Aufgaben

Inhaltsverzeichnis:
1.
Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3........................................................................... 2
Aufgabe 1.................................................................................................................... 2
Aufgabe 2.................................................................................................................... 2
Aufgabe 3.................................................................................................................... 2
Aufgabe 4.................................................................................................................... 2
Aufgabe 5.................................................................................................................... 3
Aufgabe 6.................................................................................................................... 3
Aufgabe 7.................................................................................................................... 4
Aufgabe 8.................................................................................................................... 4
Aufgabe 9.................................................................................................................... 4
Aufgabe 10.................................................................................................................. 5
Aufgabe 11.................................................................................................................. 5
Aufgabe 12.................................................................................................................. 6
Aufgabe 13.................................................................................................................. 6
Aufgabe 14.................................................................................................................. 6
Aufgabe 15.................................................................................................................. 6
Aufgabe 16.................................................................................................................. 6
Aufgabe 17.................................................................................................................. 7
Aufgabe 18.................................................................................................................. 7
Aufgabe 19.................................................................................................................. 7
Aufgabe 20.................................................................................................................. 7
Aufgabe 21.................................................................................................................. 8
Aufgabe 22.................................................................................................................. 8
Aufgabe 23.................................................................................................................. 9
Aufgabe 24.................................................................................................................. 9
Aufgabe 25.................................................................................................................. 9
Aufgabe 26................................................................................................................ 10
Aufgabe 27................................................................................................................ 10
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Aufgaben zur Vorlesung Statistik
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Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen
1. Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3
Aufgabe 1
Wann ist eine Teilerhebung sinnvoller als eine Vollerhebung?
Aufgabe 2
Welches Verfahren soll angewendet werden, um eine Teilerhebung durchzuführen?
a) Ein Computerhersteller erhält eine Lieferung von 25 000 elektrischen
Speicherchips, von denen 500 herausgegriffen werden und auf
Funktionsfähigkeit untersucht werden sollen.
b) Der aktuelle Wert eines Lagers soll durch eine Stichprobeninventur überprüft
werden. Das Lager enthält sehr viele Kleinteile von geringem Wert, eine mittlere
Anzahl von Teilen mit mittlerem Wert und relativ wenige Teile von sehr großem
Wert.
c) Mit der PISA-Studie wollen sich die teilnehmenden Staaten ein Bild davon
machen, wie gut es ihren Schulen gelingt, Schüler auf die Herausforderungen der
Zukunft vorzubereiten. Zuerst sollen deshalb innerhalb eines Bundeslandes (z.B.
Baden-Württemberg, …) für jede Schulform (z.B. Hauptschule, Realschule,
Gymnasium, …) Tests durchgeführt werden.
d) Die Nürnberger Gesellschaft für Konsumforschung ermittelt die FernsehEinschaltquoten. Sie führt dazu Teilerhebungen mit 20 000 Menschen in ganz
Deutschland durch.
Aufgabe 3
Im Rahmen der PISA-Studie werden Aussagen über alle Schüler in Deutschland getroffen (nicht nur Schüler in Baden-Württemberg). Aus diesem Grund findet zuerst eine
Aufteilung aller Schüller in
- Bundesländer und
- Schulformen
statt.
Anschließend werden pro Bundesland und Schulform durch Zufall konkrete Schulen
ausgewählt. In jeder der ausgewählten Schulen werden alle Schüler getestet.
Es handelt sich also bei der PISA-Studie um ein mehrstufiges Stichprobenverfahren.
Welche Arten von Stichprobenverfahren werden in den jeweiligen Stufen angewandt?
Aufgabe 4
Gegeben eine Messreihe bei der 10 Messungen durchgeführt wurden. Auf dem
Erfassungsbogen stehen folgende Werte:
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14,8 15,2 15,1 14,9 18,4 15,1 15,2 14,9 15,0 unleserlich
a) Welcher Messwert ist ein Ausreißer?
b) Wie soll mit dem Ausreißer umgegangen werden?
c) Wie soll mit dem fehlenden Messwert umgegangen werden?
