UNIVERSITÄT KONSTANZ Höhere Quantentheorie und

UNIVERSITÄT KONSTANZ
Fachbereich Physik
PD. Dr. R. Haussmann
Höhere Quantentheorie und Elektrodynamik
WS 2007/08
Übungen, Blatt 8
Abgabe: Do. 13. 12. 2007
Besprechung: Mo. 17. 12. 2007
Aufgabe 18: Quaternionen [schriftlich]
Quaternionen wurden 1843 von W. R. Hamilton eingeführt als Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Sie sind
definiert durch Q = {q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k | q0 , q1 , q2 , q3 ∈ R}, wobei i2 = j 2 = k 2 = −1 und ij = −ji = k,
jk = −kj = i, ki = −ik = j.
(a) Finden Sie eine Spinordarstellung für die Quaternionen, indem Sie i, j, k mit den Pauli-Matrizen σx , σy , σz in
Verbindung bringen. Weisen Sie nach, daß die so dargestellten i, j, k auch die erforderlichen Multiplikationsregeln
erfüllen. (1 Punkt)
(b) Berechnen Sie die Summe r = p + q und das Produkt s = pq zweier Quaternionen. Geben Sie die Formeln für
die jeweils vier reellen Komponenten r0 , r1 , r2 , r3 und s0 , s1 , s2 , s3 an. (2 Punkte)
(c) Berechnen Sie für die Spinordarstellung die zu q hermitesch adjungierte Zahl q + . Berechnen Sie weiterhin N =
q + q und zeigen Sie, daß N immer eine reelle Zahl multipliziert mit der Einheitsmatrix ist. (2 Punkte)
(d) Berechnen Sie q −1 , in dem Sie die inverse Matrix bilden. Zeigen Sie, daß q −1 = q + /(q + q) gilt. (1 Punkt)
Die Drehungen in der Darstellung mit Spinfunktionen χ für Teilchen mit Spin s = 21 werden beschrieben durch die
~·ϕ
~ = ~~σ /2, ϕ
2 × 2-Matrizen U (~
ϕ) = exp(−(i/~)S
~ ) = cos(ϕ/2) 1 − i sin(ϕ/2)(~σ · ~n) mit S
~ = ϕ~n und ~n2 = 1, wobei ~n
die Richtung der Drehachse und ϕ den Drehwinkel angibt.
(e) Zeigen Sie, daß sich die Matrix U (~
ϕ) durch eine Quaternionenzahl q darstellen läßt. Finden Sie eine Abbildung
zwischen ~n, ϕ und q0 , q1 , q2 , q3 . Zeigen Sie, daß die Abbildung lokal umkehrbar eindeutig ist, wenn ~n nicht auf
den Einheitsvektor beschränkt wird. (2 Punkte)
(f) Berechnen Sie die Determinante det[U (~
ϕ)] und zeigen Sie, daß aus ~n2 = 1 die Bedingung q + q = 1 folgt. Zeigen
Sie, daß folglich der Parameterraum der Drehgruppe in der Quaternionendarstellung die 3d-Oberfläche einer
Einheitskugel im 4d-Raum ist. Was folgt aus den Bedingungen 0 ≤ ϕ ≤ 2π und 2π ≤ ϕ ≤ 4π? (3 Punkte)
Aufgabe 19: Adjungierte Darstellung der Gruppe SU(2)
In der fundamentalen Darstellung sind die Elemente der Gruppe SU(2) gegeben durch die 2 × 2-Matrizen U (~
ϕ) =
~ = ~~σ /2, ϕ
cos(ϕ/2) 1 − i sin(ϕ/2)(~σ · ~n) mit S
~ = ϕ~n und ~n2 = 1, wobei ~n die Richtung der Drehachse und ϕ
den Drehwinkel angibt. ~σ = (σx , σy , σz ) sind die Pauli-Matrizen. Betrachtet seien die 2 × 2-Matrizen A = ~σ · ~a,
die durch einen 3d-Vektor ~a parametrisiert werden. Die adjungierte Darstellung der Gruppe wird definiert durch die
Transformation dieser 2 × 2-Matrizen
A → A′ = U (~
ϕ) A U + (~
ϕ) .
(a) Berechnen Sie A′ explizit. Entnehmen Sie aus dem Ergebnis eine Transformationsformel für den 3d-Vektor
~a → ~a′ = D(ϕ)~a und bestimmen Sie die 3 × 3-Matrix D(~
ϕ).
(b) Untersuchen Sie die 3 × 3-Matrix D(~
ϕ) speziell für die Fälle ~n = ~ex , ~n = ~ey , ~n = ~ez , und zeigen Sie, daß D(~
ϕ)
Drehungen im 3d-Raum beschreibt. Schließen Sie daraus, daß die adjungierte Darstellung der Gruppe SU(2)
äquivalent zu der Gruppe der Drehungen im 3d-Raum SO(3) ist.
Aufgabe 20: Lie-Algebra für die Poincaré-Gruppe
Die Operatoren für den Energie-Impuls-Vektor Pν und für den Drehimpuls-Tensor Jκλ lassen sich darstellen durch
Pν = i~∂ν ,
Jκλ = i~(rκ ∂λ − rλ ∂κ ) .
In diesem Fall wirken die Operatoren auf Funktionen f (r), welche Skalarfelder sind.
(a) Berechnen Sie alle möglichen Kommutatoren [Pµ , Pν ], [Pν , Jκλ ] und [Jκλ , Jµν ], und zeigen Sie, daß die Operatoren
Pν und Jκλ eine Lie-Algebra bilden.