Musterlösung

Universität
Stuttgart
Prof. Dr. Eberhard Teufel
Dr. Norbert Röhrl
Testat 1
10.12.2005
Mathematik I für Informatik und Softwaretechnik
Name:
Matrikel:
Hinweise:
• Keine Hilfsmittel. Dauer 120 Minuten.
• In den multiple-choice Aufgaben (1, 2 und 3ii) wird eine falsche Angabe mit Punktabzug
bewertet. Eine Aufgabe wird insgesamt mit mindestens 0 Punkten bewertet.
• Die Aufgaben 5-10 sind auf zusätzlichen Blättern zu lösen. Nur eine Aufgabe pro Blatt! Auf
jedes Blatt Name und Matrikelnummer schreiben! Aufgaben aufsteigend sortiert abgeben.
1.)(6 Punkte) Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? (Tragen Sie
“j” für “Gruppenhomomorphismus” und “n” für “kein Gruppenhomomorphismus” ein.)
i)
f : (C \ {0}, ·) → (R \ {0}, ·), f (z) = |z|
ii)
f : (R, +) → (R, +), f (z) = z + 1
iii) f : (Z/6Z, +) → (Z/8Z, +), f (z) = 4z
iv) f : (Z/6Z, +) → (Z/8Z, +), f (z) = 2z
Lösung: Ja. Nein. Ja. Nein.
2.)(6 Punkte) Welche der folgenden Mengen sind reelle Untervektorräume des reellen Vektorraums M := {f : R → R} mit den Operationen
f + g (x) := f (x) + g(x) , ∀f, g ∈ M
αf (x) := αf (x) , ∀f ∈ M, α ∈ R
(Tragen Sie “j” für “Untervektorraum” und “n” für “kein Untervektorraum” ein.)
i)
{f : R → R| f (1) = 1}
ii)
{f : R → R| f (0) = 0}
iii) {f : R → R| ∃k ∈ R mit f (x) = kx}
iv) {f : R → R| ∃k ∈ R mit f (x) = kx2 }
Lösung:Nein. Ja. Ja. Ja.
bitte wenden
3.)(1+2 Punkte) Sei A ⊆ R und b ∈ R. Der Punkt b heisst Häufungspunkt von A, wenn
∀ε > 0∃a ∈ A : |a − b| ≤ ε
i) Negieren Sie die Aussage.
ii) Sei A = {n−1 |n ∈ N}. Welche der Punkte 1 und 0 sind Häufungspunkte von A? (Tragen
Sie “j” für “Häufungspunkt” und “n” für “kein Häufungspunkt” ein.)
i)
1
ii) 0
Lösung:
∃ε > 0∀a ∈ A : |a − b| > ε
0 und 1 sind beide Häufungspunkte von A (nach obiger Definition).
4.)(4 Punkte) Für a, b ∈ R sei die Funktion
+
2
f : R+
0 −→ R0 , f (x) = a + bx
2
gegeben. Bestimmen Sie die Menge D = {(a, b)|f (x) = a + bx2 ∈ R+
0 } ⊆ R der Parameter, für
die die Funktion definiert ist.
D=
Bestimmen Sie die Teilmengen von D, für die f
i)
injektiv
ii)
surjektiv
iii) bijektiv
ist.
Lösung:
D = {(a, b)|a ≥ 0, b ≥ 0}
injektiv auf{(a, b)|a ≥ 0, b > 0}
surjektiv auf{(a, b)|a = 0, b > 0}
bijektiv auf{(a, b)|a = 0, b > 0}
5.)(3 Punkte) Beweisen Sie die Ungleichung
2n + 1 ≤ 2n für alle n ∈ N , n ≥ 3
mit Hilfe der vollständigen Induktion.
Lösung: Induktionsanfang:
7≤8
Induktionsschritt:
2(n + 1) + 1 = 2n + 1 + 2 ≤ 2n + 2 ≤ 2n+1
6.)(3 Punkte) Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass
R := {(x, x′ )|f (x) = f (x′ )}
eine Äquivalenzrelation auf X × X ist.
Lösung:
• Reflexivität: f (x) = f (x)
• Symmetrie: f (x) = f (x′ ) =⇒ f (x′ ) = f (x)
2
• Transitivität: f (x) = f (y) und f (y) = f (z) folgt f (x) = f (z)
7.)(2+2 Punkte) Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.
i) Zeigen Sie, dass für alle Teilmengen A und B von Y
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
gilt.
ii) Hat X mindestens 2 Elemente, so gibt es eine Abbildung f und Teilmengen C und D
von X mit
f (C ∩ D) 6= f (C) ∩ f (D)
Lösung:
i)
x ∈ f −1 (A ∩ B) ⇐⇒ f (x) ∈ A ∩ B ⇐⇒ f (x) ∈ A ∧ f (x) ∈ B ⇐⇒ x ∈ f −1 (A) ∩ x ∈ f −1 (B)
ii) Sei X = {1, 2}, Y = {1}, C = {1}, D = {2} und f die (einzig mögliche) Abbildung von
X nach Y . Dann ist f (C ∩ D) = ∅ und f (C) ∩ f (D) = 1.
8.)(2 Punkte) Sei z = a + i b ∈ C \ {0}. Berechnen Sie z −1 in der Darstellung z −1 = c + i d.
Lösung:
1
a −ib
a
b
z −1 =
= 2
= 2
−i 2
2
2
a+ ib
a +b
a +b
a + b2
9.)(2 Punkte) Berechnen Sie ggT (123, 231) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.
Lösung:
ggT (123, 231) = ggT (123, 108) = ggT (108, 15) = ggT (15, 3) = 3
10.)(4 Punkte) Zeigen Sie, dass N = {[0], [2], [4]} ein Normalteiler von (Z/6Z, +) ist. Bestimmen Sie die zugehörige Faktorgruppe.
Lösung: Möglichkeit 1: N ist Untergruppe, da
• Neutrales Element: [0] ∈ N
• Abgeschlossenheit der Abbildung: [2] + [2] = [4], [2] + [4] = [0], [4] + [4] = [2]
• Inverses Element: [2] + [4] = [0].
In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler (gN = Ng).
Die Faktorgruppe hat die Elemente h0i = [0] + N = {[0], [2], [4]} und h1i = [1] + N =
{[1], [3], [5]}. Folglich handelt es sich hierbei um (Z/2Z, +).
Möglichkeit 2:
ψ : (Z/6Z, +) −→ (Z/2Z, +), ψ(x) = 2x
ist ein Gruppenepimorphisums, da gerade Zahlen auf Null und ungerade Zahlen auf Eins abgebildet werden und sich dies mit der Addition in Z verträgt. Der Kern der Abbildung ist N
und nach dem Homomorphiesatz existiert ein Isomorphismus zwischen der Faktorgruppe und
(Z/2Z, +).
3