Aufgabe 5
In einem Filialunternehmen soll der Zusammenhang zwischen Ladenverkaufsfläche und
Jahresumsatz untersucht werden. In einem bestimmten Jahr ergaben sich in den 10 Filialen folgende Werte:
Filiale Nr. Verkaufsfläche (in 1.000 qm) Umsatz (in Mio. EUR)
1
1,21
7,55
2
1,42
7,92
3
0,87
5,28
4
0,49
3,03
5
1,22
3,58
6
0,84
4,53
7
0,42
3,36
8
0,55
2,98
9
0,61
3,40
10
0,89
5,94
a) Untersuchen Sie, welcher der Datensätze unplausibel ist. Zeichnen Sie die Daten dazu
in ein x-y-Koordinatensystem ein.
b) Wie sollte man mit dem in a) gefundenen Datensatz umgehen?
Aufgabe 6
Beim Test von Druckern in einer Computerzeitschrift werden die folgenden Merkmale
getestet:
Merkmal
Merkmalsausprägung
Merkmalstyp
Herstellername
HP, IBM, Lexmark, …
Preis
0 - 10 000 EUR
Gewicht
0 - 10 kg
Seitenzahl pro
0 - 100 Seiten
Minute
Gesamturteil
Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr
schlecht
Geben Sie an, welchen Typ das jeweilige Merkmal hat.
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Aufgabe 7
Ergänzen Sie die untenstehende Tabelle.
Merkmalsträger
Einzelne
Glühbirne
Einzelne
Glühbirne
Lieferung mit 100
Glühbirnen
Glühbirnentyp
eines Herstellers
Merkmal
Funktionsfähigkeit
Merkmalsausprägungen Merkmalstyp
Lebensdauer
Anzahl der
Defektstücke
Qualität bei einem
Warentest
Aufgabe 8
Eine Maschine schneidet Drahtstücke mit der Solllänge 500 mm zu. Beim Nachmessen
von 30 Drahtstücken ergab sich folgende Messreihe:
501; 502; 490; 497; 506; 498; 503; 496; 507; 503; 501; 496; 498; 489; 497;
505; 496; 488; 498; 492; 504; 504; 492; 502; 509; 500; 503; 500; 490; 493
Fassen Sie die Daten wie folgt in Klassen zusammen und zeichnen Sie anschließend ein
Histogramm.
Klasse Nr.
1
2
3
4
5
6
Länge des Drahtstücks in mm
[487.5, 491.5)
[491.5, 495.5)
[495.5, 499.5)
[499.5, 503.5)
[503.5, 507.5)
[507.5, 511.5)
Anzahl
Aufgabe 9
(i)
Berechnen Sie für die Stichprobe 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4
a) das arithmetische Mittel,
b) den Median,
(ii)
Bei einem Abfüllprozess werden folgende Abfüllmengen (in g) in einer
Stichprobe vom Umfang n = 20 gemessen:
Abfüllmenge (in g) absolute
relative
Häufigkeit
Häufigkeit
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Abfüllmenge (in g)
absolute
Häufigkeit
1
3
7
5
2
2
397
398
399
400
401
402
Berechnen Sie
a) das arithmetische Mittel,
b) den Median,
(iii)
relative
Häufigkeit
1/20
3/20
7/20
1/4
1/10
1/10
Bei einer Radarkontrolle von Fahrzeugen werden diejenigen Fahrzeuge
registriert, die eine Geschwindigkeit von 50 km/h überschritten haben.
Dabei wird die folgende Häufigkeitstabelle angelegt:
Klasse
Geschwindigkeit in
km/h
(Merkmalsausprägung)
1
2
3
4
5
6
7
8
Summe
50 - 60 (inkl.)
60 - 70 (inkl.)
70 - 80 (inkl.)
80 - 90 (inkl.)
90 - 100 (inkl.)
100 - 110 (inkl.)
110 - 120 (inkl.)
120 - 130 (inkl.)
Anzahl der Fahrzeuge
(absolute
Häufigkeit)
20
12
10
8
6
4
2
2
64
Anzahl der Fahrzeuge
in %
(relative Häufigkeit)
31,25
18,75
15,625
12,5
9,375
6,25
3,125
3,125
100
Berechnen Sie
a) das arithmetische Mittel,
b) den Median,
Aufgabe 10
In einer Firma gibt es sieben Frauen und neun Männer. Die jährlichen Bruttoeinkommen
(in Tausend EUR) der Frauen betragen 70,70,70, 80, 80,80, 180, die der Männer 50, 60,
70, 80, 90, 90, 90, 90, 100.
Bestimmen Sie für beide Gruppen Median und arithmetisches Mittel.
