Es sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit ^ACB = π2 . Man zeige:
sin(^BAC) =
|BC|
,
|AB|
cos(^BAC) =
|AC|
|BC|
und tan(^BAC) =
.
|AB|
|AC|
2. Es sei ABC ein Dreieck mit Umkreis K(U ; r). Weiter seien a := |BC| und α :=
^BAC. Man zeige
a
.
2r =
sin(α)
Aufgabe 4.3 Es sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck (jeder Innenwinkel ist kleiner π2 ) mit
Höhenschnittpunkt H. Weiter sei Hc der Höhenfußpunkt der Höhe durch den Punkt C.
Man zeige:
tan(^BAC) + tan(^CBA)
|CH|
=
.
|HHC |
tan(^ACB)
Aufgabe 4.4 Es sei ABC ein Dreieck derart, dass jeder Innenwinkel kleiner als 2π
sei. Die
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Punkte A , B und C seien außerhalb des Dreiecks ABC so gewählt, dass AC B, BA0 C
und CB 0 A gleichseitige Dreiecke sind. Man zeige:
a) Die Umkreise der Dreiecke AC 0 B, BA0 C und CB 0 A schneiden sich in einem Punkt F
mit ^AF B = ^BF C = ^CF A = 2π
.
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b) Es gilt F = AA0 ∩ BB 0 ∩ CC 0 .
c) Für jeden weiteren Punkt F 0 gilt
|AF | + |BF | + |CF | ≤ |AF 0 | + |BF 0 | + |CF 0 |.