Aufgabe 11
Berechnen Sie die Mittelwerte der folgenden Stichproben:
a) 120; 300; 200; 1000; 350.
b)
Werte
1 4
9
16
25
absolute
10 12 17 15
16
Häufigkeiten
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Aufgabe 12
Berechnen Sie Median und arithmetisches Mittel der Stichproben
a) 2000
b) 3000
1000
2000
2500
4000
1500
1000
20000
12000
20000
Aufgabe 13
Berechnen Sie den Median der Daten in der klassierten Häufigkeitstabelle.
Klasse
Absolute
Klassenhäufigkeit
8
10
11
8
13
(0;20]
(20;40]
(40;60]
(60;80]
(80;100]
Aufgabe 14
Gegeben ist Messreihe 9, 13, 7, 5, 11. Berechnen Sie
c) den arithmetischen Mittelwert;
d) empirische Varianz,
e) empirische Standardabweichung.
Aufgabe 15
Untersucht werden Nageltüten mit der Aufschrift „100 Stück“. Zur Kontrolle werden aus
der Lieferung zweier verschiedener Firmen jeweils 20 Packungen ausgewählt. Dabei
ergaben sich folgende absolute Häufigkeitsverteilungen.
Firma A:
Inhalt
Häufigkeit
Firma B:
Inhalt
Häufigkeit
98
1
96
1
99
4
97
2
98
2
100
8
99
2
100
4
101
4
101
3
102
3
102
3
103
1
104
2
Berechnen Sie das arithmetische Mittel, empirische Varianz und empirische
Standardabweichung.
Aufgabe 16
Betrachten Sie die beiden Messreihen
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a) 9, 13, 7, 5, 8
b) 9, 13, 7, 5, 8, 20
Berechnen Sie jeweils den Median und die Spannweite.
Aufgabe 17
Bei einem chemischen Prozess füllt eine Dosiermaschine eine Substanz ab. Folgende
Messreihe wurde ermittelt:
105 g
103 g
103 g
107 g
108 g
106 g
Berechnen Sie
a) den arithmetischen Mittelwert;
b) empirische Varianz und empirische Standardabweichung;
c) Median und Spannweite.
Aufgabe 18
Gegeben ist die 30 Werte umfassende Messreihe aus Aufgabe 8. Berechnen Sie
a)
b)
c)
d)
den arithmetischen Mittelwert (genügt näherungsweise),
empirische Varianz und empirische Standardabweichung (genügt näherungsweise),
Median,
Spannweite.
Aufgabe 19
Im Rahmen der Qualitätskontrolle bei der Fertigung eines Bauteils ergaben sich folgende
Messwerte:
2-mal 17,0 mm
423-mal 17,3 mm
4-mal 17,6 mm
33-mal 17,1 mm
234-mal 17,4 mm
270-mal 17,2 mm
34-mal 17,5 mm
Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) die empirische Varianz.
Aufgabe 20
Zwei Maschinen füllen Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Aus der laufenden Produktion
wurden je 20 Flaschen entnommen und die Füllmengen gemessen. Nach Klassenbildung
ergaben sich unten stehende Häufigkeitstabellen. Berechnen Sie jeweils arithmetischen
Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung.
Maschine A:
Klasse i
Füllmenge in ml
1
2
3
4
[699,5; 700,5)
[700,5; 701,5)
[701,5; 702,5)
[702,5; 703,5)
Anzahl hi
6
8
5
1
Maschine B:
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Klasse i
Füllmenge in ml
1
2
3
4
5
6
7
[697,5; 698,5)
[698,5; 699,5)
[699,5; 700,5)
[700,5; 701,5)
[701,5; 702,5)
[702,5; 703,5)
[703,5; 704,5)
Anzahl hi
2
3
3
4
4
3
1
Aufgabe 21
Die Lebensdauern (in Jahren) von 25 Kühlaggregaten wurden vom Hersteller gemessen.
Es ergab sich folgende geordnete Messreihe:
0,05; 0,15; 0,18; 0,24; 0,25; 0,30; 0,52; 0,64; 1,27; 1,38; 2,78; 3,05; 3,79;
4,03; 4,10; 4,28; 4,67; 5,44; 5,68; 6,16; 6,96; 7,33; 7,74; 8,18; 11,82
a)
Zeichnen Sie ein Histogramm. Verwenden Sie dabei eine Klassenbreite von 2,5
[Jahren], beginnend mit der Klasse [0; 2,5).
Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den empirischen Median der
Messreihe.
Berechnen Sie Spannweite, empirische Varianz und empirische
Standardabweichung der Messreihe.
b)
Nehmen Sie an, Sie hätten nicht die oben angegebene ursprüngliche Messreihe
vorliegen, sondern nur die in a) bestimmte Häufigkeitstabelle nach
Klasseneinteilung. Berechnen Sie aus dieser Häufigkeitstabelle arithmetischen
Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung
Aufgabe 22
a) Von 15 zufällig ausgewählten erwachsenen Personen werden Körpergröße x und
Gewicht y gemessen. Es ergeben sich folgende Wertepaare ( xi , y i ) in cm bzw. kg:
(163, 59), (165, 62), (166, 65), (169, 69), (170, 65), (171, 69), (171, 76), (173, 73),
(174, 75), (175, 73), (177, 80), (177, 71), (179, 82), (180, 84), (185, 81)
Stellen Sie diese Daten graphisch durch ein Streudiagramm dar und berechnen Sie
empirische Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffizienten.
b) Von 15 zufällig ausgewählten erwachsenen Personen wird deren Körpergröße x und
ihr monatliches Einkommen y ermittelt. Es ergeben sich folgende Wertepaare
( xi , y i ) in cm bzw. EUR.
(163, 2900), (165, 1100), (166, 3600), (169, 2300), (170, 4000), (171, 5600),
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(171, 2100), (173, 5100), (174, 3400), (175, 1800), (177, 2100), (177, 2600), (179,
4600), (180, 3600), (185, 2300).
Stellen Sie diese Daten durch ein Streudiagramm dar und berechnen Sie empirische
Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffizienten.
Aufgabe 23
Bei 10 PKWs wurden Gewicht und Benzinverbrauch pro 100 km gemessen. Es ergaben
sich folgende Daten (Tonnen, Liter):
(1,5; 7,7), (1,8; 9,1), (1,4; 8,3), (2,2; 10,0), (1,3; 7,7), (1,7; 8,3), (1,5; 9,1), (1,7; 8,3),
(1,4; 8,3), (1,2; 7,1).
Bestimmen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade.
Mit welchem Benzinverbrauch muss man bei einem Gewicht von 2,5 t rechnen?
Aufgabe 24
a) Zeichnen Sie für den Datensatz aus Aufgabe 5 (alle 10 Filialen) ein Streudiagramm.
b) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden, die die Abhängigkeit des
Umsatzes von der Verkaufsfläche beschreibt.
c) Zeichnen Sie die Regressionsgerade in Ihr Streudiagramm ein.
d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Wie beurteilen Sie die Stärke des
linearen Zusammenhangs?
e) Streichen Sie den Datensatz der Filiale 5. Wiederholen Sie die Aufgabenteile b) bis d)
für die verbleibenden 9 Filialen.
Aufgabe 25
Welcher Korrelationskoeffizient kommt für das Streudiagramm in Frage?
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
a) r=0,8682, b) r=-0,9153 c) r=0,0128 d) r=1,3702
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Aufgabe 26
Versuchsergebnisse: Härte von Stahl bei Kaltverformung (K. Schimz, Industr.
Organisation 26, 1957, 107)
Versuch
i
Einsenktiefe
xi [mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
9
11
13
22
26
28
33
35
Brinellhärte
yi [kg/mm2]
68
67
65
53
44
40
37
34
32
a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden.
b) Mit welcher Stahlhärte muss man bei Einsenktiefe 16 mm rechnen?
c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und das Bestimmtheitsmaß
R2
d) Interpretieren Sie den Zahlenwert aus c).
Aufgabe 27
Bei Studierenden des gleichen Studiengangs wurde das Alter beim Beginn des Studiums
(Merkmal X) und die Anzahl der benötigten Semester (Merkmal Y) festgestellt. In der
nachfolgenden Tabelle (Kontingenztabelle) sind die gemeinsamen absoluten
Häufigkeiten zusammengestellt.
Y (Studiendauer)
X
8
9
10
11
12
20
11
13
11
3
2
21
21
37
32
21
13
22
29
39
32
25
10
23
27
31
24
10
5
24
14
13
12
6
2
a) Bestimmen Sie von den beiden Stichproben x (Alter beim Studienbeginn) und y
(Studiendauer) den Median, den Mittelwert sowie die Varianz.
b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen x und y